Viết phương trình chính tắc đường thẳng d1 đi qua M vuông góc với d và tạo với mặt phẳng P một góc ϕ = 300.. 2 Môn Toán: Thầy Trần Đình Hiền ; Môn Lý: Thầy Trần Đình Hùng ; Môn Hóa: Thầy[r]
(1)TRƯỜG THPT ĐẶG THÚC HỨA Thanh Chương – ghệ An GIÁO VIÊ: ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦ - ĂM 2010 Môn thi: TOÁ; Khối: A Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề TrÇn §×nh HiÒn PHẦ CHUG CHO TẤT CẢ THÍ SIH (7,0 điểm): Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = m x − x − 2m m (1) , m là tham số thực khác Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = - 2 Tìm các giá trị m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại A và điểm cực tiểu B và C cho tam giác ABC có diện tích Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình 3sin x + cos x + cos x = 3cos x − cos x + Tìm các giá trị thực tham số m để phương trình sau có nghiệm x + ( m + 2) x + = ( m − 1) x + x , ( x ∈ R ) Câu III (1,0 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y = e x 25 − e x và y = 144 25 − e x Câu IV (1,0 điểm) = 600 ; hai mặt phẳng (SAC) và Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a, (a > 0) ; BAD (SBD) cùng vuông góc với đáy Gọi M, N là trung điểm cạnh BC và SD Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh bên SC E Biết MN vuông góc với AN, tính thể tích khối đa diện AND.MCE theo a Câu V (1,0 điểm) Cho a,b,c là các số thực không âm và không có số nào đồng thời thỏa mãn a + b + c = Chứng minh a + b + c + ab + bc + ca ≥4 a 2b + b c + c a PHẦ RIÊG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình ChuPn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đường cao AA1 : x − y + = , đường trung tuyến BM : y + = , đường trung trực cạnh AB là d: x + y + = Tìm tọa độ trực tâm H tam giác ABC Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(1; - 1; 0), B(3 ; 3; 2), C(5; ; - 2), Tìm tọa độ đỉnh S hình chóp tam giác S.ABC biết thể tích khối chóp S.ABC Câu VII.a (1,0 điểm) Tính tổng S = C88 C98 C108 C2010 , đó Cnk là số tổ hợp chập k n + + + + 7.8 8.9 9.10 2009.2010 phần tử B Theo chương trình âng cao Câu VI.b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y2 – 2mx + 2y – 15 = và đường thẳng ∆ : x + my − 3m + 15 = (m là tham số thực) Tìm các giá trị m để đường thẳng ∆ cắt đường tròn (C) hai điểm phân biệt E và F cho EF = Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y – z = 0, hai đường thẳng d : ∆: x−4 y z và = = 1 −3 x − y z +1 Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (P), điểm N trên đường thẳng d cho M và N đối = = 2 xứng với qua đường thẳng ∆ Viết phương trình chính tắc đường thẳng d1 qua M vuông góc với d và tạo với mặt phẳng (P) góc ϕ = 300 Câu VII.b (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn | z |= và | z + i |= Tính tổng S = + z + z + + z 2010 z - Hết Thông báo: 1) Trung tâm luyện thi ĐH-CĐ khối A Xã Thanh Tường – Huyện Thanh Chương – Tỉnh 8ghệ An tuyển sinh năm học 2010 – 2011 các khối lớp 10, 11, 12, 13 2) Môn Toán: Thầy Trần Đình Hiền ; Môn Lý: Thầy Trần Đình Hùng ; Môn Hóa: Thầy 8guyễn Phương Kháng 3) Thời gian đăng ký danh sách: Lớp 11,12 từ ngày 1/6/2010 Lớp 10, 13 từ ngày 25/8/2010 4) Mọi chi tiết xin liên hệ Thầy: 8guyễn Phương Kháng - Số điện thoại : 0986606720 vào địa chỉ: http://www.violet.vn/Lucky999 Lop12.net (2) ĐÁP Á ĐỀ THI THỬ ĐH L3 ĂM 2010 – GV: TRẦ ĐÌH HIỀ Câu I-1 ội dung Điểm Khi m = - 2ta có hàm số y = − x + x + *Tập xác định D = R *Sự biến thiên 0,25 + Chiều biến thiên : y’ = - 2x(x2 – 1) ; y’= ⇔ x = v x = ± Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; - 1) và (0 ; 1) Hàm số nghịch biến trên các khoảng (- 1; 0) và (1; + ∞) + Cực trị: Hàm số đạt cực đại x = ± 1, yCĐ = 9/2 Hàm số đạt cực tiểu x = 0, yCT = + Giới hạn vô cực: 1 lim (− x + x + 4) = −∞; lim (− x + x + 4) = −∞ x →+∞ 2 0,25 x →−∞ y + Bảng biến thiên: x y’ -∞ -1 9/2 + 0 -3 - 9/2 + +∞ - 0,25 y -∞ -∞ x -4 -3 -2 -1 *Đồ thị: + Đồ thị hàm số cắt trục Ox các điểm: (-2;0) , (2; 0) + Đồ thị hàm số cắt trục Oy điểm (0;4) + Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng I-2 -1 -2 0,25 -3 y’ = x − m x ; y’ = ⇔ x = v x = ± m Đk để hàm số có cực đại và cực tiểu là m > m (*) 0,25 3 m m Ba điểm cực trị A(0;- 2m), B ( − m ; − m − m ) , C ( ; − − 2m ) 2 8 0,25 Phương trình cạnh BC: y + Diện tích tam giác ABC là II-1 m m Độ dài cạnh BC = |m|, + m =0 độ dài đường cao AH = d(A;BC) = 8 S ABC = B C A H = ⇔ m = 16 ⇔ m = (Thỏa mãn đk (*)) v m = - (Không thỏa mãn đk(*)) P T ⇔ (s in x − c o s x ) + ( c o s x − 1) + ( c o s x + c o s x ) = ⇔ − c o s x + c o s x + c o s x c o s x = ⇔ c o s x − c o s x + c o s x c o s x = ⇔ co s x ( c o s 2 x − + co s x ) = (1) cos x = ⇔ 2(cos x − 1) + (cos x − 1) = (2) * P T (1) ⇔ x = π + kπ ,k ∈ Z 0,25 +0,25 0,25 0,25 * P T ( ) ⇔ (c o s x + 1)(c o s x − 1) + (co s x − 1) = ⇔ c o s x ( − sin x ) + (c o s x − 1) = 0,25 ⇔ cos x (cos x − 1) + (cos x − 1) = ⇔ (cos x − 1) cos x (cos x + 1) + = (3) co s x = ⇔ ( 4) + + = co s x (co s x 1) PT (3) ⇔ x = k 2π , k ∈ Z ; II-2 0,25 PT(4) vô nghiệm vì −1 ≤ cos x ≤ ,∀x ∈ R nên 8cos x(cos x + 1) + > 0, ∀x ∈ R ĐK: x ≥ Nhận thấy x = không là nghiệm phương trình • Nếu x≠0 thì phương trình tương đương với ⇔ x2 + + (1 − m ) x • Đặt t = 0,25 ( x + 4) + (1 − m) x ( x + 4) + (m + 2) x = 2 0,25 x2 + +m+2=0 x (1) x2 + x2 − x + Xét hàm số f ( x) = , ( x > 0) ⇒ f '( x ) = ; f '( x ) = ⇔ x = x x2 x 0,25 lim+ f ( x) = +∞; lim f ( x) = +∞ ⇒ f ( x) = f (2) = Từ đó ta có điều kiện t ≥ x →+∞ x →0 x∈(0;+∞ ) • Phương trình (1) trở thành t2 + (1 – m)t + m + = Xét hàm số g ( t ) = Ta có ⇔m= t2 + t + t −1 t2 + t + t − 2t − , ( t ≥ 2) ⇒ g '( t ) = ; g '( t ) = ⇔ t = t −1 ( t − 1) g (2) = 8, g (3) = 7, lim g (t ) = +∞ ⇒ g (t ) = g (3) = t →+∞ t∈[ 2; +∞ ) Phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn x > và phương trình (2) có nghiệm t ≥ Giá trị tham số m cần tìm là : m ≥ Lop12.net (2) 0,25 (3) III Phương trình hoành độ giao điểm e x 25 − e x = 144 ⇔ e x − 25 e x + 144 = ⇔ e x = e = 16 x 25 − e x 0,25 ⇔ x = ln9 x = ln16 Diện tích hình phẳng là S = ln ∫ ex 25 − e x − ln Đặt 25 − e x dx = ∫ ln x e 144 25 − e x − 25 − e x dx t = 25 − e x ⇔ e x = 25 − t Khi x = ln thì t = 4; Khi x = ln16 thì t = Ta có exdx = - 2tdt 3 4 S = − ∫ 2t dt + ∫ IV ln 144 0,25 0,25 Do đó 4 2t 144 t − 74 144 288t 288 = + + ln + ln (đvdt) dt t dt dt = = 2 ∫ ∫ 5 t (25 − t ) t − 25 t+5 3 9 3 z Do (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với (ABCD) nên SO⊥(ABCD) = 600 nên ∆ABD cạnh 2a BAD Đặt SO = x (x > 0); AO = OC = a 3; BO = DO = a 0,25 S 0,25 ∆ABD cân có Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ A( a 3; 0; 0), B (0; a; 0), C (− a 3;0;0), D (a; − a; 0), S (0;0; x) a a a x M (− ; ; 0), (0; − ; ) 2 2 a x a x A = − a ; − ; , M = ; − a; 2 2 AN⊥MN ⇔ A8 M8 = E C D 600 x ⇔ x = 2a A a 3O 2a I 0,25 M B y Gọi I là giao điểm hai đường thẳng AM và CD Khi đó E = NI∩SC và C là trung điểm DI CE = CS 1 VAD8 MCE = V8 AID − VEMIC = d ( , ( ABCD)).S AID − d ( , ( ABCD)).S MIC 3 SO SO 5 3a = S ABCD − S ABC = SO.S ∆ABD = 3 18 0,25 ⇒ E là trọng tâm ∆SDI ⇒ V 0,25 (a3 + ab2 ) + (b3 + bc2) + (c3 + ca2) ≥ 2a2b + 2b2c + 2c2a ⇔ 3(a2 +b2 +c2) = (a +b +c)(a2 +b2+ c2) = (a3 + b3 + c3 + ab2 +bc2+ ca2 ) + +a2b + b2c + c2a ≥ 3( a2b + b2c + c2a) ⇒ V T − ≥ a + b + c + a b + b c + c a − 2 0,25 +0,25 Đặt x = a + b + c Theo BĐT Bunhiacopsky ta có a + b + c ≥ ( a + b + c ) = ⇒ x ≥ 0,25 a +b +c 2 2 2 ab + b c + ca 9−x ( x − 3)( x − 3) a2 + b2 + c2 + −4= x+ −4= ≥ ∀x ≥ a + b2 + c2 2x 2x 0,25 Do đó ta có đpcm Dấu “=” xảy a = b = c = VIa-1 Gọi A(a;2a+1)∈ AA1, B(b ;- 3)∈ BM ⇒ AB = (b − a; −2a − 4) Một vecto phương đường thẳng d là ud = (1; −1) Gọi {N} = d∩AB ⇒ Ν là trung điểm cạnh AB , ( a + b ; a − 1) Ta có hệ phương trình a + b ∈ d + ( a − 1) + = a = Hay A(1; 3) , B(- 5; - 3) ⇔ ⇔ AB u d = b = −5 b − a + a + = Gọi C(t;k) ⇒ M( 0,25 BC = (t + 5; k + 3) Một vecto phương đường thẳng AA1 là uAA1 = (1; 2) Trung điểm cạnh AC là t +1 k + ; ) 2 M ∈ BM Ta có hệ BC u AA k + +3=0 t = Vậy C(7; - 9) ⇔ ⇔ =0 k = −9 t + + 2( k + 3) = Phương trình đường cao CC1 là: x + y + = Trực tâm H là giao điểm hai đường cao AA1 và CC1 ⇒ Η(− 1; − 1) VIa-2 AB = (2; 4; 2), AC = (4; 2; 2), BC = (2; −2; −4) ⇒ AB = AC = BC = hay ∆ABC 0,25 0,25 0,25 Tâm tam giác ABC là G(3; 1; 0) Gọi d là đường thẳng qua G vuông góc với mặt phẳng (ABC) Một vecto phương đường thẳng d là x − y −1 z u = − AB, AC = (1; −1;1) Phương trình đường thẳng d: = = 12 −1 Lop12.net 0,25 (4) AB, AC = (−12;12; −12) ⇒ S ABC = AB, AC = (đvdt) 0,25 Do S.ABC là hình chóp tam giác nên S∈ d ⇒ S(3 + t; – t ; t) VIIa VS ABC = SG.S ABC = ⇒ SG = ⇔ t2 + (-t)2 + t2 = ⇔ t = ± Hay có điểm S(4; 1) và S(2; ; - 1) C k C k −1 Cnk++11 Cnk−−11 Áp dụng: n = n −1 ⇒ = , ∀k , n ∈ ; n ≥ k ≥ n k n(n + 1) k (k + 1) C66 C76 C86 C6 + + + + 2008 = ( C66 + C76 + C86 + + C2008 ) 7.8 8.9 7.8 7.8 56 k −1 k k k −1 k k Áp dụng: Cn −1 + Cn −1 = Cn ⇔ Cn −1 = Cn − Cn −1 , ∀k , n ∈ ; k , n ≥ 1; n ≥ k + S= S= Vb-1 ⇔ 16 = m + 16 − 0,25 0,25 15 m + 16 < R , ∀m ∈ R Gọi H là trung điểm EF⇒ IH⊥EF Áp dụng ĐL Pitago cho tam giác IEH ta có Vb-2 0,25 R = m + 16 Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng ∆ là d ( I , ∆ ) = 0,25 0,25 C2009 7 C77 + ( C87 − C77 ) + ( C97 − C87 ) + + ( C2009 − C = 2008 ) 56 56 Đường tròn (C) có tâm I(m; - 1), bán kính 0,25 0,25 EF2 = R − d ( I , ∆) 0,25 15 ⇔ m + 16 = 25 ⇔ m = ±3 m + 16 0,25 Gọi M(a;b;2a + b) ∈(P) và N(4 + c; c; - 3c) ∈ d , (a,b,c ∈ R) Một vecto phương đường thẳng ∆ là u∆ = (1; 2; 2) ; M8 = (−a + c + 4; −b + c; −2a − b − 3c) và trung điểm a + c + b + c a + b − 3c ; ; 2 đoạn thẳng MN là I 0,25 M và N đối xứng với qua đường thẳng ∆ ⇒ M8 u ∆ = ⇔ I ∈ ∆ 1( − a + c + 4) + 2( − b + c ) + 2( − a − b − 3c ) = ⇔ a + c − b + c a + b − 3c + = = 4 Giả sử vecto phương đường thẳng d1 là a = b = − Hay M(1;- 1; 1), N(5; 1; - 3) c = u1 = (a; b; c) Một vecto phương đường thẳng d là u = (1;1; −3) n = (2;1; −1) Từ giả thiết ta có Một vecto pháp tuyến mặt phẳng (P) là a + b − 3c = u1.u = b = 3c − a ⇔ ⇔ | 2a + b − c | 2 = sin(d1,(P)) =| cos(u1, n) | a2 + b2 + c2 2(a + 2c) = 3(2a +10c − 6ac) 11 b = 3c − a a= c a = c Hay u = ( c; 2c; c ) v ⇔ a − c = ⇔ v b = 2c b = − c a − 11c = x − y + z − và x − Có đường thẳng d1 thỏa mãn bài toán là: = = = 11 VIIb 0,25 0,25 11 u1 = ( c; − c; c) 2 0,25 y +1 z −1 = −5 | z |= Giả sử z = a + bi, (a,b ∈ R) Ta có hệ phương trình 2 a + b = ⇔ 2 | z + i |= | z | | ( a − b ) + (2ab + 1)i |= 0,25 b2 = − a b2 = − a Khi đó các số phức thỏa mãn là: z = - 1; z = 1; z = - i; z = i ⇔ ⇔ 2 (2a − 1) + 4a (1 − a ) + 4ab + = ab = 0,25 Với z = - z = ta có S = 1006 0,25 (z ) Với z = - i z = i ta có S = 10 06 −1 z −1 (i ) = 1006 −1 i −1 =0 Lop12.net 0,25 (5)