Chứng minh rằng nếu đa thøc Px cã n nghiÖm sè thùc ph©n biÖt hoÆc trïng nhau vµ m lµ sè nguyªn dương bất kì thì Pm ≥ m + 1n.[r]
(1)đề số Bài Cho đa thức P(x) = xn + a1xn - + … + an - x + 1, đó n là số nguyên dương và các hệ số ak ≥ (k = 1, …, n - 1) Chứng minh đa thøc P(x) cã n nghiÖm sè thùc (ph©n biÖt hoÆc trïng nhau) vµ m lµ sè nguyªn dương bất kì thì P(m) ≥ (m + 1)n Bài Tìm hai hàm số f(x) và g(x) xác định trên thoả mãn đồng thời hai ®iÒu kiÖn: a) 3f(x) - g(x) = f(y) - y víi mäi x, y ; b) f(x)g(x) ≥ x + víi mäi x Bài Cho n là số nguyên dương, a và b là hai số thực không đồng thời b»ng §Æt a Δ = 2n n 1 2n b Chứng minh phương trình 2n x2n + + ax + b = cã mét nghiÖm Δ > 0, cã hai nghiÖm Δ = 0, cã ba nghiÖm Δ < _ Lop12.net (2) đáp án đề số Bµi Do ak ≥ (k = 1, …, n - 1) vµ P(0) = > nªn tÊt c¶c c¸c nghiÖm cña đa thức P(x) là số âm Gọi các nghiệm P(x) là - x1, - x2, …, - xn (xk > 0, k = 1, …, n) Theo định lí Viète thì x1x2…xn = V× hÖ sè cao nhÊt cña P(x) b»ng nªn P(x) = (x + x1)(x + x2)…(x + xn) Do đó P(m) = (m + x1)(m + x2)…(m + xn) m 1 1 Ta cã m + xk = 1 1 + xk ≥ (m + 1) xk víi k = 1, 2, …, n m V× vËy P(m) ≥ (m + 1)n m 1 x1 x2 xn = (m + 1)n Bµi Thay y = x vµo ®iÒu kiÖn thø nhÊt ta ®îc 3f(x) - g(x) = f(x) - x Do đó f(x) = g ( x) x Thay f(x) = g ( x) x vµo ®iÒu kiÖn thø nhÊt ta ®îc g(x) = 3x - 3y + g(y) Đặt b = g(0) và thay y = vào đẳng thức trên ta g(x) = 3x + b vµ f(x) = x + b Theo ®iÒu kiÖn th hai, ta cÇn cã f(x)g(x) = (3x + b)(x + b ) ≥ x + víi mäi x Từ đó tính b = 10 VËy hai hµm sè cÇn t×m lµ f(x) x + vµ g(x) = 3x + 10 Bµi §Æt f(x) = x2n + + ax + b th× f’(x) = (2n + 1)x2n + a Nếu a ≥ thì f’(x) ≥ với x nên f(x) đồng biến trên R, f(x) → + ∞ x→ + ∞ và f(x) → - ∞ x → - ∞ nên phương trình f(x) = có nghiệm Trong trường hợp này ta có Δ > NÕu a < th× f’(x) = vµ chØ x = ± n α= 2n x f’(x) a §Æt 2n a B¶ng biÕn thiªn cña hµm sè f(x) nh sau: 2n -∞ + -α - Lop12.net α +∞ + (3) f(x) -∞ f(- α) f(α) +∞ Phương trình f(x) = có nghiệm, hai nghiệm hay ba nghiệm tuỳ thuộc vào giá trị f(- α)f(α) là dương, hay âm Ta cã f(- α)f(α) = b2 - 4n a (2n 1) n a 2n Do đó f(- α)f(α) > và 4n n n a n 1 a b2n > Δ > (2n 1) n 1 2n Tương tự, f(- α)f(α) < Δ < 0, f(- α)f(α) < Δ = b2 > 4n a (2n 1) n Vậy phương trình f(x) = có nghiệm Δ > 0, có hai nghiệm Δ = 0, cã ba nghiÖm Δ < _ Lop12.net (4)