Đề số 2 thi tuyển sinh đại học, cao đẳng 2010 môn toán

Tính theo a, khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác SAB đến mặt phẳng SBC và thể tích khối chóp G.ABC.. Tìm tọa độ điểm A sao cho tam giác ABC cân tại A và có diện tích bằng 12,5 đvdt.[r]

ĐỀ THAM KHẢO SỐ 02 THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2010 Môn TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I ( 2.0 điểm ) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số y  1  x  x   Tìm m để phương trình  x  x    m có nghiệm phân biệt + Từ đồ thị (C) suy đồ thị (G): y   x  x   + Dựa vào đồ thị (G), ta có: phương trình có nghiệm phân biệt   m  Câu II ( 2.0 điểm ) Tìm các nghiệm x   0;   phương trình sin x  cos2 x  cos2 3x (1) + Dùng công thức hạ bậc và biến đổi, ta có:    x   k    (1)  cos x  cos x  cos x     x   k k      x     k      3 5  + Với điều kiện x   0;   , nên tập nghiệm cần tìm là S   ; ; ; ;  6 4  Tìm m để bất phương trình log x3  3x  m  log  x3  3x  m   nghiệm đúng với x thuộc đoạn  0;1 + ĐK: x3  3x2  m  t    t 1 + Đặt t  log  x3  3x  m  , t  Bất phương trình đã cho trở thành  t  4t   m  max f ( x)  x 0;1 m  f ( x)   x  3x    x  0;1 Khi đó: m  g ( x)   m   m  g ( x)   x  3x   x0;1 Câu III ( 1.0 điểm ) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị các hàm số y  x  và y  + phương trình hoành độ giao điểm: x3   + diện tích hình phẳng S   2  x  2  x  x2   x 3 dx  x 4 2    x 2 3   dx  I  J x 4 2  x3  x  dx     3x    203 2    2 + Tính I: I  x 4     + Tính J: Đặt x  tan t    t   , ta được: J   4dt  2 2    4 + kết luận S  20  2 Trần Chí Thanh ® LTĐH 2010 Page Lop12.net Câu IV ( 1.0 điểm ) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân B, biết AC  a , SA   ABC và SA  a Tính theo a, khoảng cách từ trọng tâm G tam giác SAB đến mặt phẳng (SBC) và thể tích khối chóp G.ABC + Chứng minh  SAB    SBC  + Trong (SAB) kẻ AH  SB  H  SB  và chứng minh AH  d  A, ( SBC )   a 21 21 AH  a 21 1 + Ta có: d  G, ( ABC )   d  S , ( ABC )   VG ABC  VS ABC  a3 3 36 Câu V ( 1.0 điểm ) Cho x, y là các số thực dương và thỏa mãn x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P   x3  y   x  y3 + G là trọng tâm ABC  d  G, ( SBC )   + Ta có: x3  y3   x  y   x  y  xy   x  y  xy ( x, y  ; x  y  ) + Khi đó:  x  y 3  x  y   x  y  x  y 2 2  x  y  2  1    P  3 x  y3 II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm phần (phần phần 2) Theo chương trình Chuẩn: Câu VI.a ( 2.0 điểm ) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho B  1;1 , C  6;0  Tìm tọa độ điểm A cho tam giác ABC cân A và có diện tích 12,5 đvdt 2S + Viết phương trình (BC): x  y   và d  A, BC   ABC  (1) BC + Phương trình đường trung trực BC là d: x  y  17   A  x0 ; y0   d (2) + Vậy P  3 x  y  + Ta lại có: d  A, BC   x0  y0  (3) 50 + Kết hợp (1), (2) và (3), ta A  2; 3 , A  3;4  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A 1;   , B 1; 3;1 , C  2;2;3  Viết phương trình mặt cầu (S) qua A, B, C và có tâm I nằm trên mặt phẳng (Oxy) + Ta có: I  a; b;0  thuộc mặt phẳng (Oxy)  (S ) : x2  y  z  2ax  2by  d  2a  4b  d  21 a  2   + (S) qua A, B, C  2a  6b  d  11  b  4a  4b  d  17 d  21   + Vậy (S ) : x2  y  z  x  y  21  Câu VII.a ( 1.0 điểm ) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm ba chữ số đôi khác và nhỏ 400 + Số cần tìm có dạng x  abc , c 0;2;4, a 1;2;3 + TH1 c  , có cách chọn c; cách chọn a và cách chọn b Suya có 1.2.4 = số Trần Chí Thanh ® LTĐH 2010 Page Lop12.net +TH2 c  0; 4 , có cách chọn c, cách chọn a và cách chọn b Suy có 2.3.4 = 24 số + Vậy có tất là +24 = 32 số cần tìm Theo chương trình Nâng cao: Câu VI.b ( 2.0 điểm ) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho A  4;1 và B  2;5 Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Ox cho độ dài AM + BM là nhỏ + M thuộc trục Ox  M  x0 ;0  + Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua trục Ox, ta có A  4; 1 và AM  A ' M + Khi đó: AM  BM  A ' M  BM  A ' B   11 + Vậy  AM  BM   A ' B  A’, B, M thẳng hàng  A ' M  k A ' B  k    x0  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A 1;1;0  , B  1;2;1 và đường thẳng d có phương trình x y  z 1   Gọi C là hình chiếu vuông góc đỉnh A trên đường thẳng d Tìm tọa độ tâm đường 2 1 tròn ngoại tiếp tam giác ABC + Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với d, ta 2 x  y  z    7  + Khi đó C là giao điểm d và (P)  C  ; ;  3 6 + Chứng minh ABC vuông A và suy tâm đường tròn ngoại tiếp ABC là trung điểm I  1 11  BC  I  ; ;   12 12  Câu VII.b ( 1.0 điểm ) Tính thể tích khối tròn xoay nhận quay hình tròn tâm I  2;0  bán kính R  xung quanh trục Oy  x   1 y2 2 + Phương trình đường tròn (C):  x    y     1  y  1  x   1 y2    + VOy       y 1      1 y2   2  dy  8   y dy  4 1 Trần Chí Thanh ® LTĐH 2010    ( đặt y  sin t , t    ;  )  2 Page Lop12.net