Viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác đó, biết rằng trực tâm của nó trùng với gốc tọa độ O.. 2 Trong không gian với hệ toạ Oxyz, tìm trên Ox điểm A cách đều đường thẳng.[r]
(1)http://ductam_tp.violet.vn/ BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2010 Môn Thi: TOÁN – Khối A Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề ĐỀ THI THAM KHẢO I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I: (2 điểm) Cho hàm số y 2x x 1 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm trên (C) hai điểm đối xứng qua đường thẳng MN biết M(–3;0) và N(–1; – 1) Câu II: (2 điểm) 3x cos x cos 1) Giải phương trình: 4cos4x – cos2x 2) Giải phương trình: 3x.2x = 3x + 2x + = sin x x K = .e dx cos x Câu III: (1 điểm) Tính tích phân: Câu IV: (1 điểm) Cho hình chóp tam giác S.ABC có độ dài cạnh bên Các mặt bên hợp với mặt phẳng đáy góc α Tính thể tích hình cầu nội tiếp hình chóp S.ABC Câu V: (1 điểm) Gọi a, b, c là ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh rằng: 52 a b c 2abc 27 II PHẦN RIÊNG: (3 điểm) A Theo cương trình chuẩn: Câu VI.a: (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác có phương trình hai cạnh là 5x – 2y + = và 4x + 7y – 21 = Viết phương trình cạnh thứ ba tam giác đó, biết trực tâm nó trùng với gốc tọa độ O 2) Trong không gian với hệ toạ Oxyz, tìm trên Ox điểm A cách đường thẳng (d) : x 1 y z 2 và mặt phẳng (P) : 2x – y – 2z = Câu VII.a: (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ hàm số y = cos x sin x(2cos x sin x ) với < x ≤ B Theo chương trình nâng cao: Câu VI.b: (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng (D): x – 3y – = và đường tròn (C): x2 + y2 – 4y = Tìm M thuộc (D) và N thuộc (C) cho chúng đối xứng qua điểm A(3;1) 2) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d): x2 y z 4 2 và hai điểm A(1;2; –1), B(7; –2;3) Tìm trên (d) điểm M cho khoảng cách từ đó đến A và B là nhỏ Câu VII.b: (1 điểm) Cho cos 2 i sin 2 Tìm các số phức β cho β3 = α Lop12.net (2) http://ductam_tp.violet.vn/ Hướng dẫn Câu I: 2) MN: x + 2y + = PT đường thẳng (d) MN có dạng: y = 2x + m Gọi A, B (C) đối xứng qua MN Hoành độ A và B là nghiệm PT: 2x 2x m x 1 2x2 + mx + m + = ( x ≠ –1) (1) (d) cắt (C) hai điểm phân biệt (1) có = m2 – 8m – 32 > Ta có A(x1; 2x1 + m), B(x2; 2x2 + m) với x1, x2 là nghiệm (1) Trung điểm AB là I x1 x2 ; x1 x2 m I m ; m ( theo định lý Vi-et) 2 Ta có I MN m = –4, (1) 2x – 4x = A(0; –4), B(2;0) Câu II: 1) PT cos2x + 3x cos =2 x k m8 ( k ; m ) x PT 3x x 2x 1 cos x 3x cos 2) Nhận xét; x = là các nghiệm PT x = 8n Dựa vào tính đơn điệu PT có các nghiệm x = Câu III: Ta có x x 2sin cos sin x x 2 tan x x cos x 2cos 2cos 2 x x e x tan dx x 2cos 2 K= e dx = e Câu IV: Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, M là trung điểm BC AMS Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp, I SO; N là hình chiếu I trên SM, MI là phân giác AMS Ta có SO = OM tan = a tan ( Với a là độ dài cạnh đáy) Ta có SO2 + OM2 = SB2 – BM2 r = OI = OM.tan tan tan = a2 a2 a2 tan 1 a 12 12 4 tan 4 tan Vậy V = tan Câu V: Vì a + b + c = nên độ dài cạnh nhỏ Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si cho ba số dương: – a, – b, – c (1 a)(1 b)(1 c) 27 28 56 ab bc ca abc 2ab 2bc 2ca 2abc 27 27 56 52 ( a b c )2 (a b2 c 2abc) a b2 c 2abc 27 27 đẳng thức xảy a = b = c = 3 – (a + b + c) Dấu 3 (1 a )(1 b)(1 c ) >0 Câu VI.a: 1) Giả sử AB: 5x – 2y + = 0; AC: 4x + 7y – 21 = A(0;3) Phương trình đường cao BO: 7x – 4y = B(–4; –7) A nằm trên Oy, đường cao AO nằm trên trục Oy BC: y + = Lop12.net (3) http://ductam_tp.violet.vn/ 2) Gọi A(a; 0; 0) Ox d(A; (P)) = d(A; d) 2a 4( a 3) a Vậy d ( A; ( P)) 2a 22 12 22 2a ; d ( A; d ) 8a 24a 36 8a 24a 36 4a 8a 24a 36 4a 24a 36 có điểm A(3; 0; 0) Câu VII.a: Vì cosx ≠ nên chia tử và mẫu hàm số cho cos3x ta được: y = Đặt t = tanx t (0; 3] y’ = 1 t2 2t t x x Khảo sát hàm số y = t 3t 4t (2t t ) ; y’ = trên nửa khoảng tan x tan x tan x 0; 3 Từ BBT giá trị nhỏ hàm số x = Câu VI.b: 1) M (D) M(3b+4; b) N(2 – 3b; – b) 4 N ; 5 N (C) (2 – 3b)2 + (2 – b)2 – 4(2 – b) = b 0; b 38 ; , 5 Vậy có hai cặp điểm: M(4;0) và N(2;2) M 2) Ta có AB (6; 4;4) AB//(d) Gọi H là hình chiếu A trên (d) Gọi (P) là mặt phẳng qua A và (P) (d) (P): 3x – 2y + 2z + = H = (d) (P) H(–1;2;2) Gọi A là điểm đối xứng A qua (d) H là trung điểm AA A(–3;2;5) Ta có A, A, B, (d) cùng nằm mặt phẳng Gọi M = AB(d) Lập phương trình đường thẳng AB M(2;0;4) Câu VII.b: Gọi β = r( cos + isin) β3 = r3( cos3 + isin3) r 3 r 3 2 2 Ta có: r ( cos3 + isin3) = cos i sin 2 2 k 2 3 k 2 3 Suy β = 3 cos 2 k 2 i sin 2 k 2 Lop12.net (4)