Câu IV: 1 điểm Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C và SA vuông góc với mặt phẳng ABC , SC = a.. Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng SCB và ABC để thể tích khối[r]
(1)BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THAM KHẢO thpthiephoa3/a3a4 ĐỀ THI THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN NĂM 2012 Môn thi : TOÁN Thời gian làm bài : 180 phút, không kể thời gian phát đề Phần chung cho tất các thí sinh (7 điểm) Câu I: ( điểm ) Cho hàm số y = x3- (m+1)x2 + (m - 1)x + 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số m =1 2) Chứng tỏ với giá trị khác m, đồ thị hàm số cắt trục hoành ba điểm phân biệt A, B, C đó B, C có hoành độ phụ thuộc tham số m Tìm giá trị m để các tiếp tuyến B, C song song với Câu II ( 2điểm ) sin x 3cos x sin x 3 2 2x x2 x 1 x 1) Giải phương trình: cos x cos ( x ) 2) Giải phương trình : Câu III: (1 điểm ) e Tính tích phân : ( x3 1) ln x x I dx x ln x Câu IV: (1 điểm) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân C và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) , SC = a Hãy tìm góc hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp S.ABC lớn Câu V : (1 điểm) Cho phương trình: m 3 log 21 ( x 4) 2m 1 log ( x 4) m Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 cho < x1 < x2 < Phần riêng ( điểm ) Thí sinh chọn hai phần (phần1 phần2) Phần1 (Theo chương trình chuẩn ) Câu VI.a (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy Viết phương trình các cạnh tam giác ABC , biết A(1; 3) và hai đường đường trung tuyến có phương trình là d1: x - 2y +1 = ; d2 : y - = 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng x 1 y z d1 : 1 và x 3t ' d2 : y 2t ' z 1 Chứng minh d1 và d2 chéo Viết phương trình đường vuông góc chung d1 và d2 Câu VII.a (1 điểm) Cho số phức z = i Hãy tính + z + z2 2 Phần2 (Theo chương trình nâng cao ) Câu VI.b : (2 điểm ) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy Viết phương trình các cạnh tam giác ABC , biết C(4; 3), đường phân giác và đường trung tuyến kẻ từ đỉnh tam giác có phương trình là d1 : x + 2y -5 = ; d2 : 4x +13 y - 10 = 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng d1 và d2 và mặt phẳng (P) có phương trình x 4 5t ' d2 : y 7 9t ' (P): 4y - z - = z t' Viết phương trình đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) và cắt hai đường thẳng d1 , d2 x 1 y z d1 : ; Câu VIIb: (1 điểm ) Tìm nghiệm phức phương trình: (1+i)z2 - (4 + i)z + - i = Hết ………… Họ và tên thí sinh: Số báo danh: ………………………………………………………………… Lop12.net (2) HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN Câu NỘI DUNG Điể m 2) Hoành độ giao điểm đồ thị hàm số đó cho với trục hoành là nghiệm phương trình: x x (m 1) x (m 1) x ( x 1)( x mx 1) x mx (2) CMinh m phương trình (2) luụn có hai nghiệm phân biệt khỏc phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt m đồ thị hàm số đó cho luụn cắt trục Ox điểm phân biệt là: A(1, 0); B(x1, 0); C(x2, 0) với x1, x2 là nghiệm phương trình (2) Ta có y ' x 2(m 1) x (m 1) Hệ số góc tiếp tuyến B là: y ( x1 ) ' x12 2(m 1) x1 (m 1) Hệ số góc tiếp tuyến C là: y ( x2 ) ' x 22 2(m 1) x (m 1) Tiếp tuyến B và C song song với y '( x1 ) y '( x2 ) m II 1) Giải phương trình: cos x cos ( x ) sin x cos x sin x 3 2 Biến đổi phương trình dạng: sin x sin x sin x cos x cos x (sin x 1)(2 sin x cos x 7) sin x 2 sin x cos x 0.25 k 2 0.25 k 2 Chứng minh phương trình sin x cos x vô nghiệm Giải phương trình sinx = ta nghiệm x Kết luận: nghiệm phương trình: x cach 2) Giải phương trình: x 1 x x x , ĐKXĐ: -1 x * Biến đổi phương trình dạng x 1 x cach 0.5 2x x x 1 x x 1 x * Đặt t = x x , đk t > 0, dẫn đến pt t3 - 2t - = t = * Từ đó ta x = -1 ; x = 2x x 2) Giải phương trình: x 1 x ĐKXĐ: -1 x u x u Đặt điều kiện v x v Dẫn đến hệ: u.v u.v u v u v … u v u.v u v (u v) 2u.v Lop12.net 2 0,5 0,25 0,25 0.25 0.5 (3) u u Giải ta v v x u Với ta có hệ x3 x v 0.25 x x 1 x Kết luận hệ có hai nghiệm x = và x = -1 u Với ta có hệ v CâuI II e I x e e 1 ln x x 1 ln x dx x dx dx x ln x x ln x 1 0.25 e x e3 x dx 3 1 1 e d x ln x e e2 ln x 1 x ln xdx 1 x ln x ln x ln x 1 ln e ln ln e e e3 e2 ln Gọi là gúc hai mp (SCB) và (ABC) ; BC = AC = a.cos ; SA = a.sin Ta có : SCA Vậy I Câu IV Vậy VSABC 0,5 1 1 SABC SA AC.BC.SA a sin .cos a sin 1 sin 6 , nờn x (0; 1) Xét hàm số : f(x) = x – x3 trờn khoảng ( 0; 1) Ta có : f’(x) = – 3x2 f ' x x Từ đó ta thấy trờn khoảng (0;1) hàm số f(x) liên tục và có điểm cực trị là điểm cực đại, nờn đú hàm số đạt GTLN hay Max f x f x 0;1 3 3 Đặt x = sin Vỡ < S 0,5 A B a3 , đạt C 1 sin = hay arc sin , ( với < ) 3 Ta m để phương trình có nghiệm pt đó cho tương đương với pt: (m 3) log 22 ( x 4) (2m 1) log ( x 4) m trên khoảng (4; 6) phương trình luụn xỏc định Đặt t log ( x 4) đk t < < x - < x (4; 6) Dẫn đến pt (m-3)t2 + (2m +1)t + m + = m(t2 + 2t + 1) = 3t2 - t - (*) 3t t m Nhận Xét thấy t = -1 khụng thỏa món pt (*) Biến đổi pt dạng t 2t 3t t m , có hai nghiệm phân biệt t1 < t2 < Bài toỏn trở thành: Ta m để pt: f(t) = t 2t 7t 3 Tính đạo hàm f ' (t ) ; f ' (t ) t (t 1) Bảng biến thiên hàm số f(t) trờn khoảng (-; 1) Vậy MaxVSABC = Câu V Lop12.net 0,25 0,25 (4) t - -1 + - + f'(t) + + f(t) Câu VIa 25 0,5 25 m0 Từ đó suy các giá trị cần ta là: m 1) Viết phương trình cạnh tam giỏc A d1, A d2 Giả sử d1 qua B, d2 qua C x y Tính tọa độ trọng tâm G là nghiệm hệ G(1, y 1 Vì B d1 nên B(2b-1 ;b) , Vì C d2 nên C(c ;1) x A x B xC xG Từ gt G là tâm tam giỏc ABC suy y y A y B yC G Tính b = -1, c = Suy B(-3, -1) ; C(5, 1) Viết pt cạnh AB: x - y + = ; AC: x + 2y - = BC: x - 4y - = 0.25 0.25 0.5 x t 2) Viết d1: y 2t x 3t d1 qua M1(1; 2; 0), có VTCP u1 (1;2;3) , d2 qua M2(1; 3; 1), có VTCP u (3;2;0) Tính M M (0;1;1) , u1 , u (6;9;4) u1 , u M M d1, d2 chéo Câu VIIa Trờn d1 lấy điểm A(1 - t; + 2t; 3t), trên d2 lấy điểm B(1 +3t'; - 2t'; 1) AB (3t 't ;1 2t '2t ;1 3t ) AB là đường vuông góc chung d1, d2 t' AB.u1 t ' 14 t 19 dẫn tới hệ 13t '7t t 51 AB.u 133 30 45 20 16 59 ; ; AB và B ; ;1 133 133 133 19 19 16 x 19 6t 59 9t pt đường vuông góc chung d1 và d2 là y 19 z 4t Hãy tính + z + z2 0,5 0,5 0.5 Lop12.net (5) Tính z i i 2 2 + z + z2 = … = 1)Giả sử đường phân giác và đường trung tuyến đó cho qua đỉnh A Khi đó tọa độ đỉnh A x y là nghiệm hệ: A(9;2) 4 x 13 y 10 Viết pt cạnh AC: x + y -7 = Câu VIb Viết ptđt d qua C ,vuông góc với phân giác d1 gúc A ta d: 2x -y - =0 Giả sử d cắt cạnh AB E, cắt đươgs phân giác d1 I và tọa độ I là nghiệm hệ 2 x y I (3;1) x y 0.5 0.25 0.25 xC x E x1 Do I là trung điểm CE nờn ta có: E (2;1) y C y E y1 Viết ptđt AB( Đi qua A và E): x + 7y + = Viết ptđt d3 qua I và song song với cạnh AB có pt: x + 7y - 10 = Gọi M là trung điểm cạch AB thỡ M d d Tọa độ M là nghiệm hệ: 4 x 13 y 10 M(-4; 2) x y 10 Viết pt cạnh BC: x - 8y + 20 = x t 2) ptts d1: y 2 4t x 3t 0.5 Trờn d1 lấy điểm A(1 + t; -2 + 4t; + 3t), trên d2 lấy điểm B(-4 +5t'; -7+9t'; t') AB (5 5t 't ;5 9t '4t ; t '3t 2) 0.5 mp(P) có VTPT n (0;4;1) Câu VIIb Đường thẳng AB vuông góc với mp(P) AB và n cùng phương Từ đó ta t = 0, t' = A(1; -2; 2) và AB = (0; 4; -1) x pt đường thẳng thỏa món yờu cầu đề bài là: y 4t z t Giải phương trình……… Tính = + 4i = (2 + i)2 3i ; z2 Ta nghiệm z1 1 i 1 i 0.5 0.5 0.5 Chú ý: Mọi lời giải khác, đúng thỡ chấm điểm tương ứng Lop12.net (6)