Bảng biến thiên - Điểm không xác ñịnh - Dấu của ñạo hàm - Chiều biến thiên -Các giá trị của giới hạn.. Lưu ý: Giao ñiểm của hai tiệm cận là tâm ñối xứng của ñồ thị.[r]
(1)Sở Giáo dục và Đào tạo TP Hồ Chí Minh ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ ( 2009-2010) Môn Toán lớp 12 Thời gian làm bài : 120 phút A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH ( ñiểm) Câu (2,5 ñiểm) Cho hàm số : y = 3x + (C ) x +1 a) Khảo sát biến thiên và vẽ ñồ thị (C ) hàm số b) Tính diện tích hình phẳng (S) giới hạn ñồ thị (C ) , trục Ox , trục Oy và ñường thẳng x =1 Câu 2.(1 ñiểm) Xét hình phẳng giới hạn ñường cong y = − x và trục Ox Quay hình phẳng này xung quanh trục Ox Tính thể tích khối tròn xoay ñược tạo nên Câu (1,5 ñiểm) Tính các tích phân : a) I= ∫ x x + 1dx x dx x e b) J= ∫ Câu (2 ñiểm) x = + t Trong không gian Oxyz, cho ñường thẳng (D) : y = − 2t z = − t và ñiểm A(2 ; ; 0) a)Chứng minh ñiểm A không thuộc ñường thẳng ( D ).Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa A và ( D ) b)Tìm tọa ñộ các ñiểm M thuộc ñường thẳng ( D ) cách ñiểm A khoảng B.PHẦN RIÊNG : ( ñiểm) Học sinh ñược làm hai phần( phần I phần II) I)Theo chương trình chuẩn 1) Giải các phương trình sau tập số phức: a) z + z + = b) z + = 2) Trong không gian Oxyz, tìm tọa ñộ ñiểm H là hình chiếu vuông góc ñiểm A( − ; 1; ) lên ñường thẳng ( d) : x−3 y z +1 = = −2 II)Theo chương trình nâng cao 1) Tìm các số phức z trường hợp sau: a) z + i = b) z + = 2) Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( S ) ñi qua ñiểm A(2 ; ; 4) và tiếp xúc với mp(Oxy) ñiểm H(1 ; -2 ; 0) HẾT Lop12.net (2) ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ ( 2009-2010) Môn Toán lớp 12 A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH ( ñiểm) Câu (2,5 ñiểm) Cho hàm số : y = 3x + (C ) x +1 a) Khảo sát biến thiên và vẽ ñồ thị (C ) hàm số Tập xác ñịnh : R \ {−1} Sự biến thiên 0,25 ñ > 0, ∀x ≠ −1 0,25 ñ ( x + 1) Hàm số ñồng biến trên các khoảng (−∞;−1) và (−1;+∞) 0,25 ñ chiều biến thiên : y ' = Hàm số không có cực trị 3x + =3 x +1 Lim− y = +∞ và Lim+ y = −∞ Tiệm cận : Lim y = Lim x → ±∞ x →−1 x → ±∞ x →−1 0,25 ñ Đường thẳng y = là tiệm cận ngang Đường thẳng x = −1 là tiệm cận ñứng Bảng biến thiên - Điểm không xác ñịnh - Dấu ñạo hàm - Chiều biến thiên -Các giá trị giới hạn 0,25 ñ 0,25 ñ Đồ thị cắt trục Oy ñiểm ( ; ), cắt trục Ox ñiểm ( −2 ;0) Vẽ ñồ thị Lưu ý: Giao ñiểm hai tiệm cận là tâm ñối xứng ñồ thị 0,25 ñ b)Tính diện tích hình phẳng giới hạn ñồ thị (C ) , trục Ox và trục Oy và ñường thẳng x = Giao ñiểm ( C )với trục Ox : ( −2 ;0) 3x + > với x ∈ [0 ; 1] nên diện tích hình phẳng cần tìm : x +1 1 3x + 1 S=∫ dx = ∫ (3 − )dx = (3x − Ln x + ) 0,5 ñ x + x + 0 Vì y = S = − Ln ( ñvdt) 0,25 ñ Câu 2.(1 ñiểm) Xét hình phẳng giới hạn ñường cong y = − x và trục Ox Quay hình phẳng này xung quanh trục Ox Tính thể tích khối tròn xoay ñược tạo nên Giao ñiểm ñường cong y = − x với trục Ox : y = , x = ± 0,25 ñ Lop12.net (3) Vậy thể tích khối tròn xoay cần tìm là 2 −2 −2 : V= ∫ π (4 − x ) dx = π ∫ (16 − x + x )dx = π (16 x − V= 2π (32 − 8x x + ) −2 64 32 512π + )= (ñvtt ) 15 0,5 ñ 0,25 ñ Câu (1,5 ñiểm) Tính các tích phân : a) I= ∫ x x + 1dx Đặt u = x + thì du = xdx Ta có : x = thì u = x = thì u = 2 du u3 u =( ) Vậy I = ∫ 0,25 ñ −1 = 0,5 ñ x dx x e b) J= ∫ Đặt u = x thì u ' = v' = 0,25 ñ = e − x thì v = −e − x x e (ta chọn v là nguyên hàm v’) Ta có J= − x.e −x 1 + ∫ e − x dx = − + (−e − x ) e = −1 −1 e−2 + +1 = e e e 0,5 ñ Câu (2 ñiểm) x = + t Trong không gian Oxyz, cho ñường thẳng (D) : y = − 2t z = − t và ñiểm A(2 ; ; 0) a)Chứng minh ñiểm A không thuộc ñường thẳng ( D ).Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa A và ( D ) Thế tọa ñộ ñiểm A vào phương trình tham số ( D ) : 2 = + t t = (vô lý ) 1 = − 2t ⇔ t = 0 = − t Vậy ñiểm A không thuộc ( D ) 0,5 ñ Đường thẳng ( D ) ñi qua B(2 ; ; 1) và có vectơ phương → a D = (1 ; - ; -1) Mp(P) chứa ( D ) và ñiểm A nên ñi qua A, có vectơ pháp tuyến là → → → n P = [a D , AB ] = (0 ; -1 ; 2) → ( AB = (0 ; ;1) ) Phương trình mp(P): ( x − 2)0 + ( y − 1)(−1) + z = ⇔ − y + z + = 0,5 ñ b)Tìm tọa ñộ các ñiểm M thuộc ñường thẳng ( D ) cách ñiểm A khoảng Điểm M thuộc (D) nên : M(2+t ; -2t ; 1-t) 0,25ñ Khoảng cách hai ñiểm A , M : AM= (2 + t − 2) + (3 − 2t − 1) + (1 − t ) = Lop12.net (4) ⇔ t + (2 − 2t ) + (1 − t ) = ⇔ 6t − 10t − = ⇔ t = v t = −1 0,25ñ 11 Vậy có hai ñiểm M tìm ñược là : M1(4 ; -1 ; -1) ; M2( ; ; ) 3 0,5 ñ B.PHẦN RIÊNG : ( ñiểm) I)Theo chương trình chuẩn 1) Giải các phương trình sau tập số phức: a) z + z + = Ta có ∆ = − 16 = −7 ∆ có hai bậc hai là : ± i Phương trình có hai nghiệm : z = −3±i b) z + = ⇔ z = −2 = 2i ⇔ z = ±i 0,75 ñ 0,75 ñ 2) Trong không gian Oxyz, tìm tọa ñộ ñiểm H là hình chiếu vuông góc x−3 y z +1 = = −2 ñiểm A(-2 ; 1; ) lên ñường thẳng ( d) : x = + t Phương trình tham số ñường thẳng ( d): y = −2t z = −1 + 2t 0,25 ñ → Đường thẳng (d ) có vectơ phương là a d = (1 ; -2 ; 2) Điểm H thuộc (d) : H ( + t ; -2t ; -1 + 2t) 0,25 ñ 0,25 ñ → AH = (5 + t ; − − 2t ; − + 2t ) 0,25 ñ → → Ta có AH vuông góc với ( d) nên AH a d = ⇔ + t + + 4t − + 4t = ⇔t= Vậy H ( 0,25 ñ 28 − − ; ; ) 9 0,25 ñ Cách khác : Xét mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với ñường thẳng ( d) Viết phương trình mp(P) qua A( -2 ; ; ), có vectơ pháp tuyến là → a d = (1 ; -2 ; 2) Mp(P) : ( x+2)1 + (y-1) (-2) + ( z-3)2 = ⇔ x-2y+2z-2 = x = + t y = −2t H chính là giao ñiểm (d) và mp(P): z = −1 + 2t x − y + z − = 28 − − Giải hệ trên ta ñược H ( ; ; ) 9 Lop12.net (5) II)Theo chương trình nâng cao 1) Tìm các số phức z trường hợp sau: a) z + i = Ta có z + i = ⇔ z = −i Nên z là các bậc hai số phức − i Ta ñặt z = a + bi với a, b là các số thực thì : (a + bi ) = −i ⇔ a − b + 2abi = −i a= a b = − a b = ± a − b = ⇔ v ⇔ ⇔ ⇔ 2ab = −1 2ab = −1 2 a = b = − 2 2 − + Vậy : z = i z = − i 2 2 b) Ta có z + = ⇔ z = −1 = i ⇔ ( z = i )v( z = −i ) ⇔z= − a = b = 1ñ 2 2 2 2 + − − + iv z=− iv z= iv z=− i 2 2 2 2 0,5 ñ 2) Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( S ) ñi qua ñiểm A(2 ; ; 4) và tiếp xúc với mp(Oxy) ñiểm H(1 ; -2 ; 0) Gọi I là tâm mặt cầu thì I thuộc ñường thẳng ( d) qua H, vuông góc với mp(Oxy) Đường thẳng ( d) qua H ( ; -2 ; ) và có VTCP là ( ; ; ) x = + 0t Phương trình ñường thẳng ( d ) y = −2 + 0t z = + t 0,5 ñ Tâm I thuộc ( d) : I ( ; -2 ; t) Ta có : IH = IA ⇔ (1 − 1) + (−2 + 2) + t = (1 − 2) + (−2 − 3) + (4 − t ) ⇔ t = 26 + 16 − 8t + t ⇔ t = Vậy tâm I( 1; − 2; 21 21 ) 0,5 ñ Bán kính mặt cầu ( S ) : IH = 21 Phương trình mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y + 2) + ( z − HẾT Lop12.net 0,25 ñ 21 21 ) = ( ) 0,25 ñ 4 (6)