Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và hai tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ bằng 3 và điểm có tung độ bằng 2.. Khảo sát và vẽ đồ thị C của hàm số.[r]
(1)THPT Đông Hưng Hà TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Bài 1: Xét đồng biến và nghịch biến các hàm số sau: y = x − x + x2 − x + x −1 Bài 2: Chứng minh rằng: y = 3x + 1− x y = x − x + y = y = x − − x − y = x + − − x x π tan x > sin x với x ∈ 0; e x > + x + với x > 2 x x2 x x3 + − < + x < + với x > x − < sin x với x > 3! Bài 3: Tìm m để các hàm số sau đây đồng biến trên R x3 y = + mx + ( m + ) x − ( 2m + 1) y = mx − ( 2m − 1) x + ( m − ) x − Bài 4: Tìm m để hàm số y = ( − m − 5m ) x3 + 6mx + x − đơn điệu trên R Khi đó hàm số đồng biến hay nghịch biến? Tại sao? Bài 5: Tìm m để các hàm số sau nghịch biến trên các khoảng xác định nó 1 y = ( m + 1) x − mx + 2mx + y = − mx + 3mx − x mx + 4 y = y = − mx + mx − x x+m Bài 6: Ứng dụng biến thiên hàm số giải các phương trình, hệ phương trình sau: x − + x2 − = x − − x + = = + x y (1) 1 y ⇒ x2 + x + = y + y + x y 2 y = x + ( ) x HD: Từ các phương trình ta có x ≥ 1, y ≥ Xét hàm số f ( t ) = 2t + t + trên [1; +∞) Ta có: t f ' ( t ) = 4t + − > 0, ∀t ∈ [1; +∞) Do đó hàm số f(t) đồng biến trên [1; +∞) t f(x) = f(y) ⇔ x = y CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Bài 1: Tìm cực trị các hàm số sau: y = x (1 − x ) y = x + x − 36 x − 10 y = x − x + 4 y = x − x y = sin x y = sin x + cos x, x ∈ ( −π ; π ) y = cos x − sin x y = sin x x2 − 2x + y = x −1 x2 + 2x (1) x −1 Tính khoảng cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó Bài 2: Cho hàm số: y = Page Đề cương ôn tập TN THPT – Nguyễn Trung Kiên Lop12.net (2) THPT Đông Hưng Hà Bài 3: Chứng minh với m hàm số y = x − (m − 1) luôn có cực đại và cực tiểu x−m x − mx + ( m − m + 1) x + Tìm m để hàm số đạt cực đại x = 3 Bài 5: Cho hàm số y = − x − x + 2 Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị hàm số Tìm m để phương trình sau có nghiệm nhất: x + x + m = Bài 6: Cho hàm số y = x − x + 1 Tìm các khoảng tăng, giảm và cực trị hàm số Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x − x − m = 1 Bài 7: Cho hàm số y = mx − ( m − 1) x + ( m − ) x + Tìm m để: 3 Hàm số có cực trị Hàm số có cực đại và cực tiểu x1, x2 thỏa mãn: x1 + x2 = Hàm số đạt cực đại x = GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Bài 1: Tìm giá trị lớn hàm số y = x − x Bài 2: Tìm giá trị nhỏ hàm số y = x + ( x > ) x Bài 3: Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ các hàm số sau: y = x ( − x ) y = x − + − x Bài 4: Cho hàm số y = y = x + − x y = x − + − x trên [3;6] 2cos x + cos x + y = cos x + 1 + sin x + cos6 x y = + sin x + cos x sin x π π f ( x) = sin x − x trên − ; trên [ 0; π ] + cos x 2 cos x x π π trên − ; 10 y = trên [-1; 4] f ( x) = + sin x x+2 2 x + y = 2a − Tìm a để xy nhỏ Bài 4: Giả sử (x; y) là nghiệm hệ 2 x y a a + = + − 12 Bài 5: Gọi x1, x2 là nghiệm phương trình 12 x − 6mx + m − + = Tìm m cho m 3 x1 + x2 đạt GTLN, GTNN f ( x ) = Bài 6: Xác định a để GTNN hàm số y = x − 4ax + a − 2a trên [ −2;0] Bài 7: Cho phương trình x + ( 2a − ) x + a − 13 = ( a ≥ 1) Tìm a để nghiệm lớn phương trình đạt giá trị lớn Bài 8: Cho hàm số y = cos 2 x + ( sin x + cos x ) − 3sin x + m Tính theo m giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số Từ đó tìm m cho y ≤ 36 ∀x Bài 9: Cho x, y thỏa mãn x ≥ 0, y ≥ và x + y = Tìm GTLN và GTNN biểu thức: Page Đề cương ôn tập TN THPT – Nguyễn Trung Kiên Lop12.net (3) THPT Đông Hưng Hà x y + y +1 x +1 − xy − 2t Đặt xy = t với ≤ t ≤ Tìm GTLN, GTNN hàm số P = trên HD: P = t+2 xy + đoạn [0; ¼] Bài 10: Cho hàm số y = x − 2ax + 2a Tìm a để GTNN hàm số trên [-1; 0] Bài 11: Tìm GTLN và GTNN các hàm số sau: f ( x ) = x + x − trên [ −3;1] f ( x ) = x + x − x + trên [ −4; 4] P= f ( x ) = x − x + 16 trên [ −1;3] f ( x ) = x + + f ( x) = x − x trên (1; +∞ ) x −1 y = y = x − 3x + trên [ −10;10] y = x + x2 y = 25 − x trên [ −4; 4] π 5π trên ; sin x 3 10 y = trên ( 0; π ) sin x CÁC BÀI TOÁN VỀ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Bài 1: Cho hàm số y = − x + 3mx − m có đồ thị (Cm) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x = -1 Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị (C) hàm số ứng với m = - x Viết PTTT với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = + Biện luận theo k số nghiệm phương trình x + x = k Bài 2: Cho hàm số y = x − mx + 2 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số m = Dựa vào đồ thị (C) hãy tìm k để phương trình x − x + − k = có nghiệm phân biệt − 2x Bài 3: Cho hàm số y = x −1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Tìm tất các giá trị m để đường thẳng y = mx + cắt đồ thị hàm số hai điểm phân biệt Bài 4: Gọi (C) là đồ thị hàm số y = x + x − Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: a Tại điểm có tung độ triệt tiêu b Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x c Biết tiếp tuyến qua điểm A ( −3; −4 ) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm số m Bài 5: Gọi (Cm) là đồ thị hàm số y = x − x + 3 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2 Gọi M là điểm trên (Cm) có hoành độ -1 Tìm m để tiếp tuyến (Cm) M vuông góc với đường thẳng x + y = Bài 6: Page Đề cương ôn tập TN THPT – Nguyễn Trung Kiên Lop12.net (4) THPT Đông Hưng Hà Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x − x + 12 x − Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: x − x + 12 x = m 2x x +1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến (C) M cắt hai trục Ox, Oy hai điểm A và B cho tam giác OAB có diện tích Xác định m để đồ thị (C) cắt đường thẳng y = x − m hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh đồ thị Bài 8: Cho hàm số y = x − x + Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Chứng minh đường thẳng qua điểm I(1; 2) với hệ số góc k (k > -3) cắt đồ thị hàm số nói trên điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm AB 3.Trong các tiếp tuyến đồ thị hàm số nói trên Hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ Bài 9: Cho hàm số y = − x − x − mx − m + ( Cm ) Tìm tọa độ điểm cố định mà đồ thị (Cm) luôn qua với m Tìm m để (Cm) có cực đại x = -1 Với giá trị nào m thì đồ thị (Cm) có điểm cực đại, điểm cực tiểu và các điểm cực trị đó có hoành độ trái dấu? x+2 Bài 10: Cho hàm số y = x−2 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số giao điểm đồ thị và trục Ox Tìm trên đồ thị các điểm cách hai trục tọa độ Tìm trên đồ thị hàm số các điểm có tọa độ nguyên Tìm m để đồ thị hàm số và đường thẳng y = -x + m cắt hai điểm phân biệt A, B cho tam giác IAB có diện tích 15/2 Với I là giao điểm hai đường tiệm cận Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số và hai tiếp tuyến với đồ thị điểm có hoành độ và điểm có tung độ Bài 11: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x4 – 4x2 + Tìm m để phương trình x − x + = 2m − m có nghiệm phân biệt Bài 7: Cho hàm số y = x−2 x −1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số Tìm trên đồ thị (C) điểm cách hai điểm A(0 ; 0) và B(2 ; 2) x +1 Bài 13: Cho hàm số y = x −1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số Chứng minh đường thẳng d: y = x + m luôn cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A và B Tìm m để AB nhỏ Bài 12: Cho hàm số y = Page Đề cương ôn tập TN THPT – Nguyễn Trung Kiên Lop12.net (5) THPT Đông Hưng Hà HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT Bài 1: Tính giá trị các biểu thức sau: 14 − 12 log9 log 405 − log 75 P = 81 Q = + 25log125 49log7 log 14 − log 98 E = 3 27 C = 2 − 1 A = 2.5 : : 16 : 3.2 ( Cho a = + ) −1 ( ,b = − ) −1 B = ( 0,25) −1 −2 3 −3 1 + 25 : : 4 Tính A = ( a + 1) + ( b + 1) −1 −1 a + b = ab a+b thì log Bài Chứng minh = ( log a + log b ) a 0, b > > Bài a Cho log = a,log = b Tính log 21 98 b Cho log = a,log 16 = b Tính log 45 50 c Cho log 50 = a,log 60 = b Tính log 25 80 x+ y x− y > ∀x > y > ln x − ln y HD: Do x > y > 0, lnx > lny ⇔ lnx − lny > 0, nên biến đổi bất đẳng thức x −1 x x− y x t −1 y ⇔ ln > ⋅ ⇔ ln t > ⋅ với t = >1 Xét hàm số ⇔ ln x − ln y > ⋅ x +1 t +1 y x+ y y y t −1 > trên [1; +∞) f (t ) = ln t − ⋅ t +1 Bài 4: Chứng minh rằng: ab < ba ∀a > b ≥ e ln a ln b ln x HD: ab < ba ⇔ lnab < lnba ⇔ blna < alnb ⇔ Xét hàm f(x) = ∀x ≥ e < a b x b a Bài Chứng minh a + 1a ≤ 2b + 1b , ∀a ≥ b > 2 Bài Chứng minh rằng: ) ( ( HD: Biến đổi bất đẳng thức ( + 1a a ) ) ( b ≤ + 1b b ) a b a b ⇔ + a4 ≤ + b4 a a) b) b a b a ( ( ⇔ (1 + a ) ≤ (1 + 4b ) ⇔ ln (1 + a ) ≤ ln (1 + 4b ) ⇔ ln + ≤ ln + a b x ( ) Xét hàm số đặc trưng cho hai vế f ( x ) = ln + với x > x PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARÍT PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Bài 1: Giải phương trình: x2 −6 x − 2 x − x+8 = 41−3 x x.5 x −1 = 0.2.10 2− x x.3x −1.5 x − = 12 = 16 2 x x −1 + + x − = 3x − 3x −1 + 3x − 2 2009 x −7 x +12 = Page Đề cương ôn tập TN THPT – Nguyễn Trung Kiên Lop12.net (6) THPT Đông Hưng Hà x +5 x 32 −7 = x +17 0, 25.128 x −3 1 5 Bài 2:Giải phương trình: 34 x +8 − 4.32 x +5 + 27 = (2 + 3) x + (2 − 3) x − = x (7 + 3) x − 3(2 − 3) x + = x +3 x x − + 12 = x 3.16 + 2.8 x = 5.36 x x x 2.4 + = 10 x + x +1 + x + = 3x + 3x +1 + 3x + ( ) + ( − 24 ) 13 ( + ) + 16 ( − ) 11 + 24 = 125 2 x + + x +7 − 17 = 2.16 x − 15.4 x − = (3 + 5) x + 16(3 − 5) x = x+3 x x −3 x x x x x ( ) − 3( − ) = 84 14 ( ) + ( ) = 10 x 12 + = x +3 x 15 32 x + + 45.6 x − 9.2 x + = Bài 3: Giải các phương trình sau: x + 3x = x 3.4 x + ( x − 10 ) x + − x = 16 x− x −5 x +2=0 x−10 10 − 12.2 x −1− x −5 +8 = 3x = − x 4 x − + ( x − ) x −2 = Bài 3: Giải các bất phương trình sau: < x x+ x+2 2 x −1 ≥2 x +1 3.1 < −x x2 − x < 25 −3 > −9 + 9.3 − 10 < 5.4 + 2.25 x − 7.10 x ≤ 1 x +1 52 x + < x +1 + x 25.2 x − 10 x + x > 25 ≥ − 1 − 3x PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARÍT Bài 4: Giải các phương trình: log x + log 25 x = log 0,2 log x = log ( x + ) − log ( x + ) x x x lg( x + x − 3) + lg x+3 =0 x −1 x log ( x − x + 7) = log ( x − 2) + log x − = log x−3 x −3 + = log x −1 x−7 ( log x + log ) + log ( ( ) x + = log ) log x + 12 x + 19 − log ( 3x + ) = log ( x − ) − log − log 3 x − 20 = 10 log ( x − 19 ) − log ( x − 20 ) = −1 log x ( ) ( ) 11 log3 ( x − 54 ) + log ( x + 3) = 2log9 ( x − ) 12 log 3x − log 3x+ − 81 = 12 Bài 5: Giải các phương trình sau: + =1 − lg x + lg x log x + 10 log x + = ( ) ( ) log 0,04 x + + log 0,2 x + = log 5 x − log 5 x + − 25 = − log x = log x log ( − x ) = 3log ( − x ) − Page Đề cương ôn tập TN THPT – Nguyễn Trung Kiên Lop12.net (7) THPT Đông Hưng Hà log 2 x + 3log x + log x = 10 log (100 x ) − log (10 x ) = 14 + log + log x + log x − = Bài 6: Giải bất phương trình: log ( x − x + 3) ≤ ( log 22 x − log x − =1 log x + log x − log x − < ( ) ) log x − x + + 2log ( x − ) < log log x − > x −1 log x +6 log >0 + x ≥ log x 3 4x + log ≥0 x log x + log ( x + 3) ≥ + log ( x − 1) 2log8 ( x − 2) + log ( x − 3) > x 10 log log x ≥ x2 − x + 12 log ≥0 x + x−5 11 log x + 4.log x > 14 log x ( x − x + ) < 13 log x + log x > 15 log 22 x + log x ≤ 16, NGUYÊN HÀM Bài 1: Tìm nguyên hàm các hàm số x4 + 1 f(x) = x2 – 3x + f(x) = x x2 f(x) = ex(ex – 1) f(x) = x +5 x − x+3x+4x > x+2 x −1 x2 −3 f(x) = x x f(x) = ( x − 1) x f(x) = 2sin f(x) = e3x+1 x cos x 11 f(x) = sin3x 12 f(x) = 2sin3xcos2x 10 f(x) = sin x.cos x Bài 2: Tìm hàm số f(x) biết f’(x) = 2x + và f(1) = f’(x) = – x2 và f(2) = 7/3 f’(x) = x − x và f(4) = f’(x) = x - + và f(1) = x b f’(x) = ax + , f '(1) = 0, f (1) = 4, f (−1) = f’(x) = 4x3 – 3x2 + và f(-1) = x Bài 3: Tìm nguyên hàm phương pháp đổi biến số Tính I = ∫ f [u ( x)].u '( x)dx cách đặt t = u(x) f(x) = Đặt t = u(x) ⇒ dt = u '( x)dx I= ∫ f [u ( x)].u '( x)dx = ∫ f (t )dt BÀI TẬP Page Đề cương ôn tập TN THPT – Nguyễn Trung Kiên Lop12.net (8) THPT Đông Hưng Hà Tìm nguyên hàm các hàm số sau: dx ∫ (5 x − 1)dx ∫ (3 − x)5 ∫ (2 x + 1)7 xdx 3x ∫ + x3 13 ∫ sin 17 ∫ sin x ∫ 25 ∫x + 5) x dx 10 x cos xdx e x dx e −3 x dx ∫ x (1 + x )2 sin x 14 ∫ dx cos5 x dx 18 ∫ cos x etgx 22 ∫ dx cos x dx dx 21 ∫ (x dx 26 ∫ + x2 − x dx ∫ − 2xdx ∫ x + 1.xdx 11 ln x ∫ x dx 15 ∫ cot gxdx 19 ∫ tgxdx 23 ∫ − x dx ∫ x dx 27 dx 2x −1 x ∫ dx x +5 12 ∫ x +1 ∫ x.e dx tgxdx x x e 20 ∫ dx x dx 24 ∫ − x2 dx 28 ∫ x + x +1 − x2 dx 31 ∫ x 29 ∫ cos3 x sin xdx 30 ∫ x x − 1.dx e +1 Bài 4: Phương pháp lấy nguyên hàm phần 16 ∫ cos 32 ∫x x + 1.dx Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I ∫ u ( x).v '( x)dx = u ( x).v( x) − ∫ v( x).u '( x)dx Hay ∫ udv = uv − ∫ vdu ( với du = u’(x)dx, Tìm nguyên hàm các hàm số sau: ∫ x sin xdx ∫ ( x + x + 3) cos xdx ∫ ∫ x.e dx ln xdx x ∫ cos x ∫ x ln xdx x ∫ e cos xdx 10 x ∫ x e dx 11 ∫ x lg xdx 14 ∫ x ln(1 + x)dx 15 ∫ 13 Bài 5: Chứng minh rằng: Hàm số F ( x ) = ( x3 + x + x + 1) e x là ∫ ln xdx x dv = v’(x)dx) ∫ ln( x ∫ x ln(1 + x )dx 12 ∫2 x xdx ln(1 + x ) dx x2 16 ∫x cos xdx x dx nguyên hàm + 1)dx hàm số f ( x ) = ( x3 + x + x + ) e x + 2010 trên ℝ x2 − 2x + x2 − ln Hàm số F ( x ) = là nguyên hàm hs f ( x ) = trên ℝ x +1 2 x2 + 2x + 1 Hàm số f ( x) = x2 + a ( ) F ( x ) = ln x + x + a , ( a ≠ ) là nguyên hàm hàm số trên ℝ Bài 6: Tìm các họ nguyên hàm sau: Page Đề cương ôn tập TN THPT – Nguyễn Trung Kiên Lop12.net (9) THPT Đông Hưng Hà ( A ( x ) = ∫ x ( x + 1) x + x + 1dx C ( x ) = ∫ sin x + cos x (1 − sin x ) E ( x ) = ∫ x ( x + 1) G ( x ) = ∫ I ( x ) = ∫ 2009 2009 D ( x ) = ∫ dx dx sin x + cos x dx Bài 7: Tìm các nguyên hàm sau: E ( x ) = ∫ ( ( x −1 − x +1 ) dx ln ( sin x ) dx cos x x D ( x ) = ∫ x ln dx x +1 x + 1) e x ( F ( x ) = ∫ dx ( x + 1) ) x + + cos x dx x −1 ln dx x −1 x +1 2 x −1 x H ( x ) = ∫ e dx x +1 3sin x + cos x ) e x ( dx 10 J ( x ) = ∫ ( sin x + 2cos x ) sin xdx G ( x ) = ∫ 3sin x + 2cos x I ( x ) = ∫ − 1) x +1 B ( x ) = ∫ A ( x ) = ∫ xe x dx C ( x ) = ∫ x (x cos3 x F ( x ) = ∫ dx cos x − sin x 2e3 x + e x − H ( x ) = ∫ x dx e + e2 x − e x + 1 tan x − dx 10 J ( x ) = ∫ tan x + sin x cos x + ( ) dx ( 3x + 1)( x + 1) ) B ( x ) = ∫ x e x + x + dx x dx ( x sin x + cos x ) TÍCH PHÂN _ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A Lý thuyết : Định nghĩa các tính chất tích phân phương pháp tính tích phân Các công thức tính S, Vox phương pháp tích phân B Bài tập: Bài 1: Tính tích phân cách sử dụng bảng nguyên hàm bản: e 1 ∫ ( x + x + 1)dx ∫ ( x + + + x ) dx x x ∫ x + 1dx π ∫ (2sin x + 3cosx + x)dx π ∫ (e x + x)dx ∫ ( x3 + x x )dx π ∫ ( x + 1)( x − x + 1) dx 2 ∫ (3sin x + 2cosx + )dx x π x.dx +2 ∫x -1 Page Đề cương ôn tập TN THPT – Nguyễn Trung Kiên Lop12.net (10) THPT Đông Hưng Hà e2 7x − x − 10 ∫ dx x ∫ 11 π ( x + 1).dx + x ln x dx x+2 + x−2 12 ∫x π cos3 x.dx 13 ∫ sin x π ∫ 14 e x − e− x ∫0 e x + e− x dx tgx dx cos x 15 Bài Tính các tích phân sau phương pháp đổi biến: π π π π 2 ∫ sin xcos xdx π ∫ sin xcos xdx π ∫ tgxdx π ∫ cot gxdx ∫ + 4sin xcosxdx π ∫x x + 1dx 10 ∫ x2 ∫1+ x dx π π 2 17 ∫ esin x cosxdx π dx π 1 2x − 21 ∫ dx x − 4x + 22 ∫ ∫x 11 ∫x − x dx ∫ 12 ∫x dx x3 + 1 16 ∫ dx (1 + x ) 1 15 − x dx x2 + dx π 18 ∫ ecosx sin xdx x +1 1 14 ∫ dx x + 2x + −1 ∫ x x + 1dx 0 13 sin x ∫ dx + 3cosx π 19 ∫ e x +2 xdx 20 sin 3x ∫ 2cos 3x + dx e sin(ln x ) dx 23 ∫ dx x x +1 − x e ln x+1 24 ∫ dx x e π 1 ∫0 x + + x dx 30 Bài Tính các tích phân sau: 29 e ∫ 1+ 3ln x ln x dx 31 x π 1, ∫ ( x + e e 4, ∫ e2 + ln x ∫e x ln x dx cos x )sin xdx + ln x dx x 2 32 cos x ∫ − 2sin x dx 2, ∫ x ln( x + 1)dx 3, ∫ x.e− x dx 5, ∫ (2 x − 1) ln xdx ln( x + 1) 6, ∫ dx x2 2 π π ln cos x ex dx dx 7, ∫ (e + cos x) cos xdx 8, ∫ 9, x ∫ 5sin x sin x e − + + 0 Bài Tínhdiện tích hình phẳng giới hạn miền hình phẳng (D) các trường hợp sau đây: ln x y = (2 + cos x)sin x; y = y = x − 3x + x + y = ; y = 1, 2, 3, x π 3π x = ;x = = + y x x = 1; x = e 2 x + y2 = y = − x2 y = x − x + 5, 6, 4, x+ y =3 y = x − 2x y = x + sin x Page 10 Đề cương ôn tập TN THPT – Nguyễn Trung Kiên Lop12.net (11) THPT Đông Hưng Hà Bài Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh miền (D) quay quanh trục Ox, các trường hợp sau: y = sin x + cos x y = sin x y= 1, 2, 3, x π π 0; y x = = 0; ;x =π = = y x y = −x + y2 = 2x 4, x − y + = y = x 6, y = x y = 2x2 5, y=x SỐ PHỨC Bài 1: Tìm phần thực, phần ảo, môđun và số phức liên hợp các số phức z biết rằng: z = (1 − i ) + ( − 2i ) z = (1 − 3i ) + 3i − +1 − 4i 3 −2 + 3i + i − z = + i − + i z = (1 − 2i ) ( (1 − i ) 2 1+ i + z = ( − 2i )(1 − i ) + i Bài 2: Tìm các số thực x, y thỏa mãn: x + − ( y + ) i = − 3i ( ) ) ( ) ( − 3i )( + 2i ) = z − 2i + 4i − x + + (1 + 2i )(1 + yi ) = (1 + 2i ) 2x ( − 5i ) + ( x − y )( + i ) = 3i ( x + yi ) = − i Bài 3: Tìm số phức z thỏa mãn z có mô đun và tích phần thực và phần ảo z 2 Bình phương số phức z liên hợp số phức z Điểm biểu diễn số phức z thuộc đường tròn đơn vị và điểm biểu diễn số phức z nằm trên đường thẳng y = x z = 16 và phần ảo z lần phần thực nó z = z − 2i và z − i = z − z = 17 và tổng phần thực, phần ảo z -2 1+ i Bài 4: Tìm phần thực – phần ảo số phức z các trường hợp sau biết rằng: 20 + 10i a ) (1 + i ) ( − i ) z = + i + (1 + 2i ) z b) ( − 3i ) z + ( + i ) z = + 2i Bài 5: Giải các phương trình sau trên tập số phức: ( + 3i ) z − − i = ( −1 + 2i ) z − (1 − 2i ) z + = z + 10 − 2i + i z + z + = z − z + = z + = z − z − = − =1 z z +1 ( z + )( z + z + 3) = Bài 6: Trong tập hợp số phức, cho phương trình x − x + = có các nghiệm x1 và x2 Tính: Page 11 Đề cương ôn tập TN THPT – Nguyễn Trung Kiên Lop12.net (12) THPT Đông Hưng Hà A= 1 + x13 x23 Giải phương trình sau trên tập hợp số phức: z − 2iz + i − = Biết phương trình z + (1 − 2i ) z + (1 − i ) z − 2i = có nghiệm ảo Giải phương trình đó Bài 7: Tìm hai số phức biết tổng chúng và tổng các bình phương chúng -2 Bài 8: Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức phương trình z2 - 2az + b = (a, b ∈ R) Hai điểm A, B là hai điểm biểu diễn z1, z2 trên mặt phẳng tọa độ Tìm a, b để tam giác OAB vuông z −i = Bài 9: Cho số phức z ≠ Chứng minh z+i Bài 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z thỏa mãn: z − = 2 z − ( − 2i ) ≤ 3 z − = z + z = k (Với k là số thực dương cho trước.) z −i HÌNH ĐA DIỆN – KHỐI ĐA DIỆN Bài 1.Chứng minh hình đa diện có các mặt là tam giác thì số mặt nó là số chẵn Bài Chứng minh hình đa diện mà đỉnh nào là đỉnh chung ba cạnh thì số đỉnh là số chẵn Bài Chứng minh hình đa diện có các mặt là tam giác và đỉnh là đỉnh chung ba cạnh thì đa diện đó là tứ diện Bài Tính thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết AA’B’D’ là tứ diện cạnh a Bài Các cạnh lăng trụ xiên 18; 20; 34 cm cạnh bên hợp với mặt đáy goca 300 và có độ dài 12 cm Tính thể tích lăng trụ Bài Cho hình chóp S.ABC có AB = 12 cm; BC = 20 cm; CA = 28 cm; Các cạnh SA;AB;AC hợp với đáy góc 450 Tính thể tích hình chóp Bài Tính thể tích tứ diện cạnh a Bài Cho hình chóp S.ABC có hai mặt ABC và SBC là các tam giác cạnh a và nằm hai mặt phẳng vuông góc với Tính thể tích hình chóp Bài Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ AB; SA ⊥ BC; BC ⊥ AB; BA = a ; BC = a ; SA = a Tính thể tích hình chóp Bài 10 Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên hợp với mạt đáy góc 600 Tính thể tích hình chóp Bài 11 Tính thể tích hình chóp tứ giác S.ABCD cạnh đáy là a, cạnh bên hợp với mặt đáy góc băng 600 Tính thể tích hình chóp Bài 12 Một lăng trụ có đáy là ngũ giác nội tiếp đường tròn có bán kính r và độ cao lăng trụ là r Tính thể tích hình lăng trụ Bài 13.Nếu lăng trụ tam giác có đáy là a và có chiều co là 2a thì thể tích là bao nhiêu? Bài 14 Cho S.ABC có AB = a; góc ASB 600 Bài 15 Cho lăng trụ đứng có SA ⊥ (ABC); SA = a Tam giác SBC có diện tích là S; góc hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) α Tính thể tích hình chóp Bài 17 Cho S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật Hai mặt (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy (ABCD), biết SA = 2a; AB = a; BC = 3a Tính thể tích hình chóp Bài 18 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân A; mặt bên BB’C’C là hình vuông có diện tích là 2a2 Tính thể tích lăng trụ Page 12 Đề cương ôn tập TN THPT – Nguyễn Trung Kiên Lop12.net (13) THPT Đông Hưng Hà Bài 19 Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ CD; IJ là đoạn vuông góc chung AB và CD; biết AB = 5; CD = 7; IJ = 12 Tính thể tích tứ diện Bài 20 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Lấy E; F là trung điểm C’D’ và C’B’ Tính thể tích hình lập phương Bài 21 Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a; CA = BD = b; AD = BC = c Tính thể tích tứ diện Bài 22 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Tính tỷ số thể tích tứ diện ACBB’ và hình hộp Bài 23 Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có các cạnh a AA’ ⊥ (ABC) Tính thể tích hình chóp A’BB’C Bài 24 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi M là trung điểm CD; N là trung điểm A’D’ Tính thể tích MNB’C Bài 25 Cho tứ diện ABCD Gọi M;N là trung điểm CD và BD Gọi V1 ;V2 là thể tích V ADMN và ADCMN Tính tỷ số V2 Bài 26 Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’; mặt phẳng qua A’B’ và trung điểm AB chia lăng trụ làm hai phần Tình tỷ số thể tích hai phần đó Bài 27 Cho hình chóp S.ABC; gọi G là trọng tâm tam giác SBC, mặt phẳng (P) qua G và song V ' ' ' song với (ABC) cắt SA, SB, SC A’; B’; C’ Tìm k = S A B C VS ABC MẶT TRÒN XOAY – KHỐI TRÒN XOAY Mặt trụ: Bài Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh đáy là a, chiều cao 2a Gọi O và O’ là trọng tâm các tam giác ABC và A’B’C’ a Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình trụ tròn xoay tạo thành quay đường gấp khúc OAA’O’ quanh OO’ b Tính tỉ số thể tích lăng trụ và hình trụ nói trên Bài Cắt hình trụ tròn xoay mặt phẳng qua trục ta thiết diện là hình vuông cạnh a a Tính diện tích xung quanh và thể tích khối trụ đó b Một thiết diện song song với trục hình trụ có diện tích nửa thiết diện qua trục Tính khoảng cách từ tâm mặt đáy hình trụ đến thiết diện đó Bài Cho hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O’) bán kính R AB và CD là hai dây cung song song và hai đường tròn (O) và (O’) Mặt phẳng (ABCD) không song song và không chứa OO’ a Chứng minh ABCD là hình chữ nhật b Cho AB = CD = R và góc mp(ABCD) và đáy 300 Tính diện tích xung quanh và thể tích hình trụ nói trên R c Cho OO ' = và ABCD là hình vuông Tính diện tích hình vuông ABCD Bài Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O’) bán kính R Điểm A nằm trên đường tròn (O), điểm B nằm trên đường tròn (O’) cho OA ⊥ OB, chiều cao hình trụ là R Chứng minh tứ diện OABO’ có các mặt là các tam giác vuông Tính tỉ số thể tích tứ diện OABO’ và hình trụ đã cho Mặt nón: Bài Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a, góc hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) 600 Tính diện tích xung quanh hình nón đỉnh S và đáy là đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD Bài Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác có cạnh 2a Page 13 Đề cương ôn tập TN THPT – Nguyễn Trung Kiên Lop12.net (14) THPT Đông Hưng Hà a Tính diện tích xung quanh hình nón và thể tích khối nón giới hạn hình nón đó b Mặt phẳng (P) qua đỉnh khối nón và cắt khối nón theo thiết diện là tam giác, biết khoảng cách từ tâm đáy khối nón đến (P) là a/2 Tính diện tích thiết diện đó = 300 , SB = a Quay tam giác SAB quanh trục SA, Bài Cho tam giác SAB vuông A, SBA đường gấp khúc SBA tạo thành hình nón a Tính diện tích toàn phần và thể tích hình nón a2 b Một mặt phẳng qua S cắt hình nón theo thiết diện là tam giác có diện tích là Tính góc hợp thiết diện và đáy hình nón Mặt cầu: Bài Cho tam giác ABC có cạnh 2a ngoại tiếp đường tròn (I), M là trung điểm BC Khi quay tam giác ABC quanh trục là đường thẳng AM thì đường gấp khúc ABM tạo thành hình nón tròn xoay, đường tròn (I) tạo thành mặt cầu a Tính diện tích xung quanh hình nón và diện tích mặt cầu nói trên b Tính tỉ số thể tích khối nón và khối cầu tạo hình nón và mặt cầu nói trên Bài Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), SA = a , tam giác ABC vuông B có BC = a ACB = 600 Tính thể tích khối chóp và diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC và Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, mặt bên tạo với đáy góc 600 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho và thể tích khối cầu tương ứng (Tham khảo bài 2/98/HD_OTTNTHPT ) Bài Cho mặt cầu tâm O bán kính R, hình trụ có hai đường tròn đáy nằm trên mặt cầu nói trên Gọi a là khoảng cách từ O đến đáy hình trụ Tính thể tích khối trụ giới hạn hình trụ nêu trên theo R và a Tìm a để diện tích xung quanh hình trụ đạt giá trị lớn BÀI TẬP THAM KHẢO VỀ THỂ TÍCH Bài 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC đỉnh S, đáy ABC là tam giác cạnh a Gọi M, N là trung điểm các cạnh SB, SC Tính theo a diện tích tam giác AMN biết (AMN) và (SBC) vuông góc Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA ⊥ (ABCD) Gọi H, K là hình chiếu vuông góc A trên SB, SD Biết AB = a, SA = a tính thể tích khối chóp OAHK Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân A, trung tuyến AD = a Hai mặt bên (SAB) và (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Cạnh bên SB tạo với đáy góc 600 và hợp với mặt phẳng (SAD) góc 450 Tính thể tích khối chóp S.ABC và khối chóp S.ABD Tính khoảng cách từ A đến (SBC) Page 14 Đề cương ôn tập TN THPT – Nguyễn Trung Kiên Lop12.net (15) THPT Đông Hưng Hà PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Phương trình mặt phẳng: Bài 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A(2;1;-1), B(-1;0;-4), C(0;-2;-1) Viết phương trình mặt phẳng qua điểm A, B, C Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với BC Bài 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm A(2;1;-1) và B(-1;3;-5) Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB Bài 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng chứa trục Ox và qua điểm P(4;-1;2) Bài 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng (P): 3x – 4y + = và qua điểm A(3; 2; -1) Bài 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 3x − y + z − = Viết phương trình mặt phẳng chứa Oy và vuông góc với mặt phẳng (P) Bài 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): x − y + z − = và hai điểm A(1;2;-3), B(5;-1;0) Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng (P) Bài 7: Xét vị trí tương đối các mặt phẳng sau: x − y + z + = và x − y + z + = 2 x + y − z + = và x + y − z + = Bài 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng (P): mx − y + 3z − = và (Q): x + ny − z + = Tìm m và n để (P)//(Q) Khi đó tính khoảng cách (P) và (Q) Bài 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S): x + y + z − x + y + z − = và mặt phẳng (P): 3x − y + = Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với (S) và song song với (P) Bài 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S): x + y + z − x − y − z = Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với (S) O(0;0;0) Bài 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): x − y + z − = và điểm I(2;0;-1) Viết phương trình mặt phẳng đối xứng với (P) qua I Bài 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(5;0;0) và M(1;1;1) Viết phương trình mặt phẳng qua M và cắt Ox điểm A, cắt Oy điểm B, cắt Oz điểm C cho tam giác ABC có diện tích (đvdt) Phương trình đường thẳng: Bài 1: Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc (nếu có) đường thẳng a: Đi qua hai điểm A(1;2;5) và B(2;3;7) Đi qua điểm A(-2;1;3) và có vectơ phương u = ( 3; −2; ) Đi qua điểm A(-1;0;2) và vuông góc với mặt phẳng (P): 3x − y + z − = Bài 2: Xét vị trí tương đối hai đường thẳng sau: x = − 2t x = + 3t ' d1 : y = + t và d : y = −1 − 2t ' z = −2 + 2t z = + 4t ' x −1 y − z + x +1 y − z − d1 : = = và d : = = −2 −3 Bài 3: Cho hai mặt phẳng (P): x − y + z − = và (Q): x + y − z − = Chứng minh (P) và (Q) cắt Viết phương trình đường giao tuyến chung (P) và (Q) Bài 4: Cho điểm M(2;-1;2) và hai mặt phẳng (P): x − y + z − = và (Q): x + y − z + = Chứng minh (P) và (Q) chéo Viết phương trình đường thẳng qua M và song song với hai mặt phẳng (P) và (Q) Page 15 Đề cương ôn tập TN THPT – Nguyễn Trung Kiên Lop12.net (16) THPT Đông Hưng Hà Bài 5: Cho điểm M(2;-1;0) và mặt phẳng (P): x − y + z + = Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc M trên mặt phẳng (P) x = −2 − 2t Bài 6: Cho điểm M(0;-1;0) và đường thẳng (d): y = −3 + t Tìm hình chiếu M trên (d) z = 1+ t x = − 2t Bài 7: Viết phương trình mặt phẳng qua đường thẳng (d): y = + 2t và vuông góc với mặt z = −2 + t phẳng (P): x − y + z + = Bài 8: Viết phương trình đường thẳng (∆) là hình chiếu vuông góc đường thẳng (d): x = −1 + t y = − 2t trên mặt phẳng (P): x − y + z − = z = + 4t x = 2t x = + 2s Bài 9: Cho hai đường thẳng d1 : y = − t và d : y = + s z = −2 + t z = Chứng minh hai đường thẳng trên chéo Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (P): x + y − z = và cắt hai đường thẳng trên x − y + z +1 và điểm M(1;0;-1) Viết phương trình mặt Bài 10: Cho đường thẳng (d): = = −1 phẳng (M, d) Bài 11: Viết phương trình đường thẳng qua A(1;2;3), cắt và vuông góc với đường thẳng x = + 2t d : y = − 3t z = t Bài 12: Viết phương trình đường thẳng qua A(2;0;1), song song với (P): x − y + z + = và x = 1+ t cắt đường thẳng (d): y = − t z = t Bài tập tổng hợp: Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): x + y − z = Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua O và song song với (P) Viết phương trình tham số đường thẳng (∆) qua O và vuông góc với (P) Tính khoảng cách từ điểm A(1;2;3) đến (P) Bài 2: Trong không gian Oxyz cho điểm A(-2;0;1), B(0;10;3), C(2;0;-1) và D(5;3;-1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A, B, C Viết phương trình đường thẳng qua D và vuông góc với mặt phẳng (P) Viết phương trình mặt cầu tâm D và tiếp xúc với (P) Bài 3: Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;0;0), B(0;-2;0) và C(0;0;3) Xác định tọa độ điểm D cho ABCD là hình bình hành Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A, B, C Page 16 Đề cương ôn tập TN THPT – Nguyễn Trung Kiên Lop12.net (17) THPT Đông Hưng Hà Hãy lấy điểm M ∈ (P) và khác A, B, C Viết phương trình đường thẳng qua M và vuông góc với (P) Bài 4: Trong không gian với hệ trục Oxyz cho điểm A(3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), D(-1;1;2) Chứng minh ABCD là tứ diện Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCD) Tìm tọa độ tiếp điểm chúng Bài 5: Trong không gian Oxyz cho điểm I(1;2;3) và mặt phẳng (P): x − y − z − = Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với (P) Tìm tọa độ tiếp điểm chúng Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(2;0;0), B(0;4;0), C(0;0;4) Viết phương trình mặt cầu qua điểm O, A, B, C Tìm tọa độ tâm I và bán kính mặt cầu Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Viết phương trình tham số đường thẳng qua I và vuông góc với mặt phẳng (ABC) Bài 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(0;0;1), B(-1;0;2) và C(3;1;0) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với BC Tìm tọa độ giao điểm mặt phẳng (P) với đường thẳng BC Bài 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình hộp chữ nhật có các đỉnh là A(3;0;0), B(0;4;0), C(0;0;5), O(0;0;0) và đỉnh D là đỉnh đối diện đỉnh O Tìm tọa độ đỉnh D và viết phương trình mặt phẳng (ABD) Viết phương trình đường thẳng (d) qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABD) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (ABD) Bài 9: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): x − y + z − = và mặt cầu (S): x + y + z + 3x + y − z + = Tìm tọa độ tâm I và bán kính mặt cầu (S) Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn (C) Hãy xác định tâm và bán kính r đường tròn 1 1 Bài 10: Trong không gian Oxyz cho A(1;0;0), B(1;1;1) và C ; ; 3 3 Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với OC C Chứng minh O, B, C thẳng hàng Viết phương trình mặt cầu (S) tâm B bán kính r = Xét VTTĐ (S) và (P) Viết phương trình đường thẳng (d) là hình chiếu vuông góc đường thẳng AB trên mặt phẳng (P) x = 1− t Bài 11: Cho A(1;4;2), B(-1;2;4) và đường thẳng ∆ : y = −2 + t Gọi G là trọng tâm ∆ABO z = 2t Lập phương trình đường thẳng (d) qua G và vuông góc với mặt phẳng (ABO) Tìm điểm M thuộc ∆ cho MA2 + MB nhỏ x = + 2t x = 1− t ' Bài 12: Cho điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng d1 : y = −2 − t và d : y = + 2t ' z = + t z = −1 + t ' Tìm điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng d1 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A vuông góc với d1 và cắt d2 Page 17 Đề cương ôn tập TN THPT – Nguyễn Trung Kiên Lop12.net (18) THPT Đông Hưng Hà x = 1− t Bài 13: Cho mặt phẳng (P): x + y − z + = và đường thẳng d : y = −3 + 2t z = + t Tìm tọa độ điểm I thuộc đường thẳng d cho khoảng cách từ I đến (P) 2 Tìm tọa độ giao điểm A d và (P) Viết phương trình đường thẳng nằm (P), qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d Bài 14: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có A(0;-3;0), B(4;0;0), C(0;3;0) và B’(4;0;4) Tìm tọa độ các đỉnh A’ và C’ Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCC’B’) Gọi M là trung điểm A’B’ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A, M và song song với đường thẳng BC’ Gọi N là giao điểm (P) và đường thẳng A’C’ Tính MN x = + 2t x = − t ' Bài 15: Cho hai đường thẳng d: y = − t , d’: y = + t ' , điểm A(1; 1; 2) và mặt phẳng (P) z = −3t z = + 2t ' có phương trình: x - 2y + z - = Chứng minh d và d’ chéo Viết phương trình mặt phẳng qua A và song song với hai đường thẳng d và d’ Chứng minh A nằm trên (P), tìm tọa độ giao điểm B đường thẳng d và (P) Viết phương trình đường thẳng a cắt và vuông góc với hai đường thẳng d và d’ Viết phương trình đường thẳng d1 là hình chiếu vuông góc đường thẳng d trên (P) Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trên (P), ∆ song song với d1 và cách d1 khoảng 83 Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua điểm D(2; -7; -15), (Q) vuông góc với (P) và cách hai điểm A, B Page 18 Đề cương ôn tập TN THPT – Nguyễn Trung Kiên Lop12.net (19)