Đề thi thử đại học môn Toán - Số 1

Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của đồ thị C đi qua giao điểm của hai tiệm cận của của đồ thị đó... Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau.[r]

Đề 1: ( Biên soạn theo định hướng đề Bộ GD&ĐT năm học 2008 – 2009) Bài 1: 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số y  2x  x 1 2) Chứng minh không có tiếp tuyến nào đồ thị (C) qua giao điểm hai tiệm cận của đồ thị đó    sinx  x  sinx 2   x  x  1  y  x    2) Chứng minh hệ phương trình  y  y  1  z  y  có ba nghiệm phân biệt   z  z  1  x  z  Bài 2: 1) Giải phương trình tan        Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 4x 3y +11z – 26 = và hai đường thẳng (d1): x y  z 1 x4 y z 3     ; (d2): 1 1 1) Chứng minh (d1) và (d2) chéo 2) Viết phương trình đường thẳng () nằm trên (P), đồng thời cắt (d1) và (d2)  Bài 4: 1) Tính tích phân: I  sinx 0 2cos2 x  sin x dx 2) Tính đạo hàm cấp n hàm số y = f(x) = cos(3x  2) Bài 5: Với số thực dương a; b; c thõa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  a3 1  a  Bài 6: 1) Giải bất phương trình: log x  log x   b3 1  b   c3 1  c   x  2x 1 2) Tìm m để phương trình    m  m  có nghiệm 3 25 Bài 7: 1) Tính gọn biểu thức S = 1  i  2) CMR, k,n  Z thõa mãn  k  n ta luôn có: Cnk  3Cnk 1  2Cnk 2  Cnk3  Cnk 3  Cnk 2 Bài 8: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác cạnh a, cạnh bên A'A = A'B=A'C = a Chứng minhBB'C'C là hình chữ nhật và tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' -Hết - HƯỚNG DẪN GIẢI Lop12.net Bài 1: 2x  (Các bước khảo sát HS tự thực hiện) x 1 TCĐ: x = 1; TCN: y = 2; y '   0, x  1  x  1 1) y  BBT: x  - y’ y  + + - 2  2) Phương trình tiếp tuyến (C) điểm M(x0; y0)(C) y  x0  1 x 2x 02  8x   x0  1 với x0 ≠ 1 (1) Giao điểm hai tiệm cận là: I(1; 2) Thay tọa độ I vào phương trình (1) ta được: 2  x0  1 1   2x 02  8x   x0  1 12x  12 (VN) Kết luận không có tiếp tuyến nào (C)   x0  1 qua giao điểm I hai tiệm cận    sinx (2) Điều kiện: sinx ≠  x  sinx 2  Bài 2: 1) Giải phương trình tan  Ta có: (2)  cot x   sin x  cos x  sinx 1  sinx    sin x  sinx 1  sinx   sinx sinx  1   5    l 2  , k , l  Z 1  sinx 1  2sinx       x    k 2  x   l 2  x  6 sinx      x3  x  2x  y   2) Hệ phương trình viết lại  y  y  y  z  (3)  3 z  z  2z  2x  Nhận xét: Vai trò x, y, z là bình đẳng hệ và vế phương trình hệ Đặt: f(t) = t3 +t2+2t và g(t) = 2t3 + với t  R  f ( x)  g ( y )  Hệ phương trình viết lại:  f ( y )  g ( z )  f ( z )  g ( x)  Ta có: f   t   3t  2t   0, t  R và g   t   6t  0, t  R Do đó f(t), g(t) là các hàm số liên tục và đồng biến trên R Không tính tổng quát, gọi x = Max{x,y,z}, ta có đánh giá sau: x  y  f ( x)  f ( y )  g ( y )  g ( z )  y  z  f ( y )  f ( z )  g ( z )  g ( x)  z  x Lop12.net x  y  z Suy x = y = z Vậy hệ (3) tương đương:   x  x  2x   Xét hàm số h(x) = x3  x2 2x + liên tục trên [2; 2] R, ta có: h(2)=7; h(0) = 1; h(1) = 1; h(2) = Áp dụng tính chất hàm liên tục  > h(x) = có đúng ba nghiệm phân biệt (do h(x) bậc 3)  > (đpcm) Bài 3: 1) Ta có:   * M(0; 3;  1) (d1) ; N(4; 0; 3) (d2)  MN  4; 3;4       u * VTCP (d2) là u2  1;1;2  và VTCP (d1) là u1   1;2;3  , u2   1;5; 3      * Xét  u1 , u2  MN   15  12  23   (d1) và (d2) chéo   2) Nhận xét: Vì  nằm trên (P) và cắt d1, d2 nên  qua giao điểm d1, d2 với (P)  x y  z 1    Tọa độ giao điểm A d1 và (P) là nghiệm hệ:  1  A (2; 7; 5) 4x  3y  11z  26   x  y z     Tọa độ giao điểm B d2 và (P) là nghiệm hệ:   B( 3; 1; 1) 4x  3y  11z  26   Phương trình đường thẳng : x2 y7 z5   8 4 Bài 4:   d  cosx  sinx 1) Ta có I   dx  0 3cos2 x  2cos x  sin x Đặt t = sinx  dt = cosx.dx, x =  t = 0; x = I 2  I= dt  2  3t  ln 2   1     dt  3t    3t  3t   ln 3t   2    t 2        d 3t  d 3t     3t  3t    ln      2) Tính đạo hàm cấp n hàm số y = f(x) = cos(3x  2) ( dùng quy nạp để chứng minh)       f (x)  3sin  3x-2   3cos  3x    ; f (x)  32 sin  3x-2+   32 cos  3x    2 2 2          Giả sử, f (k) (x)  3k cos  3x   k   f (k 1) (x)  3k 1 sin  3x   k   3k 1 cos  3x    k  1  2 2 2      2 Kết luận: f (n) (x)  3n cos  3x   n  , n  N*  Bài 5: Với số thực dương a; b; c thõa mãn điều kiện a + b + c = Lop12.net Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  Áp dụng BĐT Couchy ta có: 8a3  b  c a3 1  a   b3 1  b    b  c    b  c   6a   c3 1  c  a3  b  c 2  6a  2b  2c Dấu " = " xảy  2a = b + c Tương tự: b3  c  a Suy ra: P  6b  2c  2a c3 6c  2a  2b  ;  8 a  b abc 1  Dấu xảy  a = b = c = 4 Kết luận: minP = Bài 6:  (4) Điều kiện: < x ≠ Đặt t = log2 x  t  t  1 1 t 0   log2 x         Bất phương trình (4)  2t log2 x 2 t 2 t   1) Giải bất phương trình: log x  log x     t t  t    log2 x  log2 2  t  2 0x        t  log  log x  log  t  2  1  x  1 2) Tìm m để phương trình   3 1 Ta có :   3 x  2x  m  m  có nghiệm x2 2 x  m  m  (1)  x  x  log (m  m  1)  y1  x  x ;  x   y1/   x;  x  /  y  / Xét hàm số: y  x  x   y  x  x ; x  hay x    y2  x  2, x  hay x   y1/   x   [0; 2] 2  y2/   x  (; 0]  [2;  ) lim y2    Bảng biến thiên: x - x  y + + - y - - + y - + - / / / + + y  + Từ bảng biến thiên ta suy ra: (1) có nghiệm   log1/3 (m  m  1)    m2  m    1  m  Lop12.net Kết luận : giá trị m cần tìm: -1 < m < Bài 7: 1) Tính gọn biểu thức S = 1  i  25 Ta có: S = 1  i  25  1  i  1  i    2i  24 12 1  i   212 1  i  2) CMR, k,n  Z thõa mãn  k  n ta luôn có: Cnk  3Cnk 1  2Cnk 2  Cnk3  Cnk 3  Cnk 2 Ta có: Cnk  3Cnk 1  2Cnk 2  Cnk3  Cnk 3  Cnk 2  Cnk  3Cnk 1  3Cnk 2  Cnk 3  Cnk3    (5)   VT(5)  Cnk  Cnk 1  Cnk 1  Cnk 2  Cnk 2  Cnk 3  Cnk1  2Cnk11  Cnk12  Cnk1  Cnk11  Cnk11  Cnk12  = Cnk  Cnk12  Cnk3 ( điều phải chứng minh) Bài 8: Gọi O là tâm tam giác ABC  OA = OB = OC Còn có A'A =A'B =A'C  A'O là trục đường tròn ngoại tiếp ABC  A'O (ABC)  AO là hình chiếu vuông góc AA' lên (ABC); mà AO BC  AA' BC  BB'BC , đó BB'C'C là hình chữ nhật Vì A'O (ABC)  A'O CO Trong A'OC vuông O,ta có: A 'O2  A 'C2  CO2  A 'O  a Vậy thể tích V khối lăng trụ là: a3 (đvtt) V  SABC A 'O  - Hết - Lop12.net