MỘT PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIẤ TRỊ LỚN NHẤT Trong bài viết này, tôi đề cập đến một dạng toán tìm giá trị lớn nhất GTLN và giá trị nhỏ nhất GTNN của một biểu thức nhiều ẩn, t[r]
(1)MỘT PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIẤ TRỊ LỚN NHẤT Trong bài viết này, tôi đề cập đến dạng toán tìm giá trị lớn (GTLN) và giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức nhiều ẩn, đó các ẩn là nghiệm phương trình bất phương trình cho trước Đối với dạng toán này, ta cần xác định và giải bất phương trình ẩn mà ẩn đó là biểu thức cần tìm GTLN, GTNN Bài toán : Tìm GTLN và GTNN xy biết x và y là nghiệm phương trình x4 + y4 - = xy(1 - 2xy) Lời giải : Ta có x4 + y4 - = xy(1 - 2xy) <=> xy + = x4 + y4 + 2x2y2 <=> xy + = (x2 + y2)2 (1) Do (x2 - y2)2 ≥ với x, y, dễ dàng suy (x2 + y2)2 ≥ 4(xy)2 với x, y (2) Từ (1) và (2) ta có : xy + ≥ 4(xy)2 <=> 4t2 - t - ≤ (với t = xy) <=> (t - 1)(4t + 3) ≤ Vậy : t = xy đạt GTLN <=> x = y = ; t = xy đạt GTNN Bài toán : Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn xyz ≥ x + y + z + Tìm GTNN x + y + z Lời giải : áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương x, y, z ta có : Vậy t = x + y + z đạt GTNN và x = y = z = Bài toán : Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x2 + 2y2 + 2x2z2 + y2z2 + 3x2y2z2 = Tìm GTLN và GTNN A = xyz Lời giải : x2 + 2y2 + 2x2z2 + y2z2 + 3x2y2z2 = Lop12.net (2) <=> (x2 + y2z2) + 2(y2 + x2z2) + 3x2y2z2 = (1) áp dụng bất đẳng thức m2 + n2 ≥ 2|mn| với m, n ta có : x2 + y2z2 ≥ 2|xyz| ; y2 + x2z2 ≥ 2|xyz| (2) Từ (1) và (2) suy : 2|xyz| + 4|xyz| + 3(xyz)2 ≤ <=> 3A2 + 6|A| - ≤ <=> A2 + 2|A| - ≤ <=> (|A| - 1)(|A| + 3) ≤ <=> |A| ≤ <=> -1 ≤ A ≤ Vậy : A đạt GTLN A đạt GTNN -1 Bài toán : Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x4 + y4 + x2 - = 2y2(1 - x2) Tìm GTLN và GTNN x2 + y2 Lời giải : Ta có x4 + y4 + x2 - = 2y2(1 - x2) <=> (x2 + y2)2 - 2(x2 + y2) - = -3x2 ≤ => t2 - 2t - ≤ (với t = x2 + y2 ≥ 0) => (t + 1)(t - 3) ≤ => t ≤ Vậy t = x2 + y2 đạt GTLN và x = ; Ta lại có x4 + y4 + x2 - = 2y2(1 - x2) <=> (x2 + y2)2 + x2 + y2 - = 3y2 ≥ => t2 + t - ≥ (với t = x2 + y2 ≥ 0) Vậy t = x2 + y2 đạt GTNN và y = ; Bài tập tương tự 1) Cho x, y, z thỏa mãn : 2xyz + xy + yz + zx ≤ Tìm GTLN xyz Lop12.net (3) Đáp số : 1/8(x = y = z = 1/2) 2) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn : (x + y + z)3 + x2 + y2 + z2 + = 29xyz Tìm GTNN xyz Đáp số : (x = y = z = 2) 3) Tìm GTLN và GTNN S = x2 + y2 biết x và y là nghiệm phương trình : 5x2 + 8xy + 5y2 = 36 Đáp số : GTLN là 36 GTNN là 4) Cho x và y là các số thực thỏa mãn : Tìm GTLN x2 + y2 Đáp số : (x = -1 ; y = 0) 5) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn : x2 + 4y2 + z2 = 4xy + 5x - 10y +2z - Tìm GTLN và GTNN x - 2y Đáp số : GTLN là (x = 2y + ; y Є R ; z = 1) ; GTNN là (x = 2y + ; y Є R ; z = 1) 6) Tìm các số nguyên không âm x, y, z, t để M = x2 + y2 + 2z2 + t2 đạt GTNN, biết : Đáp số : x = ; y = ; z = ; t = Khi đó M đạt giá trị nhỏ là 61 MỘT HẰNG ĐẲNG THỨC THÚ VỊ Với số thực a, b, c, ta có : (a + b)(a + c) = a2 + (ab + bc + ca) = a(a + b + c) + bc (*) Với tôi, (*) là đẳng thức thú vị Trước hết, từ (*) ta có : Hệ : Nếu ab + bc + ca = thì a2 + = (a + b)(a + c) Hệ : Nếu a + b + c = thì a + bc = (a + b)(a + c) Bây giờ, chúng ta đến với vài ứng dụng (*) và hai hệ trên Bài toán : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = Hãy tính giá trị biểu thức : Lop12.net (4) Lời giải : Theo hệ ta có a2 + = a2 + (ab + bc + ca) = (a + b)(a + c) ; b2 + = b2 + (ab + bc + ca) = (b + a)(b + c) ; c2 + = c2 + (ab + bc + ca) = (c + a)(c + b) Suy Vì A = a(b + c) + b(c + a) + c(a + b) = 2(ab + bc + ca) = Vấn đề khó ta hướng tới việc đánh giá các biểu thức Bài toán : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn (a +b)(a +c) = Chứng minh : Lời giải : a) Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương a(a + b + c) ; bc : = (a + b)( a + c) = a(a + b + c) + bc ≥ b) Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương a2 ; (ab + bc + ca)/2 ; (ab + bc + ca)/2 = (a + b)( a + c) = a2 + (ab + bc + ca) = Lop12.net (5) Bài toán : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = Chứng minh : Lời giải : Theo hệ ta có Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương a2 + ab ; a2 + ac : Tương tự ta có Từ các kết trên ta suy : Bài toán sau đây nguyên là đề thi Châu á - Thái Bình Dương năm 2002 đã viết lại cho đơn giản (thay (1/x ; 1/y ; 1/z) (a ; b ; c)) Bài toán : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh : Lời giải : Theo hệ và bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski ta có Lop12.net (6) Tương tự ta có Từ các kết trên ta suy : Để kết thúc, xin các bạn làm thêm số bài tập : Bài tập : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Hãy tính giá trị biểu thức : Bài tập : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = Chứng minh : Bài tập : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh : (a + bc)(b + ca)(c + ab) ≥ 64/81(ab + bc + ca)2 LÀM QUEN VỚI BẤT ĐẲNG THỨC TRÊ-BƯ-SEP Các bạn đã làm quen với các bất đẳng thức Cô si, Bunhiacôpski không ít bạn còn chưa biết bất đẳng thức Trê - bư - sép Con đường đến bất đẳng thức này thật là giản dị, quá gần gũi với kiến thức các bạn bậc THCS Các bạn có thể thấy : Nếu a1 ≤ a2 và b1 ≤ b2 thì (a2 - a1) (b2 - b1) ≥ Khai triển vế trái bất đẳng thức này ta có : a1b1 + a2b2 - a1b2 - a2b1 ≥ => : a1b1 + a2b2 ≥ a1b2 + a2b1 Nếu cộng thêm a1b1 + a2b2 vào hai vế ta : (a1b1 + a2b2) ≥ a1 (b1 + b2) + a2 (b1 + b2) => : (a1b1 + a2b2) ≥ (a1 + a2) (b1 + b2) (*) Bất đẳng thức (*) chính là bất đẳng thức Trê - bư - sép với n = Nếu thay đổi giả thiết, cho a1 ≤ a2 và b1 ≥ b2 thì tất các bất đẳng thức trên cùng đổi chiều và ta có : (a1b1 + a2b2) ≤ (a1 + a2) (b1 + b2) (**) Lop12.net (7) Các bất đẳng thức (*) và (**) trở thành đẳng thức và a1 = a2 b1 = b2 Làm theo đường tới (*) (**), các bạn có thể giải nhiều bài toán thú vị Bài toán : Biết x + y = Chứng minh x2003 + y2003 ≤ x2004 + y2004 Lời giải : Do vai trò bình đẳng x và y nên có thể giả sử x ≤ y Từ đó => : x2003 ≤ y2003 Do đó (y2003 - x2003).(y - x) ≥ => : x2004 + y2004 ≥ x.y2003 + y.x2003 Cộng thêm x2004 + y2004 vào hai vế ta có : 2.(x2004 + y2004) ≥ (x+y) (x2003 + y2003) = 2.(x2003 + y2003) => : x2004 + y2004 ≥ x2003 + y2003 (đpcm) Để ý : Bất đẳng thức vừa chứng minh trở thành đẳng thức và x = y = ; các bạn có lời giải các bài toán sau : Bài toán : Giải hệ phương trình : Nếu các bạn quan tâm tới các yếu tố tam giác thì vận dụng các bất đẳng thức (*) (**) dẫn đến nhiều bài toán Bài toán : Cho tam giác ABC có diện tích AH và BK là các đường cao tam giác Chứng minh : (BC + CA).(AH + BK) ≥ Lời giải : Ta có AH x BC = BK x CA = Do vai trò bình đẳng BC và CA nên có thể giả sử BC ≤ CA => 2/BC ≥ 2/CA => AH ≥ BK Do đó (CA - BC).(BK - AH) ≤ => : CA x BK + BC x AH ≤ BC x BK + CA x AH Cộng thêm CA x BK + BC x AH vào vế ta có : 2.(CA x BK + BC x AH) ≤ (BC + CA) (AH + BK) => : (BC + CA).(AH + BK) ≥ Đẳng thức xảy và BC = CA BK = AH tương đương với BC = CA hay tam giác ABC là tam giác cân đỉnh C Bài toán : Cho tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c và các đường cao tương ứng các cạnh này có độ dài là ha, hb, hc Chứng minh : với S là diện tích tam giác ABC Lời giải : Do vai trò bình đẳng các cạnh tam giác nên có thể giả sử a ≤ b ≤ c => : 2S/a ≥ 2S/b ≥ 2S/c => ≥ hb ≥ hc Làm lời giải bài toán ta có : (a + b).(ha + hb) ≥ 8S Lop12.net (8) => : 1/(ha + hb) ≤ (a + b)/(8S) (1) Tương tự ta : 1/(hb + hb) ≤ (b + c)/(8S) (2) 1/(hc + ha) ≤ (c + a)/(8S) (3) Cộng vế (1), (2), (3) dẫn đến : Bất đẳng thức (4) trở thành đẳng thức và các bất đẳng thức (1), (2), (3) đồng thời trở thành đẳng thức tương đương với a = b = c hay tam giác ABC là tam giác Bây các bạn thử giải các bài tập sau đây : 1) Biết x2 + y2 = Tìm giá trị lớn F = (x4 + y4) / (x6 + y6) 2) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = Chứng minh : 3) Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c và độ dài các đường phân giác thuộc các cạnh này là la, lb, lc Chứng minh : 4) Hãy dự đoán và chứng minh bất đẳng thức Trê - bư - sép với n = Từ đó hãy sáng tạo các bài toán Nếu bạn thấy thú vị với khám phá mình bài tập này, hãy gửi gấp bài viết cho chuyên mục EUREKA TTT2 PHƯƠNG PHÁP HOÁN VỊ VÒNG QUANH Phân tích thành nhân tử là kĩ chương trình đại số bậc THCS Kĩ này sử dụng giải các bài toán : biến đổi đồng các biểu thức toán học, giải phương trình, chứng minh bất đẳng thức và giải các bài toán cực trị Sách giáo khoa lớp đã giới thiệu nhiều phương pháp phân tích thành nhân tử Sau đây tôi xin nêu phương pháp thường sử dụng, dựa vào việc kết hợp các phương pháp quen thuộc đặt nhân tử chung, nhóm số hạng, đẳng thức Phương pháp này dựa vào số nhận xét sau đây : 1/ Giả sử phải phân tích biểu thức F(a, b, c) thành nhân tử, đó a, b, c có vai trò biểu thức đó Nếu F(a, b, c) = a = b thì F(a, b, c) chứa các nhân tử a - b, b - c và c - a Bài toán : Phân tích thành nhân tử : F(a, b, c) = a2(b - c) + b2(c - a) + c2(a - b) Nhận xét : Khi a = b ta có : F(a, b, c) = a2(a - c) + a2(c - a) = 0, đó F(a, b, c) có chứa nhân tử a - b Lop12.net (9) Tương tự F(a, b, c) chứa các nhân tử b - c, c - a Vì F(a, b, c) là biểu thức bậc ba, đó F(a, b, c) = k.(a - b)(b - c)(c - a) Cho a = 1, b = 0, c = -1 ta có : + = k.1.1.(-2) => k = -1 Vậy : F(a, b, c) = -(a - b)(b - c)(c - a) Bài toán : Phân tích thành nhân tử : F(a, b, c) = a3(b - c) + b3(c - a) + c3(a - b) Nhận xét : Tương tự bài toán 1, ta thấy F(a, b, c) phải chứa các nhân tử a - b, b - c, c - a Nhưng đây F(a, b, c) là biểu thức bậc bốn, đó (a - b)(b - c)(c - a) bậc ba, vì F(a, b, c) phải có thừa số bậc a, b, c Do vai trò a, b, c nên thừa số này có dạng k(a + b + c) Do đó : F(a, b, c) = k(a - b)(b - c)(c - a)(a + b + c) Cho a = ; b = ; c = => k = -1 Vậy : F(a, b, c) = -(a - b)(b - c)(c - a)(a + b + c) 2/ Trong số bài toán, F(a, b, c) là biểu thức đối xứng a, b, c F(a, b, c) ≠ a = b thì ta thử xem a = -b, F(a, b, c) có triệt tiêu không, thỏa mãn thì F(a, b, c) chứa nhân tử a + b, và từ đó chứa các nhân tử b + c, c + a Bài toán : Chứng minh : Nếu : 1/x + 1/y + 1/z = 1/(x + y + z) thì 1/xn + 1/yn + 1/zn = 1/(xn + yn + zn) với số nguyên lẻ n Nhận xét : Từ giả thiết 1/x + 1/y + 1/z = 1/(x + y + z) => : (xy + xz + yz)(x + y + z) - xyz = (*) Do đó ta thử phân tích biểu thức F(x, y, z) = (xy + xz + yz)(x + y + z) - xyz thành nhân tử Chú ý x = - y thì F(x, y, z) = - y2z + y2z = nên F(x, y, z) chứa nhân tử x + y Lập luận tương tự bài toán 1, ta có F(x, y, z) = (x + y)(y + z)(x + z) Do đó (*) trở thành : (x + y)(y + z)(x + z) = Tương đương với : x + y = y + z = z + x = Nếu x + y = chẳng hạn thì x = - y và n lẻ nên xn = (-y)n = -yn Vậy : 1/xn + 1/yn + 1/zn = 1/(xn + yn + zn) Tương tự cho các trường hợp còn lại, ta có đpcm Có ta phải linh hoạt tình mà hai nguyên tắc trên không thỏa mãn : Bài toán : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : F(x, y, z) = x3 + y3 + z3 - 3xyz Nhận xét : Ta thấy x = y hay x = -y thì F(x, y, z) ≠ Nhưng thay x = -(y + z) thì F(x, y, z) = nên F(x, y, z) có nhân tử x + y + z Chia Lop12.net (10) F(x, y, z) cho x + y + z, ta thương x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx và dư là Do đó : F(x, y, z) = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx) Ta có thể thêm bớt vào F(x, y, z) lượng 3x2y + 3xy2 để nhân kết này Các bạn hãy dùng các phương pháp và kết nêu trên để giải các bài tập sau đây Bài toán : Tính tổng : đó k = 1, 2, 3, Bài toán : Chứng minh (a - b)5 + (b - c)5 + (c - a)5 chia hết cho 5(a b)(b - c)(c - a) TS Lê Quốc Hán (ĐH Vinh) MỘT PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM ĐỘC ĐÁO Bằng kiến thức hình học lớp ta có thể giải các phương trình bậc hai ẩn không ? Câu trả lời là trường hợp tổng quát thì không được, nhiều trường hợp ta có thể tìm nghiệm dương Ví dụ : Tìm nghiệm dương phương trình x2 + 10x = 39 Lời giải : Ta có : x2 + 10x = 39 tương đương x2 + 2.5.x = 39 Từ biến đổi trên, ta hình dung x là cạnh hình vuông thì diện tích hình vuông đó là x2 Kéo dài cạnh hình vuông thêm đơn vị (như hình vẽ), ta dễ thấy : Lop12.net (11) Hình vuông to có độ dài cạnh là x + có diện tích là 64 Do đó : (x + 5)2 = 64 = 82 tương đương x + = hay x = Vậy phương trình có nghiệm dương là x = Phương pháp này đã nhà toán học Italia tiếng Jerôm Cacđanô (1501 - 1576) sử dụng tìm nghiệm dương phương trình x2 + 6x = 31 Các bạn hãy tìm nghiệm dương phương trình x2 - 8x = 33 phương pháp hình học thử xem ? MỘT DẠNG TOÁN VỀ ƯCLN VÀ BCNN Trong chương trình số học lớp 6, sau học các khái niệm ước chung lớn (ƯCLN) và bội chung nhỏ (BCNN), các bạn gặp dạng toán tìm hai số nguyên dương biết số yếu tố đó có các kiện ƯCLN và BCNN Phương pháp chung để giải : 1/ Dựa vào định nghĩa ƯCLN để biểu diễn hai số phải tìm, liên hệ với các yếu tố đã cho để tìm hai số 2/ Trong số trường hợp, có thể sử dụng mối quan hệ đặc biệt ƯCLN, BCNN và tích hai số nguyên dương a, b, đó là : ab = (a, b).[a, b], đó (a, b) là ƯCLN và [a, b] là BCNN a và b Việc chứng minh hệ thức này không khó : Theo định nghĩa ƯCLN, gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = (*) Từ (*) => ab = mnd2 ; [a, b] = mnd => (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd2 = ab => ab = (a, b).[a, b] (**) Chúng ta hãy xét số ví dụ minh họa Lop12.net (12) Bài toán : Tìm hai số nguyên dương a, b biết [a, b] = 240 và (a, b) = 16 Lời giải : Do vai trò a, b là nhau, không tính tổng quát, giả sử a ≤ b Từ (*), (a, b) = 16 nên a = 16m ; b = 16n (m ≤ n a ≤ b) với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = Theo định nghĩa BCNN : [a, b] = mnd = mn.16 = 240 => mn = 15 => m = , n = 15 m = 3, n = => a = 16, b = 240 a = 48, b = 80 Chú ý : Ta có thể áp dụng công thức (**) để giải bài toán này : ab = (a, b).[a, b] => mn.162 = 240.16 suyy mn = 15 Bài toán : Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 216 và (a, b) = Lời giải : Lập luận bài 1, giả sử a ≤ b Do (a, b) = => a = 6m ; b = 6n với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = ; m ≤ n Vì : ab = 6m.6n = 36mn => ab = 216 tương đương mn = tương đương m = 1, n = m = 2, n = tương đương với a = 6, b = 36 hoặcc là a = 12, b = 18 Bài toán : Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 180, [a, b] = 60 Lời giải : Từ (**) => (a, b) = ab/[a, b] = 180/60 = Tìm (a, b) = 3, bài toán đưa dạng bài toán Kết : a = 3, b = 60 a = 12, b = 15 Chú ý : Ta có thể tính (a, b) cách trực tiếp từ định nghĩa ƯCLN, BCNN : Theo (*) ta có ab = mnd2 = 180 ; [a, b] = mnd = 60 => d = (a, b) = Bài toán : Tìm hai số nguyên dương a, b biết a/b = 2,6 và (a, b) = Lời giải : Theo (*), (a, b) = => a = 5m ; b = 5n với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = Vì : a/b = m/n = 2,6 => m/n = 13/5 tương đương với m = 13 và n = hay a = 65 và b = 25 Chú ý : phân số tương ứng với 2,6 phải chọn là phân số tối giản (m, n) = Bài toán : Tìm a, b biết a/b = 4/5 và [a, b] = 140 Lời giải : Đặt (a, b) = d Vì , a/b = 4/5 , mặt khác (4, 5) = nên a = 4d, b = 5d Lưu ý [a, b] = 4.5.d = 20d = 140 => d = => a = 28 ; b = 35 Bài toán : Tìm hai số nguyên dương a, b biết a + b = 128 và (a, b) = 16 Lời giải : Lập luận bài 1, giả sử a ≤ b Ta có : a = 16m ; b = 16n với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = ; m ≤ n Vì : a + b = 128 tương đương 16(m + n) = 128 tương đương m + n = Tương đương với m = 1, n = m = 3, n = hay a = 16, b = 112 a = 48, b = 80 Bài toán : Tìm a, b biết a + b = 42 và [a, b] = 72 Lop12.net (13) Lời giải : Gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = Không tính tổng quát, giả sử a ≤ b => m ≤ n Do đó : a + b = d(m + n) = 42 (1) [a, b] = mnd = 72 (2) => d là ước chung 42 và 72 => d thuộc {1 ; ; ; 6} Lần lượt thay các giá trị d vào (1) và (2) để tính m, n ta thấy có trường hợp d = => m + n = và mn = 12 => m = và n = (thỏa mãn các điều kiện m, n) Vậy d = và a = 3.6 = 18 , b = 4.6 = 24 Bài toán : Tìm a, b biết a - b = 7, [a, b] = 140 Lời giải : Gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = Do đó : a - b = d(m - n) = (1’) [a, b] = mnd = 140 (2’) => d là ước chung và 140 => d thuộc {1 ; 7} Thay các giá trị d vào (1’) và (2’) để tính m, n ta kết : d = => m - n = và mn = 20 => m = 5, n = Vậy d = và a = 5.7 = 35 ; b = 4.7 = 28 Bài tập tự giải : 1/ Tìm hai số a, b biết 7a = 11b và (a, b) = 45 2/ Tìm hai số biết tổng chúng 448, ƯCLN chúng 16 và chúng có các chữ số hàng đơn vị giống 3/ Cho hai số tự nhiên a và b Tìm tất các số tự nhiên c cho ba số, tích hai số luôn chia hết cho số còn lại MỘT SỐ DẠNG TOÁN SỬ DỤNG PHÉP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Sau xem xong tạp chí Toán Tuổi thơ số (tháng năm 2003), tôi tâm đắc với các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử Do đó tôi mạnh dạn trao đổi với bạn đọc vấn đề vận dụng phép phân tích đa thức thành nhân tử vào giải số dạng toán bậc THCS Rút gọn các biểu thức đại số Bài toán : Rút gọn : với ab ≠ Lời giải : Lop12.net (14) Bài toán : Rút gọn : Lời giải : Chứng minh bất đẳng thức Bài toán : Cho ΔABC với góc A ≥ góc B ≥ góc C Chứng minh : Lời giải : Hạ AH vuông góc với BC ; BI vuông góc với AC Ta có AH = ha, BI = hb Dễ thấy tam giác vuông AHC và BIC đồng dạng và chung góc C => ha/hb = AH/BI = b/a áp dụng điều tương tự ta có : Lop12.net (15) Vì góc A ≥ góc B ≥ góc C tương đương với a ≥ b ≥ c nên (**) đúng, tức là (*) chứng minh Giải phương trình và bất phương trình Bài toán : Giải phương trình : 4x3 - 10x2 + 6x - = (1) Lời giải : (1) 4x3 - 2x2 - 8x2 + 4x + 2x - = tương đương 2x2(2x - 1) - 4x(2x - 1) + (2x - 1) = hay (2x - 1)(2x2 - 4x + 1) = Bài toán : Giải phương trình : Lời giải : Ta có : Vậy phương trình (2) có nghiệm là x = Bài toán : Giải bất phương trình : 7x3 - 12x2 - < (3) Lời giải : (3) 7x3 - 14x2 + 2x2 - < tương đương với 7x2(x - 2) + 2(x2 - 4) < hay (x - 2)(7x2 + 2x + 4) < tương đương với (x - 2)[6x2 + + (x + 1)2] < hay x - < => x < Vậy bất phương trình (3) có nghiệm là x < Một số bài toán khác Bài toán : CMR : Lop12.net (16) với a, b ≠ ; a ≠ b ; a, b ≠ 1/2 thì a + b + 3/2 = 1/a + 1/b Lời giải : (*) tương đương : a2b - 2a3b - 2b2 + 4ab2 = b2a - 2ab3 - 2a2 + 4a2b hay : 3ab2 - 3a2b - 2a3b + 2b3a - 2b2 + 2a2 = 3ab(b - a) + 2ab(b2 - a2) - 2(b2 - a2) = (b - a)[3ab + 2ab(b + a) - 2(a + b)] = Vì a ≠ b => b - a ≠ nên hệ thức trên tương đương với : 3ab + 2ab(b + a) 2(a + b) = Do a.b ≠ => 3/2 + a + b - (a + b)/ab = => : a + b + 3/2 = 1/a + 1/b (đpcm) Bài toán : Chứng minh : n2 + 11n + 39 không chia hết cho 49 với "n thuộc N Lời giải : Xét M = n2 + 11n + 39 = n2 + 2n + 9n + 18 + 21 = (n + 2)(n + 9) + 21 Có (n + 9) - (n + 2) = => n + và n + cùng chia hết cho không cùng chia hết cho - Nếu n + và n + cùng chia hết cho thì (n + 9)(n + 2) chia hết cho 49 mà 21 không chia hết cho 49 nên M không chia hết cho 49 - Nếu n + và n + không cùng chia hết cho thì (n + 9)(n + 2) không chia hết cho mà 21 chia hết cho nên M không chia hết cho 49 Vậy n22 + 11n + 39 không chia hết cho 49 Sau đây là số bài tập để các bạn thử vận dụng : Tìm nghiệm tự nhiên phương trình : x6 - x4 + 2x3 + 2x2 = y2 Cho ab ≥ Chứng minh : 1/(1 + a2) + 1/(1 + b2) ≥ 2/(1 + ab) Chứng minh với số nguyên lẻ n thì (n86 - n4 + n2) chia hết cho 1152 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN Trong quá trình giảng dạy và làm toán, tôi đã hệ thống số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên, hi vọng giúp các em học sinh biết lựa chọn phương pháp thích hợp giải bài toán loại này Phương pháp : Đưa dạng tích Biến đổi phương trình dạng : vế trái là tích các đa thức chứa ẩn, vế phải là tích các số nguyên Thí dụ : Tìm nghiệm nguyên phương trình : y3 - x3 = 91 (1) Lop12.net (17) Lời giải : (1) tương đương với (y - x)(x2 + xy + y2) = 91 (*) Vì x2 + xy + y2 > với x, y nên từ (*) => y - x > Mặt khác, 91 = x 91 = x 13 và y - x ; x2 + xy + y2 nguyên dương nên ta có bốn khả sau : y - x = 91 và x2 + xy + y2 = ; (I) y - x = và x2 + xy + y2 = 91 ; (II) y - x = và x2 + xy + y2 = ; (III) y - x = và x2 + xy + y2 = 13 ; (IV) Đến đây, bài toán coi giải Phương pháp : Sắp thứ tự các ẩn Nếu các ẩn x, y, z, có vai trò bình đẳng, ta có thể giả sử x ≤ y ≤ z ≤ để tìm các nghiệm thỏa mãn điều kiện này Từ đó, dùng phép hoán vị để => các nghiệm phương trình đã cho Thí dụ : Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : x + y + z = xyz (2) Lời giải : Do vai trò bình đẳng x, y, z phương trình, trước hết ta xét x ≤ y ≤ z Vì x, y, z nguyên dương nên xyz ≠ 0, x ≤ y ≤ z => xyz = x + y + z ≤ 3z => xy ≤ => xy thuộc {1 ; ; 3} Nếu xy = => x = y = 1, thay vào (2) ta có : + z = z, vô lí Nếu xy = 2, x ≤ y nên x = và y = 2, thay vào (2), => z = Nếu xy = 3, x ≤ y nên x = và y = 3, thay vào (2), => z = Vậy nghiệm nguyên dương phương trình (2) là các hoán vị (1 ; ; 3) Thí dụ : Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : 1/x + 1/y + 1/z = (3) Lời giải : Do vai trò bình đẳng x, y, z, trước hết ta xét x ≤ y ≤ z Ta có : = 1/x + 1/y + 1/z ≤ 3.1/x => x ≤ 3/2 => x = Thay x = vào (3) ta có : 1/y + 1/z + = => = 1/y + 1/z ≤ 2/y => y ≤ => y = => 1/z = (vô lí) y = => 1/z = => z = Vậy nghiệm nguyên dương phương trình (3) là các hoán vị (1 ; ; 2) Phương pháp : Sử dụng tính chất chia hết Phương pháp này sử dụng tính chất chia hết để chứng minh phương trình vô nghiệm tìm nghiệm phương trình Thí dụ : Tìm nghiệm nguyên phương trình : x2 - 2y2 = (4) Lời giải : Từ phương trình (4) ta => x phải là số lẻ Thay x = 2k + (k thuộc Z) vào (4), ta : 4k2 +4k + - 2y2 = Lop12.net (18) tương đương 2(k2 + k - 1) = y2 => y2 là số chẵn => y là số chẵn Đặt y = 2t (t thuộc Z), ta có : 2(k2 + k - 1) = 4t2 tương đương k(k + 1) = 2t2 + (**) Nhận xét : k(k + 1) là số chẵn, 2t2 + là số lẻ => phương trình (**) vô nghiệm Vậy phương trình (4) không có nghiệm nguyên Thí dụ : Chứng minh không tồn các số nguyên x, y, z thỏa mãn : x3 + y3 + z3 = x + y + z + 2000 (5) Lời giải : Ta có x3 - x = (x - 1).x.(x + 1) là tích số nguyên liên tiếp (với x là số nguyên) Do đó : x3 - x chia hết cho Tương tự y3 - y và z3 - z chia hết cho Từ đó ta có : x3 + y3 + z3 - x y - z chia hết cho Vì 2000 không chia hết cho nên x3 + y3 + z3 - x - y - z ≠ 2000 với số nguyên x, y, z tức là phương trình (5) không có nghiệm nguyên Thí dụ : Tìm nghiệm nguyên phương trình : xy + x - 2y = (6) Lời giải : Ta có (6) tương đương y(x - 2) = - x + Vì x = không thỏa mãn phương trình nên (6) tương đương với: y = (-x + 3)/(x - 2) tương đương y = -1 + 1/(x - 2) Ta thấy : y là số nguyên tương đương với x - là ước hay x - = x - = -1 tương đương với x = x = Từ đó ta có nghiệm (x ; y) là (1 ; -2) và (3 ; 0) Chú ý : Có thể dùng phương pháp để giải bài toán này, nhờ đưa phương trình (6) dạng : x(y + 1) - 2(y + 1) = tương đương (x - 2)(y + 1) = Phương pháp : Sử dụng bất đẳng thức Dùng bất đẳng thức để đánh giá ẩn nào đó và từ đánh giá này => các giá trị nguyên ẩn này Thí dụ : Tìm nghiệm nguyên phương trình : x2 - xy + y2 = (7) Lời giải : (7) tương đương với (x - y/2)2 = - 3y2/4 Vì (x - y/2)2 ≥ => - 4y2/4 ≥ => -2 ≤ y ≤ Lần lượt thay y = -2 ; ; -1 ; ; vào phương trình để tính x Ta có các nghiệm nguyên phương trình là : (x ; y) thuộc {(-1 ; -2) ; (1 ; 2) ; (-2 ; -1) ; (2 ; 1) ; (-1 ; 1) ; (1 ; -1)} Chắc chắn còn nhiều phương pháp để giải phương trình nghiệm nguyên và còn nhiều thí dụ hấp dẫn khác Mong các bạn tiếp tục trao đổi vấn đề này Các bạn thử giải số phương trình nghiệm nguyên sau đây : Bài : Giải các phương trình nghiệm nguyên : a) x2 - xy = 23 ; Lop12.net (19) b) 3x - 3y + = ; c) 19x2 + 28y2 =729 ; d) 3x2 + 10xy + 8y2 = 96 Bài : Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn : a) 4xy - 3(x + y) = 59 ; b) 5(xy + yz + zx) = 4xyz ; c) xy/z + yz/x + zx/y = ; d) 1/x + 1/y + 1/z = 1/1995 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH ĐÁNH GIÁ CÁC ẨN Hệ phương trình là dạng toán thường gặp các kì thi học sinh lớp Có nhiều hệ phương trình giải trực tiếp phức tạp, chí không giải Trong số trường hợp vậy, ta có thể tìm cách đánh giá các ẩn ẩn với số, từ đó xác định nghiệm hệ Phương pháp này gọi là “phương pháp đánh giá các ẩn” Đánh giá các ẩn Ví dụ (đề thi vào khối chuyên Toán Tin, ĐHQG Hà Nội năm 1996) : Giải hệ phương trình Lời giải : Điều kiện : x ≥ 1/2 ; y ≤ 1/2 Ta chứng minh x = y Thật : Lop12.net (20) Vậy nghiệm hệ phương trình (thỏa mãn điều kiện) là : x = y = Ví dụ (đề thi vào khối chuyên, ĐHSPHN năm 2004) : Tìm nghiệm dương hệ Lời giải : Ta chứng minh x = y = z Do x, y, z có vai trò nên không tổng quát, giả sử x y và x z (4) Vì x > 0, y > 0, z > nên : Từ (1), (2), (4) => 2x2004 = y6 + z6 ≤ x6 + z6 = 2y2004 => 2x2004 ≤ 2y2004 => x ≤ y (5) Từ (1), (3), (4) => 2x2004 = y6 + z6 ≤ y6 + x6 = 2z2004 => 2x2004 ≤ 2z2004 => x ≤ z (6) Từ (4), (5), (6) suy x = y = z Thay vào (1) ta có 2x2004 = x6 + x6 = 2x6 suy x = (do x > 0) Vậy hệ có nghiệm dương : x = y = z = Ví dụ : Tìm a, b, c biết 4a - b2 = 4b - c2 = 4c - a2 = (*) Lời giải : Ta thấy a > 0, b > 0, c > Giả sử a > b, từ (*) ta có : 4a - 4b = b2 - c2 > => b > c (>0) ; 4b - 4c = c2 - a2 > => c > a (>0) => b > c > a trái với giả thiết a > b => a ≤ b Lop12.net (21)