Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại C , mặt bên SAC là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a.[r]
(1)Sự vuông góc Mục lục Loại Hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng .1 A Nguyên tắc chung .1 B Một số ví dụ .3 C Bài tập Loại Hai mặt phẳng vuông góc 13 A Nguyên tắc chung 13 B Một số ví dụ 14 C Bài tập 18 Lop12.net (2) Bản quyền thuộc ThS Phạm Hồng Phong – Trường Đại học Xây dựng Tài liệu có thể download miễn phí violet.vn/phphong84 Từ khóa : pham hong phong, su vuong goc Lop12.net (3) THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Loại Hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng A Nguyên tắc chung * Để giải chứng minh hai đường thẳng vuông góc , ta có thể làm sau: +) Phương pháp 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng a P ab b P +) Phương pháp (Sử dụng định lý ba đường vuông góc): Giả sử b' là hình chiếu vuông góc b lên P , a P Khi đó a b a b' +) Phương pháp 3(Sử dụng mối liên hệ quan hệ song song và quan hệ vuông góc): b '/ /b ab a b ' * Để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, ta có thể làm sau +) Phương pháp 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nằm mặt phẳng a b a c a P b P c P b vaø c caét +) Phương pháp 2: (Sử dụng mối liên hệ quan hệ song song và quan hệ vuông góc): a / / Q a P , Q / / P Lop12.net (4) THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 a / /a' a P a' P Lop12.net (5) THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 B Một số ví dụ Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy Biết đáy ABC là tam giác vuông B Gọi M , N là trung điểm AB và SC Chứng minh MN AB Giải * SA ABC , BC ABC BC SA 1 Mặt khác S theo giả thiết: BC AB 2 Từ 1 , suy ra: N BC SAB BC SB , nói cách khác SBC vuông B NB SC C A M (trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền) B * SA ABC , AC ABC NA 12 SC 3 4 AC SA , nói cách khác SAC vuông A (trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền) * Từ (3), (4) suy NA NB NAB cân N nên trung tuyến MN đồng thời là đường cao MN AB (ĐPCM) Ví dụ Cho tứ diện ABCD có mặt ABC là tam giác cân C , ABD là tam giác cân D Chứng minh AB CD Giải Gọi M là trung điểm AB DAB cân D nên D trung tuyến DM đồng thời là đường cao AB MD 1 Tương tự thế, ta chứng minh AB MC M 2 Từ 1 , 2 suy B A AB DMC , lại có DC DMC Từ đó suy C AB CD (ĐPCM) Lop12.net (6) THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Ví dụ [ĐHD07] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông ( AD / /BC ), BA BC a , AD 2a , SA vuông góc với đáy Chứng minh SCD là tam giác vuông Giải Ta thấy AC là hình chiếu SC lên ABCD Lại có S CD ABCD nên: CD SC CD AC (Định lý ba đường vuông góc) 2a M A D a B Lấy M là trung điểm AD Dễ thấy tứ giác ABCM là hình vuông CM AB a AD ACM vuông C , a C nói cách khác: CD AC (ĐPCM) Ví dụ [CĐABD09] Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Gọi M , N , P là trung điểm các cạnh SA , SD , BC Chứng minh MN SP Giải Ta có MN / /AD / /BC MN / /BC 1 Mặt khác: S ABC cân S nên trung tuyến SP đồng thời là đường cao SP BC N M 2 Từ 1 , suy SP MN (ĐPCM) D A I B P C Ví dụ [ĐHA07] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông Mặt bên SAD là tam giác cân S , nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M , P là trung điểm SB , CD Chứng minh AM BP Giải Lop12.net (7) THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Lấy N , Q là trung điểm BC , AD S * Ta có: MN là đường trung bình BSC M MN / /SC (1) Hơn nữa: tứ giác ANCQ là hình bình hành AN / /CQ (2) Từ (1), (2) suy AMN / / CQS A B (3) Q I N D P C * SQ là trung tuyến tam giác cân SAD SQ AD Mặt khác: AD là giao tuyến hai mặt phẳng vuông góc SAD và ABCD nên SQ ABCD Lại có BP ABCD Từ đó suy BP SQ (4) BCP CDQ DCQ CBP (c.g.c) Đặt I BP CQ Ta có 180 DCQ BPC 180 CBP BPC BCP 90 BP CQ (5) CIP Từ (4), (5) suy ra: BP CQS (6) * Từ (3), (6) suy ra: BP AMN , MA AMN PB MA (ĐPCM) Ví dụ [ĐHD02] Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 Gọi M , N , P là trung điểm BB1 , CD , A1D1 Chứng minh MP C1N Giải * Ta thấy PD1 CDD1C1 D1 là hình chiếu vuông C B N D A Q M B1 A1 P góc P lên CDD1C1 (1) Gọi Q là trung điểm I CC1 MQ CDD1C1 Do đó: Q là hình chiếu vuông C1 góc M lên CC1 (2) Từ (1), (2) suy QD1 là hình D1 chiếu vuông góc MP lên CDD1C1 (3) Lop12.net (8) THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 * Lại có NCC1 QC1D1 (c.g.c) CC 1N C1D1Q Đặt I NC1 QD1 Ta có 180 CC QIC 1N D1QC1 180 C1D1Q D1QC1 QC1D1 90 C1N QD1 (4) * Từ (3), (4) suy C1N MP (ĐPCM) Ví dụ Cho tứ diện OABC có các cạnh OA , OB , OC đôi vuông góc Chứng minh H là trực tâm ABC và OH ABC Giải Đặt M AH BC , N BH CA O * Phần thuận: giả sử H là trực tâm ABC Từ giả thiết phần thuận suy BC AM (1) Từ giả thiết bài toán: B A H N C M OA OB , OA OC OA mp(OBC) , lại có BC mp(OBC) , từ đây suy BC OA (2) Từ (1), (2) suy BC mp(OAM) , lại có OH mp(OAM) , từ đây suy OH BC (3) Một cách tương tự, ta có OH CA (4) Từ (3), (4) suy OH mp(ABC) * Phần đảo: giả sử OH mp(ABC) (5) Gọi H ' là trực tâm ABC Từ chứng minh phần thuận ta có OH' mp(ABC) (6) Từ (5), (6) suy H H' hay H là trực tâm ABC Ví dụ Cho tứ diện OABC có OA OB , gọi H là hình chiếu O lên mặt phẳng (ABC) Chứng minh H là trực tâm ABC và OC (OAB) Giải Lop12.net (9) THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Đặt M AH BC O * Phần thuận: giả thiết thì H là trực tâm ABC Từ giả thiết này, ta có BC AM (1) Từ OH mp(ABC) , B A H BC mp(ABC) suy BC OH (2) Từ (1), (2) suy BC mp(OAM) , mà OA mp(OAM) Từ đó suy M C OA BC (3) Theo giả thiết thì OA OB (4) Từ (3), (4) suy OA mp(OBC) , lại có OC mp(OBC) Từ đây suy OA OC (5) Một cách tương tự, ta OA OB (6) Từ (5), (6) suy OA mp(OBC) * Phần đảo: giải thiết OA OBC Theo bài thì H là trực tâm ABC Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân A , O là trực tâm ABC , SA mp(ABC) , H mp(SBC) Chứng minh H là trực tâm SBC và OH mp(SBC) Giải * Phần thuận: giả thiết thì H là trực tâm SBC Đặt S M CO AB , N CH SB Từ giả thiết suy ra: CN SB , CM AB Gọi P là trung điêm BC Vì ABC đều, SBC cân S nên SH và AO qua P C A M H N O B P Vì AP và SP là SP là các đường cao các tam giác ABC và SBC nên AP và SP vuông góc với BC Từ đó suy BC mp(SAP) Lại có: OH mp(SAP) Từ đó suy OH BC (1) AB là hình chiếu SB lên mp(ABC) Lại có: MC mp(ABC) , MC AB Từ đó suy ra: MC SB hay SB MC (2) Lại có: SB NC (3) Từ (2), (3) suy ra: SB mp(CMN) OH SB (4) Lop12.net (10) THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Từ (3), (4) suy OH mp(SBC) * Phần đảo: giải thiết OH mp(SBC) Gọi H ' là trực tâm SBC Từ phần thuận suy OH' mp(SBC) Từ đó suy H' H Vậy H là trực tâm ABC Ví dụ 10 Cho tứ diện ABCD M , N là trung điểm BC và AD Biết AB 16a , CD 12a , MN 10a ( a ) Chứng minh AB CD Lop12.net (11) THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 C Bài tập SAB M là trung điểm BC Chứng minh: Bài Cho hình chóp S.ABC có AB AC , SAC SA BC 90 Biết Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang có đáy lớn là AD và A AD 2BC 2AB 1) Chứng minh: AC CD 2) Gọi E là trung điểm AD tìm giao tuyến hai mặt phẳng SBC và SCD 90 Xác định góc SA và BE 3) Biết góc SCD Bài Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và DBC là hai tam giác cân chung đáy BC Gọi I là trung điểm BC 1) Chứng minh BC AD 2) Gọi AH là đường cao tam giác ADI Chứng minh AH mp BCD Bài Cho hình chóp S.ABC có SA mp ABC và đáy là tam giác vuông B 1) Chứng minh BC SB 2) Từ A kẻ hai đường cao AH , AK các tam giác SAB và SAC Chứng minh AH mp SBC và SC mp AHK Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và SA SC , SB SD Chứng minh 1) SO mp ABCD 2) AC SD Bài Cho tứ diện ABCD có AB CD , AC BD Gọi H là trực tâm BCD Chứng minh 1) AH BCD 2) AD BC Lop12.net (12) THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Bài Hình chóp S.ABC có SA vuông với đáy, ABC cân A Gọi M là trung điểm BC Chứng minh: 1) BC SAM 2) Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống SM Chứng minh AH SB Bài Cho hình chóp S.ABC có SA a và các cạnh còn lại a ( a ) Gọi I là trung điểm BC Chứng minh SI ABC Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O , SA ABCD và SA AB Gọi H và M là trung điểm SB và SD Chứng minh OM AHD Bài 10 Cho ABC cân A , I và H là trung điểm các cạnh AB và BC Dựng SH mp ABC , trên đoạn CI và SA lấy hai điểm M và N cho MC 2MI và NA 2NS Chứng minh MN mp ABC Bài 11 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông A , cạnh SB vuông góc với đáy ABC Qua B kẻ BH vuông góc với SA , BK vuông góc với SC Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (BHK) và tính diện tích tam giác BHK biết AC a , BC a và SB a Bài 12 Cho hình chóp O.ABC có cạnh OA , OB , OC đôi vuông góc với và OA OB OC a Kí hiệu K , M , N là trung điểm các cạnh AB , BC , CA Gọi E là điểm đối xứng O qua K và I là giao điểm CE với mặt phẳng OMN 1) Chứng minh CE vuông góc với mặt phẳng OMN 2) Tính diện tích tứ giác OMIN theo a Bài 13 Cho hình chóp S.ABCD , đáy là hình vuông cạnh a Mặt bên SAB là tam giác đều, SCD là tam giác vuông cân đỉnh S Gọi I , J là trung điểm AB và CD 1) Tính các cạnh tam giác SIJ theo a Chứng minh SI vuông góc với mặt phẳng SCD và SJ vuông với mặt phẳng SAB 2) Gọi H là hình chiếu vuông góc S trên IJ Chứng minh SH vuông góc với AC 3) Gọi M là điểm thuộc đường thẳng CD cho BM vuông góc với SA Tính độ dài đoạn thẳng AM theo a 10 Lop12.net (13) THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 AOC 60o , BOC 900 Bài 14 Cho tứ diện OABC có OA OB OC a và AOB 1) Tính độ dài các cạnh còn lại tứ diện và chứng minh tam giác ABC vuông 2) Chứng minh OA CB Bài 15 [ĐHB12] Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA 2a , AB a Gọi H là hình chiếu vuông góc A lên cạnh SC Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng ABH 11 Lop12.net (14) THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 12 Lop12.net (15) THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Loại Hai mặt phẳng vuông góc A Nguyên tắc chung * Góc hai mặt phẳng chính là góc hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến * Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc, ta thường sử dụng các phương pháp sau đây +) Sử dụng định nghĩa: chứng minh mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng còn lại +) Sử dụng góc hai mặt phẳng: chứng minh góc hai mặt phẳng 90 13 Lop12.net (16) THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 B Một số ví dụ Ví dụ Cho tứ diện ABCD có mặt ACD và BCD là các tam giác cạnh a Biết AB a , chứng minh ACD BCD Giải Lấy E là trung điểm CD AE là trung tuyến tam giác A cân ACD nên đồng thời là đường cao, đó: CD AE (1) Tương tự, ta chứng minh CD BE (2) Từ (1), (2) D B suy ra: góc hai mặt phẳng ACD và BCD chính là E Ta thấy AE BE a 3a a góc AEB C 90 (ĐPCM) AEB vuông E AEB Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông B và SA vuông góc với đáy Gọi H , K là hình chiếu A lên SB , SC Chứng minh SAC AHK Giải * Theo giả thiết thì SC AK (1) S * Ta chứng minh SC HK : K Sử dụng hệ thức lượng tam giác vuông, ta có A H C B SH.SB SA SH.SB SK SC Từ đây suy HKBC SK.SC SA là tứ giác nội tiếp (2) Lại có: CB AB (giả thiết), CB SA (do SA ABC ) SB SAB CB SB (3) Từ (2), (3) suy SC HK (4) Từ (3), (4) suy SC AHK SAC AHK (ĐPCM) 14 Lop12.net (17) THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Ví dụ [ĐHB06] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB a , AD a , SA vuông góc với đáy Gọi M là trung điểm AD Chứng minh SAC SMB Giải Đặt I AC BD Áp dụng định lý Pitago, tính được: S AC a , BM a a A a Vì hai tam giác IAM và ICB đồng dạng nên D M a I B IA IC IA IC AC AM BC AM BC AM BC C a a AM.AC a IA AM BC a a a a AM.BM a Tương tự: IM AM BC a a 2 2 a 3 a 6 a 2 Ta có: IA IM AM IAM vuông I hay 2 BM AC (1) Lại có SA mp(ABCD) , BM mp(ABCD) BM SA (2) Từ (1), (2) suy BM mp(SAC) mp(SMB) mp(SAC) (ĐPCM) Ví dụ [ĐHA02] Cho hình chóp tam giác S.ABC có đỉnh S , có độ dài cạnh đáy a Gọi M , N là trung điểm các cạnh SB , SC Tính theo a diện tích tam giác AMN , biết mặt phẳng AMN vuông góc với mặt phẳng SBC Giải 15 Lop12.net (18) THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 * Lấy I là trung điểm BC ABC S AI BC , SBC cân SI BC Từ J đó suy BC SAI 1 Lại có MN BC N 2 M C A H Từ 1 , suy MN SAI MN SI ( J SI MN ) MN AJ I B SI, AJ chính là góc hai mặt phẳng AMN và SBC 90 AJI * Dễ thấy J là trung điểm SI SAI cân A SA AI a Lại có AH AI a Do đó SH SA AH a 15 3 Vậy VS.ABC 13 S ABC AH a a a 15 2 a 24 Ví dụ [ĐHA03] Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A 'B 'C ' D ' có các đáy là hình vuông cạnh a , AA ' b , M là trung điểm CC ' Xác định tỷ số a cho A'BD MBD b Giải C' D' Đặt I AC BD Ta thấy A'BD cân A nên B' A' trung tuyến A 'I đồng thời là đường cao Như M b Tương tự ta chứng minh MI BD (2) D a A A'I BD (1) C I a Từ (1), (2) suy góc hai mặt phẳng A'BD và B MBD chính là góc hai đường thẳng A 'I và MI 16 Lop12.net (19) THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Áp dụng định MI A 'I Thành thử lý Pitago, ta tính được: A 'M 2a b2 , A 'I a2 b2 , a2 b2 A'BD MBD 90 A'IM A 'M A 'I MI a2 b2 b2 a2 a 2a b b 2 17 Lop12.net (20) THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 C Bài tập Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi Các tam giác SAC và tam giác SBD là các tam giác cân S Chứng minh SAC SBD Bài Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân B , SA vuông góc với đáy 1) Chứng minh SAB SBC 2) Gọi M là trung điểm AC Chứng minh SAC SBM Bài Hai tam giác ACD và BCD nằm hai mặt phẳng vuông góc với Biết AC AD BC BD a và CD 2x Xác định x theo a cho ABC ABD Bài Cho tam giác ABC cạnh a , I là trung điểm BC , D là điểm đối xứng A qua I dựng đoạn SD a vuông góc với mp(ABC) Chứng minh 1) SAB SAC 2) SBC SAD Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông C , mặt bên SAC là tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy 1) Chứng minh mp SBC mp SAC 2) Gọi I là trung điểm SC Chứng minh mp ABI mp SBC Bài Cho hình chóp tam giác S.ABC có độ dài cạnh đáy a Gọi M và N là các trung điểm các cạnh SB và SC Tính diện tích tam giác AMN theo a biết mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC) Bài Cho hình lập phương ABCD.A 'B 'C'D' cạnh a Chứng minh ACC'A' A'BD Bài Hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất các cạnh Khi nào AA'C'C BB'D'D 18 Lop12.net (21)