Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo x và tìm x để thể tích đó lớn nhất.. Tìm tọa độ đỉnh C.[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH HẢI DƯƠNG TRƯỜNG THPT ĐOÀN THƯỢNG ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN NĂM 2010 Môn thi: TOÁN, Khối A Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x + x + x + 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 2) Tìm các giá trị m để phương trình sau có sáu nghiệm phân biệt log x3 + x + x + = m Câu II (2,0 điểm) 1) Tìm các giá trị m để phương trình sau có nghiệm 2) Giải bất phương trình: (1 − m) sin x − cos x = m + cos x 1 > x + 3x − x − Câu III (1,0 điểm) x , trục Ox và đường thẳng x = Tính thể x +3 tích khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hoành Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA = x, tất các cạnh còn lại Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo x và tìm x để thể tích đó lớn Câu V (1,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc + a + c = b Tìm giá trị lớn biểu thức 2 P= − + a +1 b +1 c +1 PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần (Phần A B) A Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) 1) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có diện tích và các đỉnh A(3 ; -5), B(4 ; -4) Biết trọng tâm G tam giác ABC thuộc đường thẳng x − y − = Tìm tọa độ đỉnh C 2) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x − y + z − = và hai điểm A(1;1; −3) , B(3;1; −1) Tìm tọa độ điểm C thuộc mặt phẳng (P) cho tam giác ABC Câu VII.a (1,0 điểm) Cho A và B là hai điểm mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z1 và z2 khác không thỏa mãn z12 + z2 = z1 z2 Chứng minh tam giác OAB (O là gốc tọa độ) B Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) 1) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành ABCD có diện tích 4, các đỉnh A(2 ; 2), B(-2 ; 1) Tìm tọa độ đỉnh C và D biết giao điểm AC và BD thuộc đường thẳng x − y + = x −1 y + z − 2) Trong không gian Oxyz, cho mp(P): x − y + z − = , đường thẳng d: = = −1 Viết phương trình đường thẳng Δ vuông góc với mp(P) cho Δ cắt đường thẳng d điểm cách mp(P) khoảng Câu VII.b (1,0 điểm) ⎧ x log3 y + y log3 x = 27 Giải hệ phương trình ⎨ ⎩log y − log x = …………………………Hết………………………… Họ và tên thí sinh:…………………………………………Số báo danh:………………………………… Chữ kí giám thị 1:……………………………………Chữ kí giám thị 2:……http://laisac.page.tl Cho hình phẳng D giới hạn đồ thị hàm số y = Lop12.net (2) Së Gi¸o Dôc vμ §μo T¹o K× thi thö §¹i häc lÇn N¨m 2010 TØnh H¶i D−¬ng M«n to¸n, khèi A, B Tr−êng THPT §oμn Th−îng §¸p ¸n vμ biÓu ®iÓm * Chú ý Thí sinh lμm bμi không theo cách nêu đáp án mμ đúng thì cho đủ ®iÓm tõng phÇn t−¬ng øng C©u ý Néi dung §iÓm I Kh¶o s¸t hμm sè y = x + x + x + (C) 1,00 ⎡ x = −1 ⇒ y = −1 TX§: \ y ' = x + 12 x + 9, y ' = ⇔ ⎢ ⎣ x = −3 ⇒ y = 0,25 y '' = x + 12, y '' = ⇔ x = −2 ⇒ y = BBT: ghi đầy đủ 0,25 KÕt luËn vÒ tÝnh ®b, nb, cùc trÞ 0,25 Đồ thị Đồ thị lμ đ−ờng cong trơn thể đúng tính lồi, lõm §å thÞ ®i qua ®iÓm: C§(-3 ; 3), CT(-1 ; -1), I(-2 ; 1), A(-4 ; -1), B(0 ; 3) 4 -4 3 2 1 -4 -2 -2 -1 -1 I log x3 + x + x + = m (1) 0,25 1,00 m ⎛1⎞ (1) ⇔ x + x + x + = ⎜ ⎟ Gọi (C’) lμ đồ thị hs y = x + x + x + ⎝2⎠ m ⎛1⎞ Pt (1) cã nghiÖm ⇔ ®t y = ⎜ ⎟ c¾t (C’) t¹i ®iÓm ⎝2⎠ x + x + x + ≥ ⎪⎧ x + x + x + 3 Ta cã y = x + x + x + = ⎨ 3 ⎪⎩−( x + x + x + 3) x + x + x + < Gọi (C1) lμ phần đồ thị (C) nắm trên Ox, (C2) lμ phần đồ thị (C) nằm d−ới Ox (C3) lμ hình đối xứng (C2) qua trục Ox thì (C’) = (C1) ∪ (C3) m ⎛1⎞ Từ đồ thị (C’), pt (1) có nghiệm ⇔ < ⎜ ⎟ < ⇔ m > ⎝2⎠ II Tìm m để pt (1 − m) sin x − cos x = m + cos x (1) có nghiệm TXD: \ pt (1) ⇔ sin x − cos x = m ( + cos x + sin x ) NhËn xÐt Hs y = sin x, y = cos x tuÇn hoμn víi chu k× 2π nªn pt (1) cã nghiÖm ⇔ pt Lop12.net 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 (3) ⎡ π 3π (1) cã nghiÖm thuéc nöa kho¶ng ⎢ − ; ⎣ 2 π TH1 x = − TH2 x = TH3 − π π ⇒ (1 − m)( −1) = m ⇔ −1 = v« lÝ VËy x = − ⇒ (1 − m) = m ⇔ m = <x< ⇔ tan x − = m π ( ( ) t +3 +t ) 2 <x< tan x − t −1 t2 + + t tan x + + tan x §Æt f (t ) = t →+∞ ) t f (t ) f (t ) −t − + t + t +3 +t ) −∞ + ' 0,25 3π ⇒ cos x < Chia hai vÕ cho cos x ta ®−îc §Æt t = tan x, t ∈ \ ta ®−îc m = (− t −1 − t +3 +t tan x − − tan x + + tan x §Æt f (t ) = t −1 − t2 + + t , f '(t ) = ⇔ t = −1 LËp BBT cña f (t ) t +3 +∞ −1 - −∞ x + 3x − > §K: x + x − > 0, x − ≠ ⇔ x < − , x > Lop12.net Tõ BBT suy m ≤ 3 0,25 (1) 2x − 1,00 Kết luận Các giá trị m để pt có nghiệm lμ m ≤ t2 + + t 1 VËy m < 2 ( t −1 > 0, ∀t ⇒ f (t ) db trên \ ⇔ tan x − = m − tan x + + tan x ⇔ m = f '(t ) = 0,25 t +3 t →−∞ π kh«ng lμ nghiÖm MÆt kh¸c lim f (t ) = −∞, lim = TH4 1 π VËy m = th× pt cã Ýt nhÊt mét nghiÖm lμ 2 tan x + + tan x ⇔ m = t + + t2 + π ⇒ cos x > Chia hai vÕ cho cos x ta ®−îc §Æt t = tan x, t ∈ \ ta ®−îc m = f '(t ) = ⎞ ⎟ ⎠ 0,25 (4) TH1 x < − ⇒ x − < , bất ph−ơng trình đúng 0,25 TH2 x > ⇒ x + x − > 0, x − > ⎡ x< ⎢ Bpt ⇔ x − > x + 3x − ⇔ x − x + > ⇔ ⎢ ⎣x > 2 KÕt hîp ®iÒu kiÖn ta ®−îc < x < 0,25 hoÆc x > 2 5⎞ ⎛ KÕt luËn TËp nghiÖm cña bpt lμ S = ⎜ −∞; − ⎟ ∪ (1; ) ∪ (2; +∞ ) 2⎠ ⎝ III 0,25 TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay Ta cã y = 1,00 x cắt trục Ox điểm có hoμnh độ x = x +3 2 1 x2 ⎛ x ⎞ VËy V = π ∫ ⎜ dx = π dx ⎟ ∫0 ⎛ 2 x +3⎠ ⎞ 0⎝ ⎜x + ⎟ ⎝ ⎠ π ⎛ π π⎞ §Æt x = tan t , t ∈ ⎜ − ; ⎟ ⇒ dx = 3(1 + tan t ) dt = tan 0, = tan ⎝ 2⎠ ( ) π 0,25 0,25 π x tan t π 36 2 dx = π ∫ 3(1 + tan t )dt = sin tdt ( x + 3) (3 tan t + 3) ∫0 0 V = π∫ π π − cos 2t 0,25 π sin 2t π π = dt = ( t − ) = − ∫0 36 * Chó ý Häc sinh cã thÓ sö dông c«ng thøc tÝch ph©n tõng phÇn nh− sau 1 x2 x V = π∫ dx = π ∫ x dx 2 ( x + 3) ( x + 3) vμ đặt u = x, v ' = x + 3) ⇒ u ' = 1, v = 0,25 −1 đến 2( x + 3) ⎛ −x 1 ⎞ ⎜ ⎟ = + π∫x dx π dx 2 ∫ 2 ⎜ ⎟ x 2( 3) + x + ( ) x + 0 ( ) ⎝ ⎠ TÝnh thÓ tÝch cña khèi chãp S.ABCD IV (x π x 1,00 Gäi H lμ h×nh chiÕu cña S trªn mp(ABCD) S Do SB = SC = SD nªn HB = HC = HD suy H lμ t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BCD Tam gi¸c BCD c©n t¹i C nªn H thuéc CO, O lμ 0,25 D giao cña AC vμ BD C H ΔCBD = ΔABD = ΔSBD O ⇒ OC = OA = OS ⇒ ΔSAC vu«ng t¹i S A B ⇒ AC = x + 0,25 Lop12.net (5) 1 = 2+ ⇒ SH = SH SA SC x x +1 ABCD lμ h×nh thoi ⇒ AC ⊥ BD ⇒ OB = AB − AO = S ABCD = 0,25 1 AC.BD = x + − x ⇒ V = x − x 2 ¸p dông B§T C«si ta cã V = §¼ng thøc x¶y ⇔ x = V − x2 1 x2 + − x2 x − x2 ≤ = 6 0,25 6 VËy V lín nhÊt x = 2 2 − + a +1 b +1 c +1 ⎛ π⎞ §Æt a = tan x, b = tan y, c = tan z a, b, c > ⇒ x, y, z ∈ ⎜ 0; ⎟ ⎝ 2⎠ a+c tan x + tan z ⇔ tan y = ⇔ tan y = tan( x + z ) abc + a + c = b ⇔ b = − ac − tan x tan z ⎛ π⎞ ⇔ y = x + z + kπ x, y, z ∈ ⎜ 0; ⎟ ⇒ k = VËy ⇔ y = x + z ⎝ 2⎠ 2 P = cos x − cos y + 3cos z = + cos x − (1 + cos y ) + 3cos z 1,00 = −2sin( x + y ) sin( x − y ) + 3cos z = 2sin( x + y ) sin z + 3(1 − sin z ) 0,25 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc P = 0,25 1 ⎛ ⎞ = −3sin z + 2sin( x + y ) sin z + = −3 ⎜ sin z − sin( x + y ) ⎟ + + sin ( x + y ) 3 ⎝ ⎠ ⇒ P ≤ 0+ 3+ 1 10 §¼ng thøc x¶y ⇔ a = , b = 2, c = VËy max P = 2 VI.a Tìm tọa độ đỉnh C 1 SGAB = SCAB = ⇔ AB.d (G; AB ) = ⇔ d (G; AB ) = G ∈ y = x − ⇒ G (t ;3t − 3) §t AB cã pt x − y − = d (G; AB) = ⇔ t − (3t − 3) − = ⇔ 2t + = 2 ⎡ −5 + 2 ⎛ −5 + 2 −21 + ⎞ ⎛ −29 + −45 + 18 ⎞ ; ; ⇒ G ⎜⎜ ⎢t = ⎟⎟ ⎟⎟ ⇒ C ⎜⎜ 2 2 ⎢ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⇔⎢ ⎢t = −5 − 2 ⇒ G ⎛ −5 − 2 ; −21 − ⎞ ⇒ C ⎛ −29 − ; −45 − 18 ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎢ 2 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎣ Tìm tọa độ điểm C thuộc mặt phẳng (P) cho tam giác ABC C ( a; b; c ) ∈ ( P ) ⇔ 3a − 8b + 7c − = (1) Tam giác ABC ⇔ AC = BC = AB ⎧a + c = ⇔⎨ 2 ⎩a + b + c − 2a − 2b + 6c + = 0,25 0,25 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 (2) (3) 0,25 Lop12.net (6) 3 Tõ (1) vμ (2) suy a = −2b − , c = 2b + 2 0,25 thÕ vμo (3) ta ®−îc 18b + 52b + 39 = Ph−¬ng tr×nh nμy v« nghiÖm VËy kh«ng cã 0,25 ®iÓm C nμo tháa m·n VII.a Chứng minh tam giác OAB Tam giác OAB ⇔ OA = OB = AB ⇔ z1 = z2 = z1 − z2 0,25 Ta cã z13 + z23 = ( z1 + z2 )( z12 + z22 − z1 z2 ) = ⇒ z13 = − z23 ⇒ z1 = z2 0,25 MÆt kh¸c z12 + z22 − z1 z2 = ⇔ ( z1 − z2 ) = − z1 z2 ⇒ ( z1 − z2 ) = − z1 z2 0,25 ⇒ z1 − z2 = z1 z2 ⇒ z1 − z2 = z1 = z2 VI.b Tìm tọa độ đỉnh C vμ D 0,25 1,00 1 S ABCD = ⇔ AB.d ( I ; AB) = ⇔ d ( I ; AB) = 17 0,25 §t AB cã pt x − y + = I ∈ x − y + = ⇒ I (3t − 2; t ) 0,25 S IAB = d ( I ; AB) = 3t − − 4t + 2 ⇔ = ⇔ 4−t = 17 17 17 ⎡t = ⇒ I (4; 2) ⇒ C (6; 2), D(10;3) ⇔⎢ ⎣t = ⇒ I (16;6) ⇒ C (30;10), D(34;11) ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng Δ d cã ptts x = − t , y = −3 + 2t , z = + t Δ c¾t d t¹i I ⇒ I (1 − t , −3 + 2t , + t ) ⎡ 24 + 122 ⎢t = d ( I ;( P )) = ⇔ −12t + 48 = 122 ⇔ ⎢ ⎢ 24 − 122 ⎢t = ⎣ t= t= 0,25 0,25 1,00 0,25 0,25 ⎛ −18 − 122 15 + 122 42 + 122 ⎞ 24 + 122 ⇒ I ⎜⎜ ; ; ⎟⎟ 6 ⎝ ⎠ ⇒ Δ: x+ 18 + 122 15 + 122 42 + 122 y− y− 6 = = −8 0,25 ⎛ −18 + 122 15 − 122 42 − 122 ⎞ 24 − 122 ⇒ I ⎜⎜ ; ; ⎟⎟ 6 ⎝ ⎠ ⇒ Δ: VII.b 1,00 x+ 18 − 122 15 − 122 42 − 122 y− y− 6 = = −8 ⎧ x log3 y + y log3 x = 27 Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh ⎨ ⎩log y − log x = §k: x > 0, y > log y − log x = ⇔ y = 3x 0,25 1,00 0,25 0,25 Lop12.net (7) x log3 y = y log3 x ⇒ x log3 y + y log3 x = 27 ⇔ x log3 y = 0,25 L«garit c¬ sè hai vÕ ta ®−îc log y.log x = log ⇔ (1 + log x) log x = ⎡x = ⇒ y = ⎡ log x = (tháa m·n ®k) VËy hÖ pt cã nghiÖm lμ ⇔⎢ ⇔⎢ ⎢x = ⇒ y = x log = − ⎣ ⎣ Lop12.net 0,25 (8)