Câu IV 1 điểm Cho hình chóp S.ABC với đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với mặt phẳng ABC.. Tìm giá trị lớn nhất và.[r]
(1)ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG LỚP 12 LẦN II NĂM HỌC 2009–2010 Môn thi : TOÁN, khối A, B, D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x − x + (1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) Tìm các giá trị m để phương trình sau có đúng nghiệm thực phân biệt: x − 4x + = m Câu II (2 điểm) π Giải phương trình: cos3 x − = s inx, x ∈ ¡ 4 x ( x − ) + x ( x + 1) = x , x ∈ ¡ Giải phương trình: Câu III (1 điểm) Tính tích phân: I = π dx ∫ s inx + π cos x Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC với đáy ABC là tam giác vuông B, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết BC = a 3, AC = AS và góc đường thẳng SC với mặt phẳng (SAB) 45o , tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Câu V (1 điểm) Cho các số thực x, y thay đổi và thỏa mãn điều kiện: x − xy + y = Tìm giá trị lớn và (x giá trị nhỏ biểu thức: P = − 1) + ( y − 1) + 2xy(xy − 1) + 2 x + y2 − PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh làm hai phần (A B) A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho A(1; 3), B(5; 2), C(-2; -1) Xác định tọa độ điểm D cho ABCD là hình thang cân với AD song song BC Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1; -2; 3), B(2; 1; -3), C(1; -3; 2) Chứng minh A, B, C không thẳng hàng, xác định tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Câu VII.a (1 điểm) Tìm nghiệm phức phương trình: z + 2z = B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A(-3; 1), phân giác và đường cao cùng xuất phát từ B có phương trình: d 1: x + 3y + 12 = 0, d : x + 7y + 32 = Tìm tọa độ các đỉnh B, C tam giác ABC x −1 y − z − Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : = = và hai mặt −1 phẳng ( P ) : x − 2y + z − = 0, ( Q ) : x + y − 2z − = Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường thẳng ∆ đồng thời tiếp xúc với (P) và (Q) Câu VII.b (1 điểm) log3 ( x +1) = x, x ∈ ¡ - Hết -Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh : .Số báo danh : Giải phương trình : Lop12.net (2) ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG LỚP 12 LẦN II NĂM HỌC 2009 – 2010 Môn Toán , khối A, B, D (gồm 05 trang) Câu I Ý Điểm Nội dung Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) 1,00 • Tập xác định: D = ¡ • Sự biến thiên: Chiều biến thiên y ' = 4x − 8x y ′ = ⇔ x = 0; x = ± 0,25 ( ) ( 2; +∞ ) Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞; − ) và ( 0; ) Hàm số đồng biến trên các khoảng − 2;0 và Hàm số đạt cực đại x = 0, ycd = , đạt cực tiểu x = ± 2, yct = −1 Giới hạn: lim y = lim y = +∞ 0,25 x →+∞ x →−∞ Bảng biến thiên: -∞ x − y' - + +∞ 0 - 0,25 + +∞ +∞ y -1 -1 • Đồ thị: (h1) y y 6 5 4 3 2 1 x -6 -5 -4 -3 -2 -1 O x -6 -5 -4 -3 -2 -1 O -1 -1 -2 -2 -3 -3 (h1) 0,25 (h2) Tìm các giá trị m… 1,00 Xét hàm số y = x − 4x + (2) Từ đồ thị hàm số (1) suy đồ thị hàm số (2) sau: Giữ nguyên phần đồ thị hàm số (1) nằm phía trên trục hoành 0,25 Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số (1) nằm Ox qua Ox; bỏ phần đồ thị hàm số (1) nằm 0,25 Ox Số nghiệm thực phương trình x − 4x + = m số giao điểm đường thẳng y = m với đồ thị hàm số (2) Căn vào đồ thị (h2) ta thấy không tồn m thỏa mãn yêu cầu bài toán Lop12.net 0,25 0,25 (3) II Giải phương trình lượng giác… 1,00 π cos3 x − = s inx ⇔ ( cos x + s inx )3 = s inx ⇔ ( cos x + s inx )3 = sin x 4 2 0,25 ⇔ cos3 x + 3cos x sin x + 3cos x sin x + sin x = sin x + Nếu sinx=0 thì cosx=0, mâu thuẫn với s in x + cos x = 0,25 + Nếu sinx ≠ thì chia vế phương trình cho sin x ta ( ) cot x + cot x + 3cot x + = + cot x ⇔ cot x − cot x + cot x − = ( ) ⇔ ( cot x − 1) cot x + = ⇔ cot x = ⇔ x = π + kπ, k ∈ ¢ 0,25 0,25 Giải phương trình vô tỷ… 1,00 Điều kiện x ∈ ( −∞; −1] U [ 2; +∞ ) U {0} 0,25 Phương trình tương đương: ( ) ( ) x − 2x + x + x + x x − x − = 4x ⇔ x x − x − = 2x + x ( ) ( ) ( ) ⇔ 4x x − x − = x 4x + 4x + ⇔ x 4x − 4x − − 4x − 4x − = x=0 thỏa mãn điều kiện ⇔ x ( −8x − ) = ⇔ x = − III I= 1,00 π dx dx = ∫ ∫ 2π1 π s in x + π s inx + cos x 6 ( 2π Đặt t = x + ) 0,25 2π π dt dcost , ta có: I = ∫ =− ∫ π sint π − cos2 t =− 0,25 0,25 Tính tích phân… π 0,25 0,25 2π 1 + d cos t = − ( ln (1 + cos t ) − ln (1 − cos t ) ) ∫ π − cost + cost Lop12.net 2π π 0,25 (4) 2π 1− 1 + cos t = − ln = − ln − cos t π 4 1+ IV = − ln = ln 0,25 Cho hình chóp S.ABC… 1,00 BC ⊥ AB · ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB ⇒ BSC là góc đường thẳng SC với 0,25 BC ⊥ SA mặt phẳng (SAB) Vậy tam giác SBC vuông cân đỉnh B Ta có Đặt SA=x, ta có AC= x ⇒ SC = x (1) Mặt khác tam giác SBC vuông cân B nên SC= a (2) 0,25 Từ (1) và (2) suy a = x ⇔ x = a ⇒ AB = a 0,25 1 Thể tích khối chóp SABC: V(SABC) = dt ( ABC ) SA = AB.BC.AS 3 = V 0,25 a 6 a.a 3.a = = a (đvtt) 6 Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức x − 1) + ( y − 1) ( P= 2 + 2xy ( xy − 1) + x + y2 − = 1,00 x y − 2xy + xy − 0,25 = x − xy + y = ( x − y ) + xy ≥ xy ⇒ xy ≤ 2 = x − xy + y = ( x + y ) − 3xy ≥ −3xy ⇒ xy ≥ − t − 2t + 4 Từ đó đặt t = xy thì t ∈ − ;1 và P = f ( t ) = =t+ t−2 t−2 f ′(t) = − ( t − )2 = ⇔ ( t − 2) 0,25 t−2=2 t = =4⇔ ⇔ t − = −2 t = xy = ( x + y )2 = ⇔ f ( t ) = −3 ⇔ t =1 ⇔ ⇔ x − xy + y = xy = t ∈ − ;1 x = y =1 x = y = −1 xy = max f ( t ) = −2 ⇔ t =0 ⇔ ⇔ ( x; y ) ∈ {( 0;1) , ( 0; −1) , (1;0 ) , ( −1; )} x − xy + y = t ∈ − ;1 0,25 0,25 Vậy giá trị nhỏ P là -3, giá trị lớn P là -2 VIa Xác định tọa độ điểm D… 1,00 Lop12.net (5) uuur 3 1 Ta có: BC = ( −7; −3 ) Trung điểm I BC có tọa độ I ; 2 2 0,25 Phương trình đường thẳng ∆ là trung trực BC: 7x +3 y – 12 = Dễ thấy A và B nằm cùng phía ∆ nên tồn hình thang thỏa mãn điều kiện bài 0,25 toán Phương trình đường thẳng d qua A và song song với BC: 3x − 7y + 18 = 7x + 3y − 12 = 15 81 Tọa độ giao điểm J d và ∆ là nghiệm hệ: ⇒ J( ; ) 29 29 3x − 7y + 18 = 30 x +1 = x= 29 Điểm D (x,y) đối xứng với A qua J nên tọa độ thỏa mãn: ⇔ y + = 162 y = 29 Vậy D ( 29 75 29 0,25 0,25 75 ; ) 29 29 Xác định tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 1,00 uuur uuur AB = (1;3; −6); AC = (0; −1; −1) uuuur uuur r −6 −6 1 AB,AC = ; ; ; = − 9;1; − ≠ ⇒ A, B, C không thẳng hàng ( ) −1 −1 −1 0 −1 0,25 Phương trình mặt phẳng (ABC): 9x − y + z = 14 Gọi I (x; y; z) là tâm đường tròn ngoại IA = IB 0,25 tiếp tam giác ABC, ta có: IA = IC I ∈ (ABC) VIIa ( x − 1)2 + ( y + )2 + ( z − 3)2 = ( x − )2 + ( y − 1)2 + ( z + 3)2 x + 3y − 6z = 2 2 2 ⇔ ( x − 1) + ( y + ) + ( z − 3) = ( x − 1) + ( y + 3) + ( z − ) ⇔ y + z = 9x − y + z = 14 9x − y + z = 14 0,25 126 14 14 ⇒ I ;− ; 83 83 83 0,25 Tìm nghiệm phức phương trình: z + 2z = 1,00 Giả sử z = x + yi, theo giả thiết ta có: x − y + 2xyi + 2x − 2yi = ⇔ x − y + 2x + 2y(x − 1)i = x − y + 2x = ⇔ 2y(x − 1) = ( x, y ) ∈ {( 0;0 ) ; ( −2;0 ) ; (1; 0,25 0,25 )( ; 1− )} Lop12.net 0,25 (6) Phương trình có nghiệm z = 0; z = -2; z = + 3i ; z = − 3i VIb 0,25 Tìm tọa độ các đỉnh B, C… 1,00 x + 3y + 12 = x =3 Tọa độ điểm B là nghiệm hệ ⇔ ⇒ B(3; −5) x + 7y + 32 = y = −5 0,25 Gọi A ′ (x,y) là điểm đối xứng với A qua d1 : AA ′ ⊥ d1 và trung điểm AA’ thuộc d1 x + y −1 = ⇔ ⇔ x − + y + + 12 = 2 27 x=− 3x − y + 10 = 27 31 ⇔ ⇒ A′ − ; − 5 x + 3y + 24 = y = − 31 0,25 Đường thẳng BC chính là đường thẳng BA ′ : x − 7y − 38 = 0,25 x + y −1 = ⇔ 7x − y + 22 = Phương trình đường thẳng AC: 7x − y + 22 = x = −4 Tọa độ C là nghiệm ⇔ ⇒ C ( −4, −6 ) Vậy B ( 3; −5 ) , C ( −4, −6 ) x − 7y − 38 = y = −6 Viết phương trình mặt cầu (S)… 0,25 1,00 Gọi I là tâm mặt cầu (S), I thuộc ∆ nên tọa độ I có dạng I(1+2t;2+t; 3-t) 0,25 Mặt cầu (S) tiếp xúc với (P) và (Q) nên d(I,(P)) = d(I,(Q)) ⇔ + 2t − − 2t + − t − 12 + ( −2 ) + 12 = + 2t + + t − + 2t − + Với t = suy I(5; 4;1), R = 12 + 12 + ( −2 ) ⇔ t + = 5t − và (S): ( x − ) + ( y − ) + ( z − 1) = 2 + Với t = VIIb t = ⇔ t = 2 25 0,25 0,25 10 5 7 8 20 5 8 ⇒ I ; ; ;R = và (S): x − + y − + z − = 3 3 3 3 3 Giải phương trình … 0,25 1,00 Điều kiện x > -1 Đặt t = log3 ( x + 1) ⇒ x + = 3t ⇒ x = 3t − t 0,25 t 2 1 Phương trình trở thành t = 3t − ⇔ t + = 3t ⇔ + = 3 3 (*) 0, 25 ; ∈ ( 0;1) nên vế trái (*) là hàm số nghịch biến t, vế phải là hàm đó 0, 25 3 (*) có nhiều nghiệm Vì Mặt khác t = là nghiệm (*) suy (*) tương đương t = hay log3 ( x + 1) = ⇔ x + = ⇔ x = (thỏa mãn điều kiện) Lop12.net 0,25 (7)