TRƯỜNG THPT TÂY THỤY ANH ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC LẦN II NĂM HỌC 2010-2011 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH 7,0 điểm..[r]
(1)http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi ! TRƯỜNG THPT TÂY THỤY ANH ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC LẦN II NĂM HỌC 2010-2011 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2 điểm) : Cho hàm số y = x3 – 3x + có đồ thị (C) và đường thẳng (d): y = mx + m + 1/ Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2/ Tìm m để (d) cắt (C) ba điểm phân biệt M(-1; 3), N, P cho tiếp tuyến (C) N và P vuông góc Câu II (2 điểm) Giải phương trình : sin x + 3sin x = cos x + cos x + Giải bất phương trình : x − − x + > x − dx Câu III (1điểm) Tính tích phân I = ∫ −1 + x + + x a Câu IV (1điểm) Cho hình hộp đứng ABCD A’B’C’D’ có AB = AD = a, AA’ = , góc BAD 600 Gọi M,N là trung điểm cạnh A’D’ và A’B’ Chứng minh AC’vuông góc với mặt phẳng (BDMN) và tính thể tích khối đa diện AA’BDMN theo a Câu V (1 điểm) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn xyz = CMR: 2 + + ≥3 x ( y + z ) y ( z + x) z ( x + y ) PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn Câu VIa (2®iÓm) Cho tam giác ABC có đỉnh A (0;1), đường trung tuyến qua B và đường phân giác góc C có phương trình : ( d1 ): x – 2y + = và ( d ): x + 2y + = Viết phương trình đường thẳng BC Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho mp(P) : x – 2y + z – = và x +1 − y z + x −1 y − z −1 hai đường thẳng : (d) = = và (d’) = = −1 2 1 Viết phương trình tham số đường thẳng ( ∆ ) nằm mặt phẳng (P) và cắt hai đường thẳng (d) và (d’) CMR (d) và (d’) chéo và tính khoảng cách chúng C©u VIIa: (1®iÓm) n 1 x Cho khai triÓn + = a0 + a1 x + a2 x + + an x n T×m sè lín nhÊt c¸c sè 3 a0 , a1, a2 , ,an biÕt r»ng n lµ sè tù nhiªn tháa m·n Cn2Cnn−2 + 2Cnn−2Cnn−1 + Cn1Cnn−1 = 11025 B Theo chương trình Nâng cao Câu VI b(2điểm) x2 y 1.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A(2; ) và elip (E): + = Gọi F1 và F2 là các tiêu điểm (E) (F1 có hoành độ âm); M là giao điểm có tung độ dương đường thẳng AF1 với (E); N là điểm đối xứng F2 qua M Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF2 2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho các điểm B ( 0;3;0 ) , M ( 4;0; −3) Viết phương trình mặt phẳng ( P) chứa B, M và cắt các trục Ox, Oz các điểm A và C cho thể tích khối tứ diện OABC ( O là gốc toạ độ ) C©u VII.b: (1®iÓm) Gi¶i 2 log x + y (3 x + y ) + log x + y ( x + xy + y ) = ( x ∈ R) x x + y + 2.4 x + y = 20 Lop12.net hÖ ph-¬ng tr×nh: (2) http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi ! Hết Họ và tên thí sinh : ………………………………… Số báo danh …………… TRƯỜNG THPT TÂY THỤY ANH KỲ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC LẦN II NĂM HỌC 2010-2011 Môn: TOÁN ĐÁP ÁN SƠ LƯỢC – BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN (Đáp án gồm 07 trang) CÂU NỘI DUNG ĐIỂM Câu I : Cho hàm số y = x – 3x + có đồ thị (C) và đường thẳng (d): y = mx + m + (2 điểm) 1/ Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2/ Tìm m để (d) cắt (C) M(-1; 3), N, P cho tiếp tuyến (C) N và P vuông góc 1/ Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (Yêu cầu đầy đủ các bước) + TXĐ + Tính y’=3(x2-1); y’ = 0,25đ + Khoảng đồng biến , nghịch biến + Cực trị + Giới hạn * Bảng biến thiên: x -∞ y' + y -1 0,25đ - +∞ + 0,25đ +∞ -∞ -1 * Đồ thị: y 0,25đ -1 -6 -4 o -2 x -1 -2 -4 Lop12.net (3) http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi ! CÂU NỘI DUNG ĐIỂM 2/ Tìm m để (d) cắt (C) M(-1; 3), N, P cho tiếp tuyến (C) N và P vuông góc Xét pt hoành độ giao điểm x3-3x+1=mx+m+1 (x+1)(x2-x-m-2)=0 x =-1 g(x) = x2-x-m-2=0 (1) d cắt (C) M(-1;3) và cắt thêm N và P cho tiếp tuyến (C) đó vuông góc với ∆ g > , , y ( xN ) y ( xP ) = −1 g (−1) ≠ 0,25đ 0,25đ 0,5đ Kết luận Câu II (2 điểm) Giải phương trình : sin x + 3sin x = cos x + cos x + ⇔ 2sin x cos x − + 2sin x + 3sin x − cos x − = ⇔ cos(2sin x − 1) + 2sin x + 3sin x − = 0,25đ ⇔ cos x(2sin x − 1) + (2sin x − 1)(sin x + 2) = ⇔ (2sin x − 1)(cos x + sin x + 2) = 0,25đ sin x = ⇔ cos x + sin x = −2 (VN ) π x = + k 2π ⇔ x = 5π + k 2π (k ∈ Z ) 0,5đ Giải bất phương trình : x − − x + > x − x − − x + > x − (1) Đk: x ≥ Nhân lượng liên hợp: x − + x + > (2 x − − x + 5)(2 x − + x + 5) > ( x − 3)(2 x − + x + 5) ⇔ 4( x − 1) − ( x + 5) > ( x − 3)(2 x − + x + 5) ⇔ 3( x − 3) > ( x − 3)(2 x − + x + 5) (2) Xét các trường hợp: TH1:x>3 thì phương trình (2) trở thành: > x − + x + (3) VP(3) > 2 + 2 = >3 nên bất phương trình (3) vô nghiệm TH2: x=3 thì 0>0 (vô lý) Lop12.net 0,25đ 0,25đ (4) http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi ! CÂU NỘI DUNG ĐIỂM TH3: ≤ x < nên từ bất phương trình (2) ta suy ra: < (2 x − + x + 5) bình phương vế ta được: ( x − 1)( x + 5) > − x (4) 8 − x < * ⇔ < x < (5) thì (4) luôn đúng 1 ≤ x < 8 − x ≥ * ⇔ ≤ x ≤ (*) nên bình phương hai vế (4)ta ≤ x < 0,25đ x − 144 x + 144 < ⇔ − 48 < x < + 48 Kết hợp với điều kiện(*) ta được: − 48 < x ≤ (6) 0,25đ Từ (5) và (6) ta có đs: − 48 < x < Câu III (1 điểm) dx ∫ 1+ x + Tính I = −1 1+ x 0,25đ 2 Đặt t = 1+x + x + ⇔ x + ⇔ t – (1+x ) = ⇔ t − 2t = 2tx − 2x ⇔ x = t − 2t t − 2t + ⇒ dx = dt 2(t − 1) 2(t − 1)2 0,25đ x = ⇒ t = + Và x = −1 ⇒ t = 2+ Vậ y I = ∫ 1 (t − 2t + 2)dx = = 2t (t − 1) 2+ = − ln t − + ln t 1− t 2+ ∫ 1 2 (t − 1) − t − + t dt = = Câu IV (1 điểm) Lop12.net 0,25đ 0,25đ (5) http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi ! CÂU NỘI DUNG ĐIỂM S C' D' M A' B' N C D O A B Gọi O là tâm ABCD , S là điểm đối xứng A qua A’ thì M và N là trung điểm SD và SB AB=AD=a , góc BAD = 600 nên ∆ABD ⇒ OA = a , AC = a a ’ ' ⇒ ∆ SAO = ∆ ACC ⇒ SO ⊥ AC Mặt khác BD ⊥ ( ACC ' A' ) ⇒ BD ⊥ AC ' Vậy AC’ ⊥ (BDMN) 0,25đ SA = 2AA’ = a ; CC’ = AA’ = a3 Lập luận dẫn tới VSABD = a a = 4 Vậy VAA' BDMN = VSABD − VSA' MN = ; VSA' MN = a a a3 = 16 32 7a 32 0,25đ 0,25đ 0,25đ Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn xyz = Câu V 2 (1 điểm) CMR: + + ≥3 x ( y + z) y ( z + x) z ( x + y) 1 Đặt a = ; b = ; c = ta có : x y z 2 2a 3bc 2ab3c 2abc + + = + + x ( y + z ) y ( z + x) z ( x + y ) b + c a + c b + a Lop12.net 0,25đ (1) (6) http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi ! CÂU NỘI DUNG Do xyz = nên abc = Ta (1) ⇔ 2 2a 2b 2c Cũng áp dụng bất đẳng thức Cô si + + = + + x3 ( y + z ) y ( z + x) z ( x + y ) b + c a + c b + a ĐIỂM ta a2 b+c + ≥a b+c b2 a+c + ≥b a+c c2 a+b + ≥c b+a a2 b2 c2 a+b+c ⇒ + + ≥ mà a + b + c ≥ 3 abc = b+c a+c b+a 2 2 2a 2b 2c Vậ y + + = + + ≥ Điều cần chứng minh x ( y + z ) y ( z + x) z ( x + y ) b + c a + c b + a 0,75đ Câu VIa Cho tam giác ABC có đỉnh A (0;1), đường trung tuyến qua B và đường phân (2 điểm) giác góc C có phương trình : ( d1 ): x – 2y + = và ( d ): x + 2y + = Viết phương trình đường thẳng BC Gọi C ( xc ; yc ) Vì C thuộc đường thẳng (d2) nên: C (−2 yc − 2; yc ) y +1 Gọi M là trung điểm AC nên M − yc − 1; c Vì M thuộc đường thẳng (d1) nên : − yc − − ⇒ C (−4;1) yc + + = ⇒ yc = 0,25đ 0,25đ Từ A kẻ AJ ⊥ d I ( J thuộc đường thẳng BC) nên véc tơ phương đường → thẳng (d2) là u (2; −1) là véc tơ pháp tuyến đường thẳng (AJ) Vậy phương trình đường thẳng (AJ) qua A(0;1)là:2x-y+1=0 Vì I=(AJ) ∩ (d2) nên toạ độ diểm I là nghiệm hệ x=− 2 x − y + = ⇔ ⇒ I (− ; − ) 5 x + y + = y = − Vì tam giác ACJ cân C nên I là trung điểm AJ 8 0 + x = − x = − 11 Gọi J(x;y) ta có: ⇔ ⇒ J (− ; − ) 5 1 + y = − y = − 11 5 11 Vậy phương trình đường thẳng (BC) qua C(-4;1) ; J (− ; − ) là: 5 4x+3y+13=0 Mặt phẳng (P) cắt (d) điểm A(10 ; 14 ; 20) và cắt (d’) điểm B(9 ; ; 5) Đường thẳng ∆ cần tìm qua A, B nên có phương trình : Lop12.net 0,25đ 0,25đ 0,25đ (7) http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi ! CÂU NỘI DUNG ĐIỂM x = − t y = − 8t z = − 15t + Đường thẳng (d) qua M(-1;3 ;-2) và có VTCP u (1;1; ) + Đường thẳng (d’) qua M’(1 ;2 ;1) và có VTCP u ' ( 2;1;1) Ta có : • MM ' = ( 2; −1;3) • MM ' u, u ' = ( 2; −1;3) ( 1 ; 12 ; 12 1 ) = −8 ≠ 0,25đ Do đó (d) và (d’) chéo (Đpcm) Khi đó : MM ' u, u ' d ( ( d ) , ( d ') ) = = = 11 u, u ' T×m sè lín nhÊt c¸c sè a0 , a1, a2 , ,an 0,5đ Ta cã C2n Cnn−2 + 2Cnn−2 Cnn−1 + C1n Cnn−1 = 11025⇔ (C2n + C1n ) = 1052 + Với n ∈ N và n ≥ n = 14 n( n − 1) C2n + C1n = 105 ⇔ + n = 105 ⇔ n + n − 210 = ⇔ n = −15 (lo¹ i ) Câu 1 Ta cã khai triÓn + 2 k k −14 − k Do đó ak = C14 x 3 14 1 = ∑C 2 k =0 14 k 14 14− k k 14 x k k −14 − k k =∑ C14 x k=0 0,25đ _ Giả sử ak là hÖ sè lín nhÊt cÇn t×m ta ®-îc hÖ ,qua công thức khai VIIa (1 điểm) triển nhị thức NEWTON ta có hệ sau : 3 ( k + 1) ≥ 28 − 2k ak ≥ ak +1 k ≥ ⇔ ⇔ 2(15 − k ) ≥ 3k k ≤ ak ≥ ak −1 Do k ∈ N , nªn nhËn gi¸ trÞ k = hoÆc k = 0,25đ 0,25đ Do đó a5 và a6 là hai hệ số lớn nhất, thay vào ta đượckết a ; a và a = a 1001 VËy hÖ sè lín nhÊt lµ a5 = a6 = C14 2−93−5 = 62208 Câu VIb (2 điểm) Lop12.net 0,25đ (8) http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi ! CÂU NỘI DUNG ĐIỂM x y + = ⇒ c = a − b2 = − = Do đó F1(-1; 0); F2(1; 0); (AF1) có phương trình x − y + = (E) : 0,5đ ⇒ M 1; ⇒ N 1; 3 3 ⇒ NA = 1; − ; F A = 1; ⇒ NA.F2 A = 3 ⇒ ∆ANF2 vuông A nên đường tròn ngoại tiếp tam giác này có đường kính là F2N ( ) 0,25đ 2 Do đó đường tròn có phương trình là : ( x − 1) + y − =3 3 • Gọi a, c là hoành độ, cao độ các điểm A, C Do OABC là hình tứ diện theo giả thiết nên ac ≠ x y z Vì B ( 0;3;0 ) ∈ Oy nên ta có phương trình mặt phẳng chắn ( P ) : + + = a c 2 • − = ⇔ 4c − 3a = ac (1) a c ac 1 = ac = = ⇔ ac = (2) 2 0,25đ 0,25đ M ( 4;0; −3) ∈ ( P ) ⇒ VOABC = OB.S∆OAC 0,25đ a = −4 ac = ac = −6 a = Từ (1) và (2) ta có hệ ∨ ⇔ 3∨ 4c − 3a = 4c − 3a = c = − c = x y 2z x y z Vậy ( P1 ) : + − = 1; ( P2 ) : + + = −4 3 3 0,25đ 0,25đ log x + y (3 x + y ) + log x + y ( x + xy + y ) = Câu ( x ∈ R) x VIIb Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh: x+ y x+ y = 20 (1 điểm) + 2.4 x Đặt log x + y (3x + y ) + log3 x + y ( x + xy + y ) = (2) (1) và x + y + 2.4 x + y = 20 0 < x + y ≠ ĐK 0 < x + y ≠ Víi ®k trªn PT (1) ⇔ log x + y (3x + y ) + log3 x + y ( x + y ) = + ⇔ log x + y (3 x + y ) + log x + y ( x + y ) = (3) Đặt t = log x + y (3 x + y ) Lop12.net 0,25đ (9) http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi ! CÂU NỘI DUNG PT(3) trở thành t+ ĐIỂM t = = ⇔ t − 3t + = ⇔ t t = Víi t=1 ta cã log x + y (3 x + y ) = ⇔ x + y = x + y ⇔ x = thay vµo (2) ta ®-îc : 4y+2.40=20 ⇔ y = 18 ⇔ y = log 18 (TM) Víi t=2 ta cã log x + y (3x + y ) = ⇔ 3x + y = ( x + y )2 (4) PT(2) ⇔ 2( x + y ) +2 2x +1 x+ y = 20 ⇔ 2( x + y ) +2 3x+ y x+ y = 20 + Thay (4) vµo (5) ta ®-îc 2( x + y ) + (5) ( x + y )2 x+ y = 20 ⇔ 2( x + y ) + x + y = 20 (6) t = −5( L) §Æt t= 2( x + y ) > PT(6) trở thµnh t2 + t – 20 = t = 4(TM ) x+ y Víi t = ta cã = ⇔ x + y = ⇒ x + y = x + y = x = Ta cã hÖ ⇔ (TM ) 3x + y = y =1 Kết luận hÖ PT cã cÆp nghiÖm (0; log 18);(1;1) HƯỚNG DẪN CHUNG + Trên đây là các bước giải và khung điểm bắt buộc cho bước, yêu cầu thí sinh phải trình bầy và biến đổi hợp lý công nhận cho điểm + Mọi cách giải khác đúng cho tối đa theo biểu điểm + Chấm phần Điểm toàn bài làm tròn đến 0.5 điểm Người đề : Thầy giáo Phạm Viết Thông Tổ trưởng tổ Toán – Tin Trường THPT Tây Thụy Anh – Thái Bình Lop12.net 0,25đ 0,5đ (10)