Chuyên đề Bất đẳng thức

LÝ DO CHỌN CHUYÊN ĐỀ Trong chương trình toán học phổ thông , bất đẳng thức là một vấn đề khó đối với học sinh , thường học sinh lúng túng khi làm bài, không biết bắt đầu từ đâu, xuất phá[r]

Gv: leâ coâng quyù Trường THPT Trị An A LÝ DO CHỌN CHUYÊN ĐỀ Trong chương trình toán học phổ thông , bất đẳng thức là vấn đề khó học sinh , thường học sinh lúng túng làm bài, không biết đâu, xuất phát từ cái gì, sử dụng công thức nào cách biến đổi nào cho phù hợp đọc bài giải , sách tham khảo thì có thể hiểu thực hành thì khó và thường mắc sai lầm làm toán Trước thực trạntg đó thân tôi qua nhiều năm giảng dạy đã đúc kết vài kinh nghiệm nhỏ giải toán bất đẳng thức xin trình bày đây để đồng nghiệp và học sinh có thể tham khảo và góp ý kieán Đề tài bất đẳng thức thì rộng , đây tôi giới thiệu khía cạnh nhỏ bất đẳng thức là: Ưùng dụng bất đẳng thức côsi để tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức và sai lầm mắc phải học sinh làm toán bất đẳng thức Biện pháp khắc phục sai lầm đó và cách dự đoán giải toán , chọn đúng điểm rơi các biến Bên cạnh đó đưa bài toán minh họa và cách giải cụ thể rỏ ràng Từ thấp đến cao , từ đơn giải đến phức tạp, để học sinh có thể tham khảo và hình thành phương pháp giải cho mình, từ đó thấy hứng thú học tập môn Toán nói chung và bất đẳng thức nói riêng Trang1 Lop10.com Gv: leâ coâng quyù Trường THPT Trị An B.NOÄI DUNG Nhaän Xeùt Chung: Cho biểu thức: A≤ M thì max A = M dấu xảy Cho biểu thức: A≥ m thì A = m dấu xảy Bất đẳng thức côsi: a1  a2   an  n n a1a2 an với ≥ đẳng thức xảy  a1 = a2 = …= an Bài toán xuất phát: Cho x,y > tìm cuûa S = x y  y x Lời giải: sử dụng bất đẳng thức côsi: S x y x y    y x y x Vaäy S = x = y Làm quen với điểm rơi bất đẳng thức côsi: Baøi 1: cho x≥ tìm cuûa S = x  x Bình luận và lời giải  sai lầm thường gặp: 1  x   S = x x Min S =  x = = mâu thuẩn với giả thiết x≥ x S= x +  Phân tích và tìm tòi lời giải: Xeùt baûng bieán thieân cuûa x, x x 26 37 50 S và S để dự đoán Min S x … … … 19 20 19 362 19 20 401 20 Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy x tăng thì S càng lớn và từ đó dẫn đến dự đoán x = thì S nhận giá trị nhỏ Hay ta noùi Min S = 26 đạt điểm rơi x = 5 Trang2 Lop10.com Gv: leâ coâng quyù Trường THPT Trị An Do bất đẳng thức côsi xảy dấu điều kiện các số tham gia neân ta ñöa vaøo tham soá  cho taïi ñieåm rôi x = thì caëp soá x  vaø phaûi baèng x  Xác định điểm rơi : x = với x  =  =   = 25 x  Từ đó ta biến đổi S theo điểm rơi này  Lời giải đúng: S = x          x  25 x  25 25 x 25 x Vaäy Min S = 24 x x 24.5 26 26 taïi x = 5 Baøi 2: cho x≥ tìm Min cuûa S = x + x2 Bình luận và lời giải  Xaùc ñònh ñieåm rôi x = cho caëp soá x    vaø 1  x2 thì phaûi xaûy   = 27   Sai lầm thường gặp : x 26 x  =     x  27 x  27 x 26 x 26 x 26.3 26 28         27 x 27 9 27 x 27 27.3 27 28 Với x = thì Min S = S=x+  Nguyên nhân sai lầm : mặc dù đã biến đổi S theo điểm rơi x = và 28 là đáp số đúng cách giải trên mắc sai lầm 2   là đánh giá việc đánh giá mẫu số : x ≥ thì 27 x 27.3 Min S = sai Trong lời giải đúng ta biến đổi S cho sử dụng bất đẳng thức côsi khử hết biến số x tử số và mẫu số  Lời giải đúng: S=x+ x x 25 x x x 25.3 28 =       3   x 27 27 x 27  27 27 x  27 Trang3 Lop10.com Gv: leâ coâng quyù Trường THPT Trị An Với x = thì Min S = 28  x, y  Tìm cuûa S= xy + xy x  y  Baøi 3: cho  Bình luận và lời giải  Sai lầm thường gặp: S = xy + 1 ≥ xy   Min S = xy xy  Nguyeân nhaân sai laàm : Min S =  xy =  1= xy  =1 xy x y 1    voâ lí 2  Phân tích và tìm lời giải: Nếu đặt t = xy t = 1 thì S = t  là biểu thức chứa biến số xy t đổi biến số ta cần phải tìm miền xác định cho biến số , cụ thể là: Ñaët t = 1 1 t= ≥  4 2 xy xy  x  y  1       2 Dẫn đến bài toán phụ : cho t ≥ tìm Min S = t  t  Xaùc ñònh ñieåm rôi : t = cho caëp soá   Giải bài toán phụ : t  thì t     16   S = t  =            t  16 t  16 16 t 16 16 16 t Với t = hay x = y = 15t t 15t 15t 15.4 17 thì Min S =  Lời giải khác: chọn điểm rơi x  y  nên S = xy    15 1  xy  =  xy   xy  16 xy  16 xy 16 xy Với x = y = 17 thì Min S = Baøi 4: cho x ,y >0 thoõa maõn x + y  tìm Min cuûa S = x +y + 1  x y Trang4 Lop10.com 15  x y 16      17 17 Gv: leâ coâng quyù Trường THPT Trị An Bình luận và lời giải  Sai lầm thường gặp 1 S  4 xy   S  x y  Nguyeân nhaân sai laàm: Min S =  x = y = 1  =1 x + y = > ( traùi giaû thieát) x y  Phân tích và tìm tòi lời giải: S là biểu thức đối xứng với x,y nên dự đoán minS đạt x = y = 1 cho caùc boä soá x = y = vaø 2 1 2   thì phaûi xaûy     x  y    Xaùc ñònh ñieåm rôi: x = y =  Lời giải đúng 1  31  1 3 1           4 xy 4x y   x y  4x y  x y  6 6  2  2  2 5 = 2 xy x y x y 2 Với x = y = thì S = Baøi 5: cho x,y,z thoõa maõn : x + y + z ≤ 1 Tìm Min S= x   y   z  y z x  S = x y bình luận và lời giải:  Sai laàm thöông gaëp: S  3 x2  1 y2  z2  2 y z x       x   y   z     Min S = y  z  x    Nguyeân nhaân sai laàm : x Min S =  x  y  z   1    x  y  z   ( traùi giaû thieát) y z Trang5 Lop10.com Gv: leâ coâng quyù Trường THPT Trị An  Phân tích và tìm tòi lời giải: S là biểu thức đối xứng với x,y,z nên dự đoán S đạt x = y = z = 1 cho caùc boä soá x2 = y2 = z2 = vaø 1 4    thì phaûi xaûy     16  x2  y  z   Xaùc ñònh ñieåm rôi: x = y= z =  Lời giải : 1 1 1    y2     z2    2 2 2 16 y 16 y 16 z 16  z 16 x 16 x      S = x2  16 so  17.17 16 so 16 so x2 y2 z2 17 17  17  17 1616 y 32 1616 z 32 1616 x 32  x y z x y z  17 17 3 17 16 17 16 17 16  17    16 16 16 16 y 16 z 16 x 16 z 16 x    16 y 17 17 17   = 17.17 5  15 16 x y z 2.17 2 x.2 y.2 z   2x  y  2z  2.17      = 17 17 Với x = y = z = 17 thì Min S = 2 Trang6 Lop10.com    Gv: leâ coâng quyù Trường THPT Trị An Baøi taäp laøm theâm : Baøi 1: cho a,b,c,d > tìm Min cuûa S  1   1   1   1   3b 3c 3d 3a 2a  2b  2c  Baøi 2: cho a, b,c > vaø a + b + c ≤ tìm cuûa S = a b2 c2 1      b c a ab bc ca  a , b, c , d  Baøi 3: cho  a  b  c  d  1 1 Tìm Min cuûa S   a    b    c    d   b  c  d  a  Baøi 4: cho x, y, z > vaø x + y + z ≤ Chứng minh x  1  y2   z2  2 x y z Trang7 Lop10.com 2d   Gv: leâ coâng quyù Trường THPT Trị An C.KEÁT LUAÄN Trên đây là chuyên đề nhỏ bất đẳng thức mà tôi đã đúc kết quùa trình giaûng daïy vaø trình baøy Đó là nhận thức chủ quan, viết cái mình biết , học hỏi đồng nghiệp, học sinh…sắp xếp lại thành mạch kiến thức logic Cho nên quá trình bày không tránh khỏi thiếu sót nội dung lẫn hình thức mong các thầy cô đọc và góp ý chân thành để chuyên đề hoàn thiện và phát triển thành chuyên đề lớn Vónh An ,Ngaøy 22/ 5/ 2009 Giáo Viên Thực Hiện Leâ Coâng Quyù Trang8 Lop10.com Gv: leâ coâng quyù Trường THPT Trị An Giaùo Aùn Hoäi Giaûng Naêm Hoïc (2007-2008) Giaùo Vieân : Leâ Coâng Quyù Môn Toán Baøi Khaûo Saùt Haøm Soá , Haøm Truøng Phöông Lớp 12A5 I Muïc tieâu 1) Về kiến thức: học sinh nắm các bước khảo sát hàm số hàm trùng phương và bước đầu vận dụng bài tập 2) Kyõ naêng: thaønh thaïo vieäc khaûo saùt haøm soá y = ax4 + bx2 + c vaø bieän luaän số nghiệm đồ thảu 3) Thái độ: cẩn thận chính xác I phương pháp: gợi mở , vấn đáp II Chuaån bò : phieáu hoïc taäp, phaán maøu III Tieán trình daïy hoïc: Hoạt động 1: kiểm tra bài củ: học sinh nêu các bước khảo sát hàm số bậc Hoạt động 2: khảo sát hàm số trùng phương y = ax4 + bx2 + c Hoạt động 3: biện luận theo m số nghiệm phương trình Hoạt động 4: củng cố các dạng đồ thị Bài Hoạt động 1: kiểm tra bài củ: học sinh nêu các bước khảo sát hàm số bậc Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên Học sinh nêu các bước khảo sát hàm bậc Có bốn bước Bước 1: tập xác định Bước 2: biến thiên Bước 3: tính lồi lõm , điểm uốn Bước 4: đồ thị Hoạt động 2: khảo sát hàm số trùng phương y = ax4 + bx2 + c Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên Ví duï : cho haøm soá y  x  x  2 a) khaûo saùt haøm soá Giaùo vieân giao nhieäm vuï: b)bieän luaän theo m soá nghieäm phöông Một học sinh khảo sát biến thiên Moät hoïc sinh khaûo saùt tính loài loõm trình : x  x   m 2 Một học sinh lấy điểm cực trị, điểm uốn giaûi: a) MXÑ : D = R trên hệ tọa độ Oxy y’ = 2x – 6x = 2x(x – 3)  y (o )  x    y’ =    x     y ( 3)  2 Trang9 Lop10.com Gv: leâ coâng quyù Trường THPT Trị An Baûng bieán thieân x - y’ y -  + -2 + 0 CÑ -  + + + -2 CT CT y’’ = – =  x=   y’( 1) = baûng xeùt daáu y’’ x - -1 + y’’ + 0 + ÑT loõm ÑU loài ÑU loõm (-1;0) (1;0) 6x2 Đồ thị: Hoạt động 3: biện luận theo m số nghiệm phương trình Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên Giaùo vieân : soá nghieäm cuûa phöông trình là số giao điểm (C ) và đường thẳng Học sinh dựa vào đồ thị nghiệm d: y = m( d là đường thẳng song song Ox cuûa phöông trình cắt Oy điểm có tung độ m) b) neáu m< - thì PT voâ nghieäm neáu m = -2 thì PT coù nghieäm keùp neáu – 2< m < 5/2 thì PT coù nghieäm ñôn phaân bieät neáu m = 5/2 thì PT coù nghieäm ñôn vaø nghieäm keùp x4 Ví duï 2: Khaûo saùt haøm soá sau : y = y    x  2 Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên Trang10 Lop10.com Gv: leâ coâng quyù Trường THPT Trị An TXÑ: D = R Goïi moät hoïc sinh leân baûng laøm, taát caû hoïc y’= -2x – 2x = -2x(x + 1) sinh khác nhìn vào phiếu học tập tự làm và so sánh kết với bạn y’ =  x =  y’(0) = Baûng bieán thieân x - + y’ + y - CÑ - y” = -6x2 – < ,  x R x - + y’’ ÑT Loài Đồ thị: điểm đặc biệt (-1;0) (1;0) Hoạt động 4: củng cố các dạng đồ thị Trang11 Lop10.com