Lập phương trình mặt cầu đi qua A cắt P theo giao tuyến là một đường tròn sao cho tứ diện ABCD đều với đáy BCD là tam giác đều nội tiếp đường tròn giao tuyến... ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC [r]
(1)TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH I ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN TOÁN, KHỐI 12 (2009-2010) Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số y x3 x 1 m x 3m (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m 2) Tìm tất các giá trị tham số thực m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số tạo với đường thẳng x y góc 30 Câu II (2 điểm) 1) Giải phương trình x x x sin x cos x 2) Giải phương trình tan x cos x sin x cos x dx Câu III (1 điểm) Tính tích phân I x 1 x Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S ABCD có SA x và tất các cạnh còn lại có độ dài a x 0, a Chứng minh đường thẳng BD vuông góc với mặt phẳng SAC Tìm x theo a để thể tích khối chóp S ABCD a3 Câu V (1 điểm) Cho ba số không âm a, b, c thay đổi luôn thoả mãn điều kiện a b c Chứng minh rằng: a b c 12abc PHẦN RIÊNG (3 điểm):Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho điểm A 3;3 và đường thẳng d : x y Lập phương trình đường tròn qua A cắt d hai điểm B, C cho AB AC và AB AC 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A 3; 2; 2 và mặt phẳng P có phương trình : x y z Viết phương trình mặt phẳng Q qua A , vuông góc với mặt phẳng P biết mặt phẳng Q cắt hai trục Oy, Oz hai điểm phân biệt M , N cho OM ON ( O là gốc toạ độ) Câu VII.a (1 điểm) 1 10 Tìm hệ số x8 khai triển thành đa thức của: x x 1 x B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho tam giác ABC có diện tích và đường thẳng AB có phương trình x y Biết điểm I (2;1) là trung điểm đoạn thẳng BC , hãy tìm tọa độ trung điểm K đoạn thẳng AC 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : x y z và A 2; 2; Lập phương trình mặt cầu qua A cắt P theo giao tuyến là đường tròn cho tứ diện ABCD với đáy BCD là tam giác nội tiếp đường tròn giao tuyến x x 1 y 2 log y Câu VII.b (1 điểm) Giải hệ phương trình x 1 y y -Hết - Lop12.net (2) TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH I Năm học 2009-2010 ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN KHỐI 12 (Đáp án- thang điểm gồm có 04 trang) Câu I Nội dung 1) Khi m , hàm số (1) trở thành: y x3 3x Tập xác định Sự biến thiên: y ' 3x x, y ' x x yCĐ=y(0)=4, yCT=y(2)=0 Bảng biến thiên x 0.25 0.25 y' Điểm y 0.25 f x = x3-3x2 +4 -10 -5 10 -2 -4 -6 Đồ thị 0.25 -8 2) y 3x x 1 m x x m Hàm số (1) có cực đại, cực tiểu phương trình y ' có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 và y ' đổi dấu x qua các nghiệm đó m y x 1 x x m 2mx 2m ; y x1 2mx1 2m ' 2 0.25 y x2 2mx2 2m Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) là y 2mx 2m 2mx y 2m Đường thẳng 2mx y 2m có véctơ pháp tuyến n1 2m;1 ; đường thẳng x y có véctơ pháp tuyến n2 1;1 Theo bài ta có 0.50 0.25 Lop12.net (3) n 2m 1 n2 2 cos 30 m 8m m 2 n1 n2 4m II 1) Điều kiện x 2x 1 0 3x x x x x x x x x 1 x 1 0.50 1 x 1 x 2x 1 x 3x x 2) Điều kiện cos x 0.50 Phương trình sin x cos x 2sin x cos 2 x sin 2 x sin x 0.50 sin x Do sin x thì cos x , nên có sin x x k k sin x Đặt x sin t dx cos tdt ; Khi x thì t ; Khi x thì t 0.50 III 0.25 cos tdt sin t cos t cos t sin t cos t sin t dt dt sin t cos t sin t cos t sin t cos t I 0.50 I IV t ln sin t cos t 0.25 Do B, D cách S , A, C nên BD SAC Gọi O AC BD Các tam giác ABD, BCD, SBD là các tam giác cân có đáy BD chung nên OA OC OS Do đó tam giác SAC vuông S 0.50 1 a x VS ABCD 2.VS ABC .BO.SA.SC ax AB OA2 ax a ax 3a x 3 x a a ax 3a x VS ABCD 6 x a 2 V 0.25 0.25 Với a b c thì a b c 12abc 12abc (a b c) ( a b c ) 12(a b c )abc 2( ab bc ca ) 0.50 3(a b c)abc (ab bc ca) 3(a b c)abc (ab bc ca) [( ab bc) (bc ca) (ca ab)2 ] (luôn đúng) Dấu xảy khi a b c VI.a 1) Gọi I , R là tâm và bán kính đường tròn cần tìm 0.50 Ta có R d A, d 2 Tâm I chính là hình chiếu vuông góc điểm A lên đường thẳng d Gọi a là đường thẳng qua A và vuông góc với d Suy a : x y 0.25 0.25 Lop12.net (4) x y Toạ độ tâm I là nghiệm hệ x y Tâm I 1;1 x y 0.25 Vậy đường tròn cần tìm có phương trình x 1 y 1 0.25 Vì ( P) (Q) nên n nP (1, 1, 1) (1) mặt phẳng Q cắt hai trục Oy, Oz hai điểm M 0; a;0 , N 0;0; b 0.25 n 2) Giả sử là vec tơ pháp tuyến (Q) 2 b a phân biệt cho OM ON nên a b b a Ta thấy n MN (2) Xét trường hợp Trường hợp 1: b a thì MN (0, a, a) / /u (0, 1,1) 0.25 Từ (1) và (2) suy có thể chọn n u, nP (2,1,1) là vec tơ pháp tuyến Q Mp Q có phương trình 2( x 3) ( y 2) ( z 2) x y z Khi đó Q cắt Oy, Oz M 0; 2;0 , N 0;0; ( thỏa mãn đề bài) 0.25 Trường hợp 2: b a thì MN (0, a, a) / / v(0,1,1) VII.a Từ (1) và (2) suy có thể chọn n v, nP (0,1, 1) là vec tơ pháp tuyến Q , Q có phương trình 0( x 3) ( y 2) ( z 2) y z Khi đó Q cắt Oy, Oz O 0;0;0 (không thỏa mãn đề bài) Vậy mặt phẳng Q có phương trình x y z 0.25 1 ( x x )(1 x)10 (4 x x 1)(1 x)10 (1 x)12 4 0.25 Theo khai triển Newton số hạng chứa x8 là 8 C12 x 0.50 8 C12 =31680 Đường thẳng IK qua I và song song với AB có phương trình x y Hệ số x8 VI.b 1 Chiều cao kẻ từ C ABC h= 12 (1) 0.25 0.25 2.S ABC 2 h AB suy K nằm trên đường tròn (C ) tâm I bán kính IK có phương trình ( x 2) ( y 1)2 AB 0.25 ( x 2) ( y 1) x y 1 Tọa độ điểm K là nghiệm hệ Tìm K 1;0 K 3; 0.25 2 0.25 Lop12.net (5) 2) Gọi H là hình chiếu vuông góc A lên mặt phẳng P Gọi d là x t đường thẳng qua A và vuông góc với P Ta có d : y t z t H d H t; t; t Mà H P nên t t t t 1 Vậy H 1;1;1 ; AH 0.25 2 3 ABH vuông H AB AH HB AB AB AB 3 Gọi M là trung điểm đoạn thẳng AB Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB cắt đoạn thẳng AH I Điểm I chính là tâm mặt cầu cần 0.25 tìm Ta có AM AB AI AH R AI 5 Từ AI AH Suy I ; ; 4 4 AB 3 AH 0.25 2 5 27 Mặt cầu cần tìm có phương trình: x y z 4 4 16 0.25 VII.b x 1 y x 1 2 log 1 y x 1 y y x Điều kiện 0 1 y x x Trường hợp 1: 1 y y 1 (1) x 21 y log x log 1 y x 21 y log 1 y log x Nếu x y thì vế trái dương, vế phải âm (loại); Nếu x y thì vế trái âm, vế phải dương (loại) Vậy x y hay y x Thay vào (2) ta có: x x x x Với x thì y 1 ; Với x thì y 2 (thoả mãn điều kiện) 0.50 x x Trường hợp 2: (*) 1 y y 1 Vậy hệ đã cho có hai nghiệm x; y (2; 1);(3; 2) Từ (2) có 5 y x 1 y y Mâu thuẫn với (*) 0.50 Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu đáp án mà đúng thì đủ điểm phần đáp án quy định Hết -Thạch Thành, ngày 30 tháng năm 2010 Người đề và làm đáp án: BÙI TRÍ TUẤN Lop12.net (6)