Đang tải... (xem toàn văn)
Tìm trên mặt phẳng tọa ñộ tập hợp tất cả các ñiểm mà từ ñó có thể kẻ ñược hai tiếp tuyến ñến ñồ x2 − 2x + 2 thị hàm số y = và hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau... Chú ý: Có thể chứng[r]
(1)ðẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN-TIN ðỀ THI THỬ ðẠI HỌC, CAO ðẲNG 2011 Môn thi : TOÁN - khối A Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao ñề) ðỀ THI THỬ I PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 ñiểm) Câu I (2,0 ñiểm) x −3 Khảo sát biến thiên và vẽ ñồ thị (C) hàm số y = x +1 Viết phương trình ñường thẳng d ñi qua ñiểm I ( −1;1) và cắt ñồ thị (C) hai ñiểm M, N cho I là trung ñiểm ñoạn MN Câu II (2,0 ñiểm) Giải phương trình sin x ( cos x + 3) − cos3 x − 3 cos x + ( ( ) cos x − s inx − 3 = ) 3 x3 − y = xy Giải hệ phương trình x y = Câu III (2,0 ñiểm) Cho x, y là các số thực thoả mãn x + xy + y = Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn biểu thức: M = x + y − xy a2 b2 c2 + + + ab + bc + ca ≥ a + b + c với số dương a; b; c a+b b+c c+a Câu IV (1,0 ñiểm) Cho lăng trụ tam giác ñều ABC A ' B ' C ' có cạnh ñáy là a và khoảng cách từ A a ñến mặt phẳng (A’BC) Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' 2 Chứng minh ( ) II PHẦN RIÊNG(3,0 ñiểm): Tất thí sinh ñược làm hai phần: A B A Theo chương trình Chuẩn Câu Va (1,0 ñiểm) Trong mặt phẳng tọa ñộ (Oxy) Lập phương trình ñường thẳng qua M ( 2;1) và tạo với các trục tọa ñộ tam giác có diện tích Câu VI.a (2,0 ñiểm) Giải bất phương trình + log x + log ( x + ) > log ( − x ) Tìm m ñể hàm số y = x3 − 3(m + 1) x + 2(m + m + 2) x − 2m(m + 2) có cực ñại và cực tiểu Viết phương trình ñường thẳng ñi qua ñiểm cực ñại và cực tiểu ñó B Theo chương trình Nâng cao 1 Câu Vb (1,0 ñiểm) Trong mặt phẳng tọa ñộ (Oxy) , cho ñiểm M 3; Viết phương trình chính 2 ( ) tắc elip ñi qua ñiểm M và nhận F1 − 3;0 làm tiêu ñiểm Câu VI.b (2,0 ñiểm) y + x = x + y Giải hệ phương trình x y +1 2 = Tìm trên mặt phẳng tọa ñộ tập hợp tất các ñiểm mà từ ñó có thể kẻ ñược hai tiếp tuyến ñến ñồ x2 − 2x + thị hàm số y = và hai tiếp tuyến này vuông góc với x −1 HẾT - Lop12.net (2) ðẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ======================================================================== ðÁP ÁN VÀ THANG ðIỂM Môn thi : TOÁN - khối A CÂU Ý Câu I (2,0ñ) Ý1 (1,0ñ) NỘI DUNG ðIỂM Tập xác ñịnh: D = R \ {−1} 0,25 ñ Sự biến thiên: • Giới hạn và tiệm cận: lim y = 1; lim y = ⇒ y = là TCN x →−∞ x →+∞ 0,25 ñ lim y = +∞; lim y = −∞ ⇒ x = −1 là TCð x →( −1)− y'= • x x →( −1)+ ( x + 1)2 > 0, ∀x ∈ D BBT: +∞ -1 -∞ + y' + y 0,25 ñ +∞ -∞ Hàm số ñồng biến trên các khoảng ( −∞; −1) , ( −1; +∞ ) Và không có cực trị ðồ thị: ðT cắt Ox (3;0), cắt Oy (0;-3) và ñối xứng qua ( −1;1) y y=1 -5 O x x = -1 -2 0,25 ñ Ý2 (1,0ñ) Gọi d là ñường thẳng qua I và có hệ số góc k d : y = k ( x + 1) + Ta có: d cắt ( C) ñiểm phân biệt M, N ⇔ PT : có nghiệm PB khác −1 x−3 = kx + k + x +1 Hay: f ( x ) = kx + 2kx + k + = có nghiệm PB khác −1 0,25 ñ 0,25 ñ - Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 Lop12.net (3) ðẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ======================================================================== k ≠ ⇔ ∆ = −4 k > ⇔ k < f −1 = ≠ ( ) Mặt khác: xM + xN = −2 = xI ⇔ I là trung ñiểm MN với ∀k < 0,25 ñ KL: PT ñường thẳng cần tìm là y = kx + k + với k < 0,25 ñ Chú ý: Có thể chứng minh ñồ thị ( C) có I là tâm ñối xứng, dựa vào ñồ thị ( C) ñể kết luận kết trên Câu II (2,0ñ) Ý1 (1,0ñ) ⇔2sin x.cos2 x +6sin x.cos x−2 3.cos3 x−6 3cos2 x+3 +8( 3.cos x−sin x) −3 =0 ⇔−2cos2 x( 3cos x−sin x) −6.cos x( 3cos x−sin x) +8( 3cos x−sin x) =0 0,50 ñ ⇔ ( cos x − sin x)(−2 cos x − cos x + 8) = tan x = cos x − sin x = ⇔ ⇔ cos x = cos x + 3cos x − = cos x = 4(loai ) Ý2 (1,0ñ) 0,25 ñ π x = + kπ ⇔ ,k ∈Ζ x = k 2π 0,25 ñ Ta có : x y = ⇔ xy = ±3 0,25 ñ ( ) Khi: xy = , ta có: x3 − y = và x3 − y = −27 ( ) Suy ra: x3 ; − y là nghiệm PT X − X − 27 = ⇔ X = ± 31 Vậy ngiệm PT là x = + 31, y = − − 31 Hay x = − 31, y = − + 31 ( ) 0,25 ñ 0,25 ñ Khi: xy = −3 , ta có: x3 − y = −4 và x3 − y = 27 ( ) Suy ra: x3 ; − y là nghiệm PT X + X + 27 = 0( PTVN ) Câu III (2,0ñ) Ý1 (1,0ñ) Ta ñặt t = x + y , từ giả thiết suy xy = t2 − 30 ðiều kiện t ≤ • Khi ñó M = x + y − xy = ( x + y ) − xy ( x + y ) − xy 0,25 ñ 0,25 ñ = −t − 3t + 6t + = f ( t ) 0,25 ñ 0,5 ñ 30 30 • Xét hàm f(t) với t ∈ − ; , ta ñược: 5 Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 Lop12.net (4) ðẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ======================================================================== 35 − 12 30 35 + 12 30 f ( t ) = ; max f ( t ) = 5 Ý2 (1,0ñ) Ta có: a2 ab ab =a− ≥a− =a− ab (1) a+b a+b 2 ab 0,50 ñ b2 c2 ≥b− bc (2), ≥c− ca (3) b+c c+a Cộng (1), (2), (3), ta có: a2 b2 c2 + + + ab + bc + ca ≥ a + b + c a+b b+c c+a Gọi M là trung ñiểm BC, hạ AH vuông góc với A’M BC ⊥ AM Ta có: ⇒ BC ⊥ ( AA ' M ) ⇒ BC ⊥ AH BC ⊥ AA ' a Mà AH ⊥ A ' M ⇒ AH ⊥ ( A ' BC ) ⇒ AH = 1 a Mặt khác: = + ⇒ AA ' = 2 AH A' A AM 3a KL: VABC A ' B ' C ' = 16 Gọi d là ðT cần tìm và A ( a; ) , B ( 0; b ) là giao ñiểm d với Ox, Tương tự: ( Câu IV (1,0ñ) Câu Va (1,0ñ) ) 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ x y + = Theo giả thiết, ta có: + = 1, ab = a b a b 0,25 ñ Khi ab = thì 2b + a = Nên: b = 2; a = ⇒ d1 : x + y − = 0,25 ñ Oy, suy ra: d : Khi ab = −8 thì 2b + a = −8 Ta có: b + 4b − = ⇔ b = −2 ± 2 ( : (1 + ) ( ) x ) + (1 − ) y + = KL ( x + x ) > log ( − x ) 0,25 ñ Với b = −2 + 2 ⇒ d : − x + + y − = Với b = −2 − 2 ⇒ d3 Câu VIa (2,0ñ) Ý1 (1,0ñ) ðK: < x < BPT ⇔ log 2 2 0,25 ñ Hay: BPT ⇔ x + x > ( − x ) ⇔ x + 16 x − 36 > 0,25 ñ Vậy: x < −18 hay < x 0,25 ñ Ý2 (1,0ñ) 0,25 ñ So sánh với ñiều kiện KL: Nghiệm BPT là < x < 0,25 ñ Ta có y ' = x − 6(m + 1) x + 2(m + m + 2) 0,25 ñ HS có Cð, CT phương trình x − 6(m + 1) x + 2(m + m + 2) = có 0,25 ñ 2 hai nghiệm phân biệt Hay m < − 17 m > + 17 - Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 Lop12.net (5) ðẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ======================================================================== Chia y cho y’ ta có y = y '( x)q ( x) + r ( x) ; 2 0,25 ñ r ( x) = − (m − 8m − 1) x + (m3 + 5m + 3m + 2) 3 y '( x) = ⇒ y = r ( x) Toạ ñộ ñiểm cực trị là nghiệm hệ y = y '( x).q ( x) + r ( x) Vậy phương trình ñường thẳng cần tìn là 2 0,25ñ y = − (m − 8m − 1) x + (m3 + 5m + 3m + 2) 3 Câu Vb x y2 PTCT elip có dạng: + = 1(a > b > 0) (1,0ñ) 0,25 ñ a b2 a − b = Ta có: + =1 a 4b 0,25 ñ Ta có: 4b − b − = ⇔ b = 1(th), b = − (kth) 2 x y Do ñó: a = KL: + =1 Câu VIb (2,0ñ) Ý1 (1,0ñ) 0,25 ñ 0,25 ñ y + x = x + y ⇔ ( y − x )( y + x − = ) ⇔ y = x, y = − x 0,50 ñ Khi: y = − x thì x = 32− x ⇔ x = ⇔ x = log 0,25 ñ x Khi: y = x thì = x Ý2 (1,0ñ) x +1 2 ⇔ = ⇔ x = log 3 Gọi M(a;b) là ñiểm thoả mãn ñề bài Khi ñó ñường thẳng qua M có dạng y = k ( x − a ) + b Sử dụng ñiều kiện tiếp xúc cho ta hệ (1) x − + x − = k ( x − a ) + b x − + x − = k ( x − a ) + b ⇔ 1 − = k x − − = k ( x − 1) (*) (2) x −1 ( x − 1) 1 Lấy (1) – (2) ta có = [ k (1 − a ) + b ] x −1 Kết hợp với (*) cho ta k ≠ k ≠ ⇔ k (1 − a ) + b 2 =k (a − 1) k + [ (1 − a )b + 2] k + b − = 1 − ðể từ M kẻ ñược hai tiếp tuyến vuông góc ñến ñồ thị hàm số thì hệ phương trình trên phải có nghiệm phân biệt k1 , k2 cho k1.k2 = −1 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ - Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 Lop12.net (6) ðẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ======================================================================== a − ≠ a ≠ b −4 Hay = −1 ⇔ (a − 1) + b = 0,25 ñ − a ( 1) −a + b + ≠ (a − 1) + [ (1 − a )b + 2] + b − ≠ Vậy tập hợp ñiểm M thoả mãn yêu cầu bài toán thuộc ñường tròn ( x − 1) + y = trừ bỏ ñi giao ñiểm ñường tròn này với ñường thẳng : x = và –x + y + = 0,25 ñ HẾT - Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 Lop12.net (7)