Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d1 và tiếp xúc với d2 và d3.. Viết phương trình đường thẳng đi qua A, cắt đường thẳng D và song song với P.[r]
(1)TRƯỜNG THPT CHUYÊN – ĐHSP HÀ NỘI Đề số 17 ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010 Môn thi: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) I PHẦN CHUNG (7 điểm) Câu I (2 điểm): Cho hàm số y = x + 9mx + 12m x + (m là tham số) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số m = –1 2) Tìm tất các giá trị m để hàm số có cực đại xCĐ, cực tiểu xCT thỏa mãn: x 2CÑ = xCT Câu II (2 điểm): 1) Giải phương trình: 2) Giải hệ phương trình: x + +1 = x + x æ æ 5p ö pö 5cos ç x + ÷ = 4sin ç - x÷ – è 3ø è ø Câu III (1 điểm): Tìm họ nguyên hàm hàm số: f ( x) = x ln( x + 1) + x x2 + Câu IV (1 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có SA = x và tất các cạnh còn lại có độ dài a Chứng minh đường a3 æ öæ 3ö æ öæ 1ö Câu V (1 điểm): Cho các số thực không âm a, b Chứng minh rằng: ç a2 + b + ÷ ç b2 + a + ÷ ³ ç 2a + ÷ç 2b + ÷ è øè 4ø è øè 2ø thẳng BD vuông góc với mặt phẳng (SAC) Tìm x theo a để thể tích khối chóp S.ABCD II PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm) Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm): 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ba đường thẳng: d1 : x + y – = , d2 : x + y + = , d3 : x + y + = Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d1 và tiếp xúc với d2 và d3 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;2; –1), đường thẳng (D): x-2 y z+2 = = và mặt phẳng (P): x + y - z + = Viết phương trình đường thẳng qua A, cắt đường thẳng (D) và song song với (P) Câu VII.a (1 điểm): Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số đôi khác nhau, đó có mặt chữ số không có mặt chữ số 1? Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm): x + my + - = và đường tròn có phương trình (C ) : x + y - x + y - = Gọi I là tâm đường tròn (C ) Tìm m cho (d ) cắt (C ) hai điểm phân biệt A và B Với giá trị nào m thì diện tích tam giác IAB lớn và tính giá trị đó 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng (d ) : 2 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm S(0;0;1), A(1;1;0) Hai điểm M(m; 0; 0), N(0; n; 0) thay đổi cho m + n = và m > 0, n > Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SMN) Từ đó suy mặt phẳng (SMN) tiếp xúc với mặt cầu cố định x +1 ( x – 2.2 x – ) log2 x – > - x Câu VII.b (1 điểm): Giải bất phương trình: ============================ Trần Sĩ Tùng Lop12.net (2) Hướng dẫn: I PHẦN CHUNG Câu I: 2) y¢ = x + 18mx + 12 m = 6( x + 3mx + 2m ) Hàm số có CĐ và CT Û y¢ = có nghiệm phân biệt x1 , x2 Û D = m > Û m ¹ Khi đó: x1 = ( -3m - m ) , x2 = ( -3m + m ) Dựa vào bảng xét dấu y¢ suy xCÑ = x1 , xCT = x2 2 Do đó: x CÑ = xCT æ -3m - m ö -3m + m Û m = -2 Ûç ÷ = è ø 2 Câu II: 1) Điều kiện x ³ PT Û x - + x - x + = Û (2 x + 1)(2 x - 1) + 2x -1 3x + x + =0 ö ÷ = Û 2x -1 = Û x = 3x + x + ø è æ æ pö pö pö p 2æ 2) PT Û 10 sin ç x + ÷ + sin ç x + ÷ - 14 = Û sin ç x + ÷ = Û x = + k2p è è 6ø 6ø è 6ø æ Û (2 x - 1) ç x + + Câu III: Ta có: f ( x ) = x ln( x + 1) + x( x + 1) - x = x ln( x + 1) + x- x x +1 x +1 x +1 x +1 1 2 Þ F ( x ) = ò f ( x )dx = ò ln( x + 1)d ( x + 1) + ò xdx - ò d ln( x + 1) 2 1 = ln ( x + 1) + x - ln( x + 1) + C 2 Câu IV: Do B và D cách S, A, C nên BD ^ (SAC) Gọi O là tâm đáy ABCD Các tam giác ABD, BCD, SBD là các tam giác cân và có đáy BD chung nên OA = OC = OS Do đó DASC vuông S 1 Ta có: VS ABCD = 2VS ABC = BO.SA.SC = ax AB2 - OA2 = ax a2 Do đó: VS ABCD = a2 + x = ax 3a2 - x éx = a a3 a3 Û ax 3a - x = Û ê 6 ëx = a 2 1 æ 1ö 1 Câu V: Ta có: a2 + b + = a2 - a + + b + a + = ç a - ÷ + a + b + ³ a + b + 4 è 2ø 2 Tương tự: b2 + a + ³ a + b + 2 æ 1ö æ öæ 1ö (*) Ta chứng minh ç a + b + ÷ ³ ç a + ÷ç (2b + ÷ è 2ø è øè 2ø 1 Thật vậy, (*) Û a2 + b2 + 2ab + a + b + ³ 4ab + a + b + Û (a - b)2 ³ 4 Dấu "=" xảy Û a = b = II PHẦN TỰ CHỌN Theo chương trình chuẩn Câu VI.a: 1) Gọi tâm đường tròn là I (t;3 - 2t ) Î d1 3t + 4(3 - 2t ) + 4t + 3(3 - 2t ) + ét = = Û ê 5 ët = 49 Vậy có đường tròn thoả mãn: ( x - 2)2 + ( y + 1)2 = và ( x - 4)2 + ( y + 5)2 = 25 25 Khi đó: d ( I , d2 ) = d ( I , d3 ) Û ìx = + t x-2 y z+2 ï r 2) (D) : = = Û í y = 3t (P) có VTPT n = (2;1; -1) ï z = -2 + 2t î Trần Sĩ Tùng Lop12.net (3) Gọi I là giao điểm (D) và đường thẳng d cần tìm Þ I (2 + t;3t; -2 + 2t ) uur Þ AI = (1 + t ,3t - 2, -1 + 2t ) là VTCP d uur uur r Do d song song mặt phẳng (P) Û AI n = Û 3t + = Û t = - Þ AI = ( 2; -9; -5 ) x -1 y - z +1 = = Vậy phương trình đường thẳng d là: -9 -5 Câu VII.a: Gọi số cần tìm là: x= x = a1a2 a3 a4 a5 a6 Vì không có mặt chữ số nên còn chữ số 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, để thành lập số cần tìm Vì phải có mặt chữ số và a1 ¹ nên số cách xếp cho chữ số là cách Số cách xếp cho vị trí còn lại là : A85 Vậy số các số cần tìm là: A85 = 33.600 (số) Theo chương trình nâng cao Câu VI.b: 1) (C ) có tâm I (1; –2) và bán kính R = - 2m + - < + m Û - 4m + 4m2 < 18 + 9m2 Û 5m2 + 4m + 17 > Û m Î R 1 = IA.IB sin · AIB £ IA.IB = Ta có: S IAB 2 Vậy: S lớn là · AIB = 900 Û AB = R = Û d ( I , d ) = IAB 2 2 + m Û 16m2 - 16m + = 36 + 18m2 Û 2m + 16m + 32 = Û m = -4 Û - 2m = uuur uuur r 2) Ta có: SM = (m;0; -1), SN = (0; n; -1) Þ VTPT (SMN) là n = (n; m; mn) Phương trình mặt phẳng (SMN): nx + my + mnz - mn = n + m - mn - m.n - mn Ta có: d(A,(SMN)) = = = =1 - mn 2 2 2 - 2mn + m n n +m +m n (d) cắt (C ) điểm phân biệt A, B Û d ( I , d ) < R Û Suy (SMN) tiếp xúc mặt cầu tâm A bán kính R=1 cố định Câu VII.b: BPT Û (4 x - 2.2 x - 3).log2 x - > x +1 - x Û (4 x - 2.2 x - 3).(log2 x + 1) > é ì x > log2 êï é ì22 x - 2.2 x - > é ì2 x > êí êí ê ïí x > é x > log2 x x log + > log > Û êî Û êî Ûê Û êî ê ì x < log ê ì22 x - 2.2 x - < ê ì2 x < ê0 < x < êí êí êï ë êë îlog2 x < -1 ê í0 < x < ëê îlog2 x + < êë ïî ===================== Trần Sĩ Tùng Lop12.net (4)