2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, lập phương trình mặt cầu S biết rằng mặt phẳng Oxy và mặt phẳng P: z = 2 lần lượt cắt S theo hai đường tròn có bán kính bằng 2 và 8... 2 Trong khôn[r]
(1)Trường THPT Chuyên LƯƠNG VĂN CHÁNH PHÚ YÊN Đề số 15 ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010 Môn thi: TOÁN – Khối B Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) I PHẦN CHUNG (7 điểm) Câu I (2 điểm): Cho hàm số y = f ( x) = x - mx + 2m (1) ( m là tham số) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Tìm tất các giá trị m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm Câu II (2 điểm): 1) Giải phương trình: 2) Giải hệ phương trình: 2sin x + sin x + = sin x + cos x ìï ( x - y ) = xy í ïî2 x - y = p Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I= sin x ò cos x dx Câu IV (1 điểm): Cho hình chóp tam giác S.ABC có các cạnh bên có độ dài a và các mặt bên hợp với mặt đáy góc 450 Tính thể tích hình chóp đó theo a æ1 1ö £ ( x + y)ç + ÷ £ èx yø Câu V (1 điểm): Cho các số thực x , y thuộc đoạn [ 2; 4] Chứng minh rằng: II PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm) Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm): 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d1 :2 x + y + = ; d :5 x - y - = cắt A và điểm P(-7;8) Viết phương trình đường thẳng d3 qua P tạo với d1 , d thành tam giác cân A và có diện tích 29 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, lập phương trình mặt cầu (S) biết mặt phẳng Oxy và mặt phẳng (P): z = cắt (S) theo hai đường tròn có bán kính và a a3 a n +1 n 127 Câu VII.a (1 điểm): Tìm a và n nguyên dương thỏa : aC + Cn + Cn + + Cn = và An3 = 20n (n + 1) n Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm): 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, lập phương trình đường thẳng () qua gốc tọa độ và cắt đường tròn (C) có phương trình : x + y - x + y - 15 = thành dây cung có độ dài 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (a) chứa đường thẳng (): x -1 y z = = và tạo với mặt -1 -2 phẳng (P) : x - y - z + = góc 600 Tìm tọa độ giao điểm M mặt phẳng (a) với trục Oz ( ) Câu VII.b (1 điểm): Tìm giá trị tham số m phương trình x - m.3 x ============================ Trần Sĩ Tùng Lop12.net (1+ x)(2- x ) = có nghiệm (2) Hướng dẫn: I PHẦN CHUNG Câu I: 2) y¢ = 3x - 2mx = x (3 x - 2m) · Khi m = thì y¢ = 3x ³ Þ (1) đồng biến trên R Þ thoả yêu cầu bài toán · Khi m ¹ thì (1) có cực trị x1 = , x2 = 2m Do đó đồ thị cắt Ox điểm f ( x1 ) f ( x2 ) > Û 2m(2m - 4m3 2m ) > Û 4m2 (1 )>0 27 27 ìm ¹ ï Ûí 6 <m< ïî 2 æ 6ö ; ÷ thì đồ thị (1) cắt Ox điểm ç 2 ÷ø è Kết luận: m Î ç Câu II: 1) PT Û é Û ê êë ( sin x + cos x ) = sin x + cos x Û ( sin x + cos x )( sin x + cos x - 1) = é p é tan x = x = - + kp ê ê sin x + cos x = Û ê Û ê ê æ pö p sin x + cos x - = ê x = k 2p ; x = 2p + k 2p êsin ç x + ÷ = sin êë 6ø ë è ìï ( x - y ) = xy (1) ïî2 x - y = (2) 2) í Điều kiện : x y ³ ; x ³ y Ta có: (1) Û 3( x - y )2 = xy Û (3 x - y )( x - y ) = Û x = y hay x = · Với x = y , vào (2) ta : y - y + = Û y = ; y = ì x = ì x = 12 ;í îy = îy = Þ Hệ có nghiệm í y , vào (2) ta : y - y + 24 = Vô nghiệm ì x = ì x = 12 Kết luận: hệ phương trình có nghiệm là: í ;í îy = îy = · Với x = p p sin x sin x Câu III: I = ò dx = ò dx Đặt t = cos x Þ dt = - sin xdx cos x cos x - 0 Đổi cận: x = Þ t = 1; x = Ta I = - ò p Þt = 1 2t - dt = ln 2t - 2 2t + = 2 ln 3- 2 5-2 · = 450 Câu IV: Kẻ đường cao SH, gọi I là trung điểm BC Giả thiết cho SIH Gọi x là độ dài cạnh DABC Suy : AI = x x x , AH = , HI = æx 3ö SAH vuông H Þ SH = SA - AH = a - ç ç ÷÷ è ø 2 2 Trần Sĩ Tùng Lop12.net y (3) x SHI vuông cân H Þ SH = HI = 2 æx 3ö æx 3ö 15a Suy ra: ç = a ÷ çç ÷÷ Þ x = ç ÷ è ø è ø 1 5a 3a a 15 Do đó: VS ABC = SH dt ( ABC ) = = 3 5 25 æ1 1ö æx yö x Câu V: Gọi A = ( x + y ) ç + ÷ = + ç + ÷ Đặt t = thì A = f (t ) = + t + y t èx yø è y xø ì2 £ x £ x ï é1 ù Với x, y Î [ 2; 4] Þ í 1 Þ £ £ Þ t Î ê ; ú y ë2 û ï4 £ y £ î t -1 é1 ù Ta có: f ¢ (t ) = - = ; f ¢ (t ) = Û t = 1Î ê ; 2ú t t ë2 û 9 æ1ö f ç ÷ = f (2) = ; f (1) = Þ £ A £ (đpcm) 2 è 2ø II PHẦN TỰ CHỌN Theo chương trình chuẩn Câu VI.a: 1) Ta có A(1; -1) và d1 ^ d Phương trình các đường phân giác các góc tạo d1 , d là: D1: x + y - = và D2: x - y - 10 = d3 tạo với d1 , d tam giác vuông cân Þ d3 vuông góc với D1 D2 Þ Phương trình d3 có dạng: x + y + C = hay x - y + C ¢ = Mặt khác, d3 qua P (-7;8) nên C = 25 ; C¢ = 77 Suy : d3 : x + y + 25 = hay d3 :3 x - y + 77 = Theo giả thiết tam giác vuông cân có diện tích 29 Þ cạnh huyền 58 58 = d ( A, d3 ) 58 · Với d3 : x + y + 25 = thì d ( A; d3 ) = ( thích hợp) 87 · Với d3 : x - y + 77 = thì d ( A; d3 ) = ( loại ) 58 Suy độ dài đường cao A H = 2) Theo giả thiết mp(Oxy) và (P): z = vuông góc với trục Oz , cắt mặt cầu theo đường tròn tâm O1 (0, 0, 0) , bán kính R1 = và tâm O2 (0, 0, 2) , bán kính R2 = Suy tâm mặt cầu (S) là I (0, 0, m) Î Oz ìï R = 22 + m 2 R là bán kính mặt cầu thì : í Þ + m = 64 + m - Û m = 16 2 ïî R = + m - Þ R = 65 , I ( 0; 0;16 ) Vậy phương trình mặt cầu (S) : x + y + ( z - 16)2 = 260 Câu VII.a: An3 = 20n Û n(n - 1)(n - 2) = 20n Û n - 3n - 18 = Û n = và n = – ( loại ) a2 a7 127 C6 + + C66 = 7 2 3 Ta có : (1 + x ) = C6 + C6 x + C6 x + C6 x + C64 x + C65 x + C66 x Khi đó: a.C6 + a a a é x2 ù é (1 + x)7 ù a2 a7 6 éx ù Nên ò (1 + x) dx = C [ x ]0 + C ê ú + + C6 ê ú Û ê ú = a.C6 + C6 + + C6 ë û0 ë û0 ë û0 a 6 a Trần Sĩ Tùng Lop12.net (4) Û (1 + a )7 127 - = Þ (1 + a)7 = 128 Þ (1 + a )7 = 27 Û a = 7 Vậy a = và n = Theo chương trình nâng cao Câu VI.b: 1) (C) có tâm I (1; -3) và bán kính R = Gọi H là trung điểm dây cung AB thì AH = và IH = R - AH = 52 - = hay d ( I , D) = (*) () qua gốc tọa độ nên phương trình có dạng: Ax + By = ; A2 + B ¹ A - 3B = Û A(4 A + 3B) = Û A = hay A + 3B = A2 + B · Với A + 3B = , chọn A = 3; B = – Þ Phương trình (): x - y = Từ (*) cho : · Với A = 0, chọn B = Þ Phương trình (): y = Kết luận : PT () là x - y = hay y = ur r uuuur ur uuuur ur Giao điểm M(0;0;m) cho AM = (-1;0; m) (a) có VTPT n = é AM , u ù = (m; m - 2;1) ë û 2) () qua điểm A(1;0;0) và có VTCP u = (1; -1; -2) (P) có VTPT n¢ = (2; -2; -1) (a) và (P): x - y - z + = tạo thành góc 600 nên : r r cos n , n¢ = Û ( ) = Û 2m - 4m + = Û m = - hay m = + 2 2m - 4m + Kết luận : M (0; 0; - 2) hay M (0; 0; + 2) ì -1 £ x £ ì -1 £ x £ ï Ûí Câu VII.b: PT Û í x x = x m î ïîm = 3x x - x.ln ; f ¢ ( x) = Û x = Î [ -1; 2] , f ¢ ( x) = x x 3 ln 1 æ ö f (-1) = -3 ; f (2) = ; f ç Þ -3 £ f ( x ) £ ; x Î [ -1; 2] ÷= e.ln è ln ø e.ln Kết luận : Khi -3 £ m £ thì PT có nghiệm e.ln Đặt : f ( x ) = ===================== Trần Sĩ Tùng Lop12.net (5)