Luyện thi đại học - Phần I: Đại số tổ hợp và xác suất thống kê

Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành với 3 đỉnh là các điểm đã lấy ở trên?. Bài 17: Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 5 người khách vào 5 ghế xếp thành một dãy?[r]

Tại liệu LTĐH 2009 -2010 GV: Lưu Xuân Hiển Phần I: ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT THỐNG KÊ I Đại số tổ hợp Quy tắc đếm a) Quy tắc cộng : Giả sử thực công việc V ta phải xét k trường hợp (phương án) riêng biệt, mà: Trường hợp 1: có n1 cách thực việc V Trường hợp 2: có n2 cách thực ………… Trường hợp k: có nk cách thực Khi đó ta có tất (n1 + n2 + … + nk) cách thực công việc V b) Quy tắc nhân : Giả sử thực công việc V ta cần thực qua k giai đoạn liên tiếp nhau, mà: Giai đoạn 1: có n1 cách thực Giai đoạn 2: có n2 cách thực ………… Giai đoạn k: có nk cách thực Khi đó ta có tất (n1.n2 … nk) cách thực công việc V b) Các ví dụ: Ví dụ 1: Hỏi có bao nhiêu cách xếp người ngồi vào dãy ghế, ghế người ? Giải Mỗi cách xếp người ngồi vào dãy ghế, ghế người thực qua giai đoạn: + Giai đoạn 1: Xếp người vào ghế thứ có cách + Giai đoạn 2: Xếp người vào ghế thứ hai có cách + Giai đoạn 3: Xếp người vào ghế thứ ba có cách + Giai đoạn 4: Xếp người vào ghế thứ tư có cách Vậy cĩ tất cả: 4.3.2.1 = 24 cách xếp Ví dụ 2: Hỏi có bao nhiêu cách xếp người ngồi vào dãy ghế, ghế người ? Lop12.net Tại liệu LTĐH 2009 -2010 GV: Lưu Xuân Hiển Giải Mỗi cách xếp người ngồi vào dãy ghế, ghế người thực qua giai đoạn: + Giai đoạn 1: Xếp người vào ghế thứ có cách + Giai đoạn 2: Xếp người vào ghế thứ hai có cách + Giai đoạn 3: Xếp người vào ghế thứ ba có cách + Giai đoạn 4: Xếp người vào ghế thứ tư có cách Vậy có tất cả: 6.5.4.3 = 360 cách xếp Ví dụ 3: Hỏi có bao nhiêu cách xếp người ngồi vào dãy ghế, người ghế ? Giải Mỗi cách xếp người ngồi vào dãy ghế, người ghế thực qua giai đoạn: + Giai đoạn 1: Người thứ chọn ghế có cách + Giai đoạn 2: Người thứ hai chọn ghế có cách + Giai đoạn 3: Người thứ ba chọn ghế có cách + Giai đoạn 4: Người thứ tư chọn ghế có cách Vậy có tất cả: 6.5.4.3 = 360 cách xếp Ví dụ 4: Có đường từ A đến B, đường từ B đến C, đường từ C đến D và đường từ A đến C không qua B Hỏi có bao nhiêu cách chọn đường đi: 1/ Từ A đến C ? 2/ Từ A đến D ? 3/ Từ B đến D ? 4/ Từ A đến C ? Chú ý: Mỗi cách chọn đường đi, địa điểm A, B, C, D qua không quá lần Hoán vị a) Định nghĩa: Mỗi cách xếp n phần tử theo thứ tự định gọi là hoán vị n phần tử đó Ví dụ: Với phần tử A, B,C có hoán vị: AB, BA, AC, CA, BC, CB b) Công thức tìm số hoán vị Kí hiệu: Pn là số hoán vị n phần tử Ta có: Pn = n! Chú ý: 0! = Lop12.net Tại liệu LTĐH 2009 -2010 GV: Lưu Xuân Hiển n! = n(n – 1)(n – 2)(n – 3)…3.2.1 Chỉnh hợp a) Định nghĩa: Mỗi cách chọn và xếp k phần tử từ n phần tử cho trước theo thứ tự định gọi là chỉnh hợp chập k n phần tử Ví dụ: Với phần tử A, B, C các chỉnh hợp chập phần tử trên là: AB, BA, AC, CA, BC, CB b) Công thức tìm số chỉnh hợp Kí hiệu: Ank là số chỉnh hợp chập k n phần tử n!  (n  k  1)(n  k  2) n Ta có: Ank  (n  k )! Tổ hợp a) Định nghĩa: Mỗi cách chọn k phần tử từ n phần tử cho trước gọi là tổ hợp chập k n phần tử Ví dụ: Với phần tử A, B, C các tổ hợp chập phần tử trên là: {A;B}, {A;C}, {B;C} b) Công thức tìm số tổ hợp Kí hiệu: Cnk là số tổ hợp chập k n phần tử n! Ta có: Cnk  k !.(n  k )! c) Tính chất + Cnk  Cnn  k (0  k  n) (1) + Cnk  Cnk1  Cnk11 (0  k  n) (2) Chú ý: Cần phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp, chỉnh hợp chọn và xếp còn tổ hợp chọn mà không xếp 5.Công thức nhị thức Newton, Tam giác Pascal a) Nhị thức Newton Nhà toán học Newton đã đưa công thức khai triển các đẳng thức dạng (a + b)n cách tổng quát với n nguyên dương sau: (a + b)n = C0n an + C1n an – 1.b + C2n an – 2.b2 + + Cnn bn Chú ý: + Trong khai triển nhị thức Newton có ( n + 1) số hạng + Trong toán học người ta kí hiệu n a i 1 n đến n a : i 1 i đọc i  a1  a2   an ; xích_ma (tổng) với i chạy từ là Lop12.net Tại liệu LTĐH 2009 -2010 GV: Lưu Xuân Hiển + Sử dụng kí hiệu xích_ma thì khai triển nhị thức Newton viết sau: (a + b)n = n C k 0 k n .a n  k b k ; số hạng Tk + = Ckn an – k.bk gọi là số hạng tổng quát khai triển và là số hạng thứ (k + 1) khai triển Tính chất: + 2n = (1 + 1)n = C0n + C1n + C2n + + Cnn + = (1 - 1)n = C0n - C1n + C2n + + (-1)n Cnn + C0n + C2n + C4n + … = C1n + C3n + C5n + … = 2n – b) Tam giác Pascal Nhà toán học Pascal đã dựa vào tính chất k k k 1 k Cn  Cn 1  Cn 1 (1  k  n) để xác định các hệ số Cn khai triển nhị thức Niutơn dạng tam giác, gọi là tam giác Pascal sau: k n 1 1 2 3 4 5 10 10 6 15 20 15 … … … … … … … … … … Chú ý: Trong tam giác Pascal trên ta có: 10 = C52  C41  C42  = + Lop12.net Tại liệu LTĐH 2009 -2010 GV: Lưu Xuân Hiển Vấn đề 1: Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình Bài 1: Giải các phương trình sau: m ! (m  1)!  1/ 2/ An2  42  A22n (m  1)! 3/ Cn  Cn  Cn  5n 4/ An2  50  A22n 5/ C14k  C14k   2C14k 1 6/ Px Ax2  72  6( A·2x  Px ) 7/ Ax3  Ax2  21x 8/ A10 x  Ax  Ax 9/ C 1x  6C x2  6C x2  x1  14 x Bài 2: Giải các bất phương trình sau: C x 3 1/ x41  Ax 1 14 P3 3/ Ax3 5 Ax2 10/ Ax3  C x2  14C xx 1 2/ 2Cx21 3 Ax2 4/ 21x A2 x  Ax2 30 Cx 10 x Bài 3: Giải các hệ phương trình sau: 2 Axy  5C xy  90 1/  y 2/ Cxy1 : Cxy 1 : Cxy 1  : : 5 Ax  2C xy  80 Vấn đề 2: CÁC BÀI TOÁN ĐỐ Bài 1: Có thể lập bao nhiêu số có chữ số từ các số 1, 2, 3, 4, 5, Trong đó và có mặt hai lần, các số còn lại lần Bài 2: Có bao nhiêu số chẵn gồm chữ số khác đó chữ số đầu tiên là số lẻ Bài 3: Có bao nhiêu số gồm chữ số khác đó có đúng chữ số chẵn và chữ số lẻ Bài 4: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số đôi khác đó có mặt số không có mặt số 1? Bài 5: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số biết số có mặt lần, số có mặt lần, các chữ số còn lại không quá lần? Bài 6: Cho hai đường thẳng song song d1 và d2 Trên đường thẳng d1 lấy 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d2 có n điểm phân biệt (n>1) Biết có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho Tìm n Bài 7: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, có thể lâp bao nhiêu số chẵn, số có chữ số khác đó có đúng chữ số lẻ và hai chữ số lẻ đó đứng cạnh nhau? Lop12.net Tại liệu LTĐH 2009 -2010 GV: Lưu Xuân Hiển Bài 8: Từ các số 0,1, 2, 3, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác nhau? Tính tổng tất các số tự nhiên đó Bài 9: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số cho: Chữ số có mặt hai lần, số có mặt lần, số còn lại phân biệt Bài 10: Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số cho không có chữ số nào lặp lại lần Bài 11: Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số cho: Số có mặt 2lần, số có mặt lần, các số còn lại không quá lần Bài 12: Cho đa giác A1, A2, A2n nội tiếp đường tròn tâm O, biết số tam giác có các đỉnh là 2n điểm A1, A2, A2n gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh là 2n điểm.Tìm n Bài 13: Từ các số 1, 2, ., Lập bao nhiêu số có chữ số khác và chia hết cho Bài 14: Có bao nhiêu số tự nhiên chẳn gồm chữ số khác và không bắt đầu 123 Bài 15: Một chi đoàn có 20 đoàn viên đó có 10 nữ Muốn chọn tổ công tác người Có bao nhiêu cách chọn tổ tổ cần ít người nữ ? Bài 16: Có hai đường thẳng d1 và d2 song song với nhau, trên d1 lấy 15 điểm phân biệt, trên d2 lấy điểm phân biệt Hỏi có bao nhiêu tam giác tạo thành với đỉnh là các điểm đã lấy trên ? Bài 17: Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho người khách vào ghế xếp thành dãy ? Mỗi người ghế Bài 18: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác và thỏa: 1/ Là số chẵn 2/ Là số chẵn và phải có mặt chữ số 3/ Là số lẻ 4/ Là số lẻ và phải có mặt chữ số 5/ Phải có mặt chữ số không có mặt chữ số Bài 20: Từ các số 1, 5, 6, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có chữ số? Chú ý: “số tự nhiên có từ hai chữ số trở lên, thì quy ước chữ số đầu tiên phải khác chữ số Khi làm bài số tự nhiên cần chú ý các chữ số có khác hay không?” Bài 21: Từ các chữ số 0,1, 2, 3, 4, 5, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên chẵn : 1/ có ba chữ số ? 2/ có ba chữ số khác nhau? Bài 22: Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số là số chẵn ? Lop12.net Tại liệu LTĐH 2009 -2010 GV: Lưu Xuân Hiển Bài 23: Có bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số, đó các chữ số cách chữ số đứng thì giống ? Bài 24: Có bao nhiêu số tự nhiên có sáu chữ số và chia hết cho ? Bài 25: Một đội văn nghệ đã chuẩn bị kịch, điệu múa và bài hát Tại hội diễn, đội phép trình diễn kịch, bài hát và điệu múa Hỏi đội văn nghệ nói trên 1/ có bao nhiêu cách chọn các tiết mục biểu diễn ? 2/ có bao nhiêu cách trình diễn chương trình văn nghệ ? Bài 26: Từ thành phố A đến thành phố B có đường, từ thành phố A đến thành phố C có đường, từ thành phố B đến thành phố D có đường, từ thành phố C đến thành phố D có đường Không có đường nào nối B với C Hỏi có tất bao nhiêu đường từ thành phố A đến thành phố D? ( Mỗi cách chọn đường qua thành phố nhiều lần) Bài 27: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khác và khác không, biết tổng ba chữ số này 8? Bài 28: Có bao nhiêu đường chéo thập giác lồi? Bài 29: Có bao nhiêu cách phân phối hết đồ vật khác cho người cho: 1/ Một người nhận đồ vật, còn hai người người nhận hai đồ vật? 2/ Mỗi người nhận ít đồ vật? Bài 30: 1/ Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác và giảm dần từ trái sang phải? 2/ Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác và tăng dần từ trái sang phải? 3/ Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số đó hai chữ số kề phải khác nhau? Bài 31: Xét các số tự nhiên gồm chữ số khác lập nên từ các chữ số 1, 2, 3, 4, Hỏi các số đó có bao nhiêu số: 1/ Bắt đầu chữ số 4? 2/ Không bắt đầu chữ số 1? 3/ Bắt đầu 23? 4/ Không bắt đầu 453? Bài 32: Từ các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác và không vượt quá 45000 ? Bài 33: Cho tap X ={ a, b, c, d,e} Hãy lập tất các tập X thỏa: a/ Không chứa phần tử a b/ Phải có chứa phần tử e không chứa phần tử d Lop12.net Tại liệu LTĐH 2009 -2010 GV: Lưu Xuân Hiển Bài 34: Các đa giác sau đây có bao nhiêu đường chéo? a/ Ngũ giác lồi b/ Đa giác lồi có 12 cạnh c/ Đa giác lồi có n cạnh ( n > 3) Bài 35: 1/ Trong mặt phẳng có n điểm phân biệt cho không có điểm nào thẳng hàng Hỏi có thể lập bao nhiêu đường thẳng qua hai điểm n điểm đã cho? Lập bao nhiêu tam giác có đỉnh lấy từ n điểm đã cho? 2/ Trong mặt phẳng có n điểm, đó có m điểm thẳng hàng (m< n) các điểm còn lại không có điểm nào thẳng hàng Hỏi có thể lập bao nhiêu đường thẳng qua điểm n điểm đã cho? Lập bao nhiêu tam giác có đỉnh lấy từ n điểm đã cho? Bài 36: Cho đa giác lồi có 15 cạnh Hỏi: a/ Có thể lập bao nhiêu  mà đỉnh lấy từ các đỉnh đa giác? b/ Trong các tam giác lập từ câu a/ có bao nhiêu tam giác có chung cạnh với đa giác? Có chung cạnh với đa giác? Không có chung cạnh nào với đa giác? Bài 37: Có tem khác và bì thư khác Hỏi có bao nhiêu cách chọn tem và bì thư dán tem vào bì thư cho bì thư dán đúng tem? Bài 38: Một lớp học đề cử học sinh, đó có nữ để bầu cử chọn ban cán lớp gồm: LT, LP, thư kí Hỏi có bao nhiêu cách chọn BCS lớp nếu: a/ không phân biệt nam nữ ? b/ thư ký phải là nữ ? Bài 39: Một sách bài tập Toán có 30 bài tập giải tích và 20 bài tập hình học (trong sách không có bài tập trùng nhau) Hỏi có bao nhiêu cách chọn bài tập để lập thành đề thi cho: a/ Trong đề thi tỉ lệ số bài giải tích và hình học là tùy ý? b/ Trong đề thi có bài giải tích và bài hình học? c/ Trong đề thi có bài giải tích và bài hình học? d/ Trong đề thi có ít bài giải tích và bài hình học? e/ Trong đề thi có ít bài giải tích? Bài 40: Một lớp học có 45 học sinh gồm 25 nam và 20 nữ GVCN muốn chọn em vào ban trật tự Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu: a/ số nam nữ ban là tùy ý? b/ phải có nam và nữ? c/ phải có nam và nữ? d/ ít phải có nam? Bài 41: Trong mặt phẳng xét họ gồm 20 đường thẳng song song cắt họ gồm 15 đường thẳng song song khác Hỏi có nhiêu hình bình hành tạo thành? Lop12.net Tại liệu LTĐH 2009 -2010 GV: Lưu Xuân Hiển Bài 42: Ông A muốn mời đúng người số 10 người bạn mình đến dự buổi liên hoan Trong 10 người bạn có người không chịu dự chung buổi liên hoan Hỏi có bao nhiêu cách mời? Vấn đề 3: NHỊ THỨC NEWTON I Áp dụng công thức khai triển 10 1  Bài 1: Tìm hệ số số hạng thứ tư khai triển  x   x    Bài 2: Tìm hệ số số hạng thứ 31 khai triển  x   x   40   Bài 3: Tìm hạng tử chứa x2 khai triển: x   x Bài 4: Tìm hạng tử không chứa x các khai triển sau:  x 3 1/    3 x 12   2/  x   x    Bài 5: Tìm hạng tử đứng khai triển   x   x  10 21  a b  Bài 6: Trong khai triển    tìm hệ số số hạng chứa a b a  và b có số mũ ? Bài 7: Tìm hệ số x12y13 khai triển (2x – 3y)25; 30 ĐS: B1/ C103 ; B2/ C40 ; B3/ C74 x ; B4/ C126 , C74 ; B5/ C106 x ; B6/ C21 ; 13 12 B7/ C25 (3)13 II Khai triển với giả thiết có điều kiện n 1  Bài 1: Biết khai triển  x   Tổng các hệ số số hạng thứ nhất, x  hai, ba là 46 Tìm số hạng không chứa x? ĐS: n =  C96 Lop12.net Tại liệu LTĐH 2009 -2010 GV: Lưu Xuân Hiển 2  Bài 2: Biết tổng hệ số số hạng đầu tiên khai triển  x   x  4 = 97 Tìm hạng tử khai triển chứa x4; ĐS: n =  C8 (2) x n n 1 1  Bài 3: Cho khai triển  x    C n0 x n  C n1 x n 1  .(1) n n C nn Biết 3 3  hệ số số hạng thứ ba khai triển là Tìm số hạng chính ?  1 ĐS: n = 10  C105    x5  3 2 Bài 4: Cho khai triển ( x  ) n  C n0 ( x ) n   C nn ( ) n Biết x x tổng ba hệ số đầu là 33 Tìm hệ số x ĐS: n =  C42 22 n   Bài 5: Tìm số hạng chứa x8 khai triển   x  Biết x  n 1 n ĐS: n = 12  C128 x8 C n   C n 3  7(n  3) III Chứng minh tính tổng biểu thức tổ hợp Bài 1: Khai triển (3x –1)16 Từ đó chứng minh: 316 C160  315 C161   C1616  216 Bài 2: Chứng minh: 1/ C n0  C n1  C n2   C nn  n 2/ n 1 C n  C n   C n  C 20n  C 22n   C 22nn 1   Bài 3: Chứng minh rằng: n C n0  C n1  C n2   n C nn   n 3   2n Bài 4: Tính tổng: 1/ S= C n  C n   C n 2/ S = C 21n  C 23n   C 22nn 1 2004 Bài 5: Cmr: 1/ C 2004  C 2004   C 2004  21002 2004  2 C 2004  C 2004  .2 2004 C 2004  2/ C 2004 10 Lop12.net 2004  Tại liệu LTĐH 2009 -2010 GV: Lưu Xuân Hiển Bài 6: Tìm hệ số x7 khai triển (2 –3x)2n đó n thoả mãn hệ thức sau: C 21n 1  C 23n 1   C 22nn11  1024 ĐS: n =  C107 23.(3)7 , 2007 Bài 7: Giải phương trình: C22n  C42n   C2n 1 ; 2n  ĐS: n = 1004 n   Bài 8: Tìm hệ số số hạng chứa khai triển   x  biết n x  2n+1 21 thoả mãn hệ thức: C2n+1  C2n+1  C2n+1   C2n+1   ĐS: n = 10  x26 C106 Bài 10: Tìm hệ số số hạng chứa x10 khai triển (2 + x)n biết: n C n0  n 1 C n1  n  C n2   (1) n C nn  2048 ; ĐS:n =11 2.C1110 IV Khai triển nhiều hạng tử Bài 1: Tìm hệ số x6 khai triển (1+x2(1+x))7 thành đa thức Bài 2: Tìm hệ số số hạng chứa x4 khai triển (1+2x+3x2)10 ĐS Bài 1: C73 C30  C72 C22 ; ĐS Bài 2: C103 C40 24  C103 C31.23.3  C102 C22 32 Bài 3: Tìm hệ số chứa x10 khai triển: P(x) = (1+x) + 2(1+x)2+3(1+x)3+ +15(1+x)15 ĐS: 10.C1010  11.C1110  12.C1210  13C1310  14.C1410  15C1510 Bài 4: Tìm hệ số x5 khai triển thành đa thức x(1-2x)5 + x2(1+3x)10   Bài 5: Tìm số hạng không chứa x khai triển P(x) = 1  x   x   ĐS B4: C54 (2)  C103 33 ; ĐS B5: C99 C93 26  C96 C92 24  C93 C31.22 Bài 6: Tìm hệ số số hạng chứa khai triển: x   P(x) = 1  x     x2   ĐS: C74 C42 (2) V Sử dụng đạo hàm tích phân Bài 1: Chứng minh: 1/ C n1  2C n2  3C n3   nC nn  n n 1 11 Lop12.net Tại liệu LTĐH 2009 -2010 GV: Lưu Xuân Hiển n 1 2/ C n0  C n1  C n2   C nn   n 1 n 1 1/ S = C  2C  3C   14C 14 2008 Bài 2: Tính tổng: 14 14 14 14 2008 2/ S = C  2C 2008  3C 2008   2009C 2008 Bài 3: Chứng minh rằng: 1 n 1 2 n  C n  C n  C n   C2n  2n 2n  Bài 4: Tìm n nguyên dương cho: C 21n 1  2.2C 22n 1  3.2 C 23n 1  4.2 C 24n 1   (2n  1).2 n.C 22nn11  2007 Bài 5: Tính tổng: S = C n0  Bài 6: CMR: a/ Cn0  Cn1 Cn2 Cnn 2  1 23  2 n 1  n Cn  C n   Cn n 1 b/ Cn1  2Cn2 3Cn3 nCnn 2n c/ Cn1  2Cn2 3Cn3 ( 1) n nCnn 12.Cn1  22.Cn2 n Cnn d/ n.(n 1)2n  (n 2)2n 1 e/ Cn0  2.Cn1 3.Cn2 (n 1)Cnn Bài 7: Tính tích phân I =  (1 x) n dx ; n N 2n 1  n 1 1 Cn Cn Cnn Từ đó CMR:  n 1 Bài 8: Tính tích phân I =  (1 x ) n dx ; n N 1 Cn Cn ( 1) n Cnn Từ đó CMR:  2n 1 x  1 x  Bài 9: Dùng hệ thức: 1  m a/ Cm0 Cnk  Cm1 Cnk 1 Cmk Cn0 b/  C   C  n n C  n n n 1 x Cmk  n ; (k mn 2.4 (2n) 1.3 (2n 1) CMR: m, k n) C2nn Bài 10: CMR: k k 1 a/ C2003  C2003 1001 1002 C2003 C2003 b/ C2nn k C2nn 12 Lop12.net   C2nn  k n 2n 1 Tại liệu LTĐH 2009 -2010 GV: Lưu Xuân Hiển II Xác suất Phép thử và biến cố Tập hợp kết có thể xảy phép thử gọi là không gian mẫu phép thử và kí hiệu là  Ta xét các phép thử với không gian mẫu  là tập hữu hạn Mỗi tập A  gọi là biến cố Tập  gọi là biến cố không thể, tập  gọi là biến cố chắn + Nếu phép thử tiến hành mà kết nó là phần tử A thì ta nói A xảy ra, hay phép thử là thuận lợi cho A + Biến cố A =  \ A gọi là biến cố đối A A và B đối  A = B A xảy và A không xảy + Biến cố A  B xảy và A B xảy + Biến cố A  B xảy và A và B cùng xảy + Nếu A  B =  thì A và B gọi là hai biến cố xung khắc Xác suất biến cố a) Định nghĩa: Nếu A là biến cố liên quan đến phép thử có n( A) số hữu hạn các kết đồng khả xuất thì tỉ số P( A)  n () gọi là xác suất biến cố A b) Tính chất: + P(A)  0; A + P() = + Nếu A và B là hai biến cố xung khắc cùng liên quan đến phép thử thì: P(A  B) = P(A) + P(B) ( Công thức cộng xác suất) Mở rộng: Với hai biến cố A và B bất kì cùng liên quan đến phép thử thì: P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B) c) Hai biến cố A và B gọi là độc lập, xảy hai biến cố không ảnh hưởng đến xác suất xảy biến cố Người ta chứng minh rằng, A và B độc lập và P(A  B) = P(A).P(B) Ngoài ra, A và B độc lập  A và B độc lập  Avà B độc lập  A và B độc lập Xác suất có điều kiện 13 Lop12.net Tại liệu LTĐH 2009 -2010 GV: Lưu Xuân Hiển a) Khái niệu xác suất có điều kiện + Nếu hai biến cố A và B không độc lập với thì xác suất xảy biến cố A đã xảy hay chưa xảy + Xác suất biến cố B tính điều kiện biến cố A đã xảy ra, kí hiệu là P(B\A), gọi là xác suất B với điều kiện A Lúc đó tập hợp  A gồm tất các trường hợp thuận lợi A gọi là không gian mẫu thu gọn b) Ứng dụng: Một ứng dụng xác suất có điều kiện là công thức sau đây: Với hai biến cố A, B bất kì ta có: P(AB) = P(A).P(B\A) BÀI TẬP Bài 1: Chọn ngẫu nhiên quân bài Tính xác suất để sấp bài có quân lập thành liên tiếp tức là (A,2-3-4-5) (2-3-4-5-6) …(10 –J-QK-A) Quân A (át) vừa là quân bé vừa là quân lớn HD: n() = C525 Có 10 thỏa mãn bài toán Mỗi có 4.4.4.4.4=1024 P( A)  10240 Bài 2: Một bình đựng 16 viên bi, đó có viên bi trắng, viên bi đen, viên bi đỏ 1/ lấy ngẫu nhiên ba viên bi Tính xác suất để : a) Lấy viên đỏ b) lấy ba viên bi không đỏ c) Lấy bi trắng,1 bi đen,1 bi đỏ 2/ Lấy ngẫu nhiên viên bi Tình xác suất để : a) Lấy đứng viên bi trắng b) Lấy đúng viên bi trắng 3/ Lấy ngẫu nhiên 10 viên bi Tính xác suất lấy viên bi trắng, bi đen, bi đỏ C 143 1 7.6.3  HD: 1/ a )  b) 133  c) C16 560 C163 40 C16 280 C71 C93 21 C72 C92 27 C75 C63 C32 45 b) 3/ a)    4 10 C16 65 C16 65 C16 286 Bài 3: Một hộp đựng thẻ đánh số thứ tự từ 1, 2, …, rút ngẫu nhiên hai thẻ và nhân hai số trên thẻ vói Tính xác suất để ? 1/ Tích nhận là số lẻ 2/ Tích nhận là số chẵn 2/ a) 14 Lop12.net Tại liệu LTĐH 2009 -2010 HD: GV: Lưu Xuân Hiển 1/ Tích là số lẻ thẻ là số lẻ có P( A)  C52 C92 2/ P(B) =1 – P(A) Bài 4: Một hộp đựng thẻ đánh từ 1, 2, 3, …, Rút ngẫu nhiên thẻ Tính xác suất để 1/ Các thẻ ghi số 1, 2, 2/ Có đúng ba thẻ ghi 1, 2, rút 3/ Không có thẻ nào ba thẻ rút C2 C1.C C5 HD: 1/ P( A)  65 2/ P( B)  3/ P(C )  65 C9 C9 C9 Bài 5: Chọn ngẫu nhiên số từ tập 1, 2, ,10,11 1/ Tính xác suất để tổng ba số chọn là 12 2/ Tính xác suất để tổng ba số đực chọn là số lẻ HD: 1/ 12=1+2+9 =1+3+8=1+4+7=1+5+6=2+3+7=2+4+6=3+4+5;  p  A  C11 C61C52  C63C50 C113 Bài 6: Chọn ngẫu nhiên vé số số có chữ số từ đến Tính xác suất trên vé không có chữ số chữ số HD: A là biến cố không có chữ số 1, B là biến cố không có chữ số 95 P(A) = P(B) =  (0.9)5 10 5 P  A  B   P  A   P  B   P  A  B    0,9    0,8  2/ P  B   Bài 7: Một người du lịch mang hộp thịt, hộp quả, hộp sữa Do trười mưa các hộp bị nhãn Người đó chọn ngẫu nhiên hộp Tính xác suất để đó có hộp thịt, hộp sữa, hộp quả? C1C1C1 HD: P  A   23 C8 Bài 8: Có hai xạ thủ I và tám xạ thủ II Xác suất bắn trúng I là 0.9, xác suất II là 0.8 Lấy ngẫu nhiên 10 xạ thủ, bắn viên đạn Tính xác suất để viên đạn bắn trúng đích HD: Gọi Bi là biến cố “Xạ thủ chọn lọai i; i= 1,2” 15 Lop12.net Tại liệu LTĐH 2009 -2010 GV: Lưu Xuân Hiển A là biến cố viên đạn trúng đích, ta có : P( B1 )  , P( B2 )  ; P(A/B1) = 0.9, P(A/B2) = 0.8 10 10 8   0.82 Nên P(A) = P(B1) P(A/B1) + P(B2) P(A/B2) = 10 10 10 10 Bài 9: Bốn pháo cao xạ A, B, C, D cùng bắn độc lập vào mục tiêu Biết xác xuất bắn trúng các pháo tương ứng là P(A) = , 2 P(B) = , P(C) = , P(D) = Tính xác suất để mục tiêu bị bắn trúng HD: Tính xác suất biến cố H : “mục tiêu không bị bắn trúng” 1 P( H ) =  105 104  Vậy xác suất trúng đích: P(H) = – P( H ) =  105 105 Bài 10: Gieo súc xắc Hãy tính xác suất các biến cố 1/ Mặt chấm xuất 2/ Mặt chẵn xuất 3/ Mặt I xuất Bài 11: Một hộp đựng 10 viên bi đó có viên bi đỏ, viên bi xanh, viên bi vàng, viên bi trắng Lấy ngẫu nhiên bi tính xác suất biến cố 1/ viên lấy màu đỏ 2/ viên bi đỏ, vàng 3/ viên bi cùng màu HD: n     C102 A là biến cố lấy viên bi đỏ B là biến cố lấy viên bi đó có đỏ, vàng C là biến cố lấy viên bi cùng màu C2 C1 C1 1/ n  A   C42  P  A   42 2/ n  B   C41 C21  P  B   4 C10 C10 3/ Đ là biến cố viên đỏ, X là biến cố viên xanh, V là biến cố viên vàng Đ, X, V là các biến cố đôi xung khắc C 10 P  C   P  D   P  X   P V       45 15 45 Bài 12: Geo súc xắc Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt là HD: =1 +2+ = 2+3+4 = 2+2+5 = 1+3+5 = 1+4+4 = 3+3+3 16 Lop12.net Tại liệu LTĐH 2009 -2010 GV: Lưu Xuân Hiển (1,2,6) có 3! ; (1,3,5) có 3!; (2,3,4) có 3!; (1,4,4) có 3; (2,2,5) có 3; (3,3,3) có n( A)       = 25; n     6.6.6  216 n( A) 25   0.1157 n    216 Bài 13: Gieo lần liên tiếp xúc xắc 1/ Tính xác suất biến cố “ Tổng số chấm xuất không nhỏ 16” 2/ Tính xác xuất để tổng số chấm nhỏ 16 HD: 1/ A là biến cố “Tổng số chấm xuất không nhỏ 16” Tổng số chấm nhỏ 16 có nghĩa tổng số chấm 16,17,18 16 = 6+5+5 = 6+6+4 có 17 = 6+6+5 có 18 = 6+6+6 có 10  Vậy n     6.6.6  216 ; n  A   10  P  A   216 108 2/ Biến cố E “Tổng số chấm nhỏ 16” A và E là hai biến cố 103  đối P  E    108 108 Bài 14 Hai người bắn vào mục tiêu cách độc lập Xác suất trúng đích người thứ là 0,6 người thứ là 0,7 Tính xác suất để 1/ Cả người cùng bắn trúng 2/ Mục tiêu bị bắn ít người HD: 1/ Gọi A là biến cố người thứ bắn trúng đích B là iến cố người thứ hai bắn trúng đích H là biến cố hai người bắn trúng đích H = AB P  H   P  A  P  B   0,6.0,7 = 0,42 Vậy P(A) = 2/ G là biến cố ít người bắn trúng mục tiêu: G  ( A  B)  ( A  B)  ( A  B) P(G) = P( A  B )  P( A  B)  P( A  B) = 0,6.0,3 + 0,4.0,7 + 0,6.0,7 = 0,88 Bài 15: Gieo ngẫu nhiên đồng xu Tính xác suất để ít hai đồng xu lật ngửa 1/ SNNN, SNSN, SNNS, SNSS 2/ SSNN, SSSN, SSNS, SSSS 3/ NNNN, NNSN, NNNS, NNSS 4/ NSNN, NSSN, NSNS, NSSS n     16 ; n  A   11 17 Lop12.net Tại liệu LTĐH 2009 -2010 GV: Lưu Xuân Hiển Bài 16: Một người bắn liên tiếp vào mục tiêu viên đạn trúng mục tiêu thì thôi (các phát súng độc lập ) Biết xác suất trúng mục tiêu lần bắn và 0,6 Tính xác suất để bắn đến viên thứ thì ngừng bắn HD: Gọi Ai là biến cố trúng đích lần thứ H là biến cố bắn lần thứ thì ngừng H  A1  A2  A3  A4 Vậy P  H   0, 4.0, 4.0, 4.0,  0, 0384 Bài 17: Từ hộp đựng viên bi màu trắng và viên bi đỏ Tính xác suất để lấy hai viên bi cùng màu HD: n     C102 A là biến cố lấy viên bi trắng n  A   C32 B là biến cố lấy viên bi đỏ n  B   C72 H là biến cố lấy hai viên bi cùng màu H  A  B C2  C2 Vậy P  H   P  A   P  B   C10 Bài 18: Hai cầu thủ sút phạt đền Mỗi nười đá lần với xác suất làm bàn tương ứng là 0,8 và 0,7 Tính xác suất để có ít cầu thủ làm bàn HD: A là biến cố cầu thủ thứ làm bàn B là cầu thủ thứ hai lam bàn H là biến cố ít cầu thủ làm bàn H  ( A  B)  A  B   A  B    P  H   0,8.0,3  0, 2.0,  0,8.0,  0, 24  0,14  0,56  0,94 Bài 19: Gieo đồng xu đối xứng và đồng chất Tính xác suất để có ít có mặt sấp xuất HD: n     2.2.2  B là biến cố “ Có ít mặt sấp xuất ” 1 n( B ) =  P( B ) =  P(B) =   8 Bài 20: Từ hộp chứa viên bi màu trắng và viên bi màu đen lấy ngẫu nhiên viên bi Tìm xác suất để lấy viên bi màu trắng và viên bi màu đen ? 18 Lop12.net Tại liệu LTĐH 2009 -2010 GV: Lưu Xuân Hiển C32 C51 15  C83 56 Bài 21: Ngân hàng đề thi gồm 100 câu hỏi Mỗi đề thi có câu Một học sinh học thuộc 80 câu Tính xác suất để học sinh đó rút ngẫu nhiên đề thi có câu học thuộc HD: Chọn câu làm đề n     C100 ; n  A   C804 C20 HD: n     C83 ; n  A   C32 C51  P  A   C804 C20  P  A  C100 Bài 22: Một phòng có 40 thí sinh xếp vào 20 bàn, bàn có đủ học sinh Tính xác suất để hai học sinh A và B cùng ngồi bàn ? HD: Chọn hai học sinh để xếp vào 20 bàn có n     C402 có cách chọn A và B và có 20 cách 20 Xếp học sinh vào bàn có: P(A) = C40 Bài 23: Gieo hai xúc xắc vô tư Tính xác suất biến cố “Tổng số chấm trên hai mặt ít 6” Giải n     6.6  36 A là biến cố tổng số chấm trên hai mặt ít  n( A ) = 1,1 , 1,  , 1,3 , 1,  ,  2,  ,  2,3 =10 26 13  36 18 Bài 24: Cho ba hộp giống nhau, hộp bút khác màu sắc Hộp thứ nhất: Có bút màu đỏ, bút màu xanh, bút màu đen Hộp thứ hai: Có bút màu đỏ, màu xanh, màu đen Hộp thứ ba: Có bút màu đỏ, bút màu xanh, bút màu đen Lấy ngẫu nhiên hộp, rút từ hộp đó bút 1/ Tính xác suất để hai bút màu xanh 2/ Tính xác suất hai bút không có màu đen HD: 1/ Ai là biến cố rút hộp thứ i; i =1,2,3 P(Ai) = 1/3  n( A) = 26  P(A) = A là biến cố rút hộp thư i A  A1  A2  A3 ; 19 Lop12.net Tại liệu LTĐH 2009 -2010 GV: Lưu Xuân Hiển n     C72 ; P  A1    P  A2  , P  A3   C72  1 B là biến cố bi mầu xanh ; P  B    2     C7  63 2/ C là biến cố “Hai bút chọn không có mầu đen” có cách chọn hộp C2 C2 C2 Chọn hôp A1 Có P  A1   52 , P  A2   42 , P  A3   62 C7 C7 C7  C52  C42  C62  31 Vậy có P  C     3 C72  63 Bài 25: Xác suất sinh trai lần sinh là 0,51 Tìm các suất cho lần sinh có ít trai ? HD: A là biến cố ba lần sinh có ít trai A là biến cố ba lần sinh toàn gái Bi là biến cố lần thứ i sinh gái (i=1,2,3), A  B1  B2  B3   P  A    P A   P  B1  P  B2  P  B3     0, 49   0,88 Bài 26: Có thẻ ghi các số từ đến Trên thẻ, ghi số khác Chon ngẫu nhiên đồng thời hai thẻ Tính xác suất tích hai thẻ đã chọn là số chẵn ? HD: n     C92 Để tích thẻ là số chẵn thì có thẻ chẵn thẻ lẻ thẻ chẵn A là biến cố chọn thẻ số chẵn B là biến cố chon thẻ số lẻ C là biến cố tích là số chẵn C   A  B    A  A  C41 C51  C42 =26/36 P  C   P  A  B   P  A  A  C92 20 Lop12.net