[r]
(1)Đề thi học sinh giỏi trường THCS Nguyễn Hoàn Naêm 2009-2010 Thời gian:120 phút Bài 1: Chứng minh a)222333+333222 chia heát cho 13 b)7.52n+12.6nchia heát cho 19 c)33n+5.23n+1 chia hết 19 Với n thuộc số nguyên dương Baøi 2: a) Chứng minh có thể tìm số có dạng : 200320032003…200300…0(2003 số 2003) mà số đó chia hết cho 2004 b)Tìm số hữu tỉ x,y với x,y khác 0: x+y = x.y = x:y Baøi 3:Tìm x bieát a)/2x -3/ +/x + 4/ = b)/3x – 1/ - /2x + 5/ = Bài 4: Cho hình vẽ sau chứng minh rằng: AB+BC+CD+DE+EA <AC+CE+EB+BD+DA A B C E D Bài 5**: Cho Tam giác ABC Dựng phía ngoài tam giác đó các tam giác BCA1 và ABC1 Gọi M,N,P là trung điểm AC,BC1,BA1.Chứng minh :tam giác MNP Hướng dẫn giải Baøi 1: a) 222333+333222 =111333.2333+111222.3222 =111222[(111.23)111+(32)111]=111222(888111+9111) Vì 888111+9111=(888+9).(888110-888109.9+…-888.9109+9110) =13.69.( 888110-888109.9+…-888.9109+9110)laø soá chia heát cho 13 Vaäy 222333+333222 chia heát cho 13 b) 7.52n+12.6n=7.25n+19.6n-7.6n =19.6n+7.(25n- 6n) =19.6n+7.(25-6)(25n-1+25n-2.6+…+25.6n-2+6n-1) Cả hai chia hết cho 19 nên tổng chia hết cho 19 c) 33n+5.23n+1=9.27n+10.8n=9.(27n-8n)+19.8n Vì 19.8nchia heát cho 19 Vì 9.(27n-8n)chia hết cho 19 ,từ đó suy điều phải chứng minh Baøi 2: Lop8.net (2) a) Xeùt 2004 soá coù daïng sau: 2003;20032003;…20032003…2003(2004 soá 2003) Khoâng coù soá naøo caùc soá treân chia heát cho 2004 Vì theá chia caùc soá naøy cho 2004 ta 2003 số dư là các số từ đến 2003,do đó phải có ít hai số chia cho 2004 có cùng số dư,nên hiệu chúng chia hết cho 2004 và đó là số thoả mãn đề bài b)Xeùt x+y = x.y x = x.y – y x = y.(x - 1) Ta coù x+y=x:y x+y=y(x-1):y x+y=x-1 y=-1 vì x = y.(x - 1) x = (-1)(x -1) x = -x+1 2x= x=1/2 Bài 4,3:Dễ tự chứng minh Baøi 5: B P N A1 C1 H I A M C Gọi I,H thứ tự là trung điểm AB và BC Khi đó: MI=BH=BP(tính chất đường trung bình tam giác) C/m tương tự ta có: NI=NB=MH Mặt khác: góc MIB=góc MHB (vì cùng bù với góc ABC) Do đó: góc MIN=Góc MIB+600=góc MHB +600=góc MHP Suy ra:MIN=PHM(c.g.c)MN=MP (1) Laïi coù goùc PBN =360o-(1200-goùc ABC)=2400-goùc ABC =600+goùc MIB = goùc MIN Do đó MIN = PBN(c.g.c) MN=NP (2) Từ (1),(2) suy MNP Lop8.net (3)