C©u 4: 3 ®iÓm a Chứng minh tổng độ dài các cạnh của một ngũ giác lồi bé hơn tổng độ dài các đường chéo của ngũ giác đó.. b Cho tam giác ABC.[r]
(1)Đề thi học sinh giỏi toán §Ò sè 1 3 Bµi 1: (3 ®iÓm)Cho biÓu thøc A x2 : 2 x x x 27 x a) Rút gọn A; b) Tìm x để A < -1 c) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A nhËn gi¸ trÞ nguyªn Bài 2: (2 điểm)Giải phương trình: a) 6y y 10 y y 1 y 6 x x 3 x 1 2 3 b) x 2 Bµi 3: (2 ®iÓm) Một xe đạp, xe máy và ô tô cùng từ A đến B Khởi hành lúc giờ, giờ, và vận tốc theo thứ tự là 15 km/h; 35 km/h và 55 km/h Hỏi lúc ô tô cách xe đạp và xe đạp và xe máy Bµi 4: (2 ®iÓm) Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD tõ ®iÓm P thuéc ®êng chÐo AC ta dùng h×nh ch÷ nhËt AMPN ( M AB vµ N AD) Chøng minh: a) BD // MN b) BD vµ MN c¾t t¹i K n»m trªn AC Bµi 5: (1 ®iÓm)Cho a = 11…1 (2n ch÷ sè 1), b = 44…4 (n ch÷ sè 4) Chứng minh rằng: a + b + là số chính phương §Ò sè C©u I: (2®iÓm) 1) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x x b) ab(a b) ac(a c) bc(2a b c) 2) Giải phương trình 1 1 x x x x x x x x 12 C©u II: (2 ®iÓm) 1) Xác định a, b để da thức f ( x) x x ax b chia hết cho đa thức g ( x) x x 2) T×m d phÐp chia ®a thøc P( x) x161 x 37 x13 x x 2006 cho ®a thøc Q( x) x C©u III: (2 ®iÓm) 1) Cho ba sè a, b, c kh¸c vµ a + b + c = TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: a2 b2 c2 a2 b2 c2 b2 c2 a2 c2 a2 b2 2) Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n a b , b c, c a P a bc b ac c ab 0 CMR: (a b)(a c) (b a )(b c) (c a )(c b) C©u IV: (3®iÓm) 1) Cho ®o¹n th¼ng AB, M lµ ®iÓm n»m gi÷a A vµ B Trªn cïng nöa mÆt ph¼ng bê AB kÎ c¸c h×nh vu«ng ACDM vµ MNPB Gäi K lµ giao ®iÓm cña CP vµ NB CMR: a) KC = KP b) A, D, K th¼ng hµng c) Khi M di chuyển A và B thì khoảng cách từ K đến AB không đổi 2) Cho ∆ABC có ba góc nhọn, ba đường cao AA”, BB’, CC’ đồng quy H CMR: HA' HB' HC ' AA' BB' CC ' b»ng mét h»ng sè Lop8.net (2) 45 Đề thi học sinh giái to¸n C©u V: (1 ®iÓm): biÓu thøc: Q Cho hai số a, b không đồng thời Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ a ab b a ab b 2 §Ò sè Bµi 1: (2 ®iÓm) a) Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a (b c) (b c) b(c a ) (c a ) c(a b) (a b) 1 b) Cho a, b, c kh¸c nhau, kh¸c vµ a b c 1 Rót gän biÓu thøc: N a 2bc b 2ca c 2ab Bµi 2: (2®iÓm) a) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: M x y xy x y b) Giải phương trình: ( y 4,5) ( y 5,5) Bµi 3: (2®iÓm) Một người xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h Sau 15 phút, người đó gặp ô tô, từ B đến với vận tốc 50 km/h ô tô đến A nghỉ 15 phút trở lại B và gặp người xe máy một địa điểm cách B 20 km Tính quãng đường AB Bµi 4: (3®iÓm) Cho h×nh vu«ng ABCD M lµ mét ®iÓm trªn ®êng chÐo BD KÎ ME vµ MF vu«ng gãc víi AB vµ AD a) Chøng minh hai ®o¹n th¼ng DE vµ CF b»ng vµ vu«ng gãc víi b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng quy c) Xác định vị trí điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn Bµi 5: (1®iÓm) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 3x y 345 §Ò sè Bµi 1: (2,5®iÓm)Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x5 + x +1 ;b) x4 + 4;c) x x - 3x + x -2 víi x a b 2c ab a bc b ac 2c ab Bµi 3: (2®iÓm)Cho 4a2 + b2 = 5ab vµ 2a b 0.TÝnh: P 2 4a b Bµi : (1,5®iÓm)Cho abc = Rót gän biÓu thøc: A Bµi : (3®iÓm) Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A Trªn BC lÊy M bÊt k× cho BM CM Tõ N vÏ ®êng th¼ng song song víi AC c¾t AB t¹i E vµ song song víi AB c¾t AC t¹i F Gäi N lµ điểm đối xứng M qua E F a) TÝnh chu vi tø gi¸c AEMF BiÕt : AB =7cm b) Chøng minh : AFEN lµ h×nh thang c©n c) TÝnh : ANB + ACB = ? d) M vị trí nào để tứ giác AEMF là hình thoi và cần thêm điều kiện ABC AEMF là hình vuông Bµi 5: (1®iÓm)Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn n th× : 52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hÕt cho 23 §Ò sè Bµi 1: (2®iÓm) Cho biÓu thøc: M 1) Rót gän M 1 1 x x x x 12 x x 20 x 11x 30 Lop8.net (3) 45 Đề thi học sinh giái to¸n 2) Tìm giá trị x để M > Bài 2: (2điểm) Người ta đặt vòi nước chảy vào bể và vòi nước chảy lưng chừng bể Khi bể cạn, mở hai vòi thì sau 42 phút bể đầy nước Còn đóng vòi chảy mở vòi chảy vào thì sau 1giờ rưỡi đầy bể Biết vòi chảy vào mạnh gấp lần vòi chảy 1) Tính thời gian nước chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nước ngang chỗ đặt vòi chảy 2) Nếu chiều cao bể là 2m thì khoảng cách từ chỗ đặt vòi chảy đến đáy bể là bao nhiªu Bµi 3: (1®iÓm) T×m x, y nguyªn cho: x xy x y y Bài 4: (3điểm) Cho hình vuông ABCD cố định, có độ dài cạnh là a E là điểm di chuyển trên ®o¹n CD (E kh¸c D) §êng th¼ng AE c¾t BC t¹i F, ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AE t¹i A c¸t CD t¹i K 1) Chøng minh tam gi¸c ABF b»ng tam gi¸c ADK 2) Gäi I lµ trung ®iÓm KF, J lµ trung ®iÓm cña AF Chøng minh r»ng: JA = JB = JF = JI 3) Đặt DE = x (a x > 0) tính độ dài các cạnh tam giác AEK theo a và x 4) Hãy vị trí E cho độ dài EK ngắn Bµi 5: (1®iÓm)Cho x, y, z kh¸c tho¶ m·n: x2 y2 z2 1 TÝnh N yz zx xy xy yz zx §Ò sè C©u I: (5 ®iÓm) Rót gän c¸c ph©n thøc sau: 1) x 1 x x 3x x (a 1) 11(a 1) 30 2) 3(a 1) 18(a 2a ) C©u II: (4 ®iÓm) 1) Cho a, b lµ c¸c sè nguyªn, chøng minh r»ng nÕu a chia cho 13 d vµ b chia cho 13 d th× a b chia hÕt cho 13 2) Cho a, b, c lµ c¸c sè nguyªn tho¶ m·n abc = TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: a b c a ac b bc c ac x 2x x 2x 3) Giải phương trình: x 2x x 2x A C©u III: (4 ®iÓm)§Ó thi ®ua lËp thµnh tÝch chµo mõng ngµy thµnh lËp ®oµn TNCS Hå ChÝ Minh (26/3) Hai tổ công nhân lắp máy giao làm khối lượng công việc Nếu hai tổ lµm chung th× hoµn thµnh 15 giê NÕu tæ I lµm giê, tæ lµm giê th× lµm ®îc 30% c«ng viÖc NÕu c«ng viÖc trªn ®îc giao riªng cho tõng tæ th× mçi tæ cÇn bao nhiªu thời gian để hoàn thành Câu IV: (3 điểm)Cho hình bình hành ABCD (AC > BD) Gọi E, F là hình chiếu B, D lên AC; H, K là hình chiếu C trên AB và AD 1) Tø gi¸c DFBE lµ h×nh g× ? v× ? 2) Chứng minh tam giác CHK đồng dạng với tam giác BCA 3) Chøng minh AC AB AH AD AK 2002 2003 x 2003 1 Câu V: (2 điểm)Giải phương trình: x 2002 §Ò sè C©u I: (2®iÓm) Thực phép chia A x x x x cho B x Tìm x Z để A chia hết cho B Phân tích đa thức thương câu thành nhân tử C©u II: (2®iÓm) Lop8.net (4) 45 Đề thi học sinh giái to¸n So s¸nh A vµ B biÕt: A 32 vµ B 6(5 1)(5 1)(58 1)(516 1) Chøng minh r»ng: 1919 + 69 69 chia hÕt cho 44 C©u III: (2®iÓm) Cho mét tam gi¸c cã ba c¹nh lµ a, b, c tho¶ m·n: (a b c) 3(ab bc ca) Hái tam giác đã cho là tam giác gì ? Cho ®a thøc f(x) = x100 x 99 x x T×m d cña phÐp chia ®a thøc f(x) cho ®a thøc x Câu IV: (3điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi E, F là hình chiÕu cña H lªn AB vµ AC Gäi M lµ giao ®iÓm cña BF vµ CE Tø gi¸c AEHF lµ h×nh g× ? T¹i ? Chøng minh AB CF = AC AE So s¸nh diÖn tÝch tø gi¸c AEMF vµ diÖn tÝch tam gi¸c BMC Câu V : (1 điểm)Chứng minh nghiệm phương trình sau là số nguyên: x x x x 2005 x 2004 x 2003 2005 2004 2003 §Ò sè C©u 1: (2®iÓm) a) Cho x xy y x y 13 TÝnh N 3x y xy b) Nếu a, b, c là các số dương đôi khác thì giá trị đa thức sau là số dương A a b c 3abc C©u 2: (2 ®iÓm)Chøng minh r»ng nÕu a + b + c = th×: a b a b b c c a c A 9 a b a b b c c a c C©u 3: (2 ®iÓm) Một ô tô phải quãng đường AB dài 60 km thời gian định Nửa quãng đường đầu với vận tốc lớn vận tốc dự định là 10km/h Nửa quãng đường sau với vận tốc kém vận tốc dự định là km/h Tính thời gian ô tô trên quãng đường AB biết người đó đến B đúng C©u 4: (3 ®iÓm) Cho h×nh vu«ng ABCD trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm E Tõ A kÎ ®êng th¼ng vu«ng gãc v¬i AE c¾t ®êng th¼ng CD t¹i F Gäi I lµ trung ®iÓm cña EF AI c¾t CD t¹i M Qua E dùng ®êng th¼ng song song víi CD c¾t AI t¹i N a) Chøng minh tø gi¸c MENF lµ h×nh thoi b) Chứng minh chi vi tam giác CME không đổi E chuyển động trên BC Câu 5: (1 điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x 3x y §Ò sè Bµi 1: (2 ®iÓm) 1 x x 2 x x Cho M 1 x x x x a) Rót gän M b) Cho x > 0, t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M Bµi 2: (2 ®iÓm) a) T×m x biÕt : (2 x 5) ( x 2) ( x 3) b) Tìm số tự nhiên n để n + 24 và n - 65 là hai số chính phương Lop8.net (5) 45 Đề thi học sinh giái to¸n Bµi 3: (2 ®iÓm) a) Cho x vµ y tho¶ m·n: x 17 xy y xy y TÝnh H x y xy b) Cho a, b, c tho¶ m·n: a b c abc Chøng minh: a(b 1)(c 1) b(a 1)(c 1) c(a 1)(b 1) 4abc Bài 4: (4 điểm)Cho hình thang ABCD đáy nhỏ AB, Gọi I là giao điểm AC và BD Qua I vẽ đường thẳng song song với AB cắt AD và BC M và N a) Chøng minh IM = IN b) Chøng minh: 1 AB CD MN c) Gäi K lµ trung ®iÓm cña DC, vÏ ®êng th¼ng qua M song song víi AK c¾t DC, AC H và E Chứng minh HM + HE = 2AK d) Cho S(AIB) = a2 (cm2) , S(DIC) = b2 (cm2) TÝnh S(ABCD) theo a vµ b C©u 1: (2 ®iÓm) §Ò sè 10 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) x x 12 ; b) x x ; c) ( x 3x 2)( x 11x 30) C©u 2: (2 ®iÓm) 32 1) So s¸nh A vµ B biÕt: A vµ B 24(5 1)(5 1)(58 1)(516 1) 2) Cho 3a 2b ab vµ 3a b 2005a 2006b TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: P 2006a 2007b C©u 3: (2 ®iÓm) 1) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A x y xy x 12 y 1974 2) Giải phương trình: y y 2 x x 1 20 8 8 2 2 3) Chøng minh r»ng: a b c d 4a b c d C©u Cho ®a thøc f(x) cã c¸c hÖ sè nguyªn BiÕt r»ng f(1) vµ f(2) lµ c¸c sè lÎ Chøng minh r»ng ®a thøc f(x) kh«ng cã nghiÖm nguyªn §Ò sè 11 C©u 1: (2 ®iÓm) 1 19 4 4 a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A 20 4 4 b) Chøng minh r»ng: TÝch cña bèn sè tù nhiªn liªn tiÕp céng víi lµ mét sè chÝnh phương C©u 2: (2 ®iÓm) a) Cho xyz = 2006.Chøng minh r»ng: 2006 x y z 1 xy 2006 x 2006 yz y 2006 xz z b) Tìm n nguyên dương để A = n3 + 31 chia hết cho n + c) Cho a 2b 3c 14 Chøng minh r»ng: a b c 14 3x x 1 x 1 x x x x x 5x C©u 3: (2 ®iÓm)Cho ph©n thøc: B a) Rót gän B b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña B Lop8.net (6) 45 Đề thi học sinh giái to¸n 1 1 3 n b) Giải phương trình: ( x 1)( x 2)( x 3)( x 4) ( x 1)( x 2)( x 3)( x 4) C©u 4: a) Chøng minh r»ng víi n N vµ n > th×: C §Ò sè 12 C©u 1: (2 ®iÓm) 1) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x x ;b) ( x 2)( x 3)( x 4)( x 5) 24 ;c) x 2) Rót gän: A 1 1 x x x x 12 x x 20 x 11x 30 C©u 2: (2 ®iÓm) 1) T×m ®a thøc f(x) biÕt r»ng f(x) chia cho x-2 th× d 2, f(x) chia cho x-3 th× d 7, f(x) chia cho x2 - 5x + thì thương là 1-x2 và còn dư 2) Tìm giá trị nguyên x để giá trị biểu thức sau là số nguyên A 2x3 x 2x 2x Câu 3: (2 điểm)Giải phương trình: x 1 x x x x x 99 97 95 98 96 94 2 b) ( x x 1) ( x x 1) 12 a) C©u 4: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt nÕu cã cña biÓu thøc sau: B 16 x x 2x (víi x > 0) §Ò sè 13 C©u 1: (6 ®iÓm)Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö; 2 a) x y x xy y ;b) xy x y y ;c) x xy y 3x y 10 C©u 2C© C©UU 22 (4 ®iÓm)Cho a b c vµ abc Chøng minh r»ng: C© C©UU 33C©u (4 ®iÓm)Cho biÓu thøc Q x4 x x 3x x 1 x2 x 1 ( x 1 ) §Ò sè 14 C©u 1: (2 ®iÓm) a) Ph©n tÝch thµnh thõa sè: (a b c) a b c x x 12 x 45 x 19 x 33 x C©u 2: (2®iÓm)Chøng minh r»ng: A n (n 7) 36n chia hÕt cho 5040 víi mäi sè t/ nhiªn n b) Rót gän: C©u 3: (2 ®iÓm) a) Cho ba máy bơm A, B, C hút nước trên giếng Nếu làm mình thì máy bơm A hút 12 giờ, máy bơm B hút hếtnước 15 và máy bơm C hút 20 Trong đầu hai máy bơm A và C cùng làm việc sau đó dùng đến máy bơm B Tính xem bao lâu thì giếng b) Giải phương trình: x a x 2a 3a (a là số) §Ò sè 15 Lop8.net (7) 45 Đề thi học sinh giái to¸n C©u 1: (2 ®iÓm)Cho P a 4a a a a 14a a) Rót gän P b) Tìm giá trị nguyên a để P nhận giá trị nguyên C©u 2: (2 ®iÓm) a) Chứng minh tổng hai số nguyên chia hết cho thì tổng các lập phương cña chóng chia hÕt cho b) Tìm các giá trị x để biểu thức: P ( x 1)( x 2)( x 3)( x 6) có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ đó C©u 3: (2 ®iÓm) a) Giải phương trình: 1 1 x x 20 x 11x 30 x 13 x 42 18 b) Cho a, b, c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c Chøng minh r»ng; A a b c 3 bca acb abc C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm BC Một góc xMy 60 quay quanh điểm M cho hai cạnh Mx, My luôn cắt cạnh AB và AC D vµ E Chøng minh: BC a) BD.CE b) DM, EM là tia phân giác các góc BDE và CED Câu 5: (1 điểm)Tìm tất các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số ®o diÖn tÝch b»ng sè ®o chu vi Lop8.net (8) 45 Đề thi học sinh giái to¸n §Ò sè 16 Bµi 1: (2 ®iÓm) a, Giải phương trình ( x x 9) (1 x ) (6 x 10) b) Cho x, y tho¶ m·n: x y xy x y 13 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: H x xy 52 x y x2 3y y 3x Bµi 2: (2 ®iÓm) Cho víi x, y ; x, y ; x y x(1 y ) y (1 x) 1 Chøng minh r»ng: x y x y §Ò sè 17 Bµi 1: (2 ®iÓm) 1) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) x x ;b) (4 x 1)(12 x 1)(3x 2)( x 1) 2) Cho a b c vµ a b c TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: M a b c Bµi 2: (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc: M x2 y2 x2 y2 ( x y )(1 y ) ( x y )(1 x) (1 x)(1 y ) a) Rót gän M b) Tìm cặp số nguyên (x, y) để biểu thức M có giá trị -7 Bài 3: (2điểm)Người ta đặt vòi nước chảy vào bể và vòi nước chảy lưng chừng bể Khi bể cạn, mở hai vòi thì sau 42 phút bể đầy nước Còn đóng vòi chảy mở vòi chảy vào thì sau 1giờ rưỡi đầy bể Biết vòi chảy vào mạnh gấp lần vòi chảy 1) Tính thời gian nước chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nước ngang chỗ đặt vòi chảy 2) Nếu chiều cao bể là 2m thì khoảng cách từ chỗ đặt vòi chảy đến đáy bể là bao nhiªu §Ò sè 18 C©u 1: (2 ®iÓm) Giải các phương trình sau: a) x x ;b) x x x4 x C©u 2: (2 ®iÓm)Cho biÓu thøc: A x x a) Rót gän biÓu thøc A b) Tìm x để A > C©u 3: (2 ®iÓm) Hai anh em Trung và Thành cùng cuốc mảnh vườn, và hoàn thµnh giê 50 phót Nhng sau giê lµm chung Trung bËn viÖc kh¸c nªn kh«ng lµm nữa, mình anh thành phải làm tiếp cuốc xong mảnh vườn Hái nÕu lµm mét m×nh th× mçi anh ph¶i lµm bao l©u? §Ò sè 19 C©u 1: (2 ®iÓm) a) Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: x 3x x 12 Lop8.net (9) 45 Đề thi học sinh giái to¸n b) TÝnh: A 1 1 1.3 3.5 5.7 2003.2005 C©u 2: (2 ®iÓm) a) Cho a, b, c lµ hai sè kh¸c vµ kh¸c tho¶ m·n: 3a b 4ab TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A ab ab b) Giải phương trình: x C©u 3: Cho a 3ab 14 b 3a b 13 TÝnh gi¸ trÞ cña : P a b §Ò sè 20 Bµi 1: (2 ®iÓm) a) Cho x > 0, y > tho¶ m·n: x xy y TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A b) Víi x Rót gän biÓu thøc: B x y x y x 6x 5 x n x n 1 Bµi 2: (2 ®iÓm) Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ nguyªn cña x th× biÓu thøc P ( x) 1985 x3 x2 x 1978 cã gi¸ trÞ nguyªn Bài 3: (2 điểm) Một người xe đạp, người xe máy, người ô tô cùng từ A B khởi hành lúc giờ, giờ, với vận tốc thứ tự là 10 km/h, 30 km/h, 40 km/h Hỏi lúc ô tô cách người xe đạp và xe máy Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC nhän (AB AC ) cã O lµ giao ®iÓm cña ba ®êng trung trùc, vÏ phÝa ngoµi tam gi¸c hai h×nh vu«ng ABDE, ACGH BiÕt OE = OH TÝnh sè ®o gãc BAC ? §Ò sè 21 C©u 1: (2 ®iÓm) a) Rót gän biÓu thøc: A a a (a 2) a n 1 n a 3a 4a a a b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: B x19 x18 x17 x16 x x 1886 víi x = C©u 2: (2 ®iÓm) a) Tìm nghiệm nguyên phương trình x x 12 y b) Cho a, b, c lµ c¸c sè tù nhiªn kh«ng nhá h¬n Chøng minh r»ng: 1 2 1 a b ab Câu 3: (2 điểm) Một ô tô vận tải từ A đến B với vận tốc 45 km/h Sau đó thời gian ô tô từ A đến B với vận tốc 60 km/h và không có gì thay đổi thì đuổi kịp ô tô t¶i t¹i B Nhng sau ®i ®îc nöa qu·ng ®êng AB, xe t¶i gi¶m bít km/h nªn hai xe gÆp t¹i C c¸ch B 30 km TÝnh qu·ng ®êng AB §Ò sè 22 C©u 1: (2 ®iÓm) a) Chứng minh với số nguyên dương ta có: A x5 x x3 5x x 120 12 24 12 luôn luôn là số nguyên dương Lop8.net (10) 10 45 Đề thi học sinh giái to¸n b) Rót gän: B x 24 x 20 x16 x x 26 x 24 x 22 x C©u 2: (2 ®iÓm)B¹n A hái b¹n B: “ n¨m bè mÑ cña anh bao nhiªu tuæi ?” B tr¶ lêi: “ bè tôi mẹ tôi tuổi Trước đây tổng số tuổi bố mẹ tôi là 104 tuổi thì tuổi ba anh em chóng t«i lµ 14; 10 vµ HiÖn tæng sè tuæi cña bè mÑ t«i gÊp lÇn tæng sè tuæi cña ba anh em t«i” TÝnh xem tuæi cña bè mÑ b¹n B lµ bao nhiªu ? C©u 3: (1 ®iÓm) T×m x, y, z Z tho¶ m·n: (2 x y 1)(2 x y x x) 105 §Ò sè 23 C©u 1: (2 ®iÓm) a) Cho a k 3k 3k víi k N*.TÝnh tæng S = a1 a2 a3 a2007 (k k ) b) Chøng minh r»ng: A n (n 7) 36n chia hÕt cho víi mäi n nguyªn C©u 2: (3 ®iÓm) a) Cho ba số x, y, z thoả mãn đồng thời: z 2x x 2y 1 ; y2 2z ; TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A x 2005 y 2006 z 2007 b) Chøng minh r»ng víi x, y Z th× P ( x y )( x y )( x y )( x y ) y là số chính phương c) T×m sè d phÐp chia: ( x 1)( x 3)( x 5)( x 7) 2007 cho x x §Ò sè 24 Câu 1: (2 điểm) Giải phương trình: 1 1 .x 2005 2005 a) 2004 2003 2002 2004 b) x x C©u 2: (2 ®iÓm) Tìm tỉ lệ ba đường cao tam giác Biết cộng độ dài cặp hai cạnh tam giác đó thì tỉ lệ các kết là : : C©u 3: (2 ®iÓm) a) T×m tæng c¸c hÖ sè cña ®a thøc nhËn ®îc sau bá dÊu ngoÆc biÓu thøc: P( x) (2004 2005 x x ) 2004 (2004 2005 x x ) 2005 b) Tìm số tự nhiên n để n n là số nguyên tố C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam giác ABC Kẻ đường cao AH Gọi C’ là điểm đối xứng H qua AB, B’ là điểm đối xứng H qua AC Gọi giao điểm B’C’ với AC và AB là I và K Chøng minh IB, CK lµ ®êng cao cña tam gi¸c ABC C©u 5: (1 ®iÓm)Cho a, b, c 0; 1 vµ a b c T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc P a2 b2 c2 §Ò sè 25 C©u 1: ( ®iÓm) a) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: x x x x x x x 3y2 y x2 b) Rót gän biÓu thøc: y 2 x xy x xy x x y xy x y C©u 2: (2 ®iÓm) 10 Lop8.net (11) 11 45 Đề thi học sinh giái to¸n a) Có tồn cặp số tự nhiên (x, y) nào để số x y là số nguyên tố không b) Giải phương trình: y2 y x 2x Câu 3: Cho a, b, c là ba số dương Chứng minh rằng: §Ò sè 26 a b c 2 ab bc ca x x3 x x C©u 1: (2 ®iÓm) Cho ph©n thøc: A x x3 x x (víi x Z) a) Rót gän A b) Xác định x để A có giá trị nhỏ C©u 2: (2 ®iÓm) a) Cho x, y, z lµ c¸c sè nguyªn kh¸c 0.Chøng minh r»ng nÕu: x yz a ; y zx b ; z xy c Th× tæng ax by cz chia hÕt cho tæng a b c b) Cho ®a thøc f(x) chia cho x-2 th× d 5, chia cho x-3 th× d 7, cßn chia cho x x thì thương là x và còn dư Tìm đa thức f(x) Câu 3: (2 điểm) Giải phương trình: x x x Câu 4: Tìm tất các số có ba chữ số cho tổng các nghịch đảo các chữ số số b»ng 11 Lop8.net (12) 12 45 Đề thi học sinh giái to¸n §Ò sè 27 C©u 1: (2 ®iÓm) a) Cho y x vµ x y 10 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc xy M x y x y 1 11 4 4 b) Rót gän biÓu thøc A 12 4 4 C©u 2: (2 ®iÓm) a) Giải phương trình: x x 19 x 106 x 120 x4 y4 x 2004 y 2004 2 b) Cho vµ x y Chøng minh r»ng: 1002 1002 a b ab a b (a b)102 Câu 3: (2 điểm) Lúc giờ, An rời nhà mình để đến nhà bình với vận tốc km/h Lúc 20 phút, Bình rời nhà mình để đến nhà An với vận tốc km/h An gặp Bình trên đường hai cùng nhà Bình Khi trở đến nhà mình An tính quãng đường mình dài gấp bốn lần quãng đường Bình đã Tính khoảng cách từ nhà An đến nhà Bình C©u 4: (1 ®iÓm)Cho p q Chøng minh r»ng: p q §Ò sè 28 C©u 1: (2 ®iÓm) a) Giải phương trình: ( x x 4)3 (2 x )3 (4 x 6)3 b) Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: x 2004 x 2003x 2004 C©u 2: (2 ®iÓm) Cho a b c ; x y z ; a b c 0 x y z Chøng minh: ax by cz Câu 3: Tìm x nguyên để y nguyên: y 2x x2 §Ò sè 29 C©u 1: (2 ®iÓm) Rót gän biÓu thøc: a) A x2 x x 3x x 4 b) B x x x x 10 x 14 x 15 x C©u 2: (2 ®iÓm) a) Cho 3a b 4ab vµ b > a > TÝnh P ab ab b) T×m x, y biÕt: x y xy 3x C©u 3: (2 ®iÓm) a) Cho a, b lµ c¸c sè nguyªn Chøng minh r»ng nÕu a chia cho 19 d 3, b chia cho 19 d 2 th× a b ab chia hÕt cho 19 b) Chứng minh tích bốn số tự nhiên liên tiếp cộng là số chính phương 12 Lop8.net (13) 13 45 Đề thi học sinh giái to¸n §Ò sè 30 C©u 1: (2 ®iÓm) Cho ®a thøc A 2a 2b 2b 2c 2a 2c a b c a) Ph©n tÝch ®a thøc A thµnh nh©n tö b) Chứng minh a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác thì A> C©u 2: (2 ®iÓm) a) Giải phương trình: x y xy a b c 0 bc ca ab a b c TÝnh P 2 (b c) (c a ) ( a b) b) Cho a, b, c đôi khác và C©u 3: (2 ®iÓm) a) Cho m, n lµ c¸c sè tho¶ m·n: 3m n 4m n Chứng minh (m-n) và (4m + 4n + 1) là số chính phương b) Cho x, y, z lµ c¸c sè kh¸c tho¶ m·n x y z xyz vµ TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A 1 m x y z 1 theo m x y z §Ò sè 31 C©u 1: (2 ®iÓm)Cho biÓu thøc: M x2 y2 x2 y2 ( x y )(1 y ) ( x y )(1 x) (1 x)(1 y ) a) Rót gän M b) Tìm cặp số nguyên (x, y) để biểu thức M có giá trị -7 C©u 2: (3 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng víi n lµ sè tù nhiªn ch½n th× biÓu thøc: A 20 n 16 n 3n chia hÕt cho 323 b) Cho x, y, z kh¸c vµ x y z Chøng minh r»ng: NÕu 1 1 1 1 th× 2007 2007 2007 2007 2007 x y z x y z 2007 x y z x yz C©u 3: (2 ®iÓm) Trong mét cuéc ®ua m« t« cã ba xe cïng khëi hµnh mét lóc Mét xe chạy chậm xe thứ là 15 km và nhanh xe thứ ba km, đến đích chậm xe thø nhÊt 12 phót vµ sím h¬n xe thø ba phót Kh«ng cã sù dõng l¹i trªn ®êng ®i T×m vËn tèc mçi xe, qu·ng ®êng ®ua vµ xem mçi xe ch¹y mÊt bao nhiªu thêi gian Câu 4: (2 điểm)Cho hình vuông ABCD, gọi K, O, E, N là trung điểm AB, BC, CD vµ DA C¸c ®o¹n th¼ng AO, BE, Cn vµ DK c¾t t¹i L, M, R, P TÝnh tØ sè diÖn tÝch S(MNPR) : S(ABCD) C©u 5: (1 ®iÓm)TÝnh tæng S 1 1 1.2.3 2.34 3.4.5 n(n 1)(n 2) §Ò sè 32 C©u 1: (2 ®iÓm) a) Ph©n tÝch a thµnh nh©n tö 10 14 184 b) TÝnh : A 4 84 12 16 20 C©u 2: (2 ®iÓm) a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A x15 x14 x13 x x x víi x = b) Tìm n nguyên để n - chia hết cho n n 13 Lop8.net (14) 14 45 Đề thi học sinh giái to¸n C©u 3: ( ®iÓm) a) Cho ®a thøc f ( x) x100 x 99 x x T×m d cña phÐp chia f(x) cho x b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc sau: B xy( x 2)( y 6) 12 x 24 x y 18 y 2004 §Ò sè 33 C©u 1: (2 ®iÓm) Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: a) x10 x b) ( x 3x 2)( x x 12) 15 Cho a, b lµ c¸c sè tho¶ m·n a b ab 2005 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: P a b ( a b) a b ( a b) C©u 2: ( ®iÓm) ) Cho p vµ p2 + lµ c¸c sè nguyªn tè Chøng minh r»ng p3 + lµ sè nguyªn tè b) Tìm các số dương x, y, z thoả mãn: x y xyz và x y z C©u 3: (2 ®iÓm) Trªn qu·ng ®êng AB cña mét thµnh phè, cø phót l¹i cã mét xe buýt ®i theo chiều từ A đến B và phút lại có xe buýt theo chiều ngược lại Các xe này chuyển động với cùng vận tốc Một khách du lịch từ A đến B nhận thấy phót l¹i gÆp mét xe buýt ®i tõ B vÓ phÝa m×nh Hỏi bao nhiêu phút lại có xe từ A vượt qua người đó C©u 4: (3 ®iÓm) a) Cho hình bình hành ABCD Lấy E thuộc BD, Gọi F là điểm đối xứng với C qua E Qua F kÎ Fx song song víi AD, c¾t AB t¹i I, Fy song song víi AB, c¾t AD t¹i K Chøng minh r»ng ba ®iÓm I, K, E th¼ng hµng b) Cho ®o¹n th¼ng AB song song víi ®êng th¼ng d T×m ®iÓm M (d vµ M n»m kh¸c phÝa víi AB) cho c¸c tia MA, MB t¹o víi ®êng th¼ng d mét tam gi¸c cã diÖn tÝch nhá nhÊt b2 x2 a Câu 5: (1 điểm)Giải phương trình: x a x b x2 x b2 §Ò sè 34 C©u 1: (2 ®iÓm) a) Cho x x TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A b) Tìm số tự nhiên x để x4 x2 x2 x2 là số chính phương x8 C©u 2: (2 ®iÓm) a) Giải phương trình: x 1 x b) Giải bất phương trình: x 1 1 2x C©u 3: ( ®iÓm)ViÖt (hái): B¹n ë sè nhµ bao nhiªu ? Nam (tr¶ lêi): M×nh ë sè nhµ lµ mét sè cã ba ch÷ sè, mµ hai ch÷ sè ®Çu còng nh hai chữ số cuối lập thành số chính phương và số này gấp bốn lần số ? Việt: Sau lúc suy nghĩ đã tìm số nhà Nam Hái sè nhµ cña Nam lµ bao nhiªu ? C©u 4: ( ®iÓm) 14 Lop8.net (15) 15 45 Đề thi học sinh giái to¸n 1) Cho hai điểm A và B nằm cùng phía đường thẳng a Hãy tìm trên đường thẳng a điểm P cho tổng độ dài AP + PB là bé 2) Cho góc nhọn xOy và điểm A miền góc đó Hãy tìm trên hai cạnh Ox, Oy các điểm tương ứng B và C cho chu vi tam giác ABC bé C©u 5: (1 ®iÓm)T×m c¸c sè x, y, z, t tháa m·n: x y z t x( y z t ) §Ò sè 35 C©u 1: ( ®iÓm) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) (a b c) (a b c) (b c a) (c a b) b) ( x y ) ( z x ) ( y z ) C©u 2: (2 ®iÓm) a) Cho f(x) = ax bx c Chøng minh r»ng: f(x) + 3f(x + 2) = 3f(x + 1) + f(x + 3) b) Tìm các số x, y nguyên dương thoả mãn: x y y 13 C©u 3: ( ®iÓm) a) Chøng minh r»ng n 5n 4n chia hÕt cho 120 víi mäi n nguyªn b) Cho tam giác có độ dài hai đường cao là cm và cm Hãy tìm độ dài đường cao thứ ba, biết độ dài đường cao đó là số nguyên C©u 4: (3 ®iÓm) a) Chứng minh tổng độ dài các cạnh ngũ giác lồi bé tổng độ dài các đường chéo ngũ giác đó b) Cho tam giác ABC Trong các hình chữ nhật có hai đỉnh nằm trên cạnh BC và hai đỉnh còn lại nằm trên hai cạnh AB và AC, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn Câu 5: (1 điểm).Tìm tất các số thực dương x, y thoả mãn: x y xy §Ò sè 36 27 C©u 1: ( ®iÓm) a) Chøng minh r»ng: n n chia hÕt cho 30 víi mäi sè nguyªn n b) Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: x y xy C©u 2: (2 ®iÓm) 1 1 x y z a) T×m x, y, z tho¶ m·n: 1 4 xy z b) Cho a, b, c là các số hữu tỉ đôi khác Chứng minh rằng: A 1 2 ( a b) (b c) (c a ) lµ mét sè h÷u tØ C©u 3: ( ®iÓm) a) Cho x, y > tho¶ m·n x + y =1 Chøng minh r»ng: x 1 1 b) Chøng minh r»ng: 2 13 n (n 1) 2 1 25 y x y C©u 4: (2 ®iÓm)Cho ®a thøc P(x) x ax bx cx d víi a, b, c , d lµ h»ng sè BiÕt P(1) = 10; P(2) = 20 ; P(3) = 30 TÝnh P(12) + P(-8) C©u 5: ( ®iÓm)T×m c¸c sè x, y nguyªn tho¶ m·n: x y x y xy §Ò sè 37 15 Lop8.net (16) 16 45 Đề thi học sinh giái to¸n Bµi 1: (4 ®iÓm) a) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: A x b) Tìm số nguyên a để biểu thức P a2 a nhËn gi¸ trÞ nguyªn a 1 Bµi 2: (4 ®iÓm) §a thøc P(x) chia cho x -3 d 7, chia cho x + d -9 cßn chi cho x2 - 5x + thì thương là x2 + và còn dư Tìm đa thức P(x) Bµi 3: (6 ®iÓm) a) Biết x là nghiệm phương trình: T×m x ë d¹ng thu gän x ab x ac x bc abc ab ac bc (23 1)(33 1)(43 1) (503 1) b) Rót gän biÓu thøc: M (2 1)(33 1)(43 1) (503 1) Bµi 4: (6 ®iÓm) a) Trên tia Ox góc xOy cho trước điểm A Hãy tìm trên tia Oy góc đó điểm B cho OB + BA = d (với d là độ dài cho trước b) Cho tam gi¸c ABC cã trung tuyÕn kÎ tõ B vµ C lµ BE vµ CF Chøng minh r»ng BE vu«ng gãc víi CF vµ chØ khi: AC2 + AB2 = 5BC2 §Ò sè 38 Bµi 1: (2 ®iÓm) a) Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: x 3x x b) Giải phương trình: x 3x 3x a a 2 a 1 a 1 a 1 a Bµi 2: (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc: P a) Rót gän P b) Tìm a để P nguyên Bµi 3: (3 ®iÓm) a) T×m c¸c sè nguyªn x, y, z biÕt r»ng: y z 1 x z x y x y z x yz b) Cho ®a thøc f(x) = ax bx c víi a, b, c lµ c¸c sè h÷u tØ BiÕt r»ng f(0), f(1), f(2) cã gi¸ trÞ nguyªn Chøng minh r»ng 2a, 2b cã gi¸ trÞ nguyªn Bµi 4: (2 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC nhän víi ba ®êng cao AA’, BB’, CC’ Gäi H lµ trùc HA' HB' HC ' 1 AA' BB' CC ' T×m c¸c h»ng sè a vµ b chob ®a thøc x ax b chia cho (x + 1) th× d t©m cña tam gi¸c ABC Chøng minh r»ng: Bµi 5: (1 ®iÓm) 7, chia cho (x-3) th× d -5 §Ò sè 39 Bµi 1: (2 ®iÓm) Rót gän biÓu thøc: a) P (a b c) (a b c) (a b c) (b c a) b) Q 1 x y x y x y2 Bµi 2: ( ®iÓm) a) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: (a b c)(ab bc ca) abc b) T×m x, y biÕt: x y x y 16 0 Lop8.net (17) 17 45 Đề thi học sinh giái to¸n c) Cho A (n 1)(n 3n 1) Tìm số tự nhiên n để giá trị A là số nguyên tố Bài 3: ( điểm) Giải phương trình: x 13 x 11 x x x x 117 x 119 x 121 x 123 x 125 117 119 121 123 125 13 11 Bµi 4: (2 ®iÓm) Một ô tô khởi hành từ A đến C, hai sau ô tô khác từ B đến C Sau giê tÝnh tõ « t« thø nhÊt lhëi hµnh th× hai « t« gÆp TÝnh vËn tèc cña mçi « tô Biết B nằm trên đường từ A đến C và quãng đường AB 78 km, vận tốc ô tô ®i tõ A lín h¬n vËn tèc cña « t« ®i tõ B lµ km/h Bµi 5: (2 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã ba ph©n gi¸c lµ AD, BE vµ CF Gäi M, N, P theo thứ tự là các điểm đối xứng B, A và C qua AD, BE , AD Q là điểm đối xứng A qua CF Chøng minh MN // PQ §Ò sè 40 Bµi 1: ( ®iÓm) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) x x x b) a(b c ) b(c a ) c(a b ) Bµi 2: (4 ®iÓm) a) Rót gän biÓu thøc sau: (a b 1)3 (a b 1)3 6(a b) b) Xác định a, b để đa thức x ax x b chia hết cho đa thức x c) T×m d cña phÐp chia ®a thøc f ( x) 2004 x 2005 2005 x 2004 x 2002 cho ®a thøc x d) T×m x nguyªn tho¶ m·n: x Bµi 3: a) TÝnh nhanh: 9982 9992 10012 10022 b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A x xy y 3x y 2004 §Ò sè 41 Bµi 1: (2 ®iÓm) a) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: x x x 3x b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A x y xy x 12 y 2006 Bµi 2: (2 ®iÓm) a) Tìm thương và phần dư phép chia đa thức: f ( x) x x x x1997 cho x b) Đa thức f(x) chia cho x-3 thì dư 10, chia cho x+5 thì dư còn chia cho (x3)(x+5) thì thương là x và còn dư Tìm đa thức f(x) Bµi 3: (2 ®iÓm)T×m sè tù nhiªn x cho M x1999 x1997 cã gi¸ trÞ lµ mét sè nguyªn tè §Ò sè 42 Bµi 1: (2 ®iÓm) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) x x x x 3x b) x x Bµi 2: (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc: a) Rót gän P b) TÝnh P m Bµi 3: (2 ®iÓm) 17 2001 1999 Lop8.net (18) 18 45 Đề thi học sinh giái to¸n a) Chứng minh với số nguyên dương n thì phân số: 15n 8n 30n 21n 13 tèi gi¶n b) Tìm số nguyên n để n chia hết cho n 64 Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho h×nh vu«ng ABCD, trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm E Tõ A kÎ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AE, c¾t ®êng th¼ng CD t¹i F Gäi I lµ trung ®iÓm cña EF, AI c¾t CD t¹i M Qua E dùng ®êng th¼ng song song víi CD c¾t AI t¹i N a) Chøng minh tø gi¸c MENF lµ h×nh thoi b) Chứng minh chi vi tam giác CEM không đổi E chuyển động trên BC Bài 5: (1 điểm)Tìm a để P = a4 + là số nguyên tố §Ò sè 43 Bµi 1: ( 2®iÓm) h©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) ( x y ) ( x y ) b) ( x x 1)( x 3x 1) x Bµi 2: (2 ®iÓm) Cho ®a thøc P( x) x ax bx cx dx e vµ cho biÕt P(1) = ; P(2) = 9; P(3) = 19; P(4) = 33 ; P(5) = 51 TÝnh P(6) ; P(7) ; P(8) Bài 3: (2 điểm) Giải phương trình: 4x 5 x 4x b) x x x x a) x Bài 4: (2 điểm)Dùng hai can lít và 2,5 lít làm nào để đong lít rượu từ can lít đựng đầy rượu (các can không có vạch chia độ) Bµi 5: (2 ®iÓm) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P = x 100 10 x 10 10 §Ò sè 44 Bµi 1: (2 ®iÓm) a) Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: x x b) Tìm các cặp số (x, y) để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất: P x y xy x y Bài 2: ( 2điểm) Giải phương trình: a) x 22 x 33 x 44 b) x x x x Bµi 3: ( ®iÓm)T×m hÖ sè cña x8 khai triÓn nhÞ thøc Newt¬n cña ®a thøc: 1 x (1 x) Bµi 4: (2 ®iÓm) Tìm số tự nhiên có bốn chữ số biết số đó luỹ thừa bậc bốn tổng các chữ số cña nã Bµi 5: (2 ®iÓm) 18 Chøng minh r»ng: x2 x 1 3 x2 x 1 Lop8.net (19) 19 45 Đề thi học sinh giái to¸n §Ò sè 45 C©u 1: ( ®iÓm)Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: a) x y 64 b) x x 14 x x Câu 2: ( điểm)Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm: x x x m C©u 3: ( ®iÓm)Cho x 2006 x TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: C©u 4: (2 ®iÓm)Cho x, y, z > vµ xyz =1 Chøng minh r»ng: 1 1 3 x y y z z x3 Câu 5: ( điểm) Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn: a b c a b 1 c T×m GTNN cña biÓu thøc: P 1 1 1 19 Lop8.net P x4 x2 1 x2 (20)