Cho phöông trình.[r]
(1)CHÖÔNGV PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG THEO SINX, COSX a ( sin x + cos x ) + b sin x cos x = c (1) Caù c h giaû i Đặ t t = sin x + cos x vớ i điề u kiệ n t ≤ π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ Thì t = sin ⎜ x + ⎟ = cos ⎜ x − ⎟ 4⎠ 4⎠ ⎝ ⎝ Ta coù : t = + sin x cos x neâ n (1) thaø nh b t −1 = c ⇔ bt + 2at − b − 2c = Giả i (2) tìm đượ c t, rồ i so vớ i điề u kiệ n t ≤ at + ( ) π⎞ ⎛ sin ⎜ x + ⎟ = t ta tìm đượ c x 4⎠ ⎝ Baø i 106 : Giaû i phöông trình sin x + sin2 x + cos3 x = ( *) giaû i phöông trình ( ) (*) ⇔ sin x (1 + sin x ) + cos x − sin2 x = ⇔ (1 + sin x ) = hay sin x + cos x (1 − sin x ) = ⎡sin x = −1 (1 ) ⇔⎢ ⎢⎣sin x + cos x − sin x cos x = ( ) π • (1) ⇔ x = − + k2π ( k ∈ Z ) π⎞ ⎛ •Xeù t ( ) : ñaë t t = sin x + cos x = cos ⎜ x − ⎟ 4⎠ ⎝ ñieà u kieä n t ≤ thì t = + sin x cos x Vaäy (2) thaø n h t − ⇔ t − 2t − = t2 − =0 ⎡t = − ⇔⎢ ⎢⎣ t = + ( loạ i ) π⎞ ⎛ Do đó ( ) ⇔ cos ⎜ x − ⎟ = − 4⎠ ⎝ π⎞ ⎛ ⇔ cos ⎜ x − ⎟ = − = cos ϕ vớ i < ϕ < 2π 4⎠ ⎝ π = ±ϕ + h2π, h ∈ ] , vớ i cos ϕ = −1 π ⇔ x = ± ϕ + h2π, h ∈ ], vớ i cos ϕ = −1 ⇔ x− Lop12.net (2) sin 2x ( *) ( *) ⇔ −1 + ( sin x + cos x )(1 − sin x cos x ) = sin 2x π ⎛ ⎞ Ñaë t t = sin x + cos x = sin ⎜ x + ⎟ 4⎠ ⎝ Vớ i điề u kiệ n t ≤ Baø i 107 : Giaû i phöông trình −1 + sin x + cos3 x = Thì t2 = + 2sin x cos x ⎛ t2 − ⎞ Vaäy (*) thaø n h : −1 + t ⎜⎜ − t −1 ⎟= ⎟⎠ ⎝ ( ( ) ( ⇔ −2 + t − t = t − ) ) ⇔ t + 3t − 3t − = ( ) ⇔ ( t − 1) t + 4t + = ⇔ t = ∨ t = −2 + ∨ t = −2 − ( loạ i ) π⎞ π ⎛ vớ i t = thì sin ⎜ x + ⎟ = = sin 4⎠ ⎝ π π π 3π ⇔ x + = = k2π ∨ x + = + k2π, k ∈ ] 4 4 π ⇔ x = k2π ∨ x = + k2π , k ∈ ] π⎞ 3−2 ⎛ = sin ϕ vớ i t = − thì sin ⎜ x + ⎟ = 4⎠ ⎝ ⇔ x+ π π 3−2 = ϕ + m2π ∨ x + = π − ϕ + m2π, m ∈ ], vớ i = sin ϕ 4 ⇔ x =ϕ− π 3π + m2π ∨ x = − ϕ + m2π, m ∈ ], vớ i 4 Baø i 108 :Giaû i phöông trình 2t = 2 ( sin x + cos x ) = tgx + cot gx ( *) ⎧sin x ≠ Ñieà u kieän ⎨ ⇔ sin 2x ≠ ⎩cos x ≠ sin x cos x Lú c đó (*) ⇔ ( sin x + cos x ) = + cos x sin x sin2 x + cos2 x ⇔ ( sin x + cos x ) = = sin x cos x sin x cos x π⎞ ⎛ Ñaë t t = sin x + cos x = sin ⎜ x + ⎟ 4⎠ ⎝ Thì t = + sin x cos x vớ i t ≤ và t ≠ (*) thaø n h 3−2 t2 − Lop12.net = sin ϕ (3) ⇔ 2t3 − 2t − = (Hieå n nhieân t = ±1 khoâ n g laø nghieä m ) ( ⇔ t− )( ) 2t + 2t + = ⎡t = ⇔⎢ ⎢⎣ t + 2t + = ( voâ nghieä m ) π⎞ ⎛ Vaäy ( *) ⇔ sin ⎜ x + ⎟ = 4⎠ ⎝ π⎞ ⎛ ⇔ sin ⎜ x + ⎟ = 4⎠ ⎝ π π ⇔ x + = + k2π, k ∈ ] π ⇔ x = + k2π, k ∈ ] Baø i 109 : Giaû i phöông trình ( cot gx − cos x ) − ( tgx − sin x ) = ( *) Vớ i điề u kiệ n sin 2x ≠ , nhâ n vế phương trình cho sinxcosx ≠ thì : ( *) ⇔ cos2 x (1 − sin x ) − sin2 x (1 − cos x ) = sin x cos x ⇔ cos2 x (1 − sin x ) − sin x (1 − cos x ) = sin x cos x − sin x cos x ⇔ cos x ⎣⎡cos x (1 − sin x ) + sin x ⎤⎦ − sin x ⎡⎣sin x (1 − cos x ) + cos x ⎤⎦ = ⇔ cos x ( cos x − sin x cos x + sin x ) − sin x ( sin x − sin x cos x + cos x ) = ⎡sin x + cos x − sin x cos x = (1) ⇔⎢ ( 2) ⎢⎣3 cos x − sin x = ( Ghi chuù : A.B + A.C = A.D ⇔ A = hay B + C = D ) π⎞ ⎛ Giaû i (1) Ñaë t t = sin x + cos x = sin ⎜ x + ⎟ 4⎠ ⎝ Thì t2 = + 2sin x cos x vớ i điề u kiệ n : t ≤ và t ≠ ±1 (1) thaø n h : t − t2 − = ⇔ t − 2t − = ( ) ⎡ t = + loạ i t ≤ ⇔⎢ ⎢ t = − ( nhậ n so vớ i điề u kiệ n ) ⎣ π⎞ 1− ⎛ Vaäy sin ⎜ x + ⎟ = = sin α 4⎠ ⎝ π ⎡ ⎢ x + = α + k2π ⇔⎢ ⇔ ⎢ x + π = π − α + k2π, k ∈ ] ⎣⎢ ( < α < 2π ) π ⎡ ⎢ x = α − + k2π ⎢ ⎢ x = 3π − α + k2π, k ∈ ] ⎣⎢ Lop12.net (4) ( 2) ⇔ tgx = = tgβ ⇔ x = β + hπ, h ∈ ] Baø i 110 : Giaû i phöông trình 3tg3 x − tgx + (1 + sin x ) cos x ( với < β < π) ⎛π x⎞ = 8cos2 ⎜ − ⎟ ( *) ⎝4 2⎠ Ñieà u kieän : cos x ≠ ⇔ sin x ≠ ±1 ⎡ ⎛π ⎞⎤ Lúc đó : (*) ⇔ tgx 3tg2 x − + (1 + sin x ) + tg2 x = ⎢1 + cos ⎜ − x ⎟ ⎥ ⎝2 ⎠⎦ ⎣ = (1 + sin x ) ( ) ( ) ⇔ tgx ( 3tg2 x − 1) + (1 + sin x ) ⎡⎣3 (1 + tg2 x ) − ⎤⎦ = ⇔ ( 3tg2 x − 1) ( tgx + + sin x ) = ⇔ ( 3tg2 x − 1) ( sin x + cos x + sin x cos x ) = ⎡3tg2 x = (1) ⇔⎢ ⎢⎣sin x + cos x + sin x cos x = ( 2) π ⇔ tgx = ± ⇔ x = ± + kπ 3 π⎞ ⎛ • Giaû i ( ) ñaë t t = sin x + cos x = sin ⎜ x + ⎟ 4⎠ ⎝ Vớ i điề u kiệ n t ≤ và t ≠ ±1 •(1) ⇔ tg2 x = Thì t = + sin x cos x t2 −1 = ⇔ t + 2t − = (2) thaø n h : t + ⎡ t = −1 − loạ i điề u kiệ n t ≤ ⇔⎢ ⎢ t = −1 + ( nhậ n so vớ i điề u kiệ n ) ⎣ ( ) −1 π⎞ ⎛ = sin ϕ Vaäy sin ⎜ x + ⎟ = 4⎠ ⎝ π π ⎡ ⎡ ⎢ x + = ϕ + k2π, k ∈ ] ⎢ x = ϕ − + k2π, k ∈ ] ⇔⎢ ⇔⎢ ⎢ x + π = π − ϕ + k2π, k ∈ ] ⎢ x = 3π − ϕ + k2π, k ∈ ] ⎣⎢ ⎣⎢ Baø i 111 : Giaû i phöông trình 2sin x − sin x = cos3 x − cos x + cos2x ( *) (*) ⇔ ( sin3 x − cos3 x ) − ( sin x − cos x ) + sin x − cos2 x = Lop12.net (5) ⇔ sin x − cos x = hay (1 + sin x cos x ) − + ( sin x + cos x ) = ⎡sin x − cos x = (1) ⇔⎢ ⎢⎣sin x + cos x + sin 2x + = ( ) • (1) ⇔ tgx = ⇔x= π + kπ, k ∈ ] π⎞ ⎛ t = sin x + cos x = cos x ⎜ x − ⎟ 4⎠ ⎝ Vớ i điề u kiệ n : t ≤ •xeù t ( ) ñaë t t = + sin 2x Vaä y ( ) thaø nh t + ( t − 1) + = ⇔ t ( t + 1) = ⇔ t = ∨ t = −1 π⎞ ⎛ Khi t = thì cos ⎜ x − ⎟ = 4⎠ ⎝ π π ⇔ x − = ( 2k + 1) , k ∈ ] 3π ⇔x= + kπ, k ∈ ] π⎞ 3π ⎛ Khi t = −1 thì cos ⎜ x − ⎟ = − = cos 4⎠ ⎝ π 3π ⇔ x− =± + k2π, k ∈ ] 4 π ⇔ x = π + k2π hay x = − + k2π, k ∈ ] Baø i 112 : Giaû i phöông trình sin x + sin x + sin3 x + sin x = cos x + cos2 x + cos3 x + cos4 x ( *) Ta coù : (*) ⇔ ( sin x − cos x ) + ( sin x − cos2 x ) + ( sin3 x − cos3 x ) + ( sin x − cos4 x ) = ⇔ ( sin x − cos x ) = hay + ( sin x + cos x ) + (1 + sin x.cos x ) + ( sin x + cos x ) = ⎡sin x − cos x = (1) ⇔⎢ ⎢⎣2 ( sin x + cos x ) + sin x cos x + = ( ) Ta coù : (1) ⇔ tgx = π ⇔ x = + kπ, k ∈ ] π⎞ ⎛ Xeù t (2) : ñaë t t = sin x + cos x = cos ⎜ x − ⎟ 4⎠ ⎝ Vớ i điề u kiệ n t ≤ Lop12.net (6) Thì t = + 2sin x cos x t2 −1 +2 = (2) thaø n h 2t + ⇔ t + 4t + = ⇔ t = −1 ∨ t = −3 ( loạ i ) π⎞ 3π ⎛ t = -1 thì cos ⎜ x − ⎟ = − = cos 4⎠ ⎝ π 3π ⎡ ⎢ x − = + k2π, k ∈ ] ⇔⎢ ⎢ x − π = − 3π + k2π, k ∈ ] ⎢⎣ 4 ⎡ x = π + k2π, k ∈ ] ⇔⎢ ⎢ x = − π + k2π, k ∈ ] ⎣ ( ) Baø i 113 : Giaû i phöông trình tg2 x − sin3 x + cos3 x − = ( *) Ñieà u kieän : cos x ≠ ⇔ sin x ≠ ±1 sin x Lú c đó (*) ⇔ (1 − sin3 x ) + cos3 x − = cos2 x ⇔ (1 − cos2 x )(1 − sin3 x ) − (1 − cos3 x )(1 − sin x ) = ⇔ (1 − cos x )(1 − sin x ) = hay (1 + cos x ) (1 + sin x + sin x ) − (1 + cos x + cos2 x ) (1 + sin x ) = ⎡ cos x = 1( nhaä n ñieà u kieä n ) ⎢ ⇔ ⎢sin x = 1( loạ i điề u kiệ n ) ⎢ 2 2 ⎢⎣sin x + sin x cos x − cos x − sin x cos x = ⎡ cos x = ⇔⎢ 2 ⎣sin x − cos x + sin x cos x ( sin x − cos x ) = ⎡ cos x = ⇔⎢ ⎣sin x − cos x = hay sin x + cos x + sin x cos x = ⎡ cos x = ∨ tgx = ⇔⎢ ⎣sin x + cos x + sin x cos x = ⎡ x = k2π, k ∈ ] ⎢ π ⇔ ⎢ x = + kπ, k ∈ ] ⎢ ⎢sin x + cos x + sin x cos x = ⎣ xeù t pt sin x + cos x + sin x cos x = Lop12.net (7) ñaë t ( ) π⎞ ⎛ t = sin x + cos x = cos x ⎜ x − ⎟ ñieà u kieä n t ≤ vaø t ≠ ±1 4⎠ ⎝ ⇒ t = + sin x cos x t2 − Ta đượ c phương trình t + = ⇔ t + 2t − = ⎡ t = −1 − ( loạ i ) ⇔⎢ ⎢⎣ t = − + ( nhậ n so vớ i đk ) −1 π⎞ ⎛ Vaäy cos ⎜ x − ⎟ = = cos ϕ 4⎠ ⎝ π π ⇔ x − = ±ϕ + k2π, k ∈ ] ⇔ x = ± ϕ + k2π, k ∈ ] 4 Baø i 114 : Cho phöông trình m ( sin x + cos x + 1) = + sin 2x ( *) ⎡ π⎤ Tìm m để phương trình có nghiệm thuộ c đoạ n ⎢ 0, ⎥ ⎣ 2⎦ π⎞ ⎛ Ñaë t t = sin x + cos x = sin ⎜ x − ⎟ , ñieàu kieä n t ≤ 4⎠ ⎝ Thì t = + sin 2x Vaäy (*) thaø n h : m ( t + 1) = t π π π 3π thì ≤ x + ≤ 4 π⎞ ⎛ Do đó ≤ sin ⎜ x + ⎟ ≤ 4⎠ ⎝ ⇔1≤ t ≤ ta coù m ( t + 1) = t Neá u ≤ x ≤ t2 ⇔m= (do t = -1 khoâ n g laø nghieä m cuû a phöông trình) t +1 t2 treâ n ⎡⎣1, ⎤⎦ Xeù t y = t +1 t + 2t Thì y ' = > ∀t ∈ ⎡⎣1, ⎤⎦ ( t + 1) Vaä y y taê n g treâ n ⎡⎣1, ⎤⎦ ⎡ π⎤ Vaäy (*) coù nghieäm treân ⎢1, ⎥ ⇔ y (1) ≤ m ≤ y ⎣ 2⎦ ⇔ ≤ m ≤ 2 −1 ( ) Lop12.net ( 2) (8) Baø i 115 : Cho phöông trình cos3 x + sin3 x = m sin x cos x ( *) a/ Giaû i phöông trình m = b/ Tìm m để (*) có nghiệ m Ta coù : (*) ⇔ ( cosx + sin x )(1 − sin x cosx ) = m sin x cosx π⎞ ⎛ Ñaë t t = sin x + cos x = cos x ⎜ x − ⎟ 4⎠ ⎝ Vớ i điề u kiệ n ( t ≤ 2) Thì t = + 2sin x cos x ⎛ t2 − ⎞ ⎛ t2 − ⎞ = m Vaäy (*) thaø n h t ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⇔ t ( − t ) = m ( t − 1) a/ Khi m = ta coù phöông trình t ( − t ) = ( t − 1) ( ) ⇔ t + 2t − 3t − = ( )( ) ⇔ t − t + 2t + = ⇔ t = hay t = − + hay t = − − 1( loạ i ) π⎞ π π ⎛ Vaäy • cos x ⎜ x − ⎟ = ⇔ x − = k2π, k ∈ ] ⇔ x = + k2π, k ∈ ] 4⎠ 4 ⎝ π ⎞ 1− ⎛ • cos ⎜ x − ⎟ = = cos α 4⎠ ⎝ π π ⇔ x − = ±α + k2π, k ∈ ] ⇔ x = ± α + k2π, k ∈ ] 4 2 b/ Xeù t phöông trình t ( − t ) = k ( t − 1) ( **) Do t = ±1 khoâ n g laø nghieäm cuû a (**) neâ n 3t − t (**) ⇔ m = t −1 3t − t Xeù t y = ( C ) treân ⎡⎣− 2, ⎤⎦ \ {±1} t −1 −t − Ta coù y ' = < 0∀t = ±1 2 ( t − 1) suy y giaû m treâ n ( −1,1 ) vaø lim y = + ∞ , lim− y = − ∞ x → − 1+ x→ Do đó trê n ( − 1,1 ) ⊂ ⎡⎣ − 2, ⎤⎦ \ {±1} ta có 3t − t (d) y = m caé t (C) y = vớ i ∀m ∈ R t −1 Vaäy (*) coù nghieäm ∀m ∈ R Lop12.net (9) Baø i 116 : Cho phöông trình 1⎛ 1 ⎞ m ( sin x + cos x ) + + ⎜ tgx + cot gx + + = ( *) 2⎝ sin x cos x ⎟⎠ a/ Giaû i phöông trình m = ⎛ π⎞ b/ Tìm m để (*) có nghiệ m trê n ⎜ 0, ⎟ ⎝ 2⎠ Vớ i đ iề u kiệ n sin 2x ≠ ta có ⎛ sin x cos x 1 ⎞ (*) ⇔ m ( sin x + cos x ) + + ⎜ =0 + + + ⎝ cos x sin x sin x cos x ⎟⎠ ⇔ m sin 2x ( sin x + cos x ) + sin 2x + (1 + cos x + sin x ) = ⇔ m sin 2x ( sin x + cos x ) + sin 2x + + cos x + sin x = ⇔ m sin 2x ( sin x + cos x ) + ( sin x + cos x ) + sin x + cos x = ⎡sin x + cos x = (1) ⇔⎢ ⎢⎣ m sin 2x + sin x + cos x + = ( ) π⎞ ⎛ Xeù t (2) ñaë t t = sin x + cos x = cos ⎜ x − ⎟ 4⎠ ⎝ Thì t = + sin 2x Do sin 2x ≠ neâ n t ≤ vaø t = ±1 ⎡t = Vaäy (*) thaø n h : ⎢ ⎢⎣ m ( t − 1) + t + = ⎡ t = ( nhaä n so ñieà u kieä n ) ⇔⎢ ( t ≠ −1) ⎢⎣ m ( t − 1) + = a/ Khi m = thì ta đượ c : ⎡t = ⎢ ⎢⎣ t = − 1( loạ i điề u kiệ n ) Vaäy sinx + cosx = ⇔ tgx = −1 π ⇔ x = − + kπ, k ∈ ] π π π π b/ Ta coù : < x < ⇔ − < x − < 4 Lúc đó π⎞ ⎛ < cos ⎜ x − ⎟ ≤ ⇒ < t ≤ 2 4⎠ ⎝ Do t = ∉ 1, ⎤⎦ ( Lop12.net (10) Neâ n ta xeù t phöông trình : m ( t − 1) + = ( **) (**) ⇔ mt = m − 1 (do m = thì (**) voâ nghieäm ) m Do đó : yêu cầ u bà i toá n ⇔ < − ≤ m ⎧ ⎧m < ⎪⎪− m > ⎪ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪1 − ≤ ⎪m ≤ − = − − ⎩ ⎪⎩ m ⇔ t = 1− ⇔ m ≤ − −1 Baø i 117 : Cho f ( x ) = cos2 2x + ( sin x + cosx ) − 3sin 2x + m a/ Giaû i phöông trình f(x) = m = -3 b/ Tính theo m giá trị lớ n và giá trị nhỏ nhấ t f(x) Tìm m cho ⎡⎣ f ( x ) ⎤⎦ ≤ 36 ∀x ∈ R ( π⎞ ⎛ Ñaë t t = sin x + cos x = cos ⎜ x − ⎟ ñieà u kieä n t ≤ 4⎠ ⎝ Thì t = + sin 2x Vaø cos2 2x = − sin 2x = − ( t − 1) = − t + 2t 2 Vaäy f ( x ) thaø nh g ( t ) = − t + 2t + 2t − ( t − 1) + m a/ Khi m = -3 thì g(t) = ⇔ −t t − 2t + = ( ) ⇔ t = 0∨ t =1 vaä y m = -3 thì f(x) = π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ ⇔ cos ⎜ x − ⎟ = hay cos ⎜ x − ⎟ = 4⎠ 4⎠ ⎝ ⎝ π π π π ⇔ x − = ( 2k + 1) hay x − = ± + k2π, k ∈ ] 4 3π π ⇔x= + kπ hay x = + k2π ∨ x = k2π, k ∈ ] b/ Ta coù g ' ( t ) = −4t + 6t − 2t = −2t ( 2t − 3t + 1) ⎧g' ( t ) = ⎪ ⇔ t = ∨ t = 1∨ t = Vaäy ⎨ ⎪⎩t ∈ ⎡⎣ − 2, ⎤⎦ ⎛ ⎞ 47 Ta coù : g ( ) = + m = g (1) , g⎜ ⎟ = +m ⎝ ⎠ 16 g ( 2) = − + m, g ( 2) = m −3− Lop12.net ) (11) Vaäy : Maxf ( x ) = Max g ( t ) = m + t∈ ⎡⎣ − , ⎤⎦ x∈ \ Minf ( x ) = x∈ R Min g ( t ) = m − − t ∈ ⎡⎣ − , ⎤⎦ Do đó : ⎡⎣ f ( x ) ⎤⎦ ≤ 36, ∀x ∈ R ⇔ −6 ≤ f ( x ) ≤ 6, ∀x ∈ R ⎧Max f ( x ) ≤ ⎪ ⇔⎨ R f (x) ≥ − ⎪⎩Min R ⎧⎪m + ≤ ⇔⎨ ⎪⎩m − − ≥ −6 ⇔ −3≤ m ≤ ( ) Caù c h khaù c : Ta coù g ( t ) = − t t − 2t + + + m = − ⎣⎡ t ( t − 1) ⎦⎤ + + m Ñaë t u = t − t ⎡ ⎤ Khi t ∈ ⎡ − 2, ⎤ thì u ∈ ⎢ − ,2 + ⎥ = D ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Vaäy g ( t ) = h ( u ) = − u + + m Max f ( x ) = R Min f ( x ) = R Max g ( t ) = Max h ( u ) = m + u∈D t ∈ ⎡⎣ − , ⎤⎦ Min t ∈ ⎣⎡ − , ⎦⎤ g ( t ) = Min h ( u ) = m − − u∈D Chú ý : Phương trình giả đố i xứ n g a ( sin x − cos x ) + b ( sin x cos x ) = ñaë t t = sinx – cosx π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ thì t = sin ⎜ x − ⎟ = − cos ⎜ x + ⎟ 4⎠ 4⎠ ⎝ ⎝ vớ i điề u kiệ n t ≤ thì t = − 2sin x cos x Baø i 118 : Giaû i phöông trình 2sin x + cot gx = 2sin 2x + ( *) Ñieà u kieän : sin x ≠ ⇔ cos x = ±1 cos x Lú c đó (*) ⇔ sin x + = sin x cos x + sin x ⇔ sin2 x + cos x = sin2 x cos x + sin x ( ) ⇔ sin2 x − sin x − cos x sin2 x − = ⇔ sin x ( sin x − 1) − cos x ( sin x − 1) ( sin x + 1) = ⇔ sin x − = hay sin x − cos x ( sin x + 1) = ⎡2 sin x − = ⇔⎢ ⎢⎣sin x − cos x − sin 2x = (1 ) ( 2) Lop12.net (12) • Ta coù (1) ⇔ sin x = ⇔x= ( nhaän sin x ≠ 0) π 5π + k2π ∨ x = + k2π, k ∈ ] 6 • Xeù t ( ) Ñaë t t = sin x − cos x = π⎞ ⎛ sin ⎜ x − ⎟ 4⎠ ⎝ Vớ i điề u kiệ n t ≤ và t ≠ ± Thì t2 = − sin 2x Vaäy (2) thaø n h : t − − t = ( ) ⇔ t2 + t − = −1 + −1 − ⇔t= ∨t= ( loại ) 2 π ⎞ −1 + ⎛ Do đó : sin ⎜ x − ⎟ = nhaä n t ≤ vaø t ≠ ±1 4⎠ ⎝ π⎞ −1 ⎛ ⇔ sin ⎜ x − ⎟ = = sin ϕ 4⎠ 2 ⎝ π ⎡ ⎢ x − = ϕ + k2π, k ∈ ] ⇔⎢ ⎢ x − π = π − ϕ + k2π, k ∈ ] ⎢⎣ π ⎡ ⎢ x = ϕ + + k2π, k ∈ ] ⇔⎢ ⎢ x = 5π − ϕ + k2π, k ∈ ] ⎢⎣ ( ) Baø i 119 : Giaû i phöông trình cos 2x + = ( − cos x )( sin x − cos x )( *) ( ) Ta coù : ( *) ⇔ cos2 x − sin2 x + = ( − cos x )( sin x − cos x ) ⇔ ( sin x − cos x ) ⎡⎣2 ( − cos x ) + ( sin x + cos x ) ⎤⎦ − = ⇔ ( sin x − cos x ) [sin x − cos x + 4] − = π⎞ ⎛ Ñaë t t = sin x − cos x = sin ⎜ x − ⎟ 4⎠ ⎝ Vớ i điề u kiệ n t ≤ (*) thaø n h : t ( t + ) − = ⇔ t + 4t − = ⇔ t = ∨ t = −5 ( loạ i ) π⎞ π ⎛ Vaäy ( *) ⇔ sin ⎜ x − ⎟ = = sin 4⎠ ⎝ Lop12.net (13) π π π 3π = + k2π ∨ x − = + k2π, k ∈ ] 4 4 π ⇔ x = + k2π ∨ x = π + k2π, k ∈ ] ⇔ x− Baø i 120 : Giaû i phöông trình cos3 x + sin x = cos 2x ( *) Ta coù (*) ⇔ ( cos x + sin x )(1 − sin x cos x ) = cos2 x − sin2 x ⇔ cos x + sin x = hay − sin x cos x = cosx − sin x ⎡sin x + cos x = ⇔⎢ ⎢⎣sin x − cos x − sin x cos x + = Ta coù : (1) ⇔ tgx = −1 ⇔x=− (1 ) ( 2) π + kπ, k ∈ ] π⎞ ⎛ Xeù t (2) ñaë t t = sin x − cos x = sin ⎜ x − ⎟ 4⎠ ⎝ Vớ i điề u kiệ n t ≤ Thì t2 = − 2sin x cos x − t2 (2) thaø n h t − + = ⇔ t + 2t + = ⇔ t = −1 π⎞ ⎛ ⎛ π⎞ vaä y (2) ⇔ sin ⎜ x − ⎟ = − = sin ⎜ − ⎟ 4⎠ ⎝ ⎝ 4⎠ π π ⎡ ⎡ x = k2π, k ∈ ] ⎢ x − = − + k2π, k ∈ ] ⇔⎢ ⇔⎢ ⎢ x = 3π + k2π, k ∈ ] ⎢ x − π = 5π + k2π, k ∈ ] ⎣ ⎢⎣ 4 Baø i 121 : Cho phöông trình cos3 x − sin x = m (1 ) a/ Giaû i phöông trình (1) m = baè n g caùch ñaë t aå n phuï t = cos x − sin x ⎡ π π⎤ b/ Tìm m cho (1) có đú n g hai nghiệ m x ∈ ⎢ − , ⎥ ⎣ 4⎦ Ta coù (1) ⇔ ( cos x − sin x )(1 + sin x cos x ) = m π⎞ ⎛ Ñaë t t = cos x − sin x = cos ⎜ x + ⎟ 4⎠ ⎝ Vớ i điề u kiệ n t ≤ Thì t2 = − 2sin x cos x ⎛ − t2 ⎞ Vaäy (1) thaø n h : t ⎜⎜ + ⎟=m ⎟⎠ ⎝ ( ) ⇔ t − t = 2m ( 2) Lop12.net (14) a/ Khi m = thì (2) thaø n h t3 − 3t + = ⇔ ( t − 1) t + t − = ( ) ⇔ t = ∨ t = −2 ( loạ i ) π⎞ π π ⎛ Vaäy cos ⎜ x + ⎟ = ⇔ x + = ± + k2π, k ∈ ] 4⎠ 4 ⎝ π ⇔ x = k2π ∨ x = − + k2π, k ∈ ] π π π π ⎡ ⎤ b/ Neá u x ∈ ⎢ − , ⎥ thì ≤ x + ≤ ⎣ 4⎦ π⎞ ⎛ neâ n ≤ cos ⎜ x + ⎟ ≤ 4⎠ ⎝ π⎞ ⎛ ⇔ ≤ t = cos ⎜ x + ⎟ ≤ 4⎠ ⎝ nhậ n xé t rằ n g vớ i mỗ i t tìm đượ c trê n ⎡⎣0, ⎤⎦ ⎡ π π⎤ ta tìm nhaá t moä t x ∈ ⎢ − , ⎥ ⎣ 4⎦ xeù t f ( t ) = − t + 3t treâ n ⎡⎣0, ⎤⎦ ⇒ f ' ( t ) = −3t + ⎡ π π⎤ vậ y (1) có đú n g hai nghiệ m x ∈ ⎢ − , ⎥ ⎣ 4⎦ ⇔ ( d ) y = 2m caé t ( C ) y = −t + 3t treâ n ⎡⎣0, ⎤⎦ taï i ñieå m phaân bieä t ⇔ ≤ 2m < 2 ⇔ ≤m<1 Baø i 122 : Cho phöông trình cos 2x + sin2 x cos x + sin x cos2 x = m ( sin x + cos x )( *) a/ Giaû i phöông trình m = ⎡ π⎤ b/ Tìm m để phương trình (*) có ít nhấ t mộ t nghiệm trên ⎢ 0, ⎥ ⎣ 2⎦ Ta coù : ( *) ⇔ ( cos2 x − sin2 x ) + sin x cos x ( sin x + cos x ) = m ( sin x + cos x ) Lop12.net (15) ⇔ cos x + sin x = (1 ) hay ( cos x − sin x ) + sin x cos x = m ( ) π⎞ ⎛ Ñaë t t = cos x − sin x = cos ⎜ x + ⎟ 4⎠ ⎝ Thì t = − sin x cos x Ta coù : (1) ⇔ sin x = − cos x (ñieà u kieä n t ≤ ) π + kπ, k ∈ ] − t2 Ta coù : (2) thaø nh 2t + =m ⇔ −t + 4t + = 2m ( * *) ⇔ tgx = −1 ⇔ x = − a/ Khi m = thì (**) thaø n h t − 4t + = ⇔ t = ∨ t = ( loạ i ) π⎞ π π ⎛ vaä y cos ⎜ x + ⎟ = ⇔ x + = ± + k2π, k ∈ ] 4⎠ 4 ⎝ π ⇔ x = k2π ∨ x = − + kπ, k ∈ ] Do đó : π π ( *) ⇔ x = − + kπ ∨ x = k2π ∨ x = − + k2π, k ∈ ] π ⎡ π 3π ⎤ ⎡ π⎤ b/ Ta coù x ∈ ⎢0, ⎥ ⇔ x + ∈ ⎢ , ⎥ ⎣4 ⎦ ⎣ 2⎦ π⎞ ⎛ ≤ cos ⎜ x + ⎟ ≤ 2 4⎠ ⎝ ⇒ −1 ≤ t ≤ π ⎡ π⎤ Do nghieä m x = − + kπ ∉ ⎢0, ⎥ , ∀ k ∈ ] ⎣ 2⎦ Nê n yêu cầ u bà i toá n ⇔ ( * *) có nghiệ m trê n [ −1,1] vaä y − Xeù t y = −t + 4t + thì y ' = −2t + > ∀t ∈ [ −1,1] ⇒ y taê ng treâ n [ −1,1] Do đó : yêu cầ u bà i toá n ⇔ −4 = y ( −1) ≤ 2m ≤ y (1) = ⇔ −2 ≤ m ≤ * Chú ý : Phương trình lượ n g giá c n g a ( tgx ± cot gx ) + b tg x + cot g x = ( ) ta ñaë t t = tgx ± cot gx thì t = tg x + cot g x ± 2 t = tgx + cot gx = thì t ≥ ( sin 2x ≤ 1) sin 2x Baø i 123 : Giaû i phöông trình 3tg x + 4tgx + cot gx + 3cot g x + = ( *) Lop12.net (16) Ñaë t t = tgx + cot gx = Vớ i điề u kiệ n t ≥ 2 sin 2x Thì t = tg x + cot g x + (*) thaø n h : ( t − ) + 4t + = ⇔ 3t + 4t − = ⎡ t = ( loạ i điề u kiệ n ) ⎢ ⇔ ⎢ ⎣ t = −2 Ta coù : t = −2 ⇔ = −2 ⇔ sin 2x = −1 sin x π + k2π, k ∈ ] π ⇔ x = − + kπ, k ∈ ] Baø i 124 : Giaû i phöông trình tgx + tg x + tg x + cotgx + cotg x + cotg x = ( *) ⇔ 2x = − Ta coù (*) ⇔ ( tgx + cot gx ) + ( tg x + cot g x ) + ( tg x + cot g x ) = ( ) ⇔ ( tgx + cot gx ) + ( tgx + cot gx ) − + ( tgx + cot gx ) tg x + cot g x − = 2 ⇔ ( tgx + cot gx ) + ( tgx + cot gx ) + ( tgx + cot gx ) ⎡( tgx + cot gx ) − 3⎤ = ⎣ ⎦ Ñaë t t = tgx + cot gx = ( ñieàu kieän t ≥ 2) sin 2x Vaäy (*) thaø n h : t + t + t t − = ( ) ⇔ t + t − 2t − = ⎡t = ⇔ ( t − ) t + 3t + = ⇔ ⎢ ⎣ t + 3t + = ( voâ nghieä m ) ⇔t=2 Vaäy = ⇔ sin 2x = sin 2x π ⇔ 2x = + k2π, k ∈ ] π ⇔ x = + kπ, k ∈ ] ( ) Baø i 125 : Giaû i phöông trình + 2tg x + 5tgx + cot gx + = ( *) sin x Caùc h : (*) ⇔ (1 + cot g x ) + 2tg x + ( tgx + cot gx ) + = Lop12.net (17) ( ) ⇔ tg x + cot g x + ( tgx + cot gx ) + = ⇔ ⎡( tgx + cot gx ) − 2⎤ + ( tgx + cot gx ) + = ⎣ ⎦ Ñaë t t = tgx + cot gx = , vớ i t ≥ sin 2x Ta đượ c phương trình : 2t + 5t + = ⇔ t = −2 ∨ t = − ( loạ i ) 2 Vaäy ( *) ⇔ = −2 ⇔ sin 2x = −1 sin 2x π ⇔ 2x = − + k2π, k ∈ ] π ⇔ x = − + kπ, k ∈ ] Cá c h : Đặ t u = tgx (vớ i điề u kiệ n u ≠ ) Vaäy (*) thaø n h : + + 2u + 5u + + = u u ⇔ + 2u + 5u + 5u + 6u = ( ) ⇔ ( u + 1) 2u + 3u + 3u + = ⇔ ( u + 1) ( 2u ) +u+2 =0 ⎡u = −1 ( nhaä n ) ⇔⎢ ⎢⎣2u + u + = ( voâ nghieä m ) Vaäy (*) ⇔ tgx = -1 π ⇔ x = − + kπ, k ∈ ] Baø i 126 : Cho phöông trình + cot g x + m ( tgx + cot gx ) + = (1 ) cos2 x a/ Giaû i phöông trình m = b/ Tìm m để phương trình có nghiệ m Ta coù : (1) ⇔ tg x + cot g x + m ( tgx + cot gx ) + = ( ñieàu kieän t ≥ 2) sin 2x ⇒ t = tg x + cot g x + Ñaë t t = tgx + cot gx = Vaäy (1) thaø n h : t + mt + = a/ Khi m = ( 2) ta đượ c phương trình 2t + 5t + = Lop12.net (18) ⇔ t = −2 ∨ t = − ( loại ) 2 = −2 ⇔ sin 2x = −1 sin 2x π ⇔ 2x = − + k2π, k ∈ ] π ⇔ x = − + kπ, k ∈ ] b/ Caù ch : Ta coù : (2) ⇔ mt = −1 − t ⇔ m = − − t (do t = khoâ n g laø nghieä m cuûa (2)) t Xé t y = − − t vớ i t ≥ t 1 − t2 Thì y ' = − = t t2 Ta coù : y ' = ⇔ t = ±1 Do đó Do đó (1) có nghiệ m ⇔ (d) cắ t ( C ) trê n ( −∞, −2] U [ 2, +∞ ) 5 ∨m≥ 2 ⇔ m ≥ Cá c h : Yê u cầ u bà i toá n ⇔ f ( t ) = t + mt + = coù nghieä m t thoûa t ≥ ⇔m≤− Nhậ n xé t rằ n g P = nê n nế u f(t) có hai nghiệm t1 , t ( vớ i t1 ≤ t2 ) và ⎧⎪ t1 ≤ ⎧⎪ t1 ≥ coù nghieä m thì ta coù ⎨ ∨⎨ ⎪⎩ t ≥ ⎪⎩ t ≤ Do đó : Yê u cầ u bà i toá n ⇔ t1 ≤ −2 < t1 < ∨ −2 < t1 < ≤ t ⎧−2m + ≤ ⎧−2m + > ⎪⎧1f ( −2) ≤ ⎪⎧1f ( ) ≤ ⇔⎨ ∨⎨ ⇔⎨ ∨⎨ 2m + > 1f > 1f − > ( ) ( ) ⎩ ⎩2m + ≤ ⎩⎪ ⎩⎪ 5 ⇔m≥ ∨m≤− 2 Lop12.net (19) BAØI TAÄP Giaû i caùc phöông trình : a/ + cos3 x − sin x = sin x b/ cos3 x + cos2 x + sin x − = c/ cos 2x + = ( − cos x )( sin x − cos x ) d/ cot gx − tgx = sin x + cos x e/ sin x − cos3 x = sin x − cos x f/ + tgx = sin x + cos x π⎞ ⎛ g/ sin 2x + sin ⎜ x − ⎟ = 4⎠ ⎝ k/ sin 2x − 12 ( sin x − cos x ) + 12 = sin x + cos x =1 sin 2x + 1 − cos 2x − cos3 x m/ = + cos 2x − sin3 x n/ ( sin x + cos x ) + sin 3x − cos 3x = 2 ( + sin 2x ) l/ o/ + sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = p/ sin x cos x − cos 2x + sin x = cos2 x sin x + cos x r/ cos 2x + = ( − cos x )( sin x − cos x ) s/ cos2 x + sin x + cos x = t/ sin3 x − = 3sin x − cos 3x Cho phöông trình sin 2x ( sin x + cos x ) = m (1) a/ Chứ n g minh nế u m > thì (1) vô nghiệ m b/ Giaû i phöông trình m = Cho phöông trình sin 2x + ( cos x − sin x ) = m a/ Giaû i phöông trình m = b/ Tìm m để phương trình có nghiệ m Cho phöông trình : sin x cos x − m ( sin x + cos x ) + = a/ Giaû i phöông trình m = b/ Tìm m để phương trình có nghiệ m ( ÑS : m ≥ 1) + 3tg x = m ( tgx + cot gx ) = sin x Tìm m để phương trình có nghiệm ( ÑS : m ≥ ) Cho phöông trình Lop12.net (20)