Hướng dẫn chung 1 Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong ñáp án nhưng ñúng thì cho ñủ số ñiểm từng phần như hướng dẫn quy ñịnh.. 2 Việc chi tiết hoá nếu có thang ñiểm trong hướng[r]
(1)ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC KÌ II SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG TRƯỜNG THPT ĐƯỜNG AN Năm học 2010 – 2011 Môn: TOÁN – Lớp 12 Thời gian làm bài 150 phút Đề gồm có 01 trang ĐỀ CHÍNH THỨC I PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 ñiểm) Câu (3,0 ñiểm): Cho hàm số: y = 2x + x −1 1) Khảo sát biến thiên và vẽ ñồ thị (C ) hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến (C ) ñiểm có tung ñộ Câu (3,0 ñiểm): 1) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: y = e x (x − 2)2 trên ñoạn [1; 3] 2) Tính tích phân: I = ∫ x − xdx 3) Giải phương trình: 9x +1 − 3x +2 − 18 = Câu (1,0 ñiểm): Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = 2a Hai mặt bên (SAB) và (SAD) vuông góc với ñáy, cạnh SC hợp với ñáy góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD II PHẦN RIÊNG (3,0 ñiểm) Thí sinh ñược chọn hai phần ñây Theo chương trình chuẩn Câu 4a (2,0 ñiểm):Trong không gian với hệ toạ ñộ Oxyz, cho A(2;1; −1), B(−4; −1; 3),C (1; −2; 3) 1) Viết phương trình ñường thẳng AB 2) Tìm toạ ñộ hình chiếu vuông góc ñiểm C lên ñường thẳng AB Viết phương trình mặt cầu tâm C tiếp xúc với ñường thẳng AB Câu 5a (1,0 ñiểm): Giải phương trình 2z + 3z + = trên tập số phức Theo chương trình nâng cao Câu 4b (2,0 ñiểm): Trong không gian với hệ toạ ñộ Oxyz, cho ñiểm A(0; 6; 4) và ñường thẳng d có phương trình d: x −2 y −1 z = = 1) Hãy tìm toạ ñộ hình chiếu vuông góc ñiểm A trên ñường thẳng d 2) Viết phương trình mặt cầu (S ) có tâm là ñiểm A và tiếp xúc với ñường thẳng d Câu 5b (1,0 ñiểm): Cho số phức z = + 3i Hãy viết dạng lượng giác số phức z Hết -Thí sinh không ñược sử dụng tài liệu Giám thị coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2: Người ñề Tổ trưởng Nguyễn Thành Đô Lop12.net (2) SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG TRƯỜNG THPT ĐƯỜNG AN KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC KÌ II Năm học 2010 – 2011 Môn: TOÁN – Lớp 12 HƯỚNG DẪN CHẤM THI (Văn gồm 04 trang) I Hướng dẫn chung 1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu ñáp án ñúng thì cho ñủ số ñiểm phần hướng dẫn quy ñịnh 2) Việc chi tiết hoá (nếu có) thang ñiểm hướng dẫn chấm phải ñảm bảo không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải ñược thống thực toàn Hội ñồng chấm thi 3) Sau cộng ñiểm toàn bài, làm tròn ñến 0,5 ñiểm (lẻ 0,25 làm tròn thành 0,5; lẻ 0,75 làm tròn thành 1,0 ñiểm) II Đáp án và thang ñiểm CÂU Câu (3 ñiểm) ĐÁP ÁN ĐIỂM (2 ñiểm) a) Tập xác ñịnh: D = ℝ \ {1} 0,25 b) Sự biến thiên + Giới hạn và tiệm cận: lim y = ; lim y = x →−∞ x →+∞ 0,5 ⇒ y = là tiệm cận ngang lim y = −∞ ; lim y = +∞ ⇒ x = là tiệm cận ñứng x →1− x →1+ + Chiều biến thiên: −3 Đạo hàm: y ′ = < 0, ∀x ∈ D (x − 1)2 0,25 Bảng biến thiên: 0,5 Hàm số luôn NB trên các khoảng xác ñịnh và không ñạt cực trị c) Vẽ ñồ thị y Giao ñiểm với trục hoành: cho y = ⇔ x = − • Giao ñiểm với trục tung: cho x = ⇒ y = −1 0,5 O x -2 -1 (1 ñiểm) 2x + y0 = ⇔ = ⇔ 2x + = 5x − ⇔ x = x0 − −3 f ′(x ) = = −3 (2 − 1)2 Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y − = −3(x − 2) ⇔ y = −3x + 11 Lop12.net 0,5 0,5 (3) Câu (3 ñiểm) (1,0 ñiểm) 0,5 Hàm số y = e x (x − 2)2 = e x (x − 4x + 4) liên tục trên ñoạn [1; 3] y ′ = e x (x − 2x ) x = ∉ [1; 3] y ′ = ⇔ e x (x − 2x ) = ⇔ x − 2x = ⇔ x = ∈ [1; 3] f (2) = e (2 − 2)2 = ; f (1) = e1(1 − 2)2 = e và 0,5 f (3) = e (3 − 2)2 = e Vậy, y = x = , max y = e x = [1;3] [1;3] (1,0 ñiểm) 0,5 Đặt t = − x ⇒ t = − x ⇒ 2tdt = −dx Đổi cận: x t 1 0 ( ) I = ∫ 2t (1 − t )dt = ∫ −2t + 2t dt = 15 0,5 (1,0 ñiểm) 9x +1 − 3x +2 − 18 = ⇔ 9.9x − 9.3x − 18 = (*) Đặt t = 3x (ĐK: t > 0), phương trình (*) trở thành t = (tm) 9t − 9t − 18 = ⇔ t = −1(L) Với t = 2: 3x = ⇔ x = log Vậy, phương trình (*) có nghiệm nhất: x = log3 Câu (1,0 ñiểm) (SAB ) ⊥ (ABCD ) ⇒ SA ⊥ (ABCD ) (SAD ) ⊥ (ABCD ) (SAB ) ∩ (SAD ) = SA Suy hình chiếu SC lên (ABCD) là AC, 0,5 S A a B ñó SCA = 600 0,5 0,5 D 60 2a C SA ⇒ SA = AC tan SCA = a 15 AC = AB.BC = a.2a = 2a tan SCA = S ABCD Vậy, thể tích khối chóp S.ABCD là: V = Câu 4a (2,0 ñiểm) 0,5 1 2a 15 SAS ACBD = ⋅ a 15 ⋅ 2a = 3 (ñvtt) (1,0 ñiểm) Điểm trên ñường thẳng AB: A(2;1; −1) vtcp ñường thẳng AB: u = AB = (−6; −2; 4) x = − 6t Suy ra, PTTS ñường thẳng AB: y = − 2t (t ∈ ℝ) z = −1 + 4t Lop12.net 0,5 0,5 (4) (1,0 ñiểm) Giả sử H (2 − 6t;1 − 2t; −1 + 4t ) ∈ AB Để H là hình chiếu C lên AB khi: 0,5 CH AB = ⇔ t = Vậy, toạ ñộ hình chiếu cần tìm là H (−1; 0;1) Vì mặt cầu (S) tâm C tiếp xúc với ñường thẳng AB nên nó ñi qua ñiểm H Tâm mặt cầu: C (1; −2; 3) Bán kính mặt cầu: R = CH = (1 + 1)2 + (−2 − 0)2 + (3 − 1)2 = 0,5 Vậy, phương trình mặt cầu: (x − 1)2 + (y + 2)2 + (z − 3)2 = 12 Câu 5a (1,0 ñiểm) Câu 4b (2 ñiểm) ∆ = 32 − 4.(2).(4) = −23 = ( 23i )2 Vậy, pt (*) có nghiệm phức phân biệt −3 ± 23i z1 = (1 ñiểm) Đường thẳng d ñi qua ñiểm M (2;1; 0) và có vtcp u = (1;2;1) Gọi là hình chiếu v.góc A lên d thì A′ A′(2 + t;1 + 2t; t ) ⇒ AA′ = (2 + t;2t − 5; t − 4) Do A′ là hình chiếu vuông góc A lên d nên ta có AA′ ⊥ u , suy 1(2 + t ) + 2(2t − 5) + 1(t − 4) = ⇔ 6t − 12 = ⇔ t = Thay t = vào toạ ñộ A′ ta ñược A′(4;5;2) là hình chiếu vuông góc A lên d (1 ñiểm) Mặt cầu (S ) có tâm A(0; 6; 4) , tiếp xúc với ñường thẳng d nên ñi qua A′(4;5;2) Do ñó, (S ) có bán kính R = AA′ = (4 − 0)2 + (5 − 6)2 + (2 − 4)2 = Vậy, phương trình mặt cầu (S ) : x + (y − 4)2 + (z − 6)2 = 21 Câu 5b (1 ñiểm) 1 π π Ta có, z = + 3i = + i = 2.(cos + i sin ) 2 3 Do ñó, z = 25.(cos 5π 5π 5π 5π + i.sin ) = 32 cos( ) + i.sin( ) 3 3 Lop12.net 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 21 0,5 0,5 0,5 (5)