Gián án BOI DUONG HS GIOI

Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử A / Lêi nãi ®Çu Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư lµ néi dung kiÕn thøc quan träng, lý thó, song ®ã l¹i lµ mét trong nh÷ng d¹ng to¸n khã ®èi víi häc sinh bËc THCS. Néi dung nµy ®ỵc giíi thiƯu kh¸ ®Çy ®đ trong ch¬ng tr×nh §¹i Sè 8 vµ cã thĨ coi lµ néi dung nßng cèt cđa ch¬ng tr×nh. Bëi nã ®ỵc vËn dơng rÊt nhiỊu ë c¸c phÇn sau nh: Rót gän ph©n thøc, quy ®ång mÉu thøc cđa c¸c ph©n thøc, biÕn ®ỉi c¸c biĨu thøc h÷u tØ, biÕn ®ỉi c¸c biĨu thøc v« tØ, gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao . Thùc tÕ gi¶ng d¹y cho thÊy, mỈc dï c¸c ph¬ng ph¸p ®ỵc gi¬Ý thiƯu trong SGK rÊt rõ rµng, cơ thĨ. Song viƯc c¸c em vËn dơng cßn nhiỊu lóng tóng. §Ỉc biƯt ®èi víi häc sinh kh¸ giái th× néi dung kiÕn thøc cha ®¸p øng ®ỵc nhu cÇu häc to¸n cđa c¸c em. VËy D¹y - Häc néi dung ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư nh thÕ nµo ®Ĩ ®¹t kÕt qu¶ tèt nhÊt? Phï hỵp cho häc sinh ®¹i trµ? §ång thêi ®¸p øng ®ỵc nhu cÇu häc tËp cđa häc sinh kh¸ giái. §Ĩ ®¹t kÕt qu¶ ®ã, ngoµi ph¬ng ph¸p trun thơ ngêi thÇy ph¶i n¾m b¾t ®ỵc kiÕn thøc mét c¸ch nhn nhun. §ã chÝnh lµ lý do t«i ®a ra ®Ị tµi nµy. Cơ thĨ trong ®Ị tµi nµy, víi mçi ph¬ng ph¸p c¬ b¶n hay ®Ỉc biƯt. Tôi đều lµm râ: • Ph¬ng ph¸p giải. • Bµi tËp tù lun Víi néi dung vµ tr×nh bµy trong ®Ị tµi nµy, hy väng ®Ị tµi nµy kh«ng chØ lµ tµi liƯu híng dÉn ®èi víi häc sinh mµ cßn lµ tµi liƯu tham kh¶o bỉ Ých cho c«ng t¸c gi¶ng d¹y cđa gi¸o viªn c¸c trêng THCS. Trường THCS Hoài Mỹ Tổ: Toán – Lý. Trang 1 Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử B. Néi dung PhÇn 1: C¸c ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư C¸c ph¬ng ph¸p c¬ b¶n I/ Ph ¬ng ph¸p ®Ỉt nh©n tư chung Ph ¬ng ph¸p . • T×m nh©n tư chung lµ nh÷ng ®¬n thøc, ®a thøc cã mặt trong tÊt cả c¸c h¹ng tư. • Ph©n tÝch mçi h¹ng tư thµnh tÝch nh©n tư chung vµ mét nh©n tư. • ViÕt nh©n tư chung ra ngoµi dÊu ngc, viÕt c¸c nh©n tư cßn l¹i cđa mçi h¹ng tư vµo trong dÊu ngc. VÝ dơ: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tư a) –3xy + x 2 y 2 – 5x 2 y b) 2x(y – z) + 5y(z – y) c) 10x 2 (x + y) – 5(2x + 2y)y 2 Bµi làm a) 3xy + x 2 y 2 – 5x 2 y = xy(- 3 + xy – 5x) b) 2x(y – x) + 5y(z – y) = 2x(y – z) – 5y(y – z) = (y – z)(2x – 5y) c) 10x 2 (x + y) – 5(2x + 2y)y 2 = 10x 2 (x + y) – 10y 2 (x + y) = 10(x + y)(x 2 – y 2 ) = 10(x + y)(x + y)(x – y) = 10(x + y) 2 (x – y) Bµi tËp tù lun Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư a) 12xy 2 – 12xy + 3x b) 15x – 30 y + 20z c) 7 5 x(y – 2007) – 3y(2007 - y) d) x(y + 1) + 3(y 2 + 2y + 1) Bµi 2: TÝnh gi¸ trÞ cđa c¸c biĨu thøc sau a) 23,45 . 97,5 +23,45 . 5,5 -,23,45 . 3 b) 2x 3 (x – y) + 2x 3 (y – x ) + 2x 3 (z – x) (Víi x = 2006 ; y = 2007 ; z = 2008) II) Ph ¬ng ph¸p dïng h»ng ®¼ng thøc Ph ¬ng ph¸p Sư dơng c¸c h»ng ®¼ng thøc ®Ĩ biÕn ®ỉi ®a thøc thµnh tÝch c¸c nh©n tư hc l thõa cđa mét ®a thøc ®¬n gi¶n. Nh÷ng h»ng ®¼ng thøc : (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A - B) 2 = A 2 - 2AB + B 2 A – B = (A + B)(A – B) (A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 (A - B) 3 = A 3 - 3A 2 B + 3AB 2 - B 3 A 3 + B 3 = (A + B)(A 2 – AB + B 2 ) A 3 - B 3 = (A - B)(A 2 + AB + B 2 ) (A + B + C) 2 = A 2 + B 2 + C 2 + 2AB + 2BC + 2CA A n – B n = (A – B)(A 1 − n + A 2 − n B + … + AB 2 − n + B 1 − n ) A k2 – B k2 = (A +B)(A 12 − k - A 22 − k B + … - B 12 − k ) A 12 + K + B 12 + K = (A + B)(A k2 – A 12 − k B + A 22 − k B 2 - … +B k2 ) Trường THCS Hoài Mỹ Tổ: Toán – Lý. Trang 2 Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (A + B) n = A n + n A 1 − n B - 2.1 )1( − nn A 2 − n B 2 + … + 2.1 )1( − nn A 2 B 2 − n + nAB 1 − n + B n (A - B) n = A n - n A 1 − n B + 2.1 )1( − nn A 2 − n B 2 - … +(-1) n B n VÝ dơ Ph©n tÝch ®a thøc tµnh nh©n tư a) x 2 + 6xy 2 + 9y 4 b) a 4 – b 4 c) (x – 3) 2 - (2 – 3x) 2 d) x 3 – 3x 2 + 3x - 1 Bµi Lµm a) x 2 + 6xy 2 + 9y 4 = x 2 + 2x3y 2 + (3y) 2 = (x + 3y 2 ) 2 b) a 4 – b 4 = (a 2 ) 2 – (b 2 ) 2 = (a 2 + b 2 ) (a 2 – b 2 ) = (a 2 + b 2 ) (a + b) (a – b) c) (x – 3) 2 - (2 – 3x) 2 = [(x – 3) + (2 – 3x)][(x – 3) – (2 – 3x)]= (- 2x – 1)(- 5 + 4x) d) x 3 – 3x 2 + 3x - 1 = (x – 1) 3 2.2/ Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư a) a 3 + b 3 + c 3 – 3abc b) (a + b + c) 3 – a 3 – b 3 – c 3 Bµi Lµm a) a 3 + b 3 + c 3 – 3abc = (a + b) 3 – 3ab(a + b) + c 3 – 3abc = ( a + b + c)[(a + b) 2 – (a + b)c + c 2 ] – 3abc( a + b +c) = (a + b + c)( a 2 + b 2 + c 2 – ab – bc – ca) b) (a + b + c) 3 – a 3 – b 3 – c 3 = (a + b) 3 + c 3 + 3c(a + b)(a + b + c) – a 3 – b 3 –c 3 = 3(a + b)(ab + bc + ac + c 2 ) = 3(a + b)(b + c) (c + a) Bµi tËp tù lun Bµi 3. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư a) (x – 15) 2 – 16 b) 25 – (3 – x) 2 c) (7x – 4) 2 – ( 2x + 1) 2 d) 9(x + 1) 2 – 1 e) 9(x + 5) 2 – (x – 7) 2 f) 49(y- 4) 2 – 9(y + 2) 2 Bµi 4. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư a) 8x 3 + 27y 3 b) (x + 1) 3 + (x – 2) 3 c) 1 – y 3 + 6xy 2 – 12x 2 y + 8x 3 d) 2004 2 - 16 III/ Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư, b»ng ph ¬ng ph¸p nhãm nhiỊu h¹ng tư. Ph ¬ng ph¸p • Sư dơng tÝnh chÊt giao ho¸n, kÕt hỵp ®Ĩ nhãm c¸c h¹ng tư thÝch hỵp vµo tõng nhãm. • Áp dơng ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc kh¸c ®Ĩ gi¶i to¸n. 2. VÝ dơ 2.1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư Trường THCS Hoài Mỹ Tổ: Toán – Lý. Trang 3 Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử a) x 2 – 3xy + x – 3y b) 7x 2 – 7xy – 4x + 4y c) x 2 + 6x – y 2 + 9 d) x 2 + y 2 – z 2 – 9t 2 – 2xy + 6zt Bµi Lµm a) x 2 – 3xy + x – 3y = (x 2 – 3xy) + (x – 3y) = x(x – 3y) + (x – 3y)= (x – 3y) (x + 1) b) 7x 2 – 7xy – 4x + 4y = (7x 2 – 7xy) – (4x – 4y) = 7x(x – y) – 4(x – y)=(x – y) (7x – 4) c)x 2 + 6x – y 2 + 9 = (x 2 + 6x + 9) – y 2 = (x + 3) 2 - y 2 = (x + 3 + y)(x + 3 – y) d)x 2 + y 2 – z 2 – 9t 2 – 2xy + 6zt = (x 2 – 2xy + y 2 ) – (z 2 – 6zt + 9t 2 ) = (x – y) 2 – (z – 3t) 2 = (x – y + z – 3t)(x – y – z + 3t 2.2/ Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư a) x 2 y + xy 2 + x 2 z + xz 2 + y 2 z + yz 2 + 2xyz b) x 2 y + xy 2 + x 2 z + xz 2 + y 2 z + yz 2 + 3xyz Bµi Lµm a) x 2 y + xy 2 + x 2 z + xz 2 + y 2 z + yz 2 + 2xyz = (x 2 z + y 2 z + 2xyz) + x 2 y + xy 2 + xz 2 + yz 2 = z(x + y) 2 + xy(x + y) + z 2 (x + y) = (x + y)(xz + yz + xy + z 2 ) = (x + y) [(xz + xy) + (yz + z 2 )] = (x + y) [x(z + y) + z(z + y)] = (x + y)(y + z)(x + z) b) x 2 y + xy 2 + x 2 z + xz 2 + y 2 z + yz 2 + 3xyz = (x 2 y + x 2 z + xyz) + ( xy 2 + y 2 z + xyz) + (x 2 z + yz 2 + xyz) = x(xy + xz + yz) + y(xy + yz + xz) + z(xz + yz + xy) = (xy + yz + xz)( x + y + z) 3. Bµi TËp Bµi 5: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư a) x 4 + 3x 2 – 9x – 27 b) x 4 + 3x 3 – 9x – 9 c) x 3 – 3x 2 + 3x – 1 – 8y 3 BµI 6: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư. a) x(y 2 – z 2 ) + y(z 2 – y 2 ) + z(x 2 – y 2 ) b) xy(x – y) – xz( x + z) – yz (2x + y – z ) c) x(y + z ) 2 + y(z + x) 2 + z(x + y) 2 – 4xyz d) yz(y +z) + xz(z – x) – xy(x + y) IV/ Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư b»ng c¸ch phèi hỵp nhiỊu ph ¬ng ph¸p 1. Ph ¬ng ph¸p VËn dơng linh ho¹t c¸c ph¬ng ph¸p c¬ b¶n ®· biÕt vµ thêng tiÕn hµnh theo tr×nh tù sau : - §Ỉt nh©n tư chung - Dïng h»ng ®¼ng thøc - Nhãm nhiỊu h¹ng tư 2. Ví dơ : Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư a) 5x 3 - 45x b) 3x 3 y – 6x 2 y – 3xy 3 – 6axy 2 – 3a 2 xy + 3xy Trường THCS Hoài Mỹ Tổ: Toán – Lý. Trang 4 Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Bµi lµm a) 5x 3 – 45x = 5x(x 2 – 9) = 5x(x +3) (x – 3) b) 3x 2 y – 6x 2 y – 3xy 3 – 6axy 2 – 3a 2 xy + 3xy = 3xy(x 2 – 2y – y 2 – 2ay – a 2 + 1) = 3xy [( x 2 – 2x + 1) – (y 2 + 2ay + a 2 )] = 3xy [(x – 1) 2 – (y + a) 2 ] = 3xy [(x – 1) + (y + a)] [(x – 1) – (y + a)] = 3xy(x + y + a – 1) (x – y – a – 1) 3. Bµi tËp Bµi 7. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư a) 2a 2 b + 4ab 2 – a 2 c + ac 2 – 4b 2 c + 2bc 2 – 4abc b) 8x 3 (x + z) – y 3 (z + 2x) – z 3 (2x - y) c) [(x 2 + y 2 )(a 2 + b 2 ) + 4abxy] 2 – 4[xy(a 2 + b 2 ) + ab(x 2 + y 2 )] 2 Bµi 8. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư (x + y + z) 3 – x 3 – y 3 - z 3 H íng dÉn (x + y + z ) 3 – x 3 – y 3 - z 3 =[(x + y + z) 3 – x 3 ] – (y 3 + z 3 ) = (x + y + z – x) [(x+ y + z) 2 + (x + y + z)x + x 2 ] – (y + z)(y 2 – yz + z 2 ) = (y+z)[ x 2 + y 2 + z 2 +2xy + 2xz + 2yz +xy + xz + x 2 + x 2 – y 2 + yz – z 2 ] = (y + z)(3x 2 + 3xy + 3xz + 3yz) = 3(y +z)[x(x + y) + z(x+y)] = 3( x + y)(y + z)(x + z) V/ Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư b»ng c¸ch t¸ch mét h¹ng tư thµnh hai hay nhiỊu h¹ng tư 1. P h ¬ng ph¸p Ta ph©n tÝch mét h¹ng tư thµnh tỉng cđa nhiỊu h¹ng tư thÝch hỵp, ®Ĩ xt hiƯn nh÷ng nhãm sè h¹ng mµ ta cã thĨ ph©n tÝch thµnh nh©n tư b»ng ph¬ng ph¸p dïng h»ng ®¼ng thøc, ®Ỉt nh©n tư chung 2. VÝ dơ: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh thµnh nh©n tư x 2 – 6x + 8 Bµi lµm Cách 1: x 2 – 6x + 8 = (x 2 – 2x) – (4x – 8) = x(x – 2) – 4(x – 2) = (x –2)(x – 4) Cách 2: x 2 – 6x + 8 = (x 2 – 6x + 9) – 1 = (x – 3) 2 – 1 = (x –3 + 1)(x – 3 – 1) = (x – 2)(x – 4) Cách 3: x 2 – 6x + 8 = (x 2 – 4) – 6x + 12 = (x – 2)(x + 2) – 6(x – 2) = (x – 2)(x + 2 – 6) = (x – 2)(x – 4) Cách 4: x 2 – 6x + 8 = (x 2 – 16) – 6x + 24 = (x –4)(x + 4) – 6(x – 4) = (x – 4)(x + 4 –6) = (x –4)(x – 2) Cách 5: x 2 – 6x + 8 = (x 2 – 4x + 4) – 2x + 4 = ( x – 2) 2 – 2(x – 2)= (x – 2)(x – 2 – 2) = (x – 2)(x – 4) 3. Bµi tËp Bµi 9 : Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư. a) x 2 + 7x +10 b) x 2 – 6x + 5 c) 3x 2 – 7x – 6 d) 10x 2 – 29x + 10 Bµi 10: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư. a) x 3 + 4x 2 – 29x + 24 b) x 3 + 6x 2 + 11x + 6 c) x 2 – 7xy + 10y Trường THCS Hoài Mỹ Tổ: Toán – Lý. Trang 5 Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử d) 4x 2 – 3x – 1 VI/ Ph ¬ng ph¸p thªm bít cïng mét h¹ng tư . Ph ¬ng ph¸p Ta thªm hay bít cïng mét h¹ng tư vµo ®a thøc ®· cho ®Ĩ lµm xt hiƯn n nhãm sè h¹ng mµ ta cã thĨ ph©n tÝch ®ỵc thµnh nh©n tư chung b»ng c¸c ph¬ng ph¸p: §Ỉt nh©n tư chung, dïng h»ng ®¼ng thøc, . VÝ dơ Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư. x 4 + 64 = x 4 + 64 + 16x 2 – 16x 2 = (x 2 + 8) 2 – (4x) 2 = (x 2 + 4x + 8)(x 2 – 4x + 8) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư. a) x 4 + 4y 4 b) x 5 + x + 1 Bµi lµm a) x 4 + 4y 4 = x 4 + 4y 4 + 4x 2 y 2 – 4x 2 y 2 = (x + 2y) 2 – (2xy) 2 = (x + 2y + 2xy)(x + 2y - 2xy) b) x 5 + x + 1 = (x 5 + x 4 + x 3 ) – (x 4 + x 3 + x 2 ) + (x 2 + x + 1) = x 3 (x 2 + x + 1) – x 2 (x 2 + x + 1) + (x 2 + x +1) = (x 2 + x + 1)(x 3 – x 2 +1) Bµi tËp Bµi 11: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư. a) x 5 + x 4 + 1 b) x 8 + x 7 + 1 c) x 8 + x + 1 d) x 8 + 4 Bµi 12: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư. a) x 3 + 5x 2 + 3x – 9 b) x 3 + 9x 2 + 11x – 21 c) x 3 – 7x + 6 Bµi 13: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư. a) x 3 - 5x 2 + 8x – 4 b) x 3 – 3x + 2 c) x 3 – 5x 2 + 3x + 9 d) x 3 + 8x 2 + 17x + 10 e) x 3 + 3x 2 + 6x + 4 Bµi 14: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư. a) x 3 – 2x – 4 b) 2x 3 – 12x 2 + 7x – 2 c) x 3 + x 2 + 4 d) x 3 + 3x 2 + 3x + 2 e) x 3 + 9x 2 + 26x + 24 f) 2x 3 – 3x 2 + 3x + 1 g) 3x 3 – 14x 2 + 4x + 3 * Một số phương pháp khác VII/ Ph ¬ng ph¸p ®Ỉt biªn sè (®Ỉt biªn phơ) Ph ¬ng ph¸p Trường THCS Hoài Mỹ Tổ: Toán – Lý. Trang 6 Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Mét sè bµi to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư mµ trong ®a thøc ®· cho cã biĨu thøc xt hiƯn nhiỊu lÇn. Ta ®Ỉt biĨu thøc Êy lµ mét biÕn míi. Tõ ®ã viÕt ®a thøc ®· cho thµnh ®a thøc míi dƠ ph©n tÝch thµnh nh©n tư h¬n. VÝ dơ : Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư. a) 6x 4 – 11x 2 + 3 b) (x 2 + 3x + 1)(x 2 + 3x – 3) –5 c) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 Bµi Lµm a) 6x 4 – 11x 2 + 3 - §Ỉt x 2 = y - §a thøc ®· cho trë thµnh: 6y 2 – 11y + 3 = (3y – 1)(2y – 3) - Tr¶ l¹i biÕn cò: 6x 4 – 11x 2 + 3 = (3x 2 – 1) (2x 2 – 3) = ( 3 x – 1)( 3 x + 1)( 2 x - 3 )( 2 x + 3 ) b) (x 2 + 3x + 1)(x 2 + 3x – 3) –5 - §Ỉt x 2 + 3x + 1 = y ⇒ x 2 – 3x – 3 = y – 4 - §a thøc ®· cho trë thµnh y(y – 4) – 5 = y 2 – 4y – 5 = (y + 1)(y + 5) - Tr¶ l¹i biÕn cò. (x 2 + 3x + 1)(x 2 + 3x – 3) – 5 = (x 2 + 3x + 1 + 1)(x 2 + 3x + 1 – 5) = (x 2 + 3x + 2)(x 2 + 3x – 4)= (x + 1)(x + 2)(x – 1)(x + 1) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = (x + 8x + 7)(x + 8x + 15) + 15 c) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 - §Ỉt x 2 + 8x + 7 = y ⇒ x 2 + 8x + 15 = y + 8 - §a thøc ®· cho trë thµnh : y(y + 8) + 15 = y 2 + 8y + 15 = y 2 + 5y + 3y + 15= y(y + 5) + 3(y + 5) = (y + 5)(y + 3) - Tr¶ l¹i biÕn cò (x + 1)(x + 7)(x + 3)(x + 5) + 15 = (x 2 + 8x +7 + 5)(x 2 + 8x + 7 + 3) = (x 2 + 8x + 12)(x 2 + 8x + 10) = (x 2 + 8x + 10)(x + 2)(x + 6) 3. Bµi tËp Bµi 14: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư. a) (x 2 + x) 2 – 2(x 2 + x) – 15 b) (x 2 + 3x + 1)(x 2 + 3x + 2) – 6 c) (x 2 + 4x + 8) 2 + 3x(x 2 + 4x + 8) + 2x 2 Bµi 15: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24 b) (4x + 1)(12x – 1)(3x + 2)(x + 1) – 4 c) 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) + 3x 2 d) 3x 6 – 4x 5 + 2x 4 – 8x 3 + 2x 2 – 4x + 3 VIII/ Ph ¬ng Ph¸p hƯ sè bÊt ®Þnh Ph ¬ng Ph¸p : Sư dơng tÝnh chÊt: Hai ®a thøc cïng bËc b»ng nhau th× hƯ sè t¬ng øng cđa chóng ph¶i b»ng nhau. a n x n + a 1 = n x 1 − n + . + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = b n x n + b 1 = n x 1 − n + . + b 2 x 2 + b 1 x + b 0 ⇔ a i = b i ∀ i = 1; n Trường THCS Hoài Mỹ Tổ: Toán – Lý. Trang 7 Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 2. VÝ dơ: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư 2.1 Ví dụ 1: A = x 3 + 11x + 30 V× A lµ ®a thøc bËc 3, hƯ sè cao nhÊt lµ 1. Nªn nÕu A ph©n tÝch ®ỵc th× A cã d¹ng. A = (x + a)(x 2 + bx + c) = x 3 + (a + b)x 2 + (ab + c)x + ac ⇔ x 3 + 11x + 30 = x 3 + (a + b)x 2 + (ab + c)x + ac §ång nhÊt hƯ sè, ta cã      = =+ =+ 30 11 0 ac cab ba Chän a = 2 ⇒ c = 15; b = -2 VËy (x 3 + 11x + 30) = (x + 2)(x 2 – 2x + 15) 2.2 VÝ dơ 2: B = x 4 – 14x 3 + 15x 2 – 14x +1 V× B lµ ®a thøc bËc 4, hƯ sè cao nhÊt lµ 1 nªn nÕu B ph©n tÝch ®ỵc thµnh nh©n tư th× B cã d¹ng: B = (x 2 + ax + b)(x 2 + cx + d) ⇔B = x 4 + (a + c)x 3 + (ac + b + d)x 2 + (ad + bc)x + bd §ång nhÊt hƯ sè, ta cã: 14 15 14 1 a c ac b d ad bc bd + = −   + + =   + = −   =  ⇒        = −= = −= 1 13 1 1 d c b a hc 13 1 1 1 a b c d = −   =   = −   =  Do vËy B = (x 2 – x + 1)(x 2 – 13x + 1) hc B = (x 2 – 13x + 1)(x 2 – x + 1) Bµi tËp Bµi 16: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư a) x 3 + 4x 2 + 5x + 2 b) 2x 4 – 3x 3 –7x 2 + 6x + 8 c) 5x 4 + 9x 3 – 2x 2 – 4x – 8 Bµi 17: T×m a, b, c a) x 4 – 2x 3 + 2x 2 – 2x + a = (x 2 – 2x + 1)(x 2 + bx + c) b) x 3 + 3x 2 – x – 3 = (x – 2)( 2 x + bx + c) + a c) 4x 3 + 7x 2 + 7x – 6 = (ax + b)(x 2 + x +1) + c IX/ Ph ¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng Ph ¬ng ph¸ p: Khi c¸c biÕn cã vai trß nh nhau trong ®a thøc th× ta xÐt gi¸ trÞ riªng. VÝ dơ: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư. 2.1: Ví dụ 1: P = (x + y + z) 3 - x 3 – y 3 – z 3 Bµi Lµm Coi P lµ mét ®a thøc biÕn x Khi ®ã nÕu x = -y th× P = 0 ⇒ P  (x + y) Trong P, vai trß cđa x, y, z b×nh ®¼ng nªn. P  (x + z) P  (y + z) Trường THCS Hoài Mỹ Tổ: Toán – Lý. Trang 8 Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ⇒ P = (x + y)(x + z)(y + z).Q Mµ P lµ ®a thøc bËc 2 ®èi víi biÕ x, y, z nªn Q lµ h»ng sè. Víi x = 0 ; y = z = 1, ta cã Q = 3 VËy P = 3(x + y)(x + z)(y + z) VÝ dơ 2: M = a(b + c)(b 2 - c 2 ) + b(c + a)(c 2 - a 2 ) + c(a + b)(a 2 - b 2 ) Bµi Lµm Coi M lµ ®a thøc biÕn a Khi a = b th× M = 0 ⇒M  (a - b) Trong M vai trß cđa a, b, c b×nh ®¼ng nªn : M  (b - c) M  (c - a) M = (a - b)(b –c)(c – a)N V× M lµ ®a thøc bËc 3 ®èi víi biÕn a nªn N lµ ®a thøc bËc nhÊt ®èi víi a. Nhng do a,b,c cã vai trß b×nh ®¼ng nªn: N = (a + b + c)R (R lµ h»ng sè) ⇒ M = (a - b)(b –c)(c – a)(a + b + c)R Chän a = 0, b = 1, c = 2 ⇒ R = 1 VËy B = (a – b)(b – c)(c – a)(a + b + c) Bµi tËp Bµi 18: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư A = ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a) X. Ph ¬ng ph¸p t×m nghiƯm cđa ®a thøc 1. Ph ¬ng ph¸p Cho ®a thøc f(x), a lµ nghiƯm cđa ®a thøc f(x) nÕu f(x) = 0. Nh vËy nÕu ®a thøc f(x) chøa nh©n tư (x - a) th× ph¶i lµ nghiƯm cđa ®a thøc. Ta ®· biÕt r»ng nghiƯm nguyªn cđa ®a thøc nÕu cã ph¶i lµ íc cđa hƯ sè tù do. 2. VÝ dơ: x 3 + 3x - 4 NÕu ®a thøc trªn cã nghiƯm lµ a ( ®a thøc cã chøa nh©n tư (x - a) th× nh©n tư cßn l¹i cã d¹ng x 2 + bx = c suy ra - ac = - 4 suy ra a lµ íc cđa - 4 VËy trong ®a thøc víi hƯ sè nguyªn nghiƯm nguyªn nÕu cã ph¶i lµ íc cđa h¹ng t kh«ng ®ỉi. ¦íc cđa (- 4) lµ : -1; 1; -2; 2; - 4; 4. sau khi kiĨm tra ta thÊy1 lµ nghiƯm cđa ®a thøc suy ra ®a thøc chøa nh©n tư (x - 1) Do vËy ta t¸ch c¸c h¹ng tư cđa ®a thøc lµm xt hiƯn nh©n tư chung (x – 1) * C¸ch 1: x 3 + 3x 2 – 4 = x 3 – x 2 + 4x 2 – 4 = x 2 (x – 1) + 4(x – 1) (x + 1)= (x – 1) (x 2 + 4x + 4) = (x – 1) (x + 2) 2 * C¸ch 2: x 3 + 3x 2 – 4 = x 3 – 1 + 3x 2 – 3 = (x 3 – 1) + 3(x 2 – 1) = (x – 1) (x 2 + x + 1) + 3(x 2 – 1)= (x – 1) (x + 2) 2 Chó ý: + NÕu ®a thøc cã tỉng c¸c hƯ sè b»ng kh«ng th× ®a thøc chøa nh©n tư (x – 1). + NÕu ®a thøc cã tỉng c¸c hƯ sè cđa c¸c h¹ng tư bËc ch½n b»ng tỉng c¸c h¹ng tư bËc lỴ th× ®a thøc chøa nh©n tư (x + 1). VÝ dơ : * §a thøc : x 3 - 5x 2 + 8x – 4 cã 1 - 5 + 8 - 4 = 0 Suy ra ®a thøc cã nghiƯm lµ 1 hay ®a thøc cã chøa thõa sè (x – 1) *§a thøc : x 3 – 5x 2 + 3x + 9 cã (- 5) + 9 = 1 + 3 Trường THCS Hoài Mỹ Tổ: Toán – Lý. Trang 9 Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Suy ra ®a thøc cã nghiƯm lµ - 1 hay ®a thøc chøa thõa sè (x + 1). +NÕu ®a thøc kh«ng cã nghiƯm nguyªn nhng ®a thøc cã nghiƯm h÷u tû . Trong ®a thøc víi hƯ sè nguyªn nghiƯm h÷u tû nÕu cã ph¶i cã d¹ng p q trong ®ã p lµ íc cđa h¹ng tư kh«ng ®ỉi, q lµ íc d¬ng cđa h¹ng tư cao nhÊt. VÝ dơ: 2x 3 – 5x 2 + 8x – 3 NghiƯm h÷u tû NÕu cã cđa ®a thøc trªn lµ : (- 1); 1 ; (-1/2) ; 1/2 ; (- 3/2) ; 3/2 ;- 3 Sau khi kiĨm tra ta thÊy x =1/2 lµ nghiƯm nªn ®a thøc chøa nh©n tư (x - 1 2 ) hay (2x - 1). Do ®ã ta t×m c¸ch t¸ch c¸c h¹ng tư cđa ®a thøc ®Ĩ xt hiƯn nh©n tư chung (2x - 1). 2x 3 – 5x 2 + 8x – 3 = 2x 3 – x 2 – 4x 2 + 2x + 6x – 3 =x 2 (2x – 1) – 2x(2x –1) + 3(2x –1) =(2x – 1)(x 2 – 2x + 3) XI. Ph ¬ng ph¸p tÝnh nghiƯm cđa tam thøc bËc hai a) Ph ¬ng ph¸p : Tam thøc bËc hai ax 2 +bx + c NÕu b 2 – 4ac lµ b×nh ph¬ng cđa mét sè h÷u tû th× cã thĨ ph©n tÝch tam thøc thµnh thõa sè b»ng mét trong c¸c ph¬ng ph¸p ®· biÕt . NÕu b 2 – 4ac kh«ng lµ b×nh ph¬ng cđa mét sè h÷u tû nµo th× kh«ng thĨ ph©n tÝch tiÕp ®ỵc n÷a . b) VÝ dơ: 2x 2 – 7x + 3 Víi a =2 , b =- 7 , c = 3 XÐt b 2 - 4ac = 49 - 4.2.3 =25 = 5 5 Suy ra Ph©n tÝch ®ỵc thµnh nh©n tư : 2x 2 - 7x + 3 = ( x - 3)(2x - 1) Chó ý: P(x) = ax 2 + bx + c = 0 cã nghiƯm lµ x 1 , x 2 th× P(x) =a( x- x 1 )(x - x 2 ) PhÇn 2: CÁC BÀI TOÁN ÁP DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ. I). Bµi to¸n rót gän biĨu thøc 1. Ph ¬ng ph¸p +Ph©n tÝch tư thøc vµ mÉu thøc thµnh nh©n tư nh»m xt hiƯn nh©n tư chung. +¸p dơng tÝnh chÊt c¬ b¶n cđa ph©n thøc ®¹i sè: Chia c¶ tư thøc vµ mÉu thøc cho nh©n tư chung. ⇒ Häc sinh thÊy ®ỵc sù liªn hƯ chỈt chÏ gi÷a c¸c kiÕn thøc gióp ph¸t triĨn t duy suy ln l«gic, s¸ng t¹o. 2)VÝ dơ: Rót gän biĨu thøc A = 342 1573 23 23 +−− −+− xxx xxx B = 1 3 1 12 1 3 2 − − − − − − + + x x x x x x Bµi Lµm a) A = 3322 14433 223 223 +−−+− −++−− xxxxx xxxxx A = )1(3)1()1(2 )1()1(4)1(3 2 2 −−−+− −+−−− xxxxx xxxxx A = )1)(32)(1( )13)(1)(1( )32)(1( )143)(1( 2 2 −+− −−− = −+− +−− xxx xxx xxx xxx A = 32 13 )32()1( )13()1( 2 2 + − = +− −− x x xx xx Trường THCS Hoài Mỹ Tổ: Toán – Lý. Trang 10 [...]... d¹y gi¶i bµi to¸n ph©n tÝch ®a thøc hµnh nh©n tư RÊt mong sù gãp ý ch©n thµnh cđa c¸c ®ång nghiƯp Xin ch©n thµnh c¶m ¬n ! Trường THCS Hoài Mỹ Tổ: Toán – Lý Trang 15 Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Trường THCS Hoài Mỹ Tổ: Toán – Lý Trang 16 ... (t – 5)(t + 8) = 0 ⇔ Thay t = 5 vµo (*), ta cã: x2 + 6x + 5 = 5 ⇔x2 + 6x = 0 t  =5  =− t 8  x 0  =  = 6 ⇔x(x + 6) = 0 ⇔  x Thay t = -8 vµo (*), ta cã: x2 + 6x + 5 = - 8 Trường THCS Hoài Mỹ Tổ: Toán – Lý Trang 12 Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ⇔ x2 + 6x + 13 = 0 5 25 27 + + = 0 2 4 4 5 2 27 ⇔ (x + ) + = 0 (V« lý) 2 4 ⇔x2 + 2x VËy ph¬ng tr×nh (1) cã tËp nghiƯm S =... (x + 1 ) = t (*) x 1 )=t2 –2 x2 (5’) ⇔ t 2 – 2t +3 = 0 ⇔ (t – 1) 2 + 2 = 0 ( v« nghiƯm) VËy Ph¬ng tr×nh (5) cã tËp nghiªm S = {-1} Bµi tËp: Bµi 22: Gi¶i ph¬ng tr×nh ⇒ (x 2 + Trường THCS Hoài Mỹ Tổ: Toán – Lý Trang 13 Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử a) 2x 3 + 3x 2 +6x +5 =0 b) x 4 – 4x 3 – 19x 2 + 106x – 120 = 0 c) 4x 4 + 12x 3 + 5x 2 – 6x – 15 = 0 d) x 3 + 3x 2 + 4x +... thøc tư vµ mÉu cđa c¸c ph©n thøc rÊt quan träng, nã kh«ng nh÷ng gióp viƯc rót gän tõ ph©n thøc (nÕu cã thĨ) mµ cßn gióp viƯc t×m tËp x¸ ®Þnh, t×m mÉu thøc chung cđa biĨu thøc Trường THCS Hoài Mỹ Tổ: Toán – Lý Trang 14 Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Sè häc sinh n¾m v÷ng c¸c ph¬ng ph¸p c¬ b¶n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư vµo vËn dơng ®ỵc vµo c¸c bµi tËp lµ 95% Trªn ®©y... x − 1) + 4 = 0(voly ) VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã tËp nghiƯm S = {5} * VÝ dơ 2: (2x2 + 3x - 1) 2 - 5(2x2 + 3x + 3) + 24 = 0 §Ỉt: 2x2 + 3x - 1 = t ⇒ 2x2 + 3x + 3 = t + 4 Trường THCS Hoài Mỹ (1) (*) Tổ: Toán – Lý Trang 11 Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Ph¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh: ⇔ t2 - 5t + 4 = 0 ⇔ (t - 1)(t - 4) = 0 ⇔ ⇔ t2 - 5(t + 4) + 24 = 0 t 1  − =0  −4 =0 t  t 1 . Trường THCS Hoài Mỹ Tổ: Toán – Lý. Trang 15 Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Trường THCS Hoài Mỹ Tổ: Toán – Lý. Trang 16 . + B)(A k2 – A 12 − k B + A 22 − k B 2 - … +B k2 ) Trường THCS Hoài Mỹ Tổ: Toán – Lý. Trang 2 Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân