Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng SAB vuông góc với mặt phẳng đáy, SA=SB, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 450.. Tính theo a thể tích của khối[r]
(1)ÐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2010 Môn thi : TOÁN I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số y= x3 + 3x2 – Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hoành độ -1 Câu II (2,0 điểm) 5x 3x Giải phương trình cos cos + 2(8sin x − 1) cos x = 2 ⎧⎪2 x + y = − x − y (x, y ∈ R) Giải hệ phương trình : ⎨ 2 x − xy − y = 2 ⎪⎩ 2x − Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân : I = ∫ dx x +1 Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy, SA=SB, góc đường thẳng SC và mặt phẳng đáy 450 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD Câu V (1,0 điểm) Cho hai số thực dương thay đổi x, y thỏa mãn điều kiện 3x + y≤1 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = + x xy II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; -2; 3), B (-1; 0; 1) và mặt phẳng (P): x + y + z + = Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc A trên (P) AB , có tâm thuộc đường thẳng Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính AB và (S) tiếp xúc với (P) Câu VII.a (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (2 – 3i)z + (4+i) z = -(1+3i)2 Tìm phần thực và phần ảo z B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x y −1 z = = và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – = 1 −2 Viết phương trình mặt phẳng chứa d và vuông góc với (P) Tìm tọa độ điểm M thuộc d cho M cách gốc tọa độ O và mặt phẳng (P) Câu VII.b (1 điểm) Giải phương trình z2–(1+i)z+6+3i = trên tập hợp các số phức BÀI GIẢI Câu I: Tập xác định là R y’ = 3x + 6x; y’ = ⇔ x = hay x = -2; lim y = −∞ và lim y = +∞ x →−∞ x →+∞ x y’ y −∞ + −∞ -2 CĐ 0 − +∞ + +∞ -1 CT Hàm số đồng biến trên (−∞; -2) ; (0; +∞); hàm số nghịch biến trên (-2; 0) Lop12.net (2) Hàm số đạt cực đại x = -2; y(-2) = 3; hàm số đạt cực tiểu x=0; y(0) = -1 y" = 6x + 6; y” = ⇔ x = -1 Điểm uốn I (-1; 1) Đồ thị : y -2 -1 x Gọi A là điểm trên (C) có hoành độ x = -1 ⇒ tung độ A Hệ số góc tiếp tuyến A là y’(-1) = -3 Vậy phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm A là: d : y – = -3(x + 1) ⇔ y = -3x – 5x 3x Câu II: cos cos + 2(8sin x − 1) cos x = 2 ⇔ 2(cos x + cos x) + 16sin x cos x − cos x = ⇔ cos x + 8sin x = ⇔ − 4sin 2 x + 8sin x = ⇔ 4sin22x – 8sin2x + = ⇔ sin x = (loại) hay sin x = 2 π 5π + k 2π ⇔ x = + k 2π hay x = 6 π 5π + kπ (k ∈ Z) ⇔ x = + kπ hay x = 12 12 ⎧⎪2 x + y = − x − y (1) ⎨ 2 (2) ⎪⎩ x − xy − y = (1) ⇔ (2 x + y ) + 2 x + y − = ⇔ x + y = hay x + y = −3 (loại) ⇔ 2x + y = ⇔ y = – 2x (3) Thay (3) vào (2) ta có: x2 – 2x(1 – 2x) – (1 – 2x)2 = ⇔ x2 + 2x – = ⇔ x = hay x = -3 Khi x = thì y = -1; x = -3 thì y = ⎧x = ⎧ x = −3 hay ⎨ Vậy nghiệm hệ phương trình là ⎨ ⎩y = ⎩ y = −1 Câu III 1 2x − ⎞ ⎛ I=∫ dx = ∫ ⎜ − ⎟ dx = ( x − 3ln x + ) = – 3ln2 x +1 x +1⎠ 0⎝ S Câu IV: Ta có tam giác vuông SHC, có góc SCH = 450 Nên là tam giác vuông cân B a2 a = ⇒ Vậy HC = SH = a + H 2a a V= a = A D C Lop12.net (3) Câu V : Cách 1: ≥ 3x + y = x + x + x + y ≥ 4 x y ⇒ A= 1 + ≥ x xy x xy = x3 y x3 y ≥4 ≥8 ta có A = Vậy A = 1 Cách 2: Áp dụng : ∀a, b > : + ≥ a b a+b 1 1 ≥ + = + ≥8 A= + ≥ = x y 3x + y x xy x x + y x x + y x+ + 2 2 Khi x = y = ta có A = Vậy A = A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a: A (1; -2; 3), B (-1; 0; 1); (P) : x + y + z + = JJG ⇒ VTPT (P) là nP = (1; 1; 1) Khi x = y = Gọi (Δ) là đường thẳng qua A và vuông góc với (P) thì : x −1 y + z − (Δ) : = = 1 H là hình chiếu A lên (P) thì H = (Δ) ∩ (P) nên tọa độ H thỏa : ⎧ x = −1 ⎧x + y + z + = ⎪ ⎪ ⎨ x − y + z − ⇔ ⎨ y = −4 Vậy H (-1; -4; 1) ⎪⎩ = = ⎪z = ⎩ JJJG Ta có AB = + + = 12 = và AB = (-2; 2; -2) AB Bán kính mặt cầu (S) là R = = x + y z −1 (AB) : Vì tâm I ∈ (AB) ⇒ I (t – 1; – t; t + 1) = = 1 −1 (S) tiếp xúc (P) nên d (I; (P)) = R ⇔ t + = ⇔ t = -3 hay t = -5 ⇒ I (-4; 3; -2) hay I (-6; 5; -4) Vậy ta có hai mặt cầu thỏa yêu cầu đề bài : (S1) : (x + 4)2 + (y – 3)2 + (z + 2)2 = (S2) : (x + 6)2 + (y – 5)2 + (z + 4) = Câu VII.a: (2 – 3i)z + (4+i) z =-(1+3i)2 (1) Gọi z = x + yi (x, y ∈ R) (1) ⇔ (2 – 3i)(x + yi) + (4 + i)(x – yi) = – 6i ⇔ (6x + 4y) – (2x + 2y)i = – 6i ⇔ 6x + 4y = và 2x + 2y = ⇔ x = -2 và y = Vậy phần thực z là -2 và phần ảo z là B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b : x y −1 z d : = = và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – = 1 −2 Lop12.net (4) JJG d qua A (0; 1; 0) có VTCP ad = (-2; 1; 1) JJJG (P) có VTPT : n( P ) = (2; -1; 2) (α) chứa d và vuông góc với (P) nên : JJJG JJJG JJJG (α) qua A (0; 1; 0) và có VTPT : n(α ) = ⎡⎣ a( d ) , n( P ) ⎤⎦ = 3(1; 2; 0) Ptmp (α) : (x – 0) + 2(y – 1) = ⇔ x + 2y – = M ∈ d ⇒ M (-2t; + t; t) M cách O và (P) ⇔ OM = d (M, (P)) 2(−2t ) − (1 + t ) + 2(t ) − ⇔ 4t + (1 + t ) + t = +1+ ⇔ 6t + 2t + = t +1 ⇔ t = ⇒ M (0; 1; 0) Câu VII.b: z2 – (1 + i)z + + 3i = (1) Δ = -24 – 10i = (1 – 5i) (1) ⇔ z = – 2i hay z = 3i Trần Minh Thịnh, Hoàng Hữu Vinh (Trung tâm BDVH và LTĐH Vĩnh Viễn) Lop12.net (5)