PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Thông thường, người ta dùng phương pháp đổi biến số khi gặp tích phân có dạng sau: Khi hàm số dưới dấu tích phân fx có thể phân tích thành tích của một hàm số hợp[r]
(1)BAØI TAÄP Baøi Tính caùc tích phaân sau: a) ò (3x c) e) g) j) - 5x + 1)dx ; b) æ ö çç x + ÷÷dx ; çè x ÷ø ò 2 d) ò x - 3x + dx ; x +1 f) ò dx ; x - 5x + h) x ò e +e -x dx ; k) ò (2x + 1)(x ò - x + 3)dx ; 2x - x + dx ; x2 dx ò (x + 1)(x + 2) ; ò ( x + x + x )dx ; ò (3x x - e )dx i) ò x -1 dx ; 3x Đáp số : 341 20 a) – ; b) ; c) ; 96 20 d) – ; e) 8ln3 – 6; f) 2ln2 – ln3; 3 3 133 g) – ln2; h) ; i) + + (3 - 4) ; 60 10 1æ 1ö j) ççe - ÷÷ ; k) 28 – 4e è eø Baøi Tính caùc tích phaân sau: a) ò d) ò -2 x - 2dx ; x - x - 2dx ; b) ò e) 3p ò - 2x + x 2dx ; c) ò x - dx ; x + sin 2xdx Lop12.net (2) Đáp số : a) 1; d) b) 19 ; ; e) + c) ; 2; Baøi Tính caùc tích phaân sau: a) ; d) g) p òp cos2 xdx ; b) òp p dx ; sin x cos2 x òp sin 7x sin 2xdx - ò p p p e) ò h) p p òp sin xdx ; c) a) f) cos x - 2tg x dx ; i) sin2 x 3p p ò sin 2x cos 3xdx ; p òp dx sin x c) – f) – i) ; ; ln - ln(2 - 3) p dx p p dx p £ ; £ò £ ; b) £ ò 2 14 + cos x p - sin x Lop12.net - cos3 x dx cos2 x Đáp số : 3p p a) ; b) - + ; 12 32 4 d) ; e) – + 2; 3 p g) ; h) – - ; 12 45 Bài Chứng minh p ò cos 2xdx ; cos2 x sin2 x p (3) 11 c) 54 £ ò -7 x + + 11 - x )dx £ 108 ; ( d) 2 xdx £ò £ x +1 CAÙC PHÖÔNG PHAÙP TÍNH TÍCH PHAÂN I PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Thông thường, người ta dùng phương pháp đổi biến số gặp tích phân có dạng sau: Khi hàm số dấu tích phân f(x) có thể phân tích thành tích hàm số hợp g[ j (x)] và đạo hàm hàm số bên j ’(x) tức là f(x) = g[ j (x)] j ’(x) Khi đó, để tính: b ò a b f (x )dx =ò g[j(x )].j '(x )dx a ta thực phép đổi biến số t = j (x) và ta có b ò a b f (x )dx =ò g[j(x )].j '(x )dx = a b ò g(t )dt (*) a Trong đó, a và b xác định a = j (a) và b = j (b) Chú ý: Khi sử dụng công thức đổi biến số (*) thì phải nhớ rằng: Khi đã đổi biến số lấy tích phân từ x sang t đồng thời ta phải đổi luôn cận lấy tích phân từ a, b sang a , b và ta tính toán với cận ấy, không cần phải quay lại biến số cũ x tích phân bất ñònh BAØI TAÄP Tính caùc tích phaân sau: 1) 4) ò (2x - 1)4 dx ; x dx ò x - 16 ; 2) 5) ò x (x + 1)4 dx ; xdx ò (x + 1)3 ; -1 3) 6) òx (1 - x )6dx ; x +2 ò x + 4x + dx ; Lop12.net (4) 7) ò 8) ò x + x 2dx ; 11) ò x +1 dx ; 3x + 14) 10) 13) 16) ò 19) p 31) ; sin x 17) 23) ò ò dx ; 29) sin x + cos2 x p 26) ò p dx sin x ò e sin 2xdx ; p x3 x +1 dx ; p ò tgxdx ; p ò sin p ò cos p 12) 15) 18) 35) x cos xdx ; 21) xdx ; 24) ò ò sin 4xdx ; sin x + cos4 x 30) dx ; cos4 x 33) sin6 xdx ; cos6 x + sin6 x 36) p p ò 4 Lop12.net ò 27) p òx cos3 x dx ; + sin x ò (sin x + cos x )2 ; 32) òp 34) ò0 x dx ; 2x + sin 2x dx + cos2 x p 9) + sin 2x dx ; cos2 x p p x - x 2dx ; 20) 22) ò 28) x x2 + ò + cos x dx ; p 25) dx ò x - 8.x 2dx ; - x 3dx ; x2 + dx ; x +1 ò p 2dx x 4x - ; òp cotgxdx ; p cos 2xdx ò + sin 2x ; p òp sin p ò p xdx ; sin x dx ; + co s x sin 2x ò + sin4 x dx ; p òp p dx ; sin x sin xdx ò + cos2 x ; (5) 37) 40) ò x e x e dx ; 38) dx 41) ò e x - 4e-x ; 43) sin(ln x )dx ; x ò 46) 49) e dx ò x - 4x + ; 52) ò - x 2dx ; 55) a ò 50) 58) ò Đáp số : 121 1) ; 5) ; 50 9) ; 45 46 13) ; 15 + ln x dx ; x 42) dx ò + x2 ; dx ò 56) x2 + dx ; 59) x4 - x2 + ò ò 26281 ; 491520 6) ln3; 848 10) ; 105 141 14) ; 20 x - x 2dx ; x -1 dx ; 1+ x4 x - x dx ; 3) ; 168 7) – 4; ; p 15) ; 11) e -xdx ; + e -x ò e dx ò x ln5 x ; e ln x dx ; x éêë(ln x )2 + 1ùúû 45) ò 48) ò x + 4x + ; 2) + ln2 x dx x e 51) 53) x a - x 2dx ; 1+ ò 1 39) 44) ò ln x + ln2 xdx ; 47) x ò ò e 2xdx ; ex + 1 e e e ln 2 ò dx ; x +4 xdx ò x4 + x2 + ; 54) 57) 60) 2 x2 ò dx ; 1- x2 ò + x2 dx ; 1+ x4 1+ p ò 1 - sin2 x dx ; + sin 2x 4) + 8ln ; 15 ; 15 106 12) ; 15 16) ln ; 8) Lop12.net (6) ln2; 21) ln ; 17) 25) ln2; 18) ln2; 3 + ln2 – 1; 23); ; 22) 19) 26) 2; ; 29) ln2; 33) ln2; 30) 10 ; 27 37) 2e(e – 1); 27) 2; p ; ; p 35) ; 31) 34) e – e ; 2 ; 15 42) ; 39) ln 38) 2e ; e +1 ; 64 43 24) ; 120 p - arctan 28) 20) -6 + ; p 36) ; 32) 40) + 2arctge – ; 43)1 – cos1; 44) + ln(1 + 2) p p 93 33 45) ln2; 46) ; 47) ; 48) ; 4 æ1 p p ö÷ 3p ÷÷ p ; 51) 49) ; 50) çç ; 52) ; ç 4 è 36 ø÷ 41) 53) p ; 57) p p - ; p 58) ; 54) ; * Vài đề thi p 1) (A, 2005) I = ò 55) pa ; 16 59) 1; sin 2x + sin x dx + cos x Lop12.net 56) 60) æ + 19 ö÷ ÷ ln çç çè 17 ø÷÷ ln2; Ñ.S: 34 ; 27 (7) p 2) (B, 2005) I = ò p sin 2x cos x dx + cos x Ñ.S: ln - ; 3) (D, 2005) I = ò (e sin x + cos x ) cos xdx Ñ.S: e - + p 4) (TN, 2005) I = ò (x + sin2 x ) cos xdx Ñ.S: p ; p - e ln ( x) ln ( ln ( x) ) 5) (CÑKTÑN, 2005) I = dx x e p 6) (CÑKTCN, 2005) ò sin x ln (1 + cos x )dx ( ln + ) ( -1 + ln ) II PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Định lý: Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì : b ò u(x )v '(x )dx = b u(x ) v(x ) a a b - ò v(x ).u '(x )dx a Nhận xét : Vì v’(x)dx = dv và u’(x)dx = du nên công thức trên có thể b ò vieát goïn laø Tích phaân daïng bieán x Phöông phaùp : b a ò Pn (x )e a b udv = uv ba - ò vdu a ax +b dx , đó Pn(x) là đa thức bậc n theo ìïdu = Pn '(x )dx ïìïu = Pn (x ) ï ï ï , ta coù í Ñaët í a x +b ïïdv = e ïïv = e ax +bdx dx ò ïî ïî Chú ý: Ta phải tính tích phân phần theo n lần Lop12.net (8) BAØI TAÄP Tính caùc tích phaân sau 1) 4) ò xe dx ; e ò x ln x ln2 x e dx ; x 2) 5) 4) ò (x ò (e x + 2x )e dx ; -x Đáp số: 1) 1; 5) - b ò xe -2 x dx ; + x )2dx 2) e; ; 3) ln x 17 - + e 2e 3) - (2e + - e 2e )e -2e Tích phaân daïng I1 = b ò Pn (x )cos(ax + b)dx ; I = ò Pn (x )sin(ax + b)dx a a Phöông phaùp : * Để tính I1 ta đặt : ïìïdu = Pn '(x )dx ïìu = Pn (x ) ïí ï , ta coù í ïïdv = cos(ax + b)dx ïïv = cos(ax + b)dx = sin(ax + b) ò ïî ïïî a * Để tính I2 ta đặt : ìdu = Pn '(x )dx ï ìu = Pn (x ) ï ï ï , ta coù ï í í ï ï dv = sin(ax + b)dx v = ò sin(ax + b)dx = - cos(ax + b) ï ï ï î ï a ï î Baøi taäp: Tính caùc tích phaân sau: 1) p ò x sin xdx ; 2) p ò xco s xdx ; Lop12.net 3) p ò (x - 1)co s xdx ; (9) 4) p ò (2 - x )sin 3xdx ; 5) 7) p òx òp x co s x dx ; p 2 8) æç p ö÷3 çè ÷÷ø ò Đáp số: cos2 xdx ; 6) sin xdx ; 9) Tích phaân daïng I = Phöông phaùp : ò P(x )[ln(x )] dx , n Î n x ò x sin xdx p2 -3; 6) ; 3p2 9) - 12 3) ; p 7) ; 8) p – 6; p - 48 16 b p2 2) 4) x ò x sin cos dx ; p - ; 5) p - p; 48 1) 1; p * a vaø p(x ) ¹ x ìï n ïïdu = n ln x )n -1 dx ïìïu = (ln x ) x Ñaët í , ta coù ïí ïïdv = P (x )dx ïï ïî ïïîv = ò P (x )dx Ta tính tích phân phần n lần BAØI TAÄP Tính caùc tích phaân sau: 1) 4) 7) e ò ln xdx ; 2) ò (ln x )2dx ; 5) ò ln x dx ; x3 8) e e e2 ò ln x dx ; x 3) ò x ln2 xdx ; 6) e e ò (x - 1)ln xdx ; 9) ò 2x ln(x - 1)dx ; e ò æ ln x ö÷2 ç çè x ÷÷ø dx ; ò ln(1 + x ) dx ; x2 Lop12.net (10) 10) p òp ln(sin x ) dx ; cos2 x 11) ò ln( + x - x )dx ; 12) e òx .ln xdx ; Đáp số: 1) 1; 2) 4; 4) e – 2; 5) e2 - ; 4e æ 3ö p 10) ln çç ÷÷÷ - ; çè ÷ø 7) 3) 48ln2 – e2 - ; e2 - 8) ; ; e 9) 3ln ; 6) – 11) 2ln( – 2) + * Khoái D, 2004) Tính tích phaân I = ò ln(x 2 Tích phaân daïng b òe ax +b a –1; 12) (3e + 1) ; 16 - x )dx sin(mx + n )dx hay ìïu = e ax +b ïï ï Ñaët ï íéêdv = sin(mx + n )dx ïï ïïêêdv = cos(mx + n )dx îïë 27 ; b òe a Đáp số : I = 3ln3 – ax +b cos(mx + n )dx ìïdu = ae ax +bdx ïï ïï ïé , ta coù ïíêêv = - m cos(mx + n ) ïï ïïêê ïïêv = sin(mx + n ) m ïîë (Hoặc đặt ngược lại) Ta lấy tích phân phần hai lần giải phương trình BAØI TAÄP Tính caùc tích phaân sau: 1) p x ò e cos xdx ; 2) p 2x ò e cos 3xdx ; 10 Lop12.net 3) p òe 2x sin2 xdx ; (11) 4) 2x ò e sin pxdx ; 5) 7) p ò (e cos x + x )sin xdx ; 8) e ò p sin(ln x )dx ; 6) ò (x + sin 2x ) dx ; 9) 3e p + ; 13 - e cos1 + e sin 5) ; -1 ; p2 (e - 1) 4) ; 4(1 + p2 ) 1) 7) p + e + 2) – ; e 8) ò co s(ln x )dx ; p òp Đáp số: p e2 e 3 p + p; 4 xdx sin2 x e 2p - ; e 6) (sin1 + cos1 –1) 3) 9) p p 3 + ln 2 MỘTSỐ ĐỀ THI I CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP Tính caùc tích phaân sau: TN, 1994 (2 ñieåm) 1) ; 2) ; 15 TN, 1996 (2 ñieåm) ÑS: ÑS: 1) 2) 1) 2) 1) 248 35 ln ; 2e3 2) 2 11 Lop12.net (12) TN, 1997, đợt (2 điểm) ÑS: 1) 2) 1) 18ln3 8ln2 ; 2) 16 15 TN, 1997, đợt 1) ÑS: ln TN, 1998, Đề chính thức (2 điểm) ÑS 1) 2) 1) 2; 2) TN, 1998, đợt (2 điểm) 1) e ÑS: e ÑS: 39 12 ln ÑS: TN, 1998, đợt (2 điểm) 1) TN, 1999, đợt (2 điểm) ; TN, 1999, đợt (2 điểm) 1) Tính tích phaân (ÑS: 2) Giaûi phöông trình ) 15 TN, 2000 12 Lop12.net (13) 1) Cho haøm soá Hãy tính đạo hàm vaø giaûi phöông trình ; 2) Có tem thư khác và bì thư khác Người ta muốn chọn từ đó tem thư, bì thư và dán tem thư lên bì thư đã chọn Mỗi bì thư dán tem thư Hỏi có bao nhieâu caùch laøm nhö vaäy TN, 2000 2001 (1 ñieåm) 1) Tính tích phaân (ÑS: 3 ) 32 TN, 2001 2002 (2 ñieåm) 1) Tìm giá trị nhỏ và giá trị lớn hàm số F(x) = cos2x + 4sinx trên đoạn 0; 2 2) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có bốn chữ số đôi khác nhau? TN, 2002 2003 (2 ñieåm) 1) Tìm nguyeân haøm cuûa haøm cuûa haøm soá Bieát raèng 2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số và đường thẳng Đáp số 1) 2) (TN 2003 – 2004) Tính thể tích vật thể tròn xoay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số và các đường quay quanh truïc ÑS 13 Lop12.net (14) (TN, 2005) Ñ.S: TN khoâng phaân ban, 2006) Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đồ thị hàm số và đường thẳng Tính tích phaân Đáp số 1) 2) (TN 2006, Ban KHTN) ÑS (TN 2006, Ban KHXH) ÑS (TN khoâng phaân ban, 2007) ÑS (TN ban KHTN, laàn 1, 2007) ÑS (TN ban KHXH, laàn 1, 2007) ÑS (TN khoâng phaân ban, 2007) ÑS (TN ban KHTN, laàn 2, 2007) Cho hình giới hạn các đường Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình hoành quanh truïc ÑS (TN ban KHTN, lần 2, 2007) Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường vaø ÑS 36 (ñ.v.d.t.) II CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG (Khối A, 2002) Tìm diện tích hình phẳng giới hạn các đường 14 Lop12.net (15) Đáp số (Khối B, 2002) Tìm diện tích hình phẳng giới hạn các đường Đáp số Tính caùc tích phaân sau: (Dự bị 1, 2002) (Đáp số: ln ) (Dự bị 2, 2002) (Đáp số 1) (Dự bị 4, 2002) (Đáp số ) 4e (Dự bị 5, 2002) Đáp số: 12 ) 91 (Khoái A, 2003) (Đáp số: ln ) (Khối A, Dự bị 1, 2003) (Đáp số: ln ) (Khối A, Dự bị 2, 2003) (Đáp số: ) 15 10 (Khoái B, 2003) (Đáp số: ln ) 15 Lop12.net (16) 11 (Khối B, Dự bị 1, 2003) (Đáp số: 20 ) 12 (Khối B, Dự bị 2, 2003) Cho hàm số Tìm a vaø b cho vaø a 8, Đáp số: b 13 (Khoái D, 2003) ÑS 14 (Dự bị 1, Khối D, 2003) ÑS 15 (Dự bị 2, Khối D, 2003) ÑS 116 ) 135 11 ln ) (Đáp số: 16 (Khoái B, 2004) (Đáp số: 17 (Khoái A, 2004) 18 (Khoái D, 2004) (Đáp số: 3ln3 2) 19 (Dự bị 1, 2004) ÑS 20 (Dự bị 2, 2004) ÑS 21 (Dự bị 3, 2004) ÑS 22 (Dự bị 4, 2004) ÑS 23 (Dự bị 5, 2004) ÑS 16 Lop12.net (17) 24 (A, 2005) Ñ.S: 25 (B, 2005) Ñ.S: 26 (D, 2005) Ñ.S: 27 (Dự bị 1, 2005) ÑS 28 (Dự bị 2, 2005) ÑS 29 (Dự bị 3, 2005) ÑS 30 (Dự bị 4, 2005) ÑS 31 (Dự bị 5, 2005) ÑS 32 (A, 2006) ÑS 33 (B, 2006) ÑS 34 (D, 2006) ÑS 35 (Dự bị 1, A, 2006) ÑS 36 (Dự bị 2, A, 2006) Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol và đường thẳng 37 (Dự bị 1, D, 2006) ÑS ÑS 17 Lop12.net (18) 38 (Dự bị 2, D, 2006) ÑS 39 (Dự bị 1, B, 2006) ÑS 40 (Dự bị 2, B, 2006) ÑS 41 (D, 2007) ÑS 42 (A, 2007) Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường ÑS 43 (Khoái B, 2007) ÑS 18 Lop12.net (19)