Gián án Đề thi số 03 và đáp án

Së GD & §T b¾C NINH Tr êng THPT QuÕ Vâ I (Đề thi gồm có 01 trang) §Ò thi chän häc sinh giái cÊp trêng n¨m häc 2010-2011 Môn: Toán Khối 12 Thời gian lầm bài: 150 phút( Không kể thời gian giao đề) CÂU I: (2 điểm) Cho hàm số 3 2 3 2y x x= − + − 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 9 7y x= − − . CÂU II: (3 điểm) 1) Giải phương trình: 9sin 6cos 3sin 2 cos2 8x x x x+ − + = 2) Giải bất phương trình: 1 1 2 3 5 2x x x ≤ + − − − 3) Giải phương trình: ( ) ( ) 2 3 9 2log 2 1 10log 2 1 7 0x x− + − − = CÂU III: (1 điểm) Cho biết ba hạng tử đầu tiên của khai triển: 4 1 2 n x x   +  ÷   có các hệ số là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Tìm số hạng chứa biến x bậc nhất của khai triển. ( Trong đó n là số tự nhiên lớn hơn 1 và x là số thực dương). CÂU IV: (3 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ 0xy, cho đường tròn (C): 2 2 4 4 6 0x y x y+ + + + = và đường thẳng : 2 3 0x my m∆ + − + = ( với m là tham số). Gọi I là tâm của đường tròn (C). Tìm m để đường thẳng ∆ cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất. 2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a, các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng 2a . Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD; K là điểm trên cạnh AD sao cho AK = 3 a . a) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a. b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và SK theo a. CÂU V: (1 điểm) Chứng minh rằng: Nếu , , 2a b c ≥ thì: 2 2 2 log log log 3 b c c a a b a b c + + + + + ≥ …………………………… Hết………………………………. (Thí sinh không được sử dụng tài liệu khi làm bài) Người soạn đề: Phạm Thu Thủy ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2010-2011 Môn: Toán – Khối 12 (Người soạn: Phạm Thu Thủy) Câu Nội dung Điểm I(2 điểm) 1) Khảo sát hàm số (1 điểm) TXĐ: D = ¡ SBT: 2 ' 3 6y x x= − + 0 ' 0 2 x y x =  = ⇔  =  ; ( ) (0) 2; 2 2y y= − = lim ; lim x x y y →+∞ →−∞ = −∞ = +∞ 0,25 Lập bảng biến thiên 0,25 Kết luận: ĐB, NB, Cực trị 0,25 Tâm đối xứng, vẽ đồ thị 0,25 2) Viết phương trình tiếp tuyến (1 điểm) Từ gt suy ra tiếp tuyến có hệ số góc là: k = - 9 0,25 Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của pt: 2 2 1 3 6 9 2 3 0 3 x x x x x x = −  − + = − ⇔ − − = ⇔  =  0,25 Với 1 2x y= − ⇒ = , pttt là: 9 7y x= − − (loại vì không song song) 0,25 Với 3 2x y= ⇒ = − , pttt là: 9 25y x= − + Vậy pttt cần tìm là: 9 25y x= − + 0,25 II (3 điểm) 1) Giải phương trình lượng giác (1 điểm) Pt 2 9sin 6cos 6sin .cos 1 2sin 8x x x x x⇔ + − + − = ( ) ( ) 1 sin 6cos 2sin 7 0x x x⇔ − + − = 0,25 sin 1 (1) 6cos 2sin 7 0 (2) x x x =  ⇔  + − =  0,25 (1) 2 ; 2 x k k π π ⇔ = + ∈ ¢ 0,25 (2) vô nghiệm vì: 2 2 2 a b c+ < Vậy pt đã cho có nghiệm là: 2 ; 2 x k k π π = + ∈ ¢ 0,25 2) Giải bất phương trình chứa căn (1 điểm) ĐK: 5 2 2 1 2 x x  − ≤ <     ≠   0,25 *Nếu: 1 2 2 x− ≤ < thì: 2 3 0; 5 2 0x x x+ − − < − > ⇒ Bpt đã cho luôn đúng. Vậy 1 2; 2 x   ∀ ∈ − ÷    đều là nghiệm 0,25 *Nếu: 1 5 2 2 x< < thì: 2 3 0; 5 2 0x x x+ − − > − > Bpt 5 2 2 3x x x⇔ − ≤ + − − Gbpt được nghiệm: 3 2 2 x x  ≤ −   ≥  Kết hợp điều kiện ta có: 5 2 2 x≤ < 0,25 Vậy bpt đã cho có nghiệm là: 1 2 2 5 2 2 x x  − ≤ <    ≤ <   0,25 3) Giải phương trình log(1 điểm) ĐK: 1 2 x > Pt ( ) ( ) 2 3 3 2log 2 1 5log 2 1 7 0x x⇔ − + − − = 0,25 Đặt 3 log (2 1)t x= − Pt 2 1 2 5 7 0 7 2 t t t t =   ⇒ + − = ⇔  = −  0,25 Với 3 1 log (2 1) 1 2t x x= ⇒ − = ⇔ = (Thỏa mãn) Với ( ) 3 7 7 1 3 log 2 1 2 2 2 162 t x x= − ⇒ − = − ⇔ = + (Thỏa mãn) 0,25 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: 1 3 2; 2 162 x x= = + 0,25 III(1 điểm) Khai triển Niu Tơn (1 điểm) 1 3 2 4 4 1 2 2 n n n k k k n k o x C x x − − =   + =  ÷   ∑ ; o k n≤ ∈ ≤¥ 0,25 Hệ số của ba hạng tử đầu tiên của khai triển là: 0 1 1 2 2 ; .2 ; .2 n n n C C C − − Từ gt 0 2 2 1 1 .2 2 .2 n n n C C C − − ⇒ + = Giải pt tìm được 1 8 n n =   =  (loại n = 1) 0,25 Với n = 8, ta có khai triển: 8 3 8 4 4 8 4 1 .2 . 2 k k k k o x C x x − − =   + =  ÷   ∑ Để có số hạng chứa biến x bậc nhất thì: 3 4 1 4 4 k k− = ⇔ = (T/m) 0,25 Vậy số hạng cần tìm là: 4 4 8 35 ,2 . 8 C x x − = 0,25 IV(3 điểm) 1) Hình học phẳng (1 điểm) Đường tròn có tâm I(- 2; - 2), bán kính R = 2 Gọi H là trung điểm của dây cung AB ⇒ IH ⊥ AB 0,25 Ta có diện tích tam giác IAB là: S = 1 IA.IB. 2 sin · AIB = sin · AIB Diện tích tam giác IAB lớn nhất ⇔ sin · AIB = 1 ⇔ · AIB =90 0 0,25 ⇒ ∆ IAB vuông cân tại I IA 2 IH 1 2 ⇒ = = ( T/mãn <R) 0,25 2 1 4 1 1 − ⇒ = + m m 0 8 15 m m =   ⇔  =  Vậy m= 0; m = 8/15 là giá trị cần tìm 0,25 2) Hình học không gian (2 điểm) a)Gọi H là hình chiếu của S trên đáy Do SA=SB=SC=SD ⇒ HA=HB=HC=HD ⇒ H là giao điểm của hai đường chéo của đáy N M EH C D B A S K 0,25 Thể tích của khối chóp là: ABCD 1 V S .SH 3 = Có S ABCD = 2a 2 0,25 Xét ∆ ABD vuông tại A ⇒ BD = 5a ⇒ BH = 1 2 5a Xét ∆ SBH vuông tại H ⇒ SH = 3 2 a 0,25 Vậy V = 3 3 3 a ( Đvtt) 0,25 b)Từ gt ⇒ MN//AD Chỉ ra MN// (SAD) 0,25 ⇒ d(MN, SK) = d(MN, (SAD)) 0,25 Gọi E là trung điểm của AD Kẻ HK ⊥ SE, chỉ ra HK ⊥ (SAD) ⇒ d(MN, SK) = IH 0,25 Xét ∆ SHE vuông tại H, tính được HK = 21 7 a Vậy khoảng cách cần tìm là: d(MN, SK) = 21 7 a 0,25 V(1 điểm) Chứng minh bất đẳng thức(1 điểm) Có: ( ) ( ) 1 1 2 2 0, , 2 2 2 a b ab a b b a a b+ − = − + − ≤ ∀ ≥ a b ab⇒ + ≤ Tương tự có: ;b c bc c a ca+ ≤ + ≤ ( ) ( ) ( ) ln ln ln ln ln ln ln ln ln a b a b b c b c c a c a ⇒ + ≤ + + ≤ + + ≤ + 0,25 VT= ( ) ( ) ( ) 2ln 2ln 2ln ln ln ln a b c b c c a a b + + + + + 2ln 2ln 2ln ln ln ln ln ln ln a b c b c c a a b ≥ + + + + + = ln ln ln 2 1 1 1 3 ln ln ln ln ln ln a b c b c c a a b   + + + + + −  ÷ + + +   = ( ) 1 1 1 2 ln ln ln 6 ln ln ln ln ln ln a b c b c c a a b   + + + + −  ÷ + + +   0,5 ( ) ( ) ( ) 3 3 3 ln ln ln ln ln ln . 1 1 1 3 . . 6 ln ln ln ln ln ln a b b c c a a b b c c a ≥ + + + − + + + =9 – 6 = 3 (đpcm) Dấu bằng xảy ra ⇔ a=b=c=2 0,25 . Së GD & §T b¾C NINH Tr êng THPT QuÕ Vâ I (Đề thi gồm có 01 trang) §Ò thi chän häc sinh giái cÊp trêng n¨m häc 2010-2011 Môn: Toán Khối. 3 2y x x= − + − 1) Khảo sát và vẽ đồ thi (C) của hàm số. 2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thi (C) biết tiếp tuyến song song với