Phương pháp lặp xoay vòng và đồng thời giải bài toán chấp nhận tách nhiều tập

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀO ĐÌNH THOẢNG PHƯƠNG PHÁP LẶP XOAY VỊNG VÀ ĐỒNG THỜI GIẢI BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH NHIỀU TẬP LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS Nguyễn Bường Thái Nguyên – 2020 ii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn GS.TS Nguyễn Bường (Viện Công nghệ Thông tin-Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam) Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả học tập nhiều kiến thức chun ngành bổ ích cho cơng tác nghiên cứu thân Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo, cô giáo tham gia giảng dạy lớp cao học Tốn, nhà trường phịng chức trường, khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Xin chân thành cảm ơn anh chị em lớp cao học bạn bè đồng nghiệp trao đổi, động viên khích lệ tác giả q trình học tập, nghiên cứu làm luận văn iii Mục lục Lời cảm ơn ii Một số ký hiệu viết tắt iv Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số đặc trưng không gian Hilbert 1.2 Ánh xạ không giãn không gian Hilbert 12 1.3 Phương pháp CQ giải toán chấp nhận tách 14 Chương Phương pháp lặp xoay vòng lặp liên tiếp giải tốn (MSSFP) 18 2.1 Phương pháp lặp xoay vịng giải Bài toán (MSSFP) 18 2.2 Phương pháp lặp đồng thời giải Bài toán (MSSFP) 21 2.3 Phương pháp xoay vòng nới lỏng lặp liên tiếp nới lỏng để giải Bài toán (MSSFP) 23 Kết luận Tài liệu tham khảo 29 30 iv Một số ký hiệu viết tắt , tích vơ hướng không gian Hilbert H chuẩn không gian Hilbert H ∪ phép hợp ∩ phép giao R+ tập số thực khơng âm A∗ tốn tử liên hợp toán tử A I toán tử đồng ∅ tập rỗng ∀x với x xn −→ x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn dãy {xn } hội tụ yếu x0 x0 Mở đầu Cho C Q tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Hilbert H1 H2 , tương ứng Cho A : H1 −→ H2 tốn tử tuyến tính bị chặn Bài tốn chấp nhận tách (SFP) có dạng sau: Tìm phần tử x∗ ∈ C cho Ax∗ ∈ Q (0.1) Dạng tổng quát Bài toán (0.1) toán (0.2), toán phát biểu sau: Cho Ci , i = 1, 2, , N Qj , j = 1, 2, , M tập lồi đóng H1 H2 tương ứng −1 M Tìm phần tử x∗ ∈ S = ∩N i=1 Ci ∩ A (∩j=1 Qj ) = ∅ (0.2) Mơ hình tốn (SFP) lần giới thiệu nghiên cứu Y Censor T Elfving [6] cho mơ hình tốn ngược Bài tốn đóng vai trị quan trọng khơi phục hình ảnh Y học, điều khiển cường độ xạ trị điều trị bệnh ung thư, khôi phục tín hiệu (xem [4], [5]) hay áp dụng cho việc giải toán cân kinh tế, lý thuyết trò chơi Thời gian gần đây, lớp Bài toán (0.2) thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học ngồi nước Mục đích luận văn trình bày chứng minh chi tiết cho phương pháp lặp xoay vòng phương pháp lặp đồng thời để xấp xỉ nghiệm Bài toán (0.2) từ tài liệu [7] Nội dung luận văn chia làm hai chương chính: Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, luận văn đề cập đến số đặc trưng không gian Hilbert, phép chiếu mêtric, ánh xạ không giãn số phương pháp cải tiến phương pháp CQ giải Bài toán (0.2) Chương Phương pháp lặp xoay vòng lặp liên tiếp giải toán (MSSFP) Chương luận văn trình bày chứng minh chi tiết cho kết Wen cộng hai phương pháp lặp xoay vòng lặp liên tiếp cho việc giải Bài toán (MSSFP) (xem phát biểu trang 15) tài liệu [7] Ngồi ra, luận văn trình bày dạng nới lỏng phương pháp tập lồi, đóng Ci Qj tập mức hàm lồi Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương bao gồm ba mục Mục 1.1 đề cập đến số đặc trưng không gian Hilbert thực, Mục 1.2 giới thiệu sơ lược số kết ánh xạ khơng giãn, bao gồm khải niệm, tính chất tập điểm bất động nguyên lý nửa đóng Mục 1.3 trình bày phương pháp CQ số cải tiến phương pháp để giải toán chấp nhận tách đa tập Nội dung chương phần lớn tham khảo từ tài liệu [1], [2], [8] [9] 1.1 Một số đặc trưng không gian Hilbert Ta giả thiết H không gian Hilbert thực với tích vơ hướng kí hiệu , chuẩn kí hiệu Mệnh đề 1.1 Trong không gian Hilbert thực H ta ln có đẳng thức sau x−y + x−z = y−z + x − y, x − z , với x, y, z ∈ H Chứng minh Thật vậy, ta có y−z + x − y, x − z = y, y + z, z + x, x − x, z − x, y = [ x, x − x, y + y, y ] + [ x, x − x, z + z, z ] = x−y + x − z Vậy ta điều phải chứng minh Mệnh đề 1.2 Với {x1 , , xn } ∈ H, ta có bất đẳng thức sau n n λi xi || = || λi ||xi || − n 2 i=1 i=1 λi λj ||xi − xi ||2 , n ≥ 2, (1.1) i,j=1 n λi ∈ [0, 1], i = 1, , n, λi = i=1 Chứng minh Ta có n n || λi xi || = n λi x i , i=1 i=1 n n = λ j xj j=1 λi λj xi , xj i=1 j=1 n n = λi λj ( xi i=1 j=1 n λi xi || − i=1 + xj − xi − x j ) n = λi λj xi − xj i,j=1 Mệnh đề chứng minh Hệ 1.1 Cho H khơng gian Hilbert thực Khi đó, với x, y ∈ H λ ∈ [0, 1], ta có λx + (1 − λ)y =λ x + (1 − λ) y − λ(1 − λ) x − y (1.2) Định nghĩa 1.1 Cho C tập khác rỗng, lồi, đóng khơng gian Hilbert H Dãy {xn } ⊂ H gọi đơn điệu Fejér tương ứng C với z ∈ C , ta có xn+1 − z ≤ xn − z , ∀n ≥ Nhận xét 1.1 Nếu {xn } ⊂ H đơn điệu Fejér tương ứng C , tồn giới hạn hữu hạn limn→∞ xn − z với z ∈ C Mệnh đề 1.3 Cho H khơng gian Hilbert thực Khi đó, với x, y ∈ H thỏa mãn điều kiện | x, y | = x y , tức bất đẳng thức Schwars xảy dấu hai véc tơ x y phụ thuộc tuyến tính Chứng minh Giả sử ngược lại x = λy với λ ∈ R Khi đó, từ tính chất tích vơ hướng, ta có < x − λy = λ2 y − 2λ x, y + x , với λ ∈ R Ta thấy y = 0, hiển nhiên x y phụ thuộc tuyến tính Giả sử y = 0, với λ = x, y , bất đẳng thức trở thành y | x, y | < x y , điều mâu thuẫn với giả thiết Vậy x y phụ thuộc tuyến tính Mệnh đề chứng minh Nhắc lại rằng, dãy {xn } không gian Hilbert H gọi hội tụ yếu phần tử x ∈ H , lim xn , y = x, y , n→∞ với y ∈ H Từ tính liên tục tích vơ hướng, suy xn → x, xn x Tuy nhiên, điều ngược lại không Chẳng hạn xét không gian l2 = {xn } ⊂ R: ∞ n=1 |xn | < ∞ {en } ⊂ l2 , cho en = (0, , 0, , 0, , 0, ), vị trí thứ n với n ≥ Khi đó, en thức Bessel, ta có 0, n → ∞ Thật vậy, với y ∈ H , từ bất đẳng ∞ | en , y |2 ≤ y n=1 < ∞ Tuy nhiên, {en } khơng hội tụ 0, Suy limn→∞ en , y = 0, tức en en = với n ≥ Ta biết không gian Hilbert H thỏa mãn điều kiện Opial, tính chất thể mệnh đề đây: Mệnh đề 1.4 Cho H không gian Hilbert thực {xn } ⊂ H dãy bất x, n → ∞ Khi đó, với y ∈ H y = x, ta có kỳ thỏa mãn điều kiện xn lim inf xn − x < lim inf xn − y n→∞ Chứng minh Vì xn n→∞ (1.3) x, nên {xn } bị chặn Ta có xn − y = xn − x + x−y + xn − x, x − y Vì x = y , nên lim inf xn − y n→∞ > lim inf ( xn − x n→∞ + xn − x, x − y ) = lim inf xn − x n→∞ Do đó, ta nhận lim inf xn − x < lim inf xn − y n→∞ n→∞ Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 1.5 ([2]) Cho K tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Hilbert H Cho {xn } dãy H thảo mãn điều kiện sau a) lim ||xn − x|| tồn với x ∈ K n→∞ b) ωw (xn ) ∈ K , ωw (xn ) tập điểm tụ yếu dãy {xn } Khi dãy {xn } hội tụ yếu tới điểm thuộc K 16 Năm 2006, Xu [8] đưa thuật toán mở rộng phương pháp CQ cho Bài toán (MSSFP) Đặt p(x) = r βj Ax − PQj (Ax) , j=1 βj > với j = 1, 2, , r Trước hết, Xu [8] chứng minh kết đây: Mệnh đề 1.16 Giả sử tập nghiệm Bài toán (MSSFP) khác rỗng Khi đó, ta có khẳng định sau: i) Hàm p(x) lồi, khả vi với đạo hàm xác định r βj A∗ (I − PQj )Ax, p(x) = j=1 p(x) ánh xạ Lipschitz với số L = A r j=1 βj ii) Phần tử x∗ nghiệm Bài toán (MSSFP) điểm bất động chung ánh xạ khơng giãn trung bình {Ti }ti=1 với Ti = PCi (I − γ p), γ > 0, i = 1, 2, , t Tiếp đó, ơng chứng minh hội tụ phương pháp lặp Picard cho Bài toán (MSSFP) Định lý 1.3 [8] Nếu γ ∈ A r j=1 βj , 0, L với βj > với j = 1, 2, , r L = dãy {xn } xác định x1 ∈ E r r ∗ xn+1 = PCN (I − γ βj A∗ (I − PQj )A)xn βj A (I − PQj )A PC1 (I − γ j=1 j=1 hội tụ yếu nghiệm Bài toán (MSSFP) Xu xây dựng chứng minh hội tụ phương pháp lặp song song phương pháp lặp xoay vịng cho Bài tốn (MSSFP) dạng đây: 17 Định lý 1.4 [8] Nếu γ ∈ A r j=1 βj 0, L với βj > với j = 1, 2, , r, L = t i=1 λi λi > thỏa mãn = 1, dãy {xn } xác định x1 ∈ E t r βj A∗ (I − PQj )A)xn λi PCi (I − γ xn+1 = i=1 j=1 hội tụ yếu nghiệm Bài toán (MSSFP) Định lý 1.5 [8] Nếu γ ∈ T r j=1 βj , 0, L với βj > với j = 1, 2, , r L = dãy {xn } xác định x1 ∈ E r βj A∗ (I − PQj )A)xn xn+1 = PC[n+1] (I − γ j=1 hội tụ yếu nghiệm Bài toán (MSSFP) 18 Chương Phương pháp lặp xoay vòng lặp liên tiếp giải toán (MSSFP) Chương luận văn trình bày hai phương pháp lặp xoay vịng phương pháp lặp liên tiếp giải toán chấp nhận tách đa tập không gian Hilbert từ tài liệu [7] 2.1 Phương pháp lặp xoay vòng giải Bài tốn (MSSFP) Trong mục chúng tơi trình bày lại phương pháp lặp xoay vòng với cỡ bước tự tương thích cho việc giải Bài tốn (MSSFP) chứng minh hội tụ phương pháp từ tài liệu [7] Định lý 2.1 Giả sử Bài tốn (MSSFP) có tập nghiệm Ω = ∅ Với x0 ∈ H1 bất kỳ, dãy lặp xoay vòng {xn } xác định sau: xn+1 = PC[n] (xn − λn p(xn )), n ≥ 0, (2.1) [n] = (n mod t) + 1, hàm đồng dư lấy giá trị tập {0, 1, , n − 1} cỡ bước λn = ρn p(xn ) , với < ρ ≤ ρn ≤ ρ < Khi dãy lặp {xn } hội tụ || p(xn )||2 yếu tới nghiệm Bài toán (MSSFP) Chứng minh Lấy p ∈ Ω, sử dụng tính chất khơng giãn tốn tử chiếu, ta có: ||xn+1 − p||2 =||PC[n] (xn − λn p(xn )) − p||2 19 ≤ ||xn − λn p(xn ) − p||2 = ||xn − p||2 − 2λn < p(xn ), xn − p > +||λn p(xn )||2 (2.2) Từ Hệ 1.2 ta thu r βj A∗ (I − PQj )Axn , xn − p p(xn ), xn − p = j=1 r βj (I − PQj )Axn , Axn − PQj (Axn ) = j=1 r βj (I − PQj )Axn , Axn − Ap + j=1 r ||Axn − PQj (Axn )||2 = 2p(xn ) ≥ (2.3) j=1 Thay (2.3) vào (2.2) ta thu được: ||xn+1 − p||2 ≤ ||xn − p||2 − 4λn p(xn ) + ||λn p(xn )||2 = ||xn − p||2 − ρn (4 − ρn ) p2 (xn ) || p(xn )||2 (2.4) Vì < ρn < nên từ (2.4) ta có ||xn+1 − p|| ≤ ||xn − p|| (2.5) Từ ta suy dãy {xn } dãy đơn điệu Fejér limn→∞ ||xn − p|| tồn Mặt khác, từ (2.4) ta có ρ(4 − ρ) p2 (xn ) p2 (xn ) ≤ ||ρ (4 − ρ ) n n || p(xn )||2 || p(xn )||2 ≤ ||xn − p||2 − ||xn+1 − p||2 Từ suy ∞ n=0 p2 (xn ) < ∞ || p(xn )||2 (2.6) (2.7) 20 Vì p liên tục Lipschitz dãy {xn } bị chặn, nên { p(xn )} bị chặn Do từ (2.7) ta thu lim n→∞ r βj ||Axn − PQj (Axn )||2 = j=1 Vậy ta suy lim ||Axn − PQj (Axn )|| = 0, (2.8) n→∞ với j = 1, , r Vì dãy {xn } bị chặn nên tồn dãy {xnk } {xn} cho xnk x Tiếp theo ta chứng minh x nghiệm Bài toán (MSSFP) Thật vậy, từ (2.8) với j = 1, 2, , r ta có lim ||Axn − PQj (Axn )|| = ||Ax − PQj (Ax)|| = n→∞ Do Ax ∈ ∩rj=1 Qj Ta chứng minh x ∈ ∩ti=1 Ci Đặt un = xn − λn p(xn ) Khi dãy {unk } hội tụ yếu tới x Thật vậy, ta có ||xnk +1 − p||2 ≤ ||unk − p||2 ≤ ||xnk − p||2 − ρnk (4 − ρnk ) p2 (xnk ) || p(xnk )||2 (2.9) Do lim ||unk − p|| có giới hạn lim ||xnk − p|| Từ Hệ 1.2 ta suy n→∞ n→∞ ||PC[nk ] (unk ) − unk ||2 ≤ ||unk − p||2 − ||PC[nk ] (unk ) − p||2 = ||unk − p||2 − ||xnk +1 − p||2 → 0, k → ∞ (2.10) Chú ý tập {1, 2, , t} tập hữu hạn, với i ∈ {1, 2, , t} ta chọn dãy {nkl } ⊆ {nk } sau cho [nkl ] = i Khi ta có PCi (unkl ) − unkl −→ 0, l → ∞ Vì tốn tử chiếu PCi khơng giãn nên từ tính nửa đóng tốn tử khơng giãn (Mệnh đề 1.14) ta biết x ∈ Ci , hay x ∈ ∩ti=1 Ci Vì x ∈ Ω Theo Mệnh đề 1.5 ta thấy dãy {xn } hội tụ yếu nghiệm Bài tốn (MSSFP) Vậy ta có điều phải chứng minh 21 2.2 Phương pháp lặp đồng thời giải Bài tốn (MSSFP) Tiếp theo chúng tơi xem xét dãy lặp liên tiếp với cỡ bước tự tương thích cho việc giải tốn (MSSFP) chứng minh hội tụ phương pháp Định lý 2.2 Giả sử tốn (MSSFP) có tập nghiệm Ω = ∅ Với x0 ∈ H1 bất kỳ, dãy lặp liên tiếp {xn } xác định sau: t ωi PCi (xn − λn p(xn )), n ≥ 0, xn+1 = (2.11) i=1 {ωi }ti=1 ⊆ [0, 1] cho t ωi = cỡ bước {λn } tương tự i=1 Định lý 2.1 Khi dãy lặp {xn } hội tụ yếu tới nghiệm Bài toán (MSSFP) Chứng minh Ta lấy p ∈ Ω Từ dãy lặp (2.11), tính khơng giãn tốn tử chiếu PCi Bổ đề 1.2 ta có t ||xn+1 − p|| = ωi PCi ((xn − λn p(xn )) − p i=1 ≤ xn − λn p(xn ) − p = ||xn − p||2 − 2λn p(xn ), xn − p + λn p(xn ) (2.12) Thế bất đẳng thức (2.3) vào (2.12) ta nhân ||xn+1 − p||2 ≤ ||xn − p||2 − 4λn p(xn ) + λn p(xn ) = ||xn − p||2 − ρn (4 − ρn ) p2 (xn ) || p(xn )||2 (2.13) Vì < ρn < nên từ (2.13) ta suy ||xn+1 − p||2 ≤ ||xn − p||2 (2.14) Từ ta suy dãy {xn } dãy đơn điệu Fejér lim ||xn − p|| tồn n→∞ Mặt khác, từ (2.13) ta có ρ(4 − ρ) p2 (xn ) ≤ ||xn − p||2 − ||xn+1 − p||2 || p(xn )||2 (2.15) 22 Từ suy ∞ n=0 p2 (xn ) < ∞ || p(xn )||2 (2.16) p liên tục Lipschitz dãy {xn } bị chặn, nên { p(xn )} bị chặn Vì Do từ (2.16) ta kết luận lim Axn − PQj (Axn ) = 0, với j = 1, 2, , r n→∞ (2.17) Vì dãy {xn } bị chặn nên tồn dãy {xnl } {xn } cho xnl hội tụ tới x˜ Tiếp theo ta chứng minh x˜ nghiệm toán (MSSFP) Thật vậy, từ (2.17) với j = 1, 2, , r ta có lim Axnl − PQj (Axnl ) = ||A˜ x − PQj (A˜ x)|| = n→∞ Do A˜ x ∈ ∩rj=1 Qj Ta chứng minh x˜ ∈ ∩ti=1 Ci Đặt un = xn − λn p(xn ) Khi dãy {unl } hội tụ yếu tới x˜ Thật vậy, ta có ||xnl +1 − p||2 ≤ ||unl − p||2 ≤ ||xnl − p||2 − ρnl (4 − ρnl ) p2 (xnl ) || p(xnl )||2 (2.18) Do lim ||unl − p|| có giới hạn lim ||xnl − p|| Từ Bổ đề 1.2(iii) ta n→∞ n→∞ suy t t || ωi ||PCi (unl ) − p||2 ωi PCi (unl ) − unl || ≤ ||unl − p|| − i=1 i=1 = ||unl − p||2 − ||xnl +1 − p||2 → 0, l → ∞ (2.19) Do với i ∈ {1, 2, , t} ta có PCi (ukl ) − ukl → 0, l → ∞ Do x˜ ∈ Ci , hay x˜ ∈ ∩ti=1 Ci Vì x ∈ Ω Theo Bổ đề 1.5 ta thấy dãy {xn } hội tụ yếu nghiệm tốn (MSSFP) Vậy ta có điều phải chứng minh 23 2.3 Phương pháp xoay vòng nới lỏng lặp liên tiếp nới lỏng để giải Bài tốn (MSSFP) Trong Mục 2.1 chúng tơi chứng minh dãy lặp xoay vòng (2.1) dãy lặp liên tiếp (2.11) với cỡ bước tự tương thích hội tụ yếu đến nghiệm toán (MSSFP) Trong mục xét trường hợp đặc biệt tốn (MSSFP), tập lồi, đóng {Ci }ti=1 {Qj }rj=1 tập mức hàm lồi Trước phát biểu kết chính, đề cập đến hai giả thiết sau: (A1) Tập Ci cho Ci := {x ∈ H1 |ci (x) ≤ 0}, ci : H1 −→ R, i = 1, 2, , t hàm lồi Tập Qj cho Qj := {y ∈ H2 |qj (y) ≤ 0}, qj : H2 −→ R, j = 1, 2, , r hàm lồi Giả sử ci , qj khả vi phân tương ứng H1 , H2 ∂ci , ∂qj toán tử bị chặn (A2) Với x ∈ H1 y ∈ H2 bất kỳ, đạo hàm ξi ∈ ∂ci (x) ηj ∈ ∂qj (y) tính được, ∂ci (x) ∂qj (y) vi phân x, y sau: ∂ci (x) := {ξi ∈ H1 |ci (z) ≥ ci (x) + ξi , z − x , với z ∈ H1 }, ∂qj (y) := {ηj ∈ H2 |qj (u) ≥ qj (y) + ηj , u − y , với u ∈ H2 } Ta định nghĩa nửa không gian Cin Qnj sau: Cin := {x ∈ H1 |ci (xn ) + ξin , x − xn ≤ 0}, 24 ξin ∈ ∂ci (xn ), i = 1, 2, , t Qnj := {y ∈ H2 |qj (Axn ) + ηjn , y − Axn ≤ 0}, ηjn ∈ ∂qj (Axn ), j = 1, 2, , r Từ định nghĩa đạo hàm, ta có Ci ⊆ Cin , Qj ⊆ Qnj phép chiếu trực giao lên nửa không gian Cin , Qnj tính trực tiếp Ta cần bổ đề đây: Bổ đề 2.1 ([3]) Giả sử f : Rn −→ R hàm lồi hữu hạn, khả vi phân khắp nơi vi phân bị chặn tập bị chặn Rn Đầu tiên biểu diễn sơ đồ chiếu xoay vòng nới lỏng với cỡ bước tự tương thích Vì phép chiếu lên nửa khơng gian Cin Qnj có dạng đóng nên sơ đồ lặp dễ dàng triển khai Chúng định nghĩa hàm pn (x) sau: pn (x) := r βj Ax − PQnj (Ax) , (2.20) j=1 βj > với ≤ j ≤ r Đạo hàm pn (x) là: r βj A∗ I − PQnj (Ax) ∇pn (x) := (2.21) j=1 Định lý 2.3 Giả sử tốn (MSSFP) có tập nghiệm Ω = ∅ điều kiện (A1), (A2) thoả mãn Với x0 ∈ H1 bất kỳ, dãy lặp xoay vòng nới lỏng {xn } xác định sau: n (xn − λn xn+1 = PC[n] pn (xn )), n ≥ 0, (2.22) [n] = (n mod t) + 1, hàm lấy giá trị tập {0, 1, , t − 1} cỡ bước {λn } chọn cho λn := ρn pn (xn ) , với < ρ ≤ ρn ≤ ρ < Khi dãy lặp || pn (xn )||2 {xn } hội tụ yếu tới nghiệm toán (MSSFP) 25 Chứng minh Cho p ∈ Ω, PCin khơng giãn với i ∈ {1, 2, , t} nên theo chứng minh Định lý 2.1 ta nhận bất đẳng thức sau: ||xn+1 − p||2 ||xn − p||2 − ρn (4 − ρn ) p2 (xn ) || p(xn )||2 (2.23) Vậy ta có {xn } dãy đơn điệu Fejér lim ||xn − p|| tồn Từ (2.23) n−→∞ < ρ ≤ ρn ≤ ρ < ta suy ∞ n=0 Vì p2 (xn ) < ∞ || p(xn )||2 (2.24) p liên tục Lipschitz dãy {xn } bị chặn, nên { p(xn )} bị chặn Do từ (2.24) ta kết luận pn (xn ) −→ 0, n −→ ∞ Do ∂qj bị chặn tập bị chặn nên tồn η cho ηjn ≤ η với j Chú ý PQnj Axn ∈ Qnj , nên ta nhận qj (Axn ) ηjn , Axn − PQnj Axn ≤ η Axn − PQnj Axn −→ 0, n −→ ∞ (2.25) Tiếp theo chứng minh ωw (xn ) ⊂ Ω Thật vậy, dãy {xn } bị chặn nên tồn dãy {xnk } ⊂ {xn } cho xnk x Do tính nửa liên tục yếu hàm lồi qj (2.25) ta thu qj (Ax) ≤ lim inf qj (Axnk ) ≤ k−→∞ Khi Ax ∈ Qj , j = 1, 2, , r, hay Ax ∈ ∩rj=1 Qj Tiếp theo ta Ax ∈ ∩ti=1 Ci Đặt unk = xnk − λnk p(xnk ) ta có unk − xnk = λnk pnk (xnk ) ≤ 4pnk (xnk ) −→ 0, k −→ ∞ pnk (xnk ) (2.26) Vì p ∈ Ci ⊂ Cin với i = 1, 2, , t bất kỳ, với Bổ đề 1.2 bất đẳng thức unk − p ≤ xnk − p , ta có ||xnk +1 − p||2 ≤ ||unk − p||2 − (I − PC nk )(unk ) [nk ] ≤ xnk − p − (I − PC nk )(unk ) [nk ] (2.27) 26 Ta suy (I − PC nk )(unk ) −→ 0, k −→ ∞ (2.28) [nk ] Vì tập {Ci }ti=1 hữu hạn nên với i = 1, 2, , t chọn dãy {nkl } ⊂ {nk } cho [nkl ] = i, ta nhận ci (xnkl ) ≤ ξ nkl , xnkl − PC nkl (unkl ) i ≤ ξ ||xnkl − unkl || + ||unkl − PC nkl (unkl || −→ 0, l −→ ∞, (2.29) i n ξ thoả mãn điều kiện ξj kl ≤ ξ Từ tính nửa liên tục yếu hàm lồi ci ta thu ci (x) ≤ lim inf ci (xnkl ) ≤ k−→∞ Từ ta có x ∈ Ci , i = 1, 2, , t Ta suy x ∈ Ω Chú ý với p ∈ Ω bất kỳ, ta có lim ||xn − p|| tồn ωw (xn ) ⊂ Ω Theo Bổ đề 1.5 ta thấy n−→∞ dãy {xn } hội tụ yếu tới nghiệm tốn (MSSFP) Do ta có điều phải chứng minh Tiếp theo, đề xuất dãy lặp liên tiếp nới lỏng với cỡ bước tự tương thích để giải tốn (MSSFP) thiết lập hội tụ Định lý 2.4 Giả sử tốn (MSSFP) có tập nghiệm Ω = ∅ điều kiện (A1), (A2) thoả mãn Với x0 ∈ H1 bất kỳ, dãy lặp liên tiếp nới lỏng {xn } xác định sau: n (xn − λn pn (xn )), n ≥ 0, xn+1 = PC[n] {ωi }ti=1 ⊆ [0, 1] cho (2.30) t ωi = cỡ bước {λn } tương tự i=1 Định lý 2.3 Khi dãy lặp {xn } hội tụ yếu tới nghiệm toán (MSSFP) Chứng minh Ý tưởng cho việc chứng minh Định lý 2.4 tương tự chứng minh Định lý 2.3 Thật vậy, cho p ∈ Ω, thay p(xn ) p(xn ) pn (xn ) pn (xn ) (2.12) Định lý 2.2 ta nhận bất đẳng thức sau: ||xn+1 − p||2 ||xn − p||2 − ρn (4 − ρn ) p2n (xn ) || pn (xn )||2 (2.31) 27 Vậy ta có {xn } dãy đơn điệu Fejér lim ||xn − p|| tồn Từ (2.31) n−→∞ < ρ ≤ ρn ≤ ρ < ta suy ∞ n=0 p2n (xn ) < ∞ || pn (xn )||2 (2.32) Do ∂qj bị chặn tập bị chặn nên với kỳ j = 1, 2, , r ta có qj (Axn ) ηjn , Axn − PQnj Axn ≤ ηj Axn − PQnj Axn −→ 0, n −→ ∞ (2.33) Vì dãy {xn } bị chặn nên tồn dãy {xnk } ⊂ {xn } cho xnk x Do tính nửa liên tục yếu hàm lồi qj (2.33) ta thu qj (Ax) ≤ lim inf qj (Axnk ) ≤ k−→∞ Khi Ax ∈ Qj , j = 1, 2, , r, hay Ax ∈ ∩rj=1 Qj Đặt unk = xnk − λnk pnk (xnk ) ta có unk − xnk = λnk 4pnk (xnk ) −→ 0, k −→ ∞ pnk (xnk ) pnk (xnk ) ≤ (2.34) Do unk − p ≤ xnk − p Theo Bổ đề 1.2 ta có t t ωi P n Ci k 2 ωi ||PC nk (unk ) − p||2 (unk ) − unk || ≤ ||unk − p|| − i=1 i i=1 = ||xnk − p||2 − ||xnk +1 − p||2 −→ 0, k −→ ∞ (2.35) Do với i ∈ {1, 2, , t} ta có (I − PC nk )(unk ) −→ 0, k −→ ∞ i (2.36) Chú ý vi phân ∂ci bị chặn tập bị chặn, theo (2.34) (2.36) ta biết ci (xnk ) ≤ ξ nk , xnk − PC nk (unk ) i 28 ≤ ξink ||xnk − unk || + ||unk − PC nk (unk || −→ 0, k −→ ∞, i (2.37) Từ tính nửa liên tục yếu hàm lồi ci ta thu ci (x) ≤ lim inf ci (xnk ) ≤ k−→∞ Suy x ∈ Ci , i = 1, 2, , t Do ta áp dụng Bổ đề 1.5 cho K := Ω ta nhận dãy lặp {xn } hội tụ yếu tới nghiệm toán (MSSFP) Do ta có điều phải chứng minh 29 Kết luận Luận văn trình bày lại cách chi tiết hệ thống vấn đề sau: • Một số tính chất đặc trưng khơng gian Hilbert, ánh xạ khơng giãn nửa nhóm ánh xạ khơng giãn khơng gian Hilbert; • Các kết Wen cộng tài liệu [7] phương pháp lặp xoay vòng phương pháp lặp đồng thời giải toán chấp nhận tách đa tập không gian Hilbert 30 Tài liệu tham khảo [1] Agarwal R P., O’Regan D., Sahu D R (2009), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer [2] Bauschke H.H., Combettes P.L (2010), Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert spaces, Springer [3] Bertsekas, D.P., Nedié, A., Ozdaglar, A.E (2003), Convex Analysis and Optimization , Athena Scientific, Belmont [4] Byrne C (2002), “Iterative oblique projection onto convex sets and the split feasibility problem”, Inverse Problems, 18(2), pp 441-453 [5] Byrne C (2004), “A unified treatment of some iterative algorithms in signal processing and image reconstruction”, Inverse Problems, 18, pp 103-120 [6] Censor Y., Elfving T (1994), “A multi projection algorithm using Bregman projections in a product space”, Numer Algorithms, 8(2-4), pp 221-239 [7] Wen M., Peng J., Tang Y (2015), “A cyclic and simultaneous iterative method for solving the multiple-sets split feasibility problem”, J Optim Theory Appl, 166, pp 844–860 [8] Xu H.K (2006), “A variable Krasnosel’skii-Mann algorithm and the multipleset split feasibility problem”, Inverse Problems, 22, pp 2021–2034 [9] Xu H.K (2010), “Iterative methods for the split feasibility problem in infinite dimensional Hilbert spaces”, Inverse Problems, 26, 105018 ... Phương pháp CQ giải toán chấp nhận tách 14 Chương Phương pháp lặp xoay vòng lặp liên tiếp giải toán (MSSFP) 18 2.1 Phương pháp lặp xoay vịng giải Bài tốn (MSSFP) 18 2.2 Phương. .. 18 Chương Phương pháp lặp xoay vòng lặp liên tiếp giải toán (MSSFP) Chương luận văn trình bày hai phương pháp lặp xoay vịng phương pháp lặp liên tiếp giải toán chấp nhận tách đa tập không gian... 2.1 Phương pháp lặp xoay vòng giải Bài tốn (MSSFP) Trong mục chúng tơi trình bày lại phương pháp lặp xoay vòng với cỡ bước tự tương thích cho việc giải Bài tốn (MSSFP) chứng minh hội tụ phương pháp