Đang tải... (xem toàn văn)
Gọi Thời gian vòi nớc chảy vào từ lúc bể cạn đến mực nớc nơi vòi chảy ra là x x>0 ; ®v thêi gian.. thÓ tÝch bÓ..[r]
(1)Phßng GD- §T huyÖn TÜnh Gia §Ò thi häc sinh giái cÊp huyÖn N¨m häc 2007-2008 M«n : To¸n häc – Líp ( Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề ) C©u I(2 ®iÓm) : 5 2 TÝnh nhanh: A = 15 11 15 20072007 200720072007 So s¸nh ph©n sè : 20082008 vµ 200820082008 71.52 53 3- Rót gän ph©n sè A= 530.71 180 mµ kh«ng cÇn thùc hiÖn phÐp tÝnh ë tö C©u II( ®iÓm) 1-T×m x ,y Z x4 y 3 a- : víi x – y =5 b- (x + ) ( 3y – ) = -55 3n Cho A= n Tìm nZ để A có giá trị nguyên C©u III( 3,0 ®iÓm) Trªn cïng nöa mÆt ph¼ng cho tríc cã bê Ox vÏ hai tia Oy vµ Oz cho sè ®o xOy=700 vµ sè ®o yOz = 300 a Xác định số đo xOz b Trªn tia Ox lÊy ®iÓm A vµ B (®iÓm A kh«ng trïng víi ®iÓm O vµ độ dài OB lớn độ dài OA ) Gọi M là trung điểm OA Hãy so sánh độ dài MB với trung bình cộng độ dài OB và AB C©u IV ( 2,0 ®iÓm ) T×m sè tù nhiªn a vµ b biÕt tæng BCNN víi CLN cña chóng lµ 15 Hớng dẫn chấm đề thi HSG lớp năm học 2007 –2008 C©u Néi dung yªu cÇu §iÓm 5 2 1-I TÝnh nhanh A= 15 11 15 0.5® 5 4 2 0,25 11 15 15 = 2 1 =-1 + 11 Lop7.net 0,25 (2) 2-I 0.5® 2 A= 11 20072007 200720072007 So s¸nh ph©n sè 20082008 vµ 200820082008 20072007 2007 10001 2007 Ta cã P/S : 20082008 = 2008 10001 2008 200720072007 2007 100010001 2007 P/s : 200820082008 = 2008 100010001 2008 0,25 71.52 53 Rút gọn A= 530.71 180 không biến đổi tử số 71.52 53 = 10.(53.71 18) 0,25 0,25 VËy ph©n sè trªn b»ng 3-I 1.0® 71.52 53 = 10.[(52 1).71 18] 71.52 53 = 10.[71.52 71 18] 71.52 53 = 10.[71.52 53] = 10 1-II a-1-II 0,75® b-1-II 1,5® T×m x §iÒu kiÖn y 3 ta cã : 3x –12 = 4y-12 3x=4y Tõ x-y=5 x=5+y Ta cã : 3y+15 = 4y y=15 x=5+15 = 20 VËy x=20 ; y=15 (x + ) ( 3y – ) = -55 (x + ) ( 3y – ) = (-11).5 =(-5).(11) *NÕu : (x + ) ( 3y – ) = (-11).5 x 12 x 11 3 y y Ta cã x x HoÆc 3 y 11 y 3 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (Lo¹i) 0,25 0,25 * NÕu : (x + ) ( 3y – ) = (-5)(11) x 6 x 5 13 3 y 11 y Ta cã : 0,25 0,25 (Lo¹i ) Lop7.net 0,25 (3) VËy 2-II 1.0 ® x 11 x 10 y y 1 HoÆc (x=4 , y=-3) hoÆc ( x=-6 , y=-1) 3n Tìm nZ để A= n có giá trị nguyên 0,25 3n 17 A= n = + n 17 17 0,5 để A có giá trị nguyên n có giá trị nguyên Vậy để n có giá trị nguyªn th× n+4 ph¶i lµ íc cña –17 Ta cã c¸c íc cña –17 lµ U-17= 1;1;17;17 LËp b¶ng x+4 -1 -17 17 0,25 n -5 -3 -21 13 VËy víi n = -5 a-III 1.0® ; n=-3 ; n=-21 ; n=13 th× A cã gi¸ trÞ nguyªn - Trêng hîp h×nh ( A) Oz n»m gi÷a tia Ox vµ Oy ta cã : Sè ®o gãc xOz = 700-300 = 400 - Trêng hîp h×nh (B) Oz kh«ng n»m gi÷a tia Ox vµ Oy ta cã Sè ®o gãc xOy = 700+300 = 1000 VÏ đúng đợc trêng hîp cho 0,25 ® 0,25 0,25 b-III Lop7.net (4) 2.0® - BO AB BO BA 2 - Ta cã trung b×nh céng s® cña BO vµ BA lµ BO BA BA AO BA AO BA 2 2 - Ta l¹i cã BO=BA+AO nªn (I) mµ M lµ trung ®iÓm cña OA nªn MÆt kh¸c ta cã BM = BA + AM AO BA BM = 0,25 (II) 0,25 BO BA - Tõ (I) vµ (II) suy BM = Hay sè ®o BM b»ng trung b×nh 0,5 céng sè ®o cña BO vµ BA 0,5 0,5 IV 2.0® T×m sè t nhiªn a, b biÕt tæng BCNN vµ UCLN cña chóng b»ng 15 - Gọi UCLN (a,b)=d suy a=d.m và b=d.n đó (m,n)=1 0,25 ta cã a.b = d.m.d.n -Mặt khác ta có tích số tích BCNN với UCLN số đó 0,25 nªn 0,25 a.b d m.n [a,b] = (a, b) d =d.m.n -Ta cã BCNN -VËy BCNN[a,b] + UCLN(a,b) = d.m.n+d=d.(m.n+1) = 15 Giả sử ab đó m n và m.n+12 LËp b¶ng d m.n+1 m.n m n a b 15 14 14 14 Lop7.net 0,25 0,25 0,5 0,25 (5) 7 4 12 2 10 Vậy ta tìm đợc các số sau: (a=1 ; b=14) ; (a=2 ,b=7) ; (a=3 ; b=12 ) vµ (a=5 , b=10) Phßng GD- §T huyÖn TÜnh Gia §Ò thi häc sinh giái cÊp huyÖn N¨m häc 2007-2008 M«n : To¸n häc – Líp ( Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề ) C©u 1(2 ®iÓm ): So s¸nh A vµ B biÕt : A=[0,8 7+(0,8)2] (1,25 - 1,25 ) – 47,86 Lop7.net (6) 1,09 0,29 18,9 16,65 B= C©u II( 2,5 ®iÓm ) 1) T×m n N biÕt 32 2) T×m x biÕt: C©u III: (1,5®) a) b) 2n >4 45 x 40 x 35 x 30 x 40 1963 1968 1973 1978 20 20 20 20 53.55 11 x- 11.13 13.15 15.17 2x 3y 4z T×m x , y z biÕt vµ x+y+z = 49 C©u IV (2 ®) Cho tam gi¸c ABC cã A= 600 ; BM , CN ( M thuéc AC vµ N thuéc AB ) lÇn lît lµ ph©n gi¸c cña gãc ABC vµ gãc ACB BM vµ CN c¾t t¹i I ) TÝnh BIN ) Chøng minh INM = IMN C©u V ( ®iÓm ) T×m sè tù nhiªn nhá nhÊt cã ch÷ sè mµ chia cho 11 d vµ chia 13 d HÕt ( Gi¸m thÞ coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm ) C©u I Hớng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi lớp n¨m häc 2007 – 2008 Néi dung yªu cÇu A= 0,8.0,25 (49- 0,64) = 48,36 – 47,86 = 0,5 5 1 2,25 9 B= = 0,5 0,8 1-II §iÓm 1® 0,75® 0,25® VËy A=B 25 2n > 22 Nªn n > Mµ n N nªn n = 3;4;5 Lop7.net 0,25 0,25 (7) a-2-II b-2-II T×m x 45 x 40 x 35 x 30 x 1 1 1 1 1963 1968 1973 1978 =0 2008 x 2008 x 2008 x 2008 x 0 1963 1968 1973 1978 2008 x . 1963 1968 1973 1978 2008 – x = x = 2008 T×m x 2 x 10 53.55 11 11.13 13.15 1 1 1 1 x 10 51 53 53 55 11 11 13 13 15 1 x 10 11 55 11 x 1 III 2x 3y 4z x y z 5 Ta cã: 0,25® 0,25 0,25® 0,25® 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 Theo d·y tû sè b»ng ta cã: x yz 49 x y z 12 5 49 = 12 18 x=12 y=12 =16 15 z=12 VËy x=18 ; y=16 vµ z = 15 IV -XÐt tam gi¸c IBC cã NIB = IBC + ICB ( t/c ngoµi ) - XÐt Tam gi¸c ABC ABC+ ACB = 1800-600 =1200(v× BAC=600) -1 MÆt kh¸c BM vµ CN lµ ph©n gi¸c nªn Lop7.net 0,5 0,25 0,25 (8) IBC=1/2 ABC a-IV vµ ICB=1/2 ACB 180 60 IBC + ICB = = 60 -2 VËy NIB = 600 - KÎ ph©n gi¸c IH cña gãc BIC - CM đợc Tam giác INB = Tam Giác IHB (g.c.g) IH=IN - CM đợc Tam giác INB = Tam Giác IHB (g.c.g) IH=IM - Tõ (1) vµ(2) Tg IMN c©n vËy INM = IMN 0,25 0,25 (1) (2) 0,25 0,25 b-IV 0,5 0,25 0,25 V -3 Giả sử số cần tìm là a đó theo bài ta có: + a + 11 (a+6)+77 11 a+83 11 (1) + a + 13 (a+5) + 78 13 a+83 13 (2) Tõ (1) vµ (2) suy a+ 83 BCNN (11, 13 ) mµ BCNN ( 11,13) = 143 Ta cã : a+ 83 143 a= 143.k – 83 ( k N*) §Ó a nhá nhÊt th× 143.k nhá nhÊt hay k nhá nhÊt NÕu k=1 th× a= 60 lµ sè cã ch÷ sè ( Lo¹i ) NÕu k=2 th× a = 203 Vậy số 203 là số nhỏ thỏa mãn đầu bài đã cho Phßng GD- §T huyÖn TÜnh Gia 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 §Ò thi häc sinh giái cÊp huyÖn N¨m häc 2007-2008 M«n : To¸n häc – Líp ( Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề ) C©u I (2 ®iÓm ) : 1) TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc : A= x5- 5x4+5x3-5x2+5x –1 víi x=4 5x 2) Tìm điều kiện để phân thức : B= x x 12 có nghĩa 2 C©u II ( ®iÓm ) Lop7.net (9) x2 x a x a 1 x2 x cã Víi gi¸ trÞ nµo cña a ph¬ng tr×nh mét nghiÖm nhÊt x x 10 2 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña B = x x 3 Ngời ta đặt vòi nớc chảy vào bể nớc và vòi chảy lng chừng bÓ Khi bÓ c¹n , nÕu më c¶ vßi th× sau giê 42 phót bÓ ®Çy níc Cßn đóng vòi chảy , mở vòi chảy vào thì sau 30 phút bể đầy nớc BiÕt vßi ch¶y vµo m¹nh gÊp lÇn vßi ch¶y Tính thời gian nớc chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nớc ngang chỗ đặt vßi ch¶y ra? Câu III (2 điểm ): Cho tam giác vuông ABC ( Aˆ 90 ) Một đờng thẳng song song víi BC lÇn lît c¾t AB vµ AC t¹i D vµ E a- Chøng minh CB2 – CD2 = EB2 – ED2 b- Hãy xác định điểm D thoả mãn DC2=BC.DE ab bc ca a b b c ca <1 C©u IV :( ®iÓm ) cho a,b,c > Chøng minh r»ng HÕt thªm) (Gi¸m thÞ coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× Hớng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi lớp N¨m häc 2007 – 2008 C©u a-I b-I Nội dung cần đạt Thay x=4 vµo biÓu thøc A ta cã A= 45- 5.44 +5.43- 5.42 + 5.4 –1 = 45 – (4+1).44 +(4+1).43 -(4+1).42 + (4+1).4 –1 = 45- 45 – 44+ 44 + 43 – 43 – 42 + 42 +4 – A=3 5x B= x x 12 cã nghÜa Tìm điều kiện để phân thức §Ó B cã nghÜa x2- 7x + 12 x2 – 4x – 3x + 12 Lop7.net §iÓm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (10) x(x-4) –3(x-4) (x-4).(x-3) x 4 ; x Vậy điều kiện để B có nghĩa là x 3 và x 1-II x2 xa x a 1 x2 x 1 Điều kiện để PT nÕu cã nghiÖm lµ x-1 ; ta viÕt PT díi d¹ng x-a2x+a = (1-a2).x = 1- a x a2x a x2 2 x 1 x 1 1 - NÕu a -1: th× x= a lµ nghiÖm nÕu a ; -1 hay a0 vµ a -2 - NÕu a=1 th× 0x = ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm kh¸c –1 vµ - NÕu a=-1 th× 0x=2 PT v« nghiÖm Vậy để phơng trình có nghiệm thì a1 , a-1 , a0 và a -2 2-II 0,25 0,1 0,2 0,1 0,2 0,2 0,2 x x 10 * T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña B= x x 0,2 3( x x 3) x 2x B= B= + x x B= + ( x 1) 0,2 0,2 ( x 1) (I) có giá trị lớn Mà để §Ó B cã gi¸ trÞ lín nhÊt (I) cã gi¸ trÞ lín nhÊt (x+1)2+ bÐ nhÊt (x+1)2 = hay x=-1 VËy Max B = x= -1 (II) cã gi¸ trÞ bÐ nhÊt (II) cã gi¸ trÞ 0,2 0,2 Lop7.net (11) 3-II - Gọi thể tích bể nớc quy ớc là ( đơn vị thể tích ) Gọi Thời gian vòi nớc chảy vào từ lúc bể cạn đến mực nớc nơi vòi chảy là x ( x>0 ; ®v thêi gian) Theo bµi ta cã: - Trong vòi chảy vào đợc là 1,5 (thể tích bể) :2 ( thÓ tÝch bÓ) - Trong vòi chảy chảy đơc 0,1 0,1 - Vậy mở đồng thời vòi chảy vào và vòi chảy thì lợng nớc bể 1 thêi gian ch¶y giê lµ : 3 (thÓ tÝch bÓ) x - Trong x giê ®Çu , chØ cã vßi ch¶y vµo nªn lîng níc bÓ lµ (I) -Thêi gian c¶ vßi ch¶y vµo vµ sÏ lµ (2h42’ – x) hay 2,7h – x - Lîng níc kho¶ng thêi gian (2,7h –x) ë bÓ c¶ vßi ch¶y (2,7 x) , ch¶y vµo lµ : 0,1 0,1 0,1 (II) x (2,7 x) - Tõ (I) vµ (II) ta cã ph¬ng tr×nh : + =1 - Gi¶i ph¬ng tr×nh x=0,3 - Trả lời : để vòi chảy vào từ bể cạn đến mực nớc đầy đến nơi đặt vòi ch¶y lµ 0,3 h III a) *-XÐt ADC cã DC2 = AC2+AD2 (Pitago) -XÐt ABC cã BC2=AC2+AB2 ( Pitago) - VËy BC2- CD2 = AC2+AB2 – AC2-AD2 = AB2-AD2 ( I) *- XÐt ADE cã ED2 = EA2+AD2 - XÐt ABE cã BE2= EA2+AB2 - EB2-ED2 = EA2 +AB2 – EA2 – AD2 = AB2-AD2 (II) Tõ (I) vµ (II) suy CB2 – CD2 = EB2 – ED2 ( ®pcm) b) Phân tích : Giả sử Ta xác định đợc điểm D thoả mãn DC2=BC.DE Lop7.net 0,1 (12) đó ta có : a-III 1.0® b-III 0,25 DC DE BC DC (I) DCB MÆt kh¸c ta cã EDC= DCB (so le ) (II) Từ I và II ta suy đợc tam giác EDC phải đồng dạng với tam giác Từ đó suy đợc Góc ACD = Góc ABC Vậy để xác định điểm D thoả mãn DC2=BC.DE Qua điểm C vẽ gãc ACx vÒ phÝa nöa mf chøa ®iÓm B cho gãc ACx b»ng gãc B Tia Cx cắt AB đâu thì đó là điểm D C¸ch dùng : -0 Dùng gãc ACy= Gãc B C¾t AB t¹i D Chøng minh -1 KÎ DE //BC ta cã DC DE cã BC DC CD2=BC.DE 2.0® -2 CED §ång d¹ng víi BDC BiÖn luËn : - Bµi to¸n cã nhÊt mét ®iÓm D 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 IV x Ta biÕt nÕu x <1 -1< x < x ab abc Ta cã chøng tá a b a b c ab abc (a b)(a b c) (a b)(a b c) bc bc ThËt vËy a b a b c lu«n 0,25 0,25 đúng VËy T¬ng tù ab abc a b a b c ( 1) bc bca b c b c a (2) Lop7.net 0,25 0,25 0,25 (13) ca cab c a c a b (3) 0,25 Cộng vế với vế bất đẳng thức (1) ,(2),(3) ta đợc a b bc ca a b c a b b c c a < a b c =1 ba cb ac T¬ng tù ta còng cã a b b c c a <1 ab bc ca Suy đợc a b b c c a < Lop7.net 0,25 0,25 ( ®.p.c.m) (14)