Đang tải... (xem toàn văn)
Giá trị của một biểu thức đại số: Tính giá trị của biểu thức đại số tại những giá trị cho trước của biến, ta thay các giỏ trị cho trước vào biểu thức rồi thực hiện phép tính.. §¬n thøc [r]
(1)Bồi dưỡng đại trà học kì A CHươNG III thống kê Thu thËp sè liªu thèng kª, tÇn sè: C¸c sè liÖu thu thËp ®îc ®iÒu tra vÒ mét dÊu hiÖu gäi lµ sè liÖu thèng kª Mçi sè liÖu lµ mét gi¸ trÞ cña dÊu hiÖu Số tất các giá trị (không thiết khác nhau) dấu hiệu số các đơn vị điều tra Số lần xuất giá trị dẫy giá trị dấu hiệu là tần số giá trị đó B¶ng tÇn sè c¸c gi¸ trÞ cña dÊu hiÖu: DÊu hiÖu (x) TÇn sè (n) x1 n1 x n DÊu hiÖu (x) x1 x2 xk xk nk N TÇn sè (n) n1 n2 nk N Biểu đồ: Có thể biểu diễn số liệu biểu đồ Sè trung b×nh céng cña dÊu hiÖu: KÝ hiÖu X x n x n xk nk TÝnh b»ng c«ng thøc: X 1 2 N Trong đó: x , x 2, x k là các gia tri khac cua dấu hiệu n , n 2, n k là các tần số tương ứng N lµ sè c¸c gi¸ trÞ TÝnh b»ng c¸ch lËp b¶ng: DÊu hiÖu (x) TÇn sè (n) C¸c tÝch (x.n) x1 n1 x1 n1 x2 n2 x2 n2 xk nk xk nk X x1n1 x2 n2 xk nk N N = n + n + + n k ý nghĩa: Số trung bình cộng thường dùng làm “đại diện” cho dấu hiệu Lop7.net (2) Mèt cña dÊu hiÖu: Gi¸ tri cã tÇn sè lín nhÊt b¶ng “tÇn sè” KÝ hiÖu: M B CHươNG IV BIểU THứC đạI Số Biểu thức đại số: Biểu thức mà đó ngoài các số, kí hiệu phép tính cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa, còn có các chữ đại diện cho số(gọi là biến số) là biểu thức đại số Giá trị biểu thức đại số: Tính giá trị biểu thức đại số giá trị cho trước biến, ta thay các giỏ trị cho trước vào biểu thức thực phép tính §¬n thøc Đơn thức là biểu thức đại số gồm số biến tích các số và các biến Số là đơn thức không Bậc đơn thức co hệ số khác là tổng số mũ tât các biến có đơn thức đó Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác và có cùng phần biến Cộng trừ các đơn thức đồng dạng ta công trừ các hệ số với và giữ nguyªn phÇn biÕn Nh©n hai ®a thøc ta nh©n c¸c hÖ sè víi vµ nh©n c¸c phÇn biÕn víi vµ dïng lòy thõa ghi bËc cña mçi biÕn §a thøc Đa thức là tổng đơn thức BËc cña ®a thøc lµ bËc cao nhÊt cña h¹ng tö d¹ng thu gän cña ®a thøc §a thøc kh«ng lµ ®a thøc kh«ng cã bËc Đa thức biến là tổng đơn thức cùng biến Mỗi số coi lµ mét ®a thøc mét biÕn Ta có thể cộng, trừ các biểu thức số và tương tự ta có thể thực phép to¸n céng trõ ®a thøc NÕu t¹i x = a mµ ®a thøc P(x) = ta nãi a (hoÆc x = a) lµ nghiÖm cña ®a thøc đó II bµi tËp Bµi 1: Mét thÇy gi¸o theo dâi thêi gian lµm mét bµi tËp (Thêi gian tÝnh theo phót) cña 30 häc sinh (ai còng lµm ®îc) vµ ghi l¹i nh sau 10 8 9 10 10 8 14 9 10 10 10 5 14 a.DÊu hiÖu ë ®©y lµ g×? b LËp b¶ng “tÇn sè” vµ nhËn xÐt §¸p ¸n a, DÊu hiÖu: thêi gian lµm bµi tËp cña mçi häc sinh b, B¶ng tÇn sè Gi¸ trÞ (x) TÇn sè (n) Lop7.net 10 14 N=30 (3) NhËn xÐt: Thêi gian lµm bµi Ýt nhÊt lµ phót Thêi gian lµm bµi nhiÒu nhÊt lµ 14 phót Số đông các bạn hoàn thành bài tập khoảng từ đến 10 phút Bµi Mét gi¸o viªn theo dâi thêi gian lµm bµi tËp ( tÝnh theo phót ) cña 30 häc sinh vµ ghi l¹i nh sau: 10 8 10 9 9 10 10 14 14 a)LËp b¶ng tÇn sè: b)TÝnh sè trung b×nh céng vµ t×m mèt cña dÊu hiÖu §¸p ¸n a) L©p b»ng b¶ng tÇn sè: b) X 8,6 phót Mo = vµ Mo = PhÇn ®a thøc Bµi 1: Cho ®a thøc M(x) = + –x2 –x3 +2x2-x4+1-3x3 a s¾p xÕp c¸c h¹ng tö cña ®a thøc trªn theo lü thõa gi¶m cña biÕn b TÝnh M(-1) vµ M(1) c Chøng tá ®a thøc trªn kh«ng cã nghiÖm §¸p ¸n a M(x) = x + x +1 b M(1) = 14 + 12+1 =3 M(-1) = (-1)4+(-1)2 +1=3 c Ta cã x víi mäi x x2 víi mäi x nªn x4 + x2 + 1> víi mäi x vËy ®a thøc x4 + x2 + kh«ng cã nghiÖm 4x3 2x4 Bµi Cho P(x) = x x 3x 3x x x a, Thu gän vµ s¾p xÕp ®a thøc P(x) theo lòy thõa gi¶m P(x) = x x 3x 3x x x = (4 x 3x x ) 3x x x = 3x x x b, Cho Q(x) = x x TÝnh P(x) + Q(x) P(x)+Q(x)=( 3x x x )+( x x ) = 3x x x + x x = 3x x x Bµi 3: T×m nghiÖm cua ®a thøc N(x) = 7x – §¸p ¸n NÕu x lµ nghiÖm cña N(x)= 7x – th× N(x) = Hay 7x – = Lop7.net 8 14 (4) 7x = x= Bµi a, Tính tích hai đơn thức sau: - 0,5x2yz và -3xy3z Tìm hệ số và bậc tích tìm b, Cho A = x2- 2x - y2 + 3y - B = -2x2 + 3y2 - 5x + y + TÝnh A + B, A - B? §¸p ¸n a (-0,5x2yz).(-3xy3z) = 1,5x3y4z2 HÖ sè 1,5 BËc 2 2 b , A + B = (x -2x - y +3y -1) + (-2x + 3y -5x + y +3) = x2 -2x - y2 +3y -1 -2x2 +3y2 -5x +y + = -x2 -7x +2y2 +4y +2 A - B = (x2-2x -y2 +3y - 1) - (-2x2 + 3y2 -5x +y +3) = x2 - 2x - y2 +3y - + 2x2 - 3y2 + 5x - y - = 3x2 +3x - 4y2 +2y - Bµi 5: Cho ®a thøc: P(x) = 5x3 + 2x4 - x2 + 3x2 - x3 - x4 + - 4x3 a, Thu gän vµ s¾p xÕp c¸c h¹ng tö cña ®a thøc trªn theo thø tù gi¶m dÇn cña c¸c biÕn? b, TÝnh P(1) vµ P(-1)? c, Chøng tá r»ng ®a thøc trªn kh«ng cã nghiÖm? §¸p ¸n 2 a, p(x) = 5x + 2x - x + 3x - x - x + - 4x3 = x4 + 2x2 + b, p (1)= 14 + 2.12 + 1= p(-1)= (-1)4 + 2.(-1)2 + = c, x4 x 2x2 x nªn p(x) = x4 + 2x2 + x Bµi 6: T×m x: a x = b x = x c x 12 d x = -5 §¸p ¸n a x5 = x + = 7 x x + = -7 x 12 b x = x x Lop7.net (5) c x 12 x 12 x 3 x+1=3 x=2 x +1 = -3 x 4 d x = -5 Do x mµ -5 < V« lý Vậy không tìm giá trị x thoả mãn đề bài Bµi Cho ®a thøc P x = x + 2mx + m vµ Q x = x + (2m+1)x + m T×m m biÕt P (1) = Q (-1) §¸p ¸n P(1) = 12 + 2m.1 + m2 = m2 + 2m + Q(-1) = – 2m – +m2 = m2 – 2m §Ó P(1) = Q(-1) th× m2 + 2m + = m2 – 2m 4m = -1 m = -1/4 Bµi T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt hoÆc lín nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau : A = x +5 C= x 15 x2 B= x 2 D= x2 y2 x2 y2 §¸p ¸n A = x +5 Ta cã : x DÊu = x¶y x= -1 A Lop7.net (6) DÊu = x¶y x= -1 VËy: Min A = x= -1 x 2 B= Ta cã x DÊu = x¶y x = x + ( vế dương ) 1 x 2 2 DÊu = x¶y x= VËy Max B = x=0 x 15 x 12 12 = =1+ 2 x 3 x 3 x 3 C= Ta cã: x DÊu = x¶y x = x + ( vế dương ) 12 12 12 12 1+ 1+ x 3 x 3 x 3 C DÊu = x¶y x = VËy : Max C = x = x y2 D=1+ Mµ x + y 2 +3 2 D 1+ x y 3 3 Min D = D 5 x= y = Bµi Cho sè a, b, c kh¸c vµ kh¸c ( b+c, a+c, a+b ) Tho¶ m·n ®iÒu kiÖn : a b c bc ac ab TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc P = bc ac ab a b c §¸p ¸n Lop7.net (7) abc a b c abc = = 2a b c bc ac ab bcacab Ta cã : TH1 a +b + c abc = 2a b c a b c = bc ac ab bc ac ab = = =2 a b c VËy P = bc ac ab + + =6 a b c TH2 a + b + c =0 *b+c=-a ; a+c=-b ; a + b = -c a b c 1 (1) (1) 3 VËy P = a b c Bµi 10: Cho hai ®a thøc f(x) = 5x – ; g(x) = 3x + a) T×m nghiÖm cña f(x) , g(x) b) T×m nghiÖm cña ®a thøc A(x) = f(x) – g(x) Ta cã víi gi¸ trÞ nµo cña x th× f(x) = g(x) §¸p ¸n a) f(x) cã nghiÖm lµ x g(x) cã nghiÖm lµ x b) A(x) cã nghiÖm lµ x = Khi x = th× f(x) = g(x) Bµi 11: Cho hai ®a thøc: M = 3,5x2y - 2xy2 + 2xy + 3xy2 + 1,5x2y a) Thu gän c¸c ®a thøc M vµ N: b) TÝnh M + N ; M - N §¸p ¸n a) M = 5x2y + xy2 + 2xy N = 2x2y - 3xy2 + 2xy b) M + N = 7x2y - 2xy2 + 4xy M - N = 3x2y +4xy2 Lop7.net ; N = 2x2y +3,2xy +xy2 -4xy2 - 1,2xy (8) PhÇn h×nh häc Bµi 1: Cho tam gi¸c ABC biÕt A 3B 6C a, T×m sè ®o c¸c gãc A, B, C Theo định lí tổng góc tam giác ta có Aˆ Bˆ Cˆ 180 Ta l¹i cã A 3B A 3B 3B 6C B 2C 3Bˆ Bˆ Cˆ 180 Bˆ Cˆ 180 4.2Cˆ Cˆ 180 8Cˆ Cˆ 180 9Cˆ 180 Cˆ 20 Aˆ 120 ; Bˆ 40 b, VÏ ®êng cao AD Chøng minh r»ng: AD < BC < CD Theo cmt th× tam gi¸c vu«ng ABD cã Bˆ 40 BAˆ D 50 AD < BD (tính chất cạnh và góc đối diện) (1) Trong tam gi¸c ABC, ta l¹i cã: Cˆ 20 ; Bˆ 40 AB < AC BD < CD (tÝnh chÊt h×nh chiÕu vµ ®êng xiªn) (2) Tõ (1) vµ (2) AD < BD < CD Bài Cho ABC cân A Lấy điểm M trên tia đối tia BC và diểm N trên tia đối cña tia CB cho BM=CN a Chøng minh: Gãc ABM = gãc CAN ^ b Chøng minh: AMN c©n c So sánh độ dài các đoạn thẳng AM;AC d Trên tia đối tia MA lấy điểm I cho MI = AM Chứng minh MB = BC = CN th× tia AB ®i qua trung ®iÓm ®o¹n th¼ng IN §¸p ¸n vÏ h×nh ghi gi¶ thiÕt kÕt luËn ^ a Gãc ABM = 1800- B1 Gãc ACN = 1800 – Ĉ1 ^ Mµ B1 = Ĉ1 ( gt) gãc ABM = gãc CAN b Chứng minh ABM = ACN (c.g.c) AM = AN (2 cạnh tương ứng) VËy AMN c©n t¹i A c, Chøng minh gãc ACN lµ gãc tï CAN cã gãc CAN lµ gãc tï nªn AN lµ c¹nh lín nhÊt Do đó AN > AC Mµ AN = AM (chøng minh trªn) Nªn AM > AC d, Ta cã AM = MI nªn NM lµ ®êng trung tuyÕn cña NAI Lop7.net (9) Mµ CN = CB = BM (gt) BN = NM B lµ träng t©m NAI Do đó AB là đường trung tuyến NAI vËy tia AB ®I qua trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng IN Bµi Cho tam gi¸c ABC §êng trung trùc cña c¹nh AB c¾t tia BC t¹i D Trªn tia AD lÊy AE = BC a) Chøng minh ABC = BAE b) Chøng minh AB // CE a, CEB ADC vµ EBH ACD Tam giác DBE là tam giác cân và có đương cao BH vẽ từ đỉnh B là đường trung tuyến vẽ từ đỉnh Suy BH lµ ®êng ph©n gi¸c cña gãc B cña DBE , tøc lµ B̂ Bˆ có D̂1 D̂ vì đối đỉnh Mµ D DEB vì DBE c©n Suy ra: D1 DEB ; tøc lµ ADC CEB Ta cã: C1 D B D2 90 V× D1 D nªn suy : C1 B Từ đó: C1 C B B C1 B ACD EBH b, BE BC Ta cã: EBC B1 B B B1 C1 C 90 VËy BE BC Lop7.net (10) Bµi Cho tam gi¸c vu«ng ABC ( gãc A = 90o ), tia ph©n gi¸c cña gãc B c¾t AC ë E, tõ E kÎ EH vu«ng gãc BC (H thuéc BC) chøng minh r»ng: a, ABE b»ng HBE b, BE lµ ®êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng AH c, EC > AE §¸p ¸n VÏ h×nh: B H k A C E a, XÐt ABE vµ HBE ; BE (c¹nh chung) cã ABE = HBE (BE lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ABC) BAE = BHE (=900) ABE b»ng HBE (c¹nh huyÒn vµ gãc nhän b, Gäi K lµ giao ®iÓm cña BE vµ AH; xÐt ABK vµ HBK ta cã ABK = KBH (tia BE lµ ph©n gi¸c gãc ABC) AB = BH (ABE = HBE);BK (c¹nh chung) ABK =HBK (cgc) nªn AK = KH(1), AKB = HKB mµ gãc AKB kÒ bï gãc HKB AKB = HKB (= 900)(2) tõ vµ ta cã BE lµ ®êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng AH c, Ta cã AK = HK (chøng minh trªn) KE (c¹nh chung ); AKE = HKE (= 900) AKE = HKE suy AE = HE (1) Tam gi¸c EHC cã ( EHC = 900) => EC > EH (2) (c¹nh huyÒn tam gi¸c vu«ng ) tõ (1) vµ (2) ta cã EC > AE Bµi : Cho ABC vu«ng ë A, AB = cm ; AC = cm Ph©n gi¸c gãc B, gãc C c¾t t¹i O Vµ OE AB ; OF AC a) Chøng minh r»ng AB + AC – BC = 2AE b) TÝnh kho¶ng c¸ch tõ O tíi c¸c c¹nh cña ABC c) TÝnh OA, OB, OC Lop7.net (11) A F E O B D C §¸p ¸n VÏ h×nh ,ghi GT, KL a) Chøng minh ®îc AB + AC – BC = 2AE b) TÝnh ®îc BC = cm, TÝnh ®îc AE = cm, TÝnh OE = AE = OF = cm, c) TÝnh ®îc BE = cm , CF = cm , TÝnh OA = cm OB = cm OC = 10 cm Bµi 7: Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë C cã gãc A b»ng 60o Tia ph©n gi¸c cña gãc BAC c¾t BC ë E KÎ EK vu«ng gãc víi AB ( K AB ) KÎ BD vu«ng gãc víi tia AE ( D tia AE ) Chøng minh: a) AC = AK b) AE lµ ®êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng CK c) KA = KB d) AC < EB §¸p ¸n B * VÏ h×nh, ghi gi¶ thiÕt vµ kÕt luËn: a) Cm : ACE = AKE AC = AK và EK = EC (cạnh tương ứng) b) Theo chøng minh trªn ta cã: E AC = AK và EC = EK K D AE lµ ®êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng CK c) Cm : EAB c©n t¹i E Trong tam gi¸c EAB c©n nªn EK còng lµ ®êng trung tuyÕn KA = KB d) Trong tam gi¸c vu«ng ACE t¹i C cã: AC < AE, mµ AE = EB AC < EB Lop7.net C A (12)