Nếu chọn ngẫu nhiên 1 hộp, từ hộp đó lấy ngẫu nhiên 1 bi. Hỏi có bao nhiêu cách lấy 1bi theo kiểu như vậy. Hoán vị-Chỉnh hợp-Tổ hợp 1.. Vậy 4 trường hợp trên có 48 cách sắp xếp các lá [r]
(1)CHƯƠNG I: ĐẠI SỐ TỔ HỢP
§1 HỐN VỊ- CHỈNH HỢP-TỔ HỢP
I Quy tắc nhân quy tắc cộng 1.Quy tắc nhân:
Một công việc chia thành k giai đoạn liên tiếp để hồn thành, giả sử Giai đoạn có m1 cách thực
Giai đoạn có m2 cách thực
Giai đoạn k có mk cách thực
Số cách để hồn thành cơng việc là: m1.m2mk
Ví dụ: Cho tập A0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 Từ A lập bao nhiêu: a) Số tự nhiên có chữ số khác b) Số tự nhiên lẻ có chữ số khác c) Số tự nhiên chẵn có chữ số khác GIẢI:
a) Gọi số cần tìm abcd
0
a a có cách chọn b có cách chọn c có cách chọn d có cách chọn
Vậy có 99874536 số cần tìm b) Gọi số lẻ cần tìm abcd
d có cách chọn
0
a a có cách chọn b có cách chọn c có cách chọn
Vậy có 58872240 số cần tìm c) Các số chẵn: 4536-2240=2296
2.Quy tắc cộng:
Một cơng việc hồn thành có k trường hợp khác để thực Gỉa sử Trường hợp có m1 cách hồn thành
Trường hợp có m2 cách hồn thành
(2)Vậy có m1 m2 mk cách hồn thành cơng việc Ví dụ:
Có hộp bi, hộp có viên, hộp có viên, hộp có viên Nếu chọn ngẫu nhiên hộp, từ hộp lấy ngẫu nhiên bi Hỏi có cách lấy 1bi theo kiểu
GIẢI:
Có trường hợp xảy ra:
Trường hợp 1: chọn hộp có cách lấy viên bi Trường hợp 2: chọn hộp có cách lấy viên bi Trường hợp : chọn hộp có cách lấy viên bi Vậy ta có 6+7+8=21 cách lấy viên bi theo kiểu
II Hoán vị-Chỉnh hợp-Tổ hợp 1. Hoán vị
Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử, thứ tự gồm n phần tử A gọi hoán vị n phần tử A
Số hoán vị: Pn n!
Ví dụ 1: Một cách xếp người vào bàn dài có chỗ ngồi hoán vị Số cách xếp P5 5!120
Ví dụ 2:
Người ta xếp ngẫu nhiên phiếu có ghi số thứ tự từ 1→5 cạnh nhau: a) Có cách xếp phiếu chẵn cạnh
b) Có cách xếp phiếu thành nhóm chẵn, lẻ riêng biệt GIẢI:
(3)Với trường hợp ta có giai đoạn liên tiếp để xếp: Giai đoạn 1: có 2!=2 cách phiếu chẵn
Giai đoạn 2: có 3!=6 cách phiếu lẻ Ta có 2!3!12cách xếp
Vậy trường hợp có 48 cách xếp phiếu theo yêu cầu
b) Để phiếu chẵn lẻ phân thành nhóm riêng biệt ta có trường hợp: trường hợp1 trường hợp Vậy ta có 24 cách xếp theo yêu cầu
2 Chỉnh hợp:
2.1 Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử, thứ tự gồm k phần tử A ( k<n) gọi chỉnh hợp chập k n phần tử A
2.2 Số chỉnh hợp :
!
!
k n
n Ank
Ví dụ1:
1 lớp có 30 học sinh Hỏi có cách bầu ban chấp hành gồm người : Lớp trưởng, lớp phó học tập, lớp phó đời sống
GIẢI: Việc chọn người ứng với vị trí địi hỏi lực khác nên việc phải tuân theo thứ tự Vậy số cách xếp theo yêu cầu A303 24360
Ví dụ 2:
Cho tập A0;1;2;3;4;5;6;7;8;9
Từ A lập số lẻ có chữ số khác < 600000 GIẢI:
Gọi số cần tìm có dạng: abcdef thỏa điều kiện a 0,a1;2;3;4;5, f 1;3;5;7;9 Ta chia trường hợp sau đây:
Trường hợp 1: a 2;4 f 1;3;5;7;9
Ta có: a có cách chọn, f có cách chọn, bcdecó A84 1680cách chọn, Suy trường hợp có 25168016800
Trường hợp 2: a1;3;5 f 1;3;5;7;9& f a
Ta có: a có cách chọn, f có cách chọn, bcdecó A84 1680cách chọn, Suy trường hợp có 34168020160
Vậy có 16800+20160=36960 số theo yêu cầu
3.Tổ hợp
(4)3.2 Số tổ hợp :
!
! !
k n k
n Cnk
3.3 Chú ý: Cn0 Cnn 1,Cn1 n
Ví dụ 1:
1 buổi liên hoan có 10 nam, nữ Hỏi có cách chọn cặp để nhảy( cặp gồm 1nam nữ)
GIẢI:
Ta chia công việc làm giai đoạn thực hiện:
GĐ1: Chọn nam 10 nam, số cách chọn: C103 120 GĐ2: Chọn nữ nữ, số cách chọn: C63 20
GĐ3: Mỗi trường hợp chọn ta ghép đôi để cặp nhảy cách cố định nữ, xếp nam vào nữ theo quy tắc hoán vị ta 3! cách ghép đơi
Kết ta có: 3!1202014400cách xếp Ví dụ:
1 tổ gồm nam, nữ Hỏi có cách chọn: a) người để dự hội nghị
b) người để dự hội nghị có nữ c) người để dự hội nghị có nữ GIẢI:
a) Số cách chọn: C145 2002 b) Số cách chọn: C83C62 840
c) Có trường hợp xảy ra: (3 nữ, nam), (4 nữ, nam), (5 nữ, nam) Số cách chọn: C82 C63 C81C64 C80 C65 686
BÀI TẬP:
1) 18 đội bóng chuyền tham gia thi đấu, có cách phân phối huy chương vàng, bạc, đồng Biết đội nhận tối đa huy chương
2) Cho tập A1;2;3;4;5 Từ A lập a) Bao nhiêu số tự nhiên chẵn có chữ số khác
b) Bao nhiêu số tự nhiên chẵn có chữ số khác 345
(5)4) Một hộp đựng bi đỏ, bi trắng, bi vàng
a) Có cách chọn bi có bi đỏ b) Có cách chọn bi số bi xanh=số bi đỏ
5) A1;2;5;7;8 Từ A có cách lập chữ số khác cho a) Số tạo thành số chẵn
b) Số tạo thành số khơng có chữ số c) Số tạo thành <278
6) A0;1;2;3;4;5;6;7;8;9Từ A lập số gồm chữ số khác nhau, cho số có mặt chữ số
7) Có 12 sinh viên phân thực tập xí nghiệp I, II, III Có cách phân 12 sinh viên thực tập xí nghiệp trường hợp sau:
a) Phân XNI sinh viên, XNII sinh viên, lại phân XNIII
b) Có XN nhận sinh viên, XN nhận sinh viên, XN nhận sinh viên c) Phân XN sinh viên
8) lớp có 40 học sinh gồm 25 nam 15 nữ, chọn học sinh để tham gia lễ khai giảng Hỏi có cách:
a) Chọn học sinh gồm 1nam, nữ
b) Chọn học sinh có nam 9) Tính số đường chéo đa giác lồi n cạnh