Đang tải... (xem toàn văn)
Vậy ab luôn chia hết cho 6.[r]
(1)Đề bài: Cho n số tự nhiên lớn Nếu 2n=10a+b (a, b *, b<10).
Chứng minh a.b chia hết cho Giải:
Cách 1:
Do n > => 2n >= 24 chia hết cho 16 => 10a + b chia hết cho 16
Ta có 2n có tân 2; 4; 6;
+ TH1: 2n có tận => n = 4k+1
=> 10a + b có tận => b = ( b < 10) ta có 2n = 10a + => 2( 24k - 1) = 10a => 24k - = 5a
do 24k - chia hết cho => 5a chia hết cho => a chia hết cho
=> a.b = a.2 chia hết cho (1)
+ TH2: 2n có tận => n = 4k +2
=> 2n = 10a + b có tận => b = 4( b <10)
=> 24k+2 = 10a + => 4.24k - = 10a
=> 4.24k-1 = 10a
ta có 24k-1 chia hết cho => 10a chia hết cho => a chia hết cho
=> a.b chia hết cho (2)
+ TH3: 2n có tận => n = 4k +3
+ TH4: 2n có tận => n = 4k
(bằng cách làm tương tự ta ln có a.b chia hết cho 6) => Đpcm Cách 2:
Ta có: n > nên biểu diễn n = k + p
( p số tự nhiên nhỏ hay p thuộc tập {0 ; ; ; 3} +) p = 0, ta có:
2n = 24k = 16k tận => b = => ab chia hết cho
+) p = 1, ta có:
2n = 24k+1 = 2.16k tận => b = (1)
Khi : 2n = 2.16k = 10 a + <=> 2.(16k – 1) = 10 a <=> 5a = 16k -
Mặt khác: Áp dụng tính chất an - chia hết cho a - 1, ta có
5a = 16k - chia hết cho 16 - = 15 => a chia hết cho (2)
Từ (1) (2) ta có ab chia hết cho +) p =2 (lập luận tương tự)
2n = 4.16k tận => b =
2n = 4.16k = 10a + <=> 4(16k - 1) = 10a <=> 5a = 2(16k - 1)
5a = 2(16k - 1) chia hết cho 16 - - 15 => a chia hết cho
=> ab chia hết cho +) p =
2n = 8.16k tận => b =
2n = 8.16k = 10a + <=> (16k - 1) = 10a <=> 5a = 4(16k - 1)
5a = 4(16k - 1) chia hết cho 16 - = 15 => a chia hết cho
(2)Vậy ab ln chia hết cho => Đpcm Bài tốn sử dụng vài tính chất:
(1) Số có tận lũy thừa số tự nhiên số có tận (2) an - chia hết cho a -
(3) k A chia hết cho m ƯCLN(k,m) = => A chia hết cho m
(4) A có chữ số tận m, B có chữ số tận n, A.B có chữ số tận chữ số tận m.n