®Ò kiÓm tra chän häc sinh giái M«n kiÓm tra : Toán - Líp 7 ( Thêi gian : 120 phót . Kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) Bài 1: ( 1,5 điểm) a/ ( 0,5 điểm) Chứng minh rằng: Với mọi số nguyên dương n thì: 3 n+2 – 2 n+2 + 3 n – 2 n chia hết cho 10 b/ (1 điểm) Cho A = 2008 1 2007 1 . 4 1 3 1 2 1 +++++ B = 2007 1 2006 2 . 3 2005 2 2006 1 2007 +++++ Tính: A B Bài 2: ( 1,5 điểm) a/ ( 0,75 điểm) Tìm x và y, biết rằng: 32008200720062005 =−+−+−+− xyxx b/ ( 0,75 điểm) Tìm a ∈ Z sao cho M = 1 3 2 − + a a nhận giá trị nguyên Bài 3: ( 2 điểm) a/ ( 1 điểm) Cho f(x) = x 8 – 101x 7 + 101x 6 – 101x 5 + . + 101x 2 – 101x + 25 Tính f (100) b/ (1 điểm) Cho hai đa thức f(x) = (x – 2) 2008 + ( 2x – 3) 2007 + 2006x và g(y) = y 2009 – 2007y 2008 + 2005y 2007 Giả sử f(x) sau khi khai triển và thu gọn ta tìm được tổng tất cả các hệ số của nó là s. Hãy tính s và tính giá trị của g(s) Bài 4: ( 2 điểm) Tìm một số có ba chữ số, biết rằng số đó chia hết cho 18 và các chữ số của nó tỉ lệ với 1: 2: 3. Bài 5: ( 3 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân với đáy BC. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Kẻ NH ⊥ CM tại H. Kẻ HE ⊥ AB tại E. Chứng minh rằng: a/ Tam giác ABH cân b/ HM là phân giác của góc BHE Híng dÉn chÊm TO¸N líp 7 KiÓm tra chän HSG - N¨m häc 2008 - 2009 Bài 1: ( 1,5 đ) a/ ( 0,5 đ) 3 n+2 – 2 n+2 + 3 n – 2 n = ( 3 n+2 + 3 n ) – ( 2 n+2 + 2 n ) = 3 n ( 3 2 + 1) – 2 n ( 2 2 + 1) = 3 n . 10 – 2 n . 5 ( 0,25 đ) 3 n .10 10 ; 2 n . 5 10 => 3 n . 10 – 2 n . 5 10 Vậy 3 n+2 – 2 n+2 + 3 n – 2 n 10 ( 0,25 đ) b/ ( 1 đ) Tách 2007 bằng tổng của 2007 số 1 và biến đổi như sau: B = 1 2007 1 1 2006 2 1 3 2005 1 2 2006 1 2007 1 2006 2 . 3 2005 2 2006 1 2007 + ++ ++ + ++ +=+++++ ( 0,25 đ) = 2008 2008 2007 2008 2006 2008 3 2008 2 2008 +++++ ( 0,25 đ) = A.2008 2008 1 2007 1 2006 1 3 1 2 1 2008 = +++++ ( 0,25 đ) => 2008 = A B ( 0,25 đ) Bài 2: ( 1,5 đ) a/ ( 0,75 đ) Ta có AAA ≥−= với A tùy ý 3200820052008200520082005 =−+−≥−+−=−+− xxxxxx (1) ( 0,25 đ) Từ đó và theo giả thiết đề bài ta có: 020072006 ≤−+− yx (2) ( 0,25 đ) Từ (1) và (2) => 32008200720062005 =−+−+−+− xyxx khi 02006 =− x và 02007 =− y (0,25đ) Vậy x = 2006 và y = 2007 b/ ( 0,75 đ) 1 41)1( 1 41 1 3 22 − +−+− = − +−+− = − + a aaa a aaa a a ( 0,25 đ) Z a Z a a ∈ − ⇔∈ − ++= 1 4 1 4 1 ( 0,25 đ) <=> a – 1 là ước của 4 a – 1 = { -4; -2; -1; 1; 2; 4} ( 0,25 đ) a = { -3; -1; 0; 2; 3; 5} Bài 3: 2 điểm a/ (1 đ) f(x) = x 8 – 101x 7 + 101x 6 – 101x 5 + . + 101x 2 – 101x + 25 = x 8 – 100 x 7 – x 7 + 100x 6 +x 6 – 100x 5 – x 5 + .+ 100x 2 + x 2 – 100x – x +25 (0,25 đ) f(x) = x 7 ( x - 100) – x 6 ( x - 100) + x 5 ( x – 100) - .+ x(x-100) – (x - 25) ( 0,25 đ) f( 100) = 100 7 .( 100 -100) – 100 6 ( 100 -100) + + 100.(100-100) – (100-25) ( 0,25 đ) f(100) = -75 ( 0,25 đ) b/ ( 1 đ) Tổng các hệ số của f(x) sau khi khai triển và thu gọn chính là giá trị của đa thức f(x) tại x = 1. Ta có s = f(1) = (1 – 2) 2008 + (2.1 – 3) 2007 + 2006.1 ( 0,25 đ) = (-1) 2008 + (-1) 2007 + 2006 = 1 – 1 + 2006 = 2006 ( 0,25 đ) Thay s + 1 = 2007; s – 1 = 2005 ta được g(s) = s 2009 – (s+1).s 2008 + ( s -1).s 2007 ( 0,25 đ) = s 2009 – s 2009 – s 2008 + s 2008 - s 2007 = - s 2007 = -2006 2007 ( 0,25 đ) Vậy s = 2006 và g(s) = -2006 2007 Bài 4: ( 2 điểm) Gọi các số cần tìm là a; b; c ( a; b; c ∈ N * và 9;;1 ≤≤ cba ) (0,25 đ) Vì số cần tìm chia hết cho 18 => số đó chia hết 9 và 2 => ( a + b + c) 9 và số cần tìm là số chẵn ( 0,25 đ) Vì 9;;1 ≤≤ cba => 273 ≤++≤ cba ( 0,25 đ) Từ 3 đến 27 có các số 9; 18; 27 9 Vậy a + b +c = { 9; 18; 27} (1) (0,25 đ) Theo bài ra ta có: 6321321 cbacbacba ++ = ++ ++ === ( 0,25 đ) Vì a; b; c ∈ N * => a + b + c 6 (2) Từ (1) và (2) => a + b +c = 18 ( 0,25 đ) 3 6 18 321 ==== cba a = 3; b = 6; c =9 ( 0,25 đ) Số cần tìm chia hết cho 2 nên chữ số hàng đơn vị là số chẵn Vậy số cần tìm là: 396 và 936 ( 0,25 đ) Bài 5: ( 3 điểm) Vẽ hình đúng 0,5 đ A B C H Q E M K N a/ Từ A kẻ AK ⊥ MC tại K và AQ ⊥ HN tại Q Xét ∆ vuông MAK và ∆ vuông NCH có: MA = NC (= 2 1 AB), ∠ MAK = ∠ NCH ( cùng phụ với góc AMC) ( 0,5 đ) => ∆ MAK = ∆ NCH ( cạnh huyền –góc nhọn) => AK = HC (1) Xét ∆ BAK và ∆ ACH có: AB = AC (gt); ∠ BAK = ∠ ACH; AK = HC ( cm trên) ( 0,25 đ) => ∆ BAK = ∆ ACH ( c-g-c) => ∠ BKA = ∠ AHC Xét ∆ vuông AQN và ∆ vuông CHN có: AN = NC; ∠ ANQ = ∠ CNH ( đối đỉnh) ( 0,25 đ) => ∆ AQN = ∆ CHN ( cạnh huyền – góc nhọn) => AQ = CH (2) Từ (1) và (2) => AK = AQ ( 0,25 đ) => HA là tia phân giác của góc KHQ => ∠ AHQ = 45 0 => ∠ AHC =135 0 => ∠ BKA = 135 0 ( 0,25 đ) Từ ∠ BKA + ∠ BKH + ∠ AKH = 360 0 => ∠ BKH = 135 0 ∆ AKH có ∠ KHA = 45 0 nên nó vuông cân tại K => KA =KH ( 0,25 đ) Xét ∆ BKA và ∆ BKH có: BK: chung ; ∠ BKA = ∠ BKH = 135 0 ; KA =KH ( 0,25 đ) => ∆ BKA = ∆ BKH ( c-g-c) => BA =BH hay tam giác ABH cân tại B b/ Ta có ∆ BKA = ∆ BKH => ∠ BAK = ∠ BHK hay ∠ BAK = ∠ BHM Mà HE // CA ( cùng vuông góc AB) => ∠ MHE = ∠ HCA ( đồng vị) Vì ∠ BAK = ∠ HCA nên ∠ BHM = ∠ MHE (0,5 đ) hay HM là tia phân giác của góc BHE . cân b/ HM là phân giác của góc BHE Híng dÉn chÊm TO¸N líp 7 KiÓm tra chän HSG - N¨m häc 2008 - 2009 Bài 1: ( 1,5 đ) a/ ( 0,5 đ) 3 n+2 – 2 n+2 + 3 n –. 3200820052008200520082005 =−+−≥−+−=−+− xxxxxx (1) ( 0,25 đ) Từ đó và theo giả thiết đề bài ta có: 020072006 ≤−+− yx (2) ( 0,25 đ) Từ (1) và (2) => 32008200720062005