Bai giang Tổ Hợp

Trêng THPT CÈm B×nh Bµi gi¶ng lun thi ----------------------------------------------------------------------------------------------- §.TỔ HP Bài 1: Kiến thức cơ bản về tổ hợp. I. Quy tắc cộng. Ví dụ. Có 9 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Hỏi có mấy cách chọn một học sinh lên nhận phần thưởng đại diện? + Có 9 cách chọn học sinh nam + Có 6 cách chọn học sinh nữ Vì chọn nam thì không chọn nữ và ngược lại nên ta có 9 +6 =15 cách chọn một học sinh… Tổng quát ta có quy tắc. Nếu có m 1 cách chọn đối tượng x 1 Nếu có m 2 cách chọn đối tượng x 2 . . Nếu có m n cách chọn đối tượng x n Và ( , 1,2, , ) i j x x i j n¹ " = thì ta có m 1 + m 2 +…… + m n cách chọn một đối tượng trong các đối tượng đã cho. Ví dụ. Cho ba số tự nhiên 6, 7, 8 . Hỏi có thể lâp được bao nhiêu số tự nhiên khác nhau có các chữ số khác nhau? H? Trường hợp số có một chữ số, có mấy số? H? Trường hợp số có hai chữ số, có mấy số? H? Trường hợp số có ba chữ số, có mấy số? Kết luận? II. Quy tắc nhân. Ví dụ. Hỏi có mấy cách đi từ HN về HT và phải qua TP Vinh? H? Có mấy cách đi từ HN về Vinh? H? Mỗi cách đi từ HN về Vinh thì có mấy cách đi từ Vinh về HT? Tổng quát ta có quy tắc: Nếu một phép chọn được thực hiện n bước liên tiếp. Trong đó: Bước 1 có m 1 cách chọn Bước 2 có m 2 cách chọn … … Bước n có m n cách chọn Thì phép chọn được thực hiện m 1 .m 2 … m n cách khác nhau. Ví dụ. Với 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt và là a) Số lẽ b) Số chẵn. Ví dụ. Với 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt và là Trêng THPT CÈm B×nh Bµi gi¶ng lun thi ----------------------------------------------------------------------------------------------- a) Số lẽ b) Số chẵn. III. Hoán vò. 1. Đònh nghóa. Cho tập A gồm n phần tử ( ) 1n ³ . Mỗi cách sắp xếp thứ tự n phần tử của A được gọi là một hoán vò của n phần tử đó. Ví dụ. { } { } ; có hai hoán vò ab, ba A= ; ; có 6 hoán vò abc, acb, bac, bca, cab, cba. A a b a b c = { } 1 2 3 2. Đònh lí. Nếu kí hiệu số hoán vò của n phần tử là P , ta có P ( 1)( 2) .3.2.1 !. Thật vậy: A= ; ; ; .; có n phần tử Lập một hoán vò ta làm như s n n n n n n n a a a a = - - = au. Chọn phần tử đứng vò trí số 1 có n cách chọn Chọn phần tử đứng vò trí số 2 có n-1 cách chọn Chọn phần tử đứng vò trí số 3 có n-2 cách chọn . Sau khi ® ® ® đã chọn n-1 phần tử thì còn phần tử cuối cùng đứng ở vò trí thứ n có một cách chọn Áp dụng qut tắc nhân ta có P =n! n ® Ví dụ. 1) Hỏi có mấy cách sắp xếp 5 học sinh ngồi vào một bàn? Có P 5 = 5! cách. 2) Hỏi có mấy cách sắp xếp 6 người ngồi vào một bàn tròn? Hai cách ngồi được xem là như nhau nếu cách này có thể nhận đươc từ cách kia bằng cách quay bàn đi một góc nào đó. Vậy có 6 6 P cách. ( vẽ hình minh họa) IV. Chỉnh hợp. 1. Đònh nghóa. Cho một tập A có n phần ( ) 1n ³ . Một bộ gồm k phần tử ( ) 1 k n£ £ sắp thứ tự của tập A được gọi một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A. Ví dụ. { } Cho A= ; ; số chỉnh hợp chập 2 của 3 phần tử của A làa b c { } { } { } { } { } { } ; , ; , ; , ; , ; , ; có 6 chỉnh hợp.a b a c b a b c c a c b ® 2. Đònh lí. Kí hiệu chỉnh hợp chập k của n phần tử là k n A , thì ta có ( ) ! ( 1)( 2)( 3) .( 1) ! k n n A n n n n n k n k = - - - - + = - . C/M: 1 2 3 . … k n n-1 n-2 . … ? Ví dụ. Có mấy cách chọn và sắp thứ tự 5 cầu thủ đá luân lưu 11m. Biết rằng khả năng đá 11m của 11 cầu thủ là như nhau. ( ) 5 11 A cách Ví dụ. Từ các chữ số 1, 3, 5, 7, 8 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau. V. Tổ hợp. 1. Đònh nghóa. Cho tập A gồm n phần tử. Một tập con k phần tử của A ( ) 0 k n£ £ được gọi là tổ hợp chập k của n phần tử của A. Trêng THPT CÈm B×nh Bµi gi¶ng lun thi ----------------------------------------------------------------------------------------------- 2. Đònh lí. Kí hiệu k n C là tổ hợp chập k của n phần tử thì ta có. ( ) ! ! ! k n n C k n k = - C/M: Các chỉnh hợp chập k nếu khác nhau về thứ tự thì được coi như cùng một tổ hợp chập k của n phần tử. Vậy nếu đem một tổ hợp chập k này hoán vò theo một cách nào đó thì được k! chỉnh hợp, tức là ( ) ! ! ! ! ! k k k k n n n n A n k C A C k k n k = Û = = - Ví dụ. Một hộp có 10 viên bi. Lấy ngẫu nhiên 4 viên. Hỏi có mấy cách lấy? 3. Tính chất. 1 1 1 ) (0 ) ) (1 1) k n k n n k k k n n n a C C k n b C C C k n - - - - = £ £ = + £ £ - Bài 2. Các dạng bài tập về tổ hợp Dạng 1. Rút gọn biểu thức. Kiến thức. 0! = 1 1! = 1 n! = n(n-1)(n-2)…3.2.1 Ví dụ. Rút gọn các biểu thức sau: ( ) ( ) 1 1 1 6 5 2009 7 7 2009 4 7 6! ( 1)! ) . ( 1) 4!( 1)! ) . ! Ta có k.k!= 1 1 ! 1 ! ! ( 1)! ! . ! ( 1)! ! 2! 1! 3! 2! .( 1)! ! ( 1)! 1 ) 2 7!.4! 8! 9! ) . 3 101 3!.5! 2!7 n k n n k k m a A m m m b A k k k k k k k k k A k k k k n n n A A c A C A d A = = = + = + - = é ù + - = + - = + - ê ú ë û é ù = = + - = - + - + + - = + - ë û + = + = - å å å ! 2009! 2007 ) . 0! 2008! 2007! 2009 e A ỉ ư ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç è ø = + - Dạng 2. Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình. Ví dụ. Giải các phương trình sau: ( ) 1 1 7 7 7 6 5 4 1 2 3 4 1 2 3 2 3 4 1 4 3 2 1 4 3 6 1) 1 ! 6 ! ( 1)! 2) 2 7 3) ( : 6) 4) . 2 23 5) ( 4) 6) 6 6 9 14 4 1 1 1 5 7) (0 4 8) 4 n n n n n n n n n n x x x n n n n n n n n n n n n C C C A A A đk n C C C n A n C C C x x A C n C C A C C C - + - + - é ù + = - - = + ë û + = ³ + + = = ³ + + = - - = + £ £ = + Trêng THPT CÈm B×nh Bµi gi¶ng lun thi ----------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ. Giải các bất phương trình sau: Ví dụ. Giải các hệ phương trình và hệ bất phương trình sau: 3 2 5 5 2 3 5 5 1 1 1 1 1 1 1 2 5 3 5 2 2 7 1) 4 7 5 2) 2 72 3) 10 16 720 4) 120 , 12 5) 6 y y x x y y x x y y y x x x y y x x y x x y x x y x y x y x y x x y A A C C A yA A A C A P P x y P A P P x y A y P - - - - - - + - - + + - - + + + + - - + ì ï = ï ï í ï = ï ï ỵ ì ï + = ï ï í ï = ï ï ỵ ì ï = ï í ï < + < ï ỵ ì ï = ï ï ï ï = í ï ï ï Ỵ ï ï ỵ ì ï + £ ï ï í ï £ ï ï ỵ ¢ Dạng 3. Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức. Kiến thức. ( ) ( ) 1 1 1 1 * . (1 ) * 0 * 0 1 * ! n n k n k n n k k k n n n k k n n P P n n C C k n C C C k n A k C - - - - - = £ Ỵ = £ £ = + £ £ - = ¥ Bài tập. VD1. ( ) 1 1 1 ho ; , . CMR: C ( ) k k k n n n C k n k n C C VT VP + + + < Ỵ + = ®¥ Trờng THPT Cẩm Bình Bài giảng luyện thi ----------------------------------------------------------------------------------------------- ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 VD2. Cho 2 k n. CMR: k 1 1 ! Thaọt vaọy: k 1 1 ! ! 2 ! ! 1 1 2 ! ! 2 ! 2 2 ! k k n n k n k n k C n n C n k C k k k n k n n n n n n C k n k k n k - - - - Ê Ê - = - - = - - - = = - = - ộ ự - - - - - - ờ ỳ ở ỷ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 3 4 4 1 1 2 2 3 3 4 1 2 3 1 1 1 1 3. Cho 4 k n. CMR: C 4 6 6 4 Thaọt vaọy: VT= C 3 3 =C 3 3 k k k k k k k n n n n n n n k k k k k k k k n n n n n n n n k k k k n n n n VD C C C C C C C C C C C C C C C C - - - - - + - - - - - - - - - - + + + + Ê Ê + + + + + = + + + + + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 3 3 4 = C 2 =C 2 = C =C k k k k k k n n n n n n k k k n n n k k k k n n n n k k k n n n C C C C C C C C C C C C VP - - - - - + + + + + + - - + + + - - - + + + + - + + + + + + + + + + + + + + = = ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 1 1 1 2 1 1 3 2 2 4 3 3 1 1 4. CMR: 1+P 2 3 . 1 Thaọt vaọy: P 1 2 3 . 1 Coọng veỏ theo veỏ ủpcm. n n n n n n n n n n VD P P n P P nP P P n P P P P P P P P P P P P n P - - - - - - + + + + - = = - = - ị - = - = - = - = - ị ( ) 1 1 1 1 5. CMR: 2 1! 2! 3! ! Thaọt vaọy: 1 =1 1! 1 1 1 = =1- 2! 2 2 1 1 1 1 = = 3! 2.3 2 3 1 1 1 1 4! 3.4 3 4 1 1 1 1 ! 1 1 Coọng veỏ theo veỏ ta coự 2 VD n n n n n n VT + + + + < - < = - < = - - - < - 1 2 n < ( ) 1 6.CMR: 2 ! , 3 n VD n n n - < ẻ  Trêng THPT CÈm B×nh Bµi gi¶ng lun thi ----------------------------------------------------------------------------------------------- Dạng 4. Bài toán đếm. * Bài toán 1. Đếm số các chữ số thỏa mãn tính chất K hình thành từ một tập số. Ví dụ 1. Cho { } 1;2;3;4;5;6;7E = . Tìm tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số lấy từ E sao cho a) Các chữ số đều khác nhau? ( ) 5 7 sốA b) Chữ số đầu tiên là chữ số 3? ( QT nhân) c) Chữ số tận cùng không là số 4? (QT nhân) d) Các chữ số khác nhau và là số chẵn? HD: Số cuối có 3 cách chọn. 4 số còn lại là chỉnh hợp chập 4 của 6. Áp dụng quy tắc nhân. e) Các chữ số khác nhau trong đó phải có chữ số 7? HD: + Số có 5 chữ số khác nhau lấy từ E là ( ) 5 7 sốA + Số có 5 chữ số khác nhau lấy từ E không có chữ số 7 là ( ) 5 6 sốA Suy ra: Số các số có 5 chữ số khác nhau và có mặt chữ số 7 là 5 5 7 6 A A- số. f) Các chữ số khác nhau trong đó có chữ số 7 và chữ số hàng ngàn là 1? { } : Gọi số cần tìm là abcde b- có 1 cách chon. Chọn 1 trong 4 vò trí để đặt chữ số 7, có 4 cách. 3 vò trí còn lại là mọt bộ thứ tự được chọn trong E\ 1;7 c HD - 3 5 3 5 ó A cách. Theo quy tắc nhân ta có 1.4.A cách chọn Ví dụ 2. Cho { } 1;2;3;4;5E = . Có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số phân biệt thỏa mãn a) Không bắt đầu bằng chữ số 1? b) Không bắt đầu bằng chữ số 123? HD: + Số các số có 5 chữ số phân biệt lấy từ E là 5 5 A + Số các số có 5 chữ số khác nhau lấy từ E và bắt đầu bằng chữ số 1 là 1. 4 4 A + Số các số có 5 chữ số khác nhau lấy từ E và bắt đầu bằng chữ số 123 là 1. 2 2 A Kết luận… Ví dụ 3. Cho { } 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9E = . Có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số thỏa mãn a) Phân biệt? b) Trong đó hai chữ số kề nhau phải khác nhau? { } { } 4 9 4 9 : ) có 9 cách chọn. bcde phân biệt chọn chọn từ E\ có A Số có 5 chữ số phân biệt chọn từ E là 9.A số. b) a- có 9 cách chọn b- được chọn từ E\ co HD abcde a a a a a = - Þ { } ù 9 cách chọn c- được chọn từ E\ có 9 cách chọnb Trêng THPT CÈm B×nh Bµi gi¶ng lun thi ----------------------------------------------------------------------------------------------- { } { } d- được chọn từ E\ có 9 cách chọn e- được chọn từ E\ có 9 cách chọn có 9.9.9.9.9 cách . c d Þ Ví dụ 4. Cho { } 0;1;2;3;4;5;6;7E = . Có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau vàthỏa mãn a) Là số chẵn? b) Một trong 3 số đầu tiên phải là số 1? c) Số đó phải chia hết cho 5? * Bài toán 2. Đếm số phương án. Ví dụ 1. Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có mấy cách phân công đội về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và một nữ. 1 4 3 12 1 4 2 8 1 4 1 4 Có C . cách phân 4 nam và 1 nữ về tỉnh thứ I Có C . cách phân 4 nam và 1 nữ về tỉnh thứ II Có C . cách phân 4 nam và 1 nữ về tỉnh thứ III Theo quy tắc nhân ta c C C C − − − 1 4 1 4 1 4 3 12 2 8 1 4 ó C . .C . .C . cách .C C C Ví dụ 2. Một bộ bài Túlơkhơ 52 con. Rút ra 5 con, có bao nhiêu cách chọn mà có ít nhất 2 con át? 2 3 4 48 3 2 4 48 4 1 4 48 2 3 3 2 4 1 4 48 4 48 4 48 2 át+ 3 con loại khác có C . cách 3 át+ 2 con loại khác có C . cách 4 át+ 1 con loại khác có C . cách Theo quy tắc cộng ta có C . C . C . cách . C C C C C C − − − + + Ví dụ 3. Một nhóm học sinh 12 em, gồm 5 hs lớp A, 4 hs lớp B và 3 hs lớp C. Cần chọn 4 hs đi làm nhiệm vụ sao cho 4 hs này không quá hai lớp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? GV: Nếu làm xuôi thì có nhiều phương án chọn thỏa mãn . + Số cách chọn 4 hs trong 12 hs là 4 12 495 cáchC = + Số cách chọn 4 hs trong 12 hs mà mỗi lớp có ít nhất 1 hs được tính như sau: * 2 hs lớp A + 1 hs lớp B + 1 hs lớp C có 2 1 1 5 4 3 120 cáchC C C = * 2 hs lớp B + 1 hs lớp A + 1 hs lớp C có 2 1 1 4 5 3 90 cáchC C C = * 2 hs lớp C + 1 hs lớp B + 1 hs lớp A có 2 1 1 3 4 5 60 cáchC C C = Vậy số cách chọn 4 hs trong 12 hs mà mỗi lớp có ít nhất 1 hs 120+ 90+ 60 = 270 cách Số cách chọn phải tìm là 495 – 270 = 225 cách. Ví dụ 4. Trong một môn học GV có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình và 15 câu hỏi dễ. Có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra từ 30 câu hỏi đó sao cho mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, có đủ 3 loại ( khó, tb, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2 ? Hướng dẫn. 3 dễ + 1 tb + 1 khó 2 dễ +1 tb + 2 khó 2 dễ + 2 tb + 1 khó Trêng THPT CÈm B×nh Bµi gi¶ng lun thi ----------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ 5. Một người có 12 cuốn sách đôi một khác nhau gồm 5 sách Truyện, 4 sách Nhạc và 3 sách Ngoại ngữ. Người đó lấy 6 cuốn tặng đều cho 6 người. Hỏi có bao nhiêu cách tặng mà sau khi tặng xong thì mỗi loại sách còn ít nhất một cuốn? HD: Ta để ý rằng tổng 2 loại sách nào cũng lớn hơn 6 nên sau khi tặng 6 cuốn thì không thể hết tới 2 loại sách. - Số cách chọn 6 sách từ 12 sách khác nhau cho 6 người là 6 12 665280A = . - Ta loại đi các trường hợp; + Tặng hết sách Truyện có 5 1 6 7 5040A A = ( Chọn 5 người trong 6 người để tặng 5 sách truyện có 5 6 cáchA , chọn 1 sách trong 9 sách để tặng cho người còn lại có 1 9 A ) + Tặng hết sách Nhạc có 4 2 6 8 20160A A = + Tặng hết sách NN có 3 3 6 9 60480A A = Vậy số cách tặng cần tìm là 665280 – (5040 + 20160 + 60480)=579600 cách. Ví dụ 6. Có 5 nhà Toán học nam, 3 nhà Toán học nữ và 4 nhà Vật lí nam. Có bao nhiêu cách lập đoàn công tác 3 người mà có nam có nữ và có Toán có Lí. - Chọn 2 nữ Toán + 1 Lí nam - Chọn 1 nữ Toán + 2 Lí nam - Chọn 1 nữ Toán + 1 nam Toán + 1 Lí nam Ví dụ 7. Một hộp đựng 4 bi đỏ, 5 bi trắng và 6 bi xanh. Chọn ra 4 viên bi. Có bao nhiêu cách chọn mà không có đủ 3 màu. - Tổng số 15 bi chọn ra 4 bi có 4 15 1365C = cách - Ta loại đi các trường hợp chọn 4 bi mà đủ 3 màu. + 2 đỏ + 1 trắng + 1 xanh + 1 đỏ + 2 trắng + 1 xanh + 1 đỏ + 1 trắng + 2 xanh. Ví dụ 8. Cho tập A gồm n phần tử ( ) 4n ≥ . Biết rằng số tập con 4 phần tử bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử. Tìm số nguyên dương k sao cho số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất? - Số tập con k phần tử của A là k n C - Theo (gt) ta có 4 2 20 . 18 n n C C n= ⇔ ⇔ = - Do 1 18 18 18 1 9 1 k k C k k C k + − = > ⇔ < + nên 1 2 9 9 10 18 18 18 18 18 18 18 . .C C C C C C< < < ⇒ > > > - Vậy k = 9 là giá trò cần tìm. Ví dụ 9. Cho đa giác đều 2n đỉnh 1 2 2 . n A A A nội tiếp trong đường tròn (O). Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n đỉnh đã cho nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n đỉnh đã cho. Tìm n. - Số tam giác có 3 đỉnh chon từ 2n đỉnh là 3 2n C . - 2n đỉnh cách đều nhau nội tiếp trong (O) có n đường chéo là n đường kính, 2 đường kính bất kì nào cũng tạo 1 hình chữ nhật. Vậy số hình chữ nhật có 4 đỉnh trong 2n đỉnh là 2 n C - Theo (gt) ta có 3 2 2 20 . 8 n n C C n= ⇔ ⇔ = Ví dụ 10. Cho đa giác đều H có 20 cạnh. Hỏi có bao nhiêu tam giác nội tiếp H mà không có cạnh nào là cạnh của H? GV: Vẽ hình minh họa. Trêng THPT CÈm B×nh Bµi gi¶ng lun thi ----------------------------------------------------------------------------------------------- - Tổng số tam giác có đỉnh là đỉnh của H là 3 20 C - Số tam giác có 2 cạnh là cạnh của H là 20 - Số tam giác có 1 cạnh là cạnh của H là 20. 1 16 C Trêng THPT CÈm B×nh Bµi gi¶ng lun thi ----------------------------------------------------------------------------------------------- §. NHỊ THỨC NEWTON I. Kiến thức: ( ) ( ) ( ) 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 * Với a, b , n . ta có: . . 1 Chú ý: * C * * 1 1 * 1 1 * 1 1 . . 2 * 1, n n n n k n k k n n k n k k n n n n n k k n k n n k k k n n n k k n n k k n n k n n n n n n a b C a C a b C a b C b C a b C C C C kC nC C C k n a b C C C C a b - - - = - + + + - - + + Ỵ Ỵ + = + + + + + = - = + = = = + + = = Þ Û + + + + + = = å ¡ ¥ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 0 0 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 0 0 2 1 2 1 1 2 1 0 2 1 2 2 1 * 1, * 1, 1 2 * 1 1 2 1 * 1 n n n k k k k n n k k n n n k k k k k n n k k n n k k n k n n a b x a b x f x f x f x x C x h x C x f x f x f x x C x h x C x g x x C x g x x C = = - - = = + + + = + =- Þ = = Þ = =- Þ ì ï ü + ï ï ï ï = + = = = ï ï ï ï ï ï Þ ý í ï ï - ï ï = - = - ï ï = = ï ï ï ï þ ï ỵ = + = = - = å å å å å ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 1 2 1 0 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 0 0 0 1 6 6 6 6 6 7 11 11 11 11 2 1 2 Ví dụ 1. Tính giá trò của các biểu thức sau: ) . ) . 2 n k k n k n n k k k k k n k k g x g x p x C x g x g x x h x C x a A C C C b B C C C B + = + + + + + = = ì ï ü + ï ï ï ï = = ï ï ï ï ï ï Þ ý í ï ï - ï ï - ï ï = = ï ï ï ï þ ï ỵ = + + + = + + + å å å ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 0 1 2 2 6 6 6 6 6 6 0 2 4 2 2 1 3 5 2 1 2 2 ) 2 2 . 2 Ví dụ 2. Tính tổng: ) 2 4 . 2 . 2 ) 2 4 . 2 . 2 HD: 1 cộng lại, chọn x= 2 ) . 1 1 1 k k k n n n n n n k k k n n n n n n n n n n c C C C C C a A C C C C C b B C C C C C x a x x x x x + = = + + + + = + + + + + + = + + + + + + ü ï + = ï ï Þ Þ ý ï ï - = ï þ ü ï + = ï ý - = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 2 1 2 trừ vế theo vế, chọn x= 2 ) . Ví dụ 3. Tính tổng: 1 1 1 S= . 1.2 2.3 1 2 1 1 1 1 T= 1 2 2 1 1 2 1 2 n n n n k k k k n n n n b C C C n n C C C C k k k k n k n n + + + + ï Þ Þ ï ï ï þ + + + + + = = = + + + + + + + +