hạnh phúc của một tang gia

Kiến thức cơ bản và một số dạng toán... Kiến thức cơ bản và một số dạng toán.[r]

Kiến thức số dạng tốn Chương IV: Đạo hàm-Giải tích 11

ÔN TẬP CHƯƠNG IV:

ĐẠO HÀM

A.KIẾN THỨC CƠ BẢN:

Các cơng thức tính đạo hàm:

Đạo hàm hàm số sơ cấp bản Đạo hàm hàm số hợp

(C)′ =0 (C lµ h»ng sè)

(x)′ =1 ; (kx)’=k (k lµ h»ng sè )

(

xn

)

′ =n.xn-1 (n N, n 2)

(

Un

)

′ =n.Un-1. U'

2 1 x x         ;      

 

k k

x x

(x 0,k lµ

h»ng sè)

1 U U U          ;       

 

k kU

U U



(U 0, k lµ h»ng sè)

√

x¿′

¿ =

1 2

√

x

(x>0)



U



U

2 U

 



(U 0)





















/ / / 2 / 2 sin cos cos sin

tan tan

cos

cot cot

sin x x x x x x x x x x        

















/ / / / / / 2 / / 2 sin cos cos sin

'(1 tan ) cos

cot '(1 cot )

sin

U U U

U U U

U

tanU U U

U U

U U U

U

 

  

  

2/ Các qui tắc tính đạo hàm:

(u+v)❑=u❑+v❑ (u − v)❑=u❑− v❑ (u.v)❑=u❑v+uv❑ (u.v.w)❑=u❑vw+uv❑w+uvw❑





/ /

k u k u ,

k∈R

(

u k

)

❑

=u

❑

k , k∈R

*

(

uv

)

❑

=u

❑v −uv❑

v2

(

1

v

)

❑

=−v

❑

v2

3/ Đạo hàm hàm số hợp: g(x) = f[U(x)] , g ' x = f 'u U'x 4/ Đạo hàm số hàm phân thức:

2

( )

ax b ad bc cx d cx d

            ; 2 2 ( )

ax bx c adx aex be cd

dx e dx e

              

1 1 1

2

2 2 2

1 1

2 2

2 2 2

2

( )

a b a c b c

x x

a b a c b c

a x b x c

a x b x c a x b x c

               

B.MỘT SỐ DẠNG TOÁN:

Dạng 1: Tìm đạo hàm hàm số

Bài tập 1: Tìm đạo hàm hàm số sau: y=x3−2x+1

y=2x5−x

2+3 y=10x

4

+

x2

4 y=(x3+2)(x+1)

5 y=5x2(3x −1)

x2+5¿3

y=¿

y=(x2+1)(5−3x2)

8 y=x(2x −1)(3x+2)

x+3¿3

x+2¿2¿

y=(x+1)¿

Kiến thức số dạng toán Chương IV: Đạo hàm-Giải tích 11 10 x y x   11 x y x    12 y= 5x −3

x2

+x+1

3

13     x x y x

14) y = 2 x x x +

15 y x x x

16 y=

√

x −1+

√

x+2 17 y=

√

x2+6x+7

18 y=(x+1)

√

x2+x+1

19) y x  x2 2x3

20) y x x  21/ y= (2 4) 10 x 

22/





20

10

x 3x

y

 

Bài tập 2: Tìm đạo hàm hàm số sau:

1)y3sinxcos 2x 2) y = cos ( x3 ) 3) y = cos3 x 4)ysin4 x 5) y= sin(sinx) 6)y(tanxcot )x 7) x y tan  

8) y = x.cotx

9) y=sinx+cosx

sinx −cosx 10)

1 sin sin x y x    11)

sin x x

y

x sin x

 

12)

xsin x y

1 tan x 



13) y=cosx sin2x 14)

3

y cot (2x ) 

 

15) y 2tan x 16) y tan x

17)

cosx

y cot x

3sin x

 

18)

1+sin22x¿2 ¿

y=1

¿

19) y = sin4 p- 3x 20) y sin (cos3x)

Dạng 2: Tìm đạo hàm hàm số điểm

Bài tập: Tìm đạo hàm hàm số sau điểm ra: a) y = x2 + x ; x

0 = b) y = 1x ; x0 = c) y = x −1

x+1 ; x0 = d) y =

√

x - x; x0 = e) y = x3 - x + 2; x

0 = -1 f) y = 2x −1

x −1 ; x0 = g) y = x.sinx; x0 =

π

h) y = 4cos2x + sin3x; x0 = π i) Cho f(x)=

√

3x+1 , tính f ’(1) k) Cho y = x cos2x Tính f ”(0) m) Cho

  



6

f x  x 10 .TÝnh f '' 2 

 

l)f x

 

sin 3x Tính

 

; 18                   

f ' f '' f ''

Dạng 3: CM đẳng thức chứa đạo hàm; giải pt, bpt chứa đạo hàm

Bài tập a)



  



2 x

CM : y  thoûa 2y' (y 1)y''

x (x4)

b) CM : y 2x x  thoûa y y' x  34x (x 1)2   2 (0<x<2) c) CM: y =

3

1

cot cot 10

3 x x x

    

thoûa 4cotx(y’ +cot2x)+y’’=0 Bài tập 2: Cho y x 3 4x22 Tìm x để: a) y’> 11 b) y’< Bài tập 3: Giải bất phương trình f(x) < với f(x) =

1

4x4 -2x2+  Bài tập 4: Cho hàm số f(x) x Giaûi bpt : f(3) (x 3)f '(3) x    Bài tập 5:Cho hs y =x 44 giải bpt: (x+4)y’ >1

Bài tập 6: Cho hàm số f(x) x  x Giaûi pt : f '(x) 0  Bài tập 7:Cho hs f(x) x x  2 2x Giaûi pt : f '(x) 0

Bài tập 8:Cho hs f(x) 2sin x  x Giaûi cac pt : a / f '(x) 0; b / f '(x) 2sin x 

Bài tập 9:Cho hs f(x) sin x sin x Giaûi cac pt : a / f '(x) ; b/ f(x)+f '(x)=sin2x+sinx-1  

Dạng 3:

Viết PTTT đường cong (C)

Bài toán :Viết PTTT với đồ thị ( C ) điểm M0(x0;y0) thuộc ( C )

Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) : y=f(x) điểm M



x0;y0

  

 C có dạng :

  



/

0 0

yf x x x y

( ) Thế x0; y0;f❑

(

x0

)

cho vừa tìm vào ( ) ta tiếp tuyến cần tìm

Chú ý: -Nếu biết x0

0

'( )

y f x

   

-Nếu biết y0 , y =y0 vào hs y=f(x) tìm x = x0  f x'( )0

-Để tìm giao điểm (C) với trục tung, x=0 vào hs y=f(x) tìm y = y0  giao điểm (C) với trục tung điểm M(0;y0)

-Để tìm giao điểm (C) với trục hoành, y=0 vào hs y=f(x) tìm x = x0  giao điểm (C) với trục hoành điểm M(x0;0)

Bài toán : Viết PTTT với đồ thị ( C ) biết hệ số góc k tiếp tuyến Gọi M(x0 ; y0 )là tiếp điểm tiếp tuyến cấn tìm

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số y=f(x) có dạng :

  



/

0 0

yf x x x y

Do tiếp tuyến có hệ số góc k nên f/

 

x0 k, giải phương trình tìm x0⇒y0=f

(

x0

)

Kết luận phương trình tiếp tuyến:

  



/

0 0

yf x x x y

Chú ý:

ò Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng d:y=ax+b hệ số góc tiếp tuyến k=a

ị Nếu tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d:y=ax+b hệ số góc tiếp tuyến k thỏa:

k.a = -1  k=

a



Bài toán : Viết PTTT với đồ thị ( C ) , biết tiếp tuyến qua điểm A(xA ; yA )

Gọi M(x0 ; y0 ), với y0=f(x0)là tiếp điểm tiếp tuyến cấn tìm

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số y=f(x) có dạng : yf/

  

x0 x x0



f x

 

0 ( )

Do tiếp tuyến qua điểm A(xA ; yA ) nên tọa độ điểm A thỏa pt (*), thay x =xA y =yA vào pt (*), giải tìm x0  y0 f x( 0) & '(f x0)  pttt:

  



/

0 0

yf x x x y

Bài tập:

Bài 1/ Cho đường cong (C) có phương trình: y=x3 + 4x +1 Viết PTTT với đương cong (C) a) tai điểm có hồnh độ x0 = 1;

b) Biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 31;

c) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng: y = 7x + 3; d) Biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng: y =

-1 16x .

Bài 2/ Cho (C): f(x) = x4+ 2x2 – 1.Viết phương trình tiếp tuyến (C) mỗi trường hợp sau: a) Biết tung độ tiếp điểm bằng ;

b) Biết rằng tiếp tuyến song song với trục hoành ;

c) Biết rằng tiếp tuyến vng góc với đường thẳng x +8y – 3=0 d) Biết rằng tiếp tuyến qua điểm A (0;6)

Bài 3/ Viết PTTT (C ): y=x3-3x+7 1/Tại điểm A(1;5)

2/Song song với đường y=6x+1 Bài 4/ Cho đường cong (C): y = x+1

x −3 Viết pttt (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng x+ y +1=0

Bài 5/ Viết PTTT đồ thị hàm số y=x3−3x2+2 vng góc với đt x 9y 18 0  

Bài 6/ Viết PTTT đồ thị hàm số y=− x3+3x Biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng

 

y 2x 1.

Bài 7/ Cho hàm số y = f(x) =

1 2

  

x x x

có đồ thị (C) Viết PTTT (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x

Bài 8/Viết pt tiếp tuyến đường cong (C) y=

2

3

3

x

x x

  

Bài 9/ Viết pt tiếp tuyến đồ thị hs y x 3 2x22, biết tiếp tuyến qua điểm A(0;2) Bài 10/ Viết pt tiếp tuyến đồ thị hs

4

y x

