Tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao AD, BE, CF gặp nhau tại H. Đường thẳng vuông góc với AB tại B và đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt nhau tại G... a) Chứng minh rằng GH đi[r]
(1)BỘ ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TÓAN ĐẾ 1
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2007 – 2008
MÔN TOÁN HỌC
Thời gian làm : 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Bài (4đ) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) 4x2– 49 – 12xy + 9y2
b) x2 + 7x + 10
Bài (4đ) Cho
2
2
1 2 2 4
2 7 10 5
x x x
A
x x x x
a) Rút gọn A
b) Tìm x nguyên để A nguyên. Bài (4đ) Giải phương trình
) 2 1 3 2 a x x
b) x2 – = (2x + 3)(x + 5) + 23
Bài (6đ) Tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AD, BE, CF gặp tại H Đường thẳng vng góc với AB B đường thẳng vng góc với AC C cắt nhau G.
a) Chứng minh GH qua trung điểm M BC. b) ∆ABC ~ ∆AEF
c) BD F^ =C^D E
d) H cách cạnh tam giác DEF
Bài (1đ) Cho ba số thực x, y z cho x + y + z = Chứng minh rằng
Bài (1đ) Giải bất phương trình 2007− x <2008
(2)KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2007 – 2008
HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN HỌC 9
Gợi ý đáp án Điểm
Bài 1a)
4x2-49-12xy+9y2=(4x2-12xy+9y2)-49 =(2x-3y)2-72=(2x-3y+7)(2x-37-7)
(1 đ) (1đ)
Bài 1b)
x2+7x+10 =x2+5x+2x+10 =x(x+5) +2(x+5) =(x+5)(x+2)
(1đ) (1đ)
Bài 2a) x2-7x+10=(x-5)(x-2) Điều kiện để A có nghĩa x ≠5và x ≠2
2
2
2
2
1 2 2 4 1 2 2 4
2 7 10 5 2 ( 5)( 2) 5
5 2 (2 4)( 2)
( 5)( 2)
8 15 ( 5)( 3) 3
( 5)( 2) ( 5)( 2) 2
x x x x x x
A
x x x x x x x x
x x x x x
x x
x x x x x
x x x x x
(0,5đ)
(2đ)
2b)
( 2) 1 1
1
2 2
x A
x x
, với x nguyên, A nguyên khi 1
2
x nguyên, x-2=1 x-2 =-1 nghĩa x=3, x=1.
(1,5đ)
Bài 3a) Ta xét trường hợp sau TH1:
1
2 1 0 2 1 3 2 2
2 1 3 2 3
x x x x
x x x
Ta thấy x=3 thuộc khoảng xét nghiệm phương trình. TH2:
1
2 1 0 2 1 3 2 2
2 1 3 2 5 1 0,2
x x x x
x x x x
Ta thấy x=0,2 không thuộc khoảng xét khơng nghiệm của phương trình.
Kết luận phương trình có nghiệm x=3.
(1đ)
(1đ)
Bài 3b) x2-2=(2x+3)(x+5)+23 x2-25=(2x+3)(x+5)
(x-5)(x+5)=(2x+3)(x+5) (x-5)(x+5)-(2x+3)(x+5)=0
(x+5) [x-5 –(2x+3)] = (x+5)(-x-8)=0 x-5=0 x+8 =0 x=-5
hoặc x=-8
(3)Gợi ý đáp án Điểm
Bài 4a) Ta có BG AB, CH AB, nên
BG //CH,
tương tự: BH AC, CG AC, nên
BH//CG.tứ giác BGCH có cặp cạnh đối sơng song nên hình bình hành Do hai đường chéo GH BC cắt trung điểm của đường Vậy GH qua trung điểm M của BC.
(2đ)
4b) Do BE CF đường cao tam giác ABC nên tam giác ABE ACF vuông Hai tam giác vuông ABE ACF có chung góc A nên
chúng đồng dạng Từ suy (1)
AB AE AB AF AC AF AE AC
Hai tam giác ABC AEF có góc A chung (2) Từ (1) (2) ta suy ra ∆ABC ~ ∆AEF.
(1,5đ)
4c) Chứng minh tương tự ta ∆BDF~∆BAC, ∆EDC~∆BAC, suy ra ∆BDF~∆DECBDF CDE .
(1,5đ)
4d) Ta có
0
90 90
BDF CDE BDF CDE
AHB BDF AHC CDE ADF ADE
Suy DH tia phân giác góc EDF Chứng minh tương tự ta có FH tia phân giác góc EFD Từ suy H giao điểm ba đường phân giác tam giác DEF Vậy H ba cạnh tam giác DEF.
(1đ)
Bài 5) Ta có
x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y)3 + z3 – 3xyz – 3xy(x + y) = (x + y + z)[(x + y)2 – (x + y)z + z2] – 3xy(x + y + z)
= (x + y + z)[(x + y)2 – (x + y)z + z2 – 3xy] = x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx
=
2 2 2
1
2 ( ) ( )
2 x xy y y yz z x xz z
=
2 2
1
2 x y y z x x dpcm
1đ
Bài 6) Điều kiện x0 , bất phương trình
2007
− x <2008
2007 2008
x x
(2008 2007)
0 2007 2008
x x
x x
Hoặc biểu diễn trục số :
1đ
Trong phần, câu, thí sinh làm cách khác cho kết đúng, hợp logic cho điểm tối đa phần, câu tương ứng
ĐỀ 2
2007 2008
0
F
E
M
G H
D C
B
(4)ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP Mơn: Tốn
Thời gian: 150 phút
Bài 1: a) Giải phương trình: x4- x3+ -x2 11x+ =10 0 b) Tìm x, y thoả mãn:x- 2 x- =- +1 y 4 y- 4
Bài 2. Rút gọn
3 3 3 3
2 3 2 2 2 3 2 2
A= - + +
- + + - .
Bài 3. Tìm GTNN (nếu có) biểu thức sau:
2
4 12 9 4 20 25
P= x + x+ + x - x+ .
2 2 2 2 2008
Q=x + y + xy- x+ .
Bài 4. Cho đường trịn tâm O đường kính AB Trên đường kính AB lấy hai điểm I J đối xứng qua O M điểm (khác A B) (O); đường thẳng MO, MI, MJ thứ tự cắt (O) E, F, G; FG cắt AB C Đường thẳng qua F song song AB cắt MO, MJ D K Gọi H trung điểm FG
a) Chứng minh tứ giác DHEF nội tiếp
b) Chứng minh CE tiếp tuyến đường tròn (O)
ĐÁP ÁN
Bài 1: a) x4- x3+ -x2 11x+ =10 0 Û (x- 1)(x- 2)(x2+2x+ =5) 0
Û (x- 1)(x- 2)=0 (vì x2+2x+ = + + > " Ỵ ¡5 (x 1) 0, x )
1 2
x x
é = ê Û
ê = ë
b) x- 2 x- =- +1 y 4 y- 4
2
( x 1 1) ( y 4 2) 0
Û - - + - - =
1 1
4 2
x y
ìï - =
ïï Û íï
- =
ïïỵ
2 8
x y
ì = ïï
Û íï =
ïỵ
Bài
3 3 3 3
2 3 2 2 2 3 2 2
A= - + +
- + + - .
2( 3) 2( 3)
4 3 4 4 4
- +
= +
- + +
2( 3) 2( 3)
3 4 3 4
- +
= +
- + +
2
2( 3) 2( 3)
3 9
- + +
=
(5)-K D
H C
G E
F
I J
B O
A
M
24 2
4 2 6
=
=
-Bài P= 4x2+12x+ +9 4x2- 20x+25 = 2x+ + -3 5 2x ³ 2x+ + -3 2x =8 Vậy, Pmin=8
3 5
(2 3)(5 ) 0
2 2
x+ - x ³ Û - £ £x
Q=x2+2y2+2xy- 2x+2008
2
2
( ) 2( ) 1 2 1 2006
( 1) ( 1) 2006 2006; ,
x y x y y y
x y y x y
= + - + + + + + +
= + - + + + ³ "
Vậy, Qmin=2006
1 0 2
1 0 1
x y x
y y
ì + - = ì =
ï ï
ï Û ï
í í
ï + = ï
=-ï ï
ỵ ỵ
Bài
a) Ta có: OI =OJ Þ DF =DK
//
DH GK
Þ Þ HDE· =GME·
mà GME· =GFE· Þ HDE· =GFE· Þ DHEF nội tiếp
b) Từ câu a suy raDEH· =DFH·
mà DFH· =OCH· Þ OHEC nội tiếp Þ OEC· =OHC· =900 Vậy CE tiếp tuyến (O)
ĐỀ 3
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2007-2008
MÔN: TỐN LỚP
Thời gian làm bài: 90 phút(khơng kể thời gian phát đề) B Phần Tự luận(7,0 điểm)
1 Cho (x+√x2+3)(y+√y2+3)=3 Tính giá trị biểu thức A = x + y
(1,0 điểm)
2 Cho x > Tìm giá trị nhỏ biểu thức (1,0 điểm)
B=( x+1
x)
6
−(x6+ x6)−2
(x+1 x)
3
+x3+ x3
(6)(1,0 điểm)
4 Trong (Oxy) cho đường thẳng (d1): y = - m(x -2) ; (d2): y + - m(x + 2) = (2,0
điểm)
a Tìm điểm cố định A (d1), B (d2) Viết phương trình đường thẳng AB
(1,0 điểm)
b Tìm quỹ tích giao điểm M (d1) (d2)
(0,5 điểm)
c Xác định m để điểm M trùng điểm A (0,5 điểm)
5 Cho đường thẳng (d), đường thẳng vng góc với (d) H(H nằm (d)), lấy điểm A, (d) lấy điểm T( T khác H)
(2,0 điểm)
a Dựng tâm O đường tròn (O) qua A tiếp xúc (d) T (1,0 điểm)
b Đường thẳng qua T vng góc với AT cắt AH B, cắt (O) C, Cho AH =h, HT = x Tính bán kính đường trịn (O) theo h x
(0,5 điểm)
c Tiếp tuyến đường tròn (O) A cắt (d) tai E, AC cắt (d) D Xác định x để T trung điểm ED
(0,5 điểm)
HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2007-2008
MƠN: TỐN LỚP B Phần Tự luận(7,0 điểm)
1 Cho (x+√x2+3)(y+√y2+3)=3 (1) Tính giá trị biểu thức A = x + y
(1,0 điểm)
Nhân hai vế (1) cho (x −√x2+3) ta có
−3(y+√y2+3)=3 (x −√x2+3) (2)
(0,25 điểm)
Nhân hai vế (1) cho (y −√y2
+3) ta có −3(x+√x2+3)=3 (y −√y2+3) (3)
(0,25 điểm)
Cộng (2) (3) ta có: −3(y+√y2+3+x+√x2+3)=3 (x −√x2+3+y −√y2+3)
(0,25 điểm)
<=> 6(x + y) = <=> x + y = Kết luận: A =
(0,25 điểm)
(7)B=(
x+1
x)
6
−(x6+
x6)−2
(x+1
x)
3
+x3+
x3
=> B=(
x+1
x)
6
−(x3+
x3)
(x+1
x)
3
+x3+
x3 =>
B=[( x+1
x)
3
]2−(x3
+ x3)
2
(x+1 x)
3
+x3+ x3
(0,5đ)
=> B=(x+1 x)
3
−(x3+
x3) => B=3(x+
x) => B ≥6
Vậy : B = <=> x = (0,5 điểm)
3 Giải phương trình: √x+2+2√x+1+√x+2−2√x+1=2 (1) (1,0 điểm)
Điều kiện: x ≥ −1 (*)
(1) => √(√x+1+1)2+√(√x+1−1)2=2
(0,25 điểm)
=> √x+1+1+|√x+1−1|=2 (2) * Nếu √x+1−1≥0⇒√x+1≥1⇒x ≥0
(2) => √x+1+1+√x+1−1=2⇒√x+1=1⇒x=0 (**) (0,25 điểm)
* Nếu √x+1−1<0⇒√x+1<1⇒x<0
(2) => √x+1+1+1−√x+1=2⇒∀x<0 (***)
(0,25 điểm)
Từ (*), (**), (***) phương trình có nghiệm: −1≤ x ≤0 (0,25 điểm)
4 Trong (Oxy) cho đường thẳng (d1): y = - m(x -2) ; (d2): y + - m(x + 2) =
a Tìm điểm cố định A (d1), B (d2) Viết phương trình đường thẳng AB (1,0
điểm)
Ta có: Giả sử A(x; y) điểm cố định (d1) <=> y = - m(x -2) ∀m
<=> {3x −2=− y=00⇔{x=2y=3 Vậy A(2; 3)
(0,5 điểm)
Ta có: Giả sử B(x; y) điểm cố định (d2) <=> y + - m(x + 2) = ∀m
<=> {y+3=0x+2=0⇔{y=−3x=−2 Vậy B(- 2; - 3)
(0,25 điểm)
Phương trình đường thẳng AB: y=3 2x
(8)b Tìm quỹ tích giao điểm M (d1) (d2)
(0,5 điểm)
Tọa độ giao điểm (d1) (d2) nghiệm hệ phương trình
{ y=3−m(x −2)
y+3− m(x+2)=0⇔{
x=
m, m ≠0 y=3−m(x −2)
(0,25 điểm)
Khử tham số ta có quỹ tích điểm M có phương trình
6
,
y x x
(0,25 điểm)
c Xác định m để điểm M trùng điểm A (0,5 điểm)
Để M trùng A <=>
3
2
2 m m
(0,25 điểm Thay x = 2,
3
m
ta có y = Vậy
3
m
thoả mãn toán (0,25 điểm)
5
a Dựng tâm O đường tròn (O) qua A tiếp xúc (d) T (1,0 điểm)
Dựng đường thẳng (a) qua O vng góc với (d) (0,25 điểm)
Dựng đường trung trực (b) đoạn AT (0,25 điểm)
Giao điểm (a) (b) tâm O đường tròn (O) cần dựng (0,5 điểm)
b Đường thẳng qua T vng góc với AT cắt AH B, cắt (O) C, Cho AH =h, HT = x Tính bán kính đường trịn (O) theo h x
(0,5 điểm)
Ta có (a) // AB O trung điểm AC => T trung điểm BC => tam giác ABC cân A => AB = AC = 2R
Xét tam giác vuông HAT: AT2 = AH2 + HT2 = h2 + x2
Xét tam giác vuông TAB: AT2 = AH.AB = h.2R
(0,25 điểm)
=> 2hR = h2 + x2 =>
2
2
h x
R
h
(9)(0,25 điểm)
c Tiếp tuyến đường tròn (O) cắt (D) tai E, AC cắt (d) D Xác định x để T trung điểm ED
Để T trung điểm ED => AT=1
2ED⇒ΔAET
=>
3
,
2
AH ET ET x
(0,25 điểm) =>
2 3
2
h x x h
Vậy
3
x h
T trung điểm ED (0,25 điểm)
x
(a)
(b)
H
C O
D E
B
T A
ĐỀ 4
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2007-2008
MÔN: TỐN LỚP
Thời gian:90 phút(khơng kể thời gian phát đề) Phần Tự luận(7,0 điểm)
3 Phân tích đa thức thành nhân tử
(a + b + c)3 - (a + b - c)3 - (b + c - a)3 - (c + a - b)3 (1,0 điểm)
4 Tìm a, b, c để tam thức f(x) = ax3 + bx2 + c chia hết cho x + 2, chia cho
(10)5 Chứng minh đẳng thức
x3(y2− z2)+y3(z2− x2)+z3(x2− y2) x3
(y − z)+y3(z − x)+z3(x − y) =
yz+zx+xy
x+y+z (1,0 điểm)
6 Cho biểu thức : A= 3(x+1) x3
+x2+x+1 Tìm x để A lớn (1,0 điểm)
7 Giải phương trình:
x 2000+
x+1 2001+
x+2 2002+
x+3 2003+
x+4 2004+
x+5 2005+
x+6 2006+
x+7 2007 +
x+8
2008=9 (1,5 điểm)
8 Cho hình thang ABCD đáy nhỏ BC Từ trung điểm I CD, kẻ đường thẳng d // AB, AH⊥d ,BE⊥d Chứng minh SABEH = SABCD (1,5 điểm)
HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2007-2008 MƠN: TỐN LỚP
Phần Tự luận(7,0 điểm)
1 Phân tích đa thức thành nhân tử (1,0 điểm)
(a + b + c)3 - (a + b - c)3 - (b + c - a)3 - (c + a - b)3
Đặt x = a + b - c; y = b + c –a; z = c + a – b
=> x + y + z = a + b + c; x + y = 2b; y + z = 2c; z + x = 2a Ta có:(a + b + c)3 - (a + b - c)3 - (b + c - a)3 - (c + a - b)3
= (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3
= [(x + y + z)3 – x3 ] – (y3 + z3) (0,25 điểm)
= (x + y + z - x)[(x + y + z)2 + x(x + y + z) + x2 ] - (y + z)(y2 - yz + z2)
= (y + z)[(x + y + z)2 + x(x + y + z) + x2 - y2 + yz - z2 ] (0,25 điểm)
= (y + z)(x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx+x2+xy+xz+x2- y2 + yz - z2 )
= (y + z)(3x2 + 3xy + 3yz + 3zx)
= 3(y + z)[x(x + y) + z(x + y)] (0,25 điểm) = 3(y + z)(x + y)(x + z)
= 2c.2b.2a = 24abc (0,25 điểm)
Vậy (a + b + c)3 - (a + b - c)3 - (b + c - a)3 - (c + a - b)3 = 24abc
2 Tìm a, b, c để tam thức f(x) = ax3 + bx2 + c chia hết cho x + 2, chia cho x2 - dư
là x + (1,0 điểm)
Ta có:
( 2) (1) ( 1)
f f f
8
6
a a c
a b c a b c
1
a b c
(0,75 điểm)
Vậy f(x) = x3 + x2 + 4 (0,25 điểm)
3 Chứng minh đẳng thức
x3(y2− z2)
+y3(z2− x2)+z3(x2− y2) x3
(y − z)+y3(z − x)+z3(x − y) =
yz+zx+xy
x+y+z (1,0 điểm)
Xét tử thức vế trái:
3 2 2 2
x y z y z x z x y
= x3(y2 – z2) + y3 [(z2 – y2) + (y2 – x2)] + z3(x2 – y2)
= x3(y2 – z2) + y3(z2 – y2) + y3(y2 – x2) + z3(x2 – y2)
= (y2 – z2)(x3 – y3) + (x2 – y2)(z3 – y3) (0,25 điểm)
= (y – z)(x – y)[(y + z)(x2 + xy + y2) – (x + y)(y2 + yz + z2)]
= (y – z)(x – y)(x2y+xy2+y3+x2z+xyz+y2z-xy2-xz2-xyz-y3-yz2-y2z)
= (y – z)(x – y)(x2y – yz2 + x2z – xz2)
= (y – z)(x – y)[y(x2 – z2) + xz(x – z)]
= (y – z)(x – y)(x – z)[y(x + z) + xz]
(11)= x3(y – z) + y3 [(z – y) + (y – x)] + z3(x – y)
= x3(y – z) + y3(z – y) + y3(y – x) + z3(x – y)
= (y – z)(x3 – y3) + (x – y)(z3 – y3) (0,25 điểm)
= (y – z)(x – y)(x2 + xy + y2 - y2 - yz - z2)
= (y – z)(x – y)(x2 – z2 + xy – yz)
= (y – z)(x – y)(x – z)(x + y + z)
( )( )( )( )
( )( )( )( )
y z x y x z xy yz zx xy yz zx
VT
y z x y x z x y z x y z
Vậy đẳng thức chứng minh (0,25 điểm)
4 Cho biểu thức : A= 3(x+1)
x3+x2+x+1 Tìm x để A lớn (1,0 điểm)
Ta có: A=
3(x+1) x3
+x2+x+1
3( 1)
( 1) ( 1)
x
x x x
3( 1)
( 1)( 1)
x
x x
3
x
(0,5 điểm)
Mà
2
2
3
1
1
x
x
(0,25 điểm)
A đạt giá trị lớn x = (0,25 điểm) Giải phương trình:
x 2000+ x+1 2001+ x+2 2002+ x+3 2003+
x+4 2004+
x+5 2005+ x+6 2006+ x+7 2007 + x+8
2008=9 (1)(1,5 điểm)
Ta có: (1)
⇔( x
2000−1)+( x+1
2001−1)+( x+2
2002−1)+( x+3
2003 −1)+( x+4
2004 −1)+( x+5
2005−1)+( x+6 2006 −1) +( x+7
2007−1)+( x+8
2008−1)=0
(0,5 đ)
⇔x −2000
2000 +
x −2000 2001 +
x −2000 2002 +
x −2000 2003 +
x −2000 2004 +
x −2000 2005 +
x −2000 2006 +
x −2000 2007 +
x −2000 2008 =0
⇔(x −2000)( 2000+ 2001+ 2002+ 2003+ 2004+ 2005+ 2006 + 2007+
2008)=0 (0,5 điểm)
⇔x −2000=0⇔x=2000
Vậy phương trình (1) có nghiệm x = 2000 (0,5 điểm) Cho hình thang ABCD đáy nhỏ BC Từ trung điểm I CD, kẻ đường thẳng
d // AB, AH⊥d ,BE⊥d Chứng minh SABEH = SABCD (1,5 điểm)
Gọi J, K giao điểm đường thẳng d với BC, AD
ΔIKD=ΔIJC(c.g.c)⇒SΔIKD=SΔIJC⇒SABCD=SABJK (1) (0,5 điểm) Và ΔEBJ=ΔHAK⇒SΔEBJ=SΔHAK (0,5 điểm) Mà
ABEH ABEK HAK
ABEH ABJK ABJK ABEK EBJ
S S S
S S
S S S
(2) (0,25 điểm)
(12)I
(d)
K B
A D
C
H
E J
ĐỀ 5
ĐỀ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2007 -2008
MƠN THI : TỐN
Thời gian làm bài: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề)
Câu 1:(1,5 điểm). So sánh số thực sau ( Khơng dùng máy tính gần đúng) 3 2 2 3
Câu 2:(3 điểm). Giải phương trình sau: x2 1 x 1 0
Câu 3:(1,5điểm). Tìm giá trị nhỏ
2
2
x 1 A
x 1
Câu 4: (2 điểm) Giải hệ phương trình:
2x2 + 3y = 1
3x2 - 2y = 2
Câu 5: (4 điểm) Lớp 9A có 56 bạn, có 32 bạn nam Cơ giáo chủ nhiệm dự kiến chia lớp thành tổ học tập:
- Mỗi tổ gồm có bạn nam, bạn nữ
- Số bạn bạn nam, bạn nữ chia vào tổ
- Số người tổ không 15 người khơng chín người Em tính xem giáo xếp có tất tổ ?
Câu 6: (5điểm) Cho đường trịn tâm (O; R) đường kính AB CD vng góc với Trong đoạn AB lấy điểm M khác Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) điểm thứ hai N Đường thẳng vng góc với AB M cắt tiếp tuyến với đường tròn (O) N điểm P Chứng minh rằng:
a) Các điểm O, M, N, P nằm đường trịn b) Tứ giác CMPO hình bình hành
c) CM.CN = 2R2
d) Khi M di chuyển đoạn AB P di chuyển đâu ?
Câu 7: ( 3điểm) Cho đường tròn (O, R), đường kính AB C điểm đường tròn (O, R) Trên tia đối tia CB lấy điểm D cho CD = CB Khi C chuyển động đường trịn (O, R) D chuyển động đường nào?
(13)Câu Nội dung – yêu cầu Điểm
1 (1,5đ)
Giả sử 3 2 > 2 3
2
3 2 2 3
2 2
3 2 3 3 2 2 3 18 12
(BĐT đúng) 0,5 1,0 2 (3đ)
2 2
2
2
2 2
2 2
x 1 x 1 0 x 1 x 1
x 1 0 x 1
x 1 x 1 x 1 x 1 0
x 1 hay x 1 x 1 hay x 1
x 1 x 1 1 0 x 1 0hay x 2 0 x 1 hay x 1
x hay x 1 hay x 2 hay x 2
0,5 1,0 1,0 0,5 3 (1,5đ) Ta có 2
2 2
2
2
x 1 x 1 2 2
A 1
x 1 x 1 x 1
1 2
Do x 1 1 1 2
x 1 x 1
Suy A 1
A 1 x 0
Vậy GTNN A x =
0,5 0,5 0,5
4
(2đ) Đặt u = x
2 0, ta có:
2u + 3y =
8 13 u
3u - 2y =
1 13 y Do đó: 8 13 x 1 13 y
Hệ PT có nghiệm là:
2 26 1 2 26 1
( , ) ( , ); ( , )
13 13
13 13
x y
0,25 0,75 0,25 0,5 0,25 5
(4đ) * Gọi số bạn nam chia vào tổ x,
số bạn nam chia vào tổ y, x, y nguyên dương
0,5
2 2 2 26
13 13
x
1 13 y
(14)Theo đề ta có hệ:
32 24
x y (1)
x + y 15 (2)
Từ (1) ta có: 3x – 4y = =>
4 3 x y Đặt y = 3t, t > t z, ta có: x = 4t
Từ (2), ta có: 3t + 4t 15 hay 7t 15
=> 9
7 < t
15
7 =>
2 2
1 2
7 t 7 Vì t z nên giá trị t cần tìm t = 2, ta tính x= 8; y = 6
Như vậy, tổ có bạn nam, bạn nữ Số tổ chia là:
56 4 6 8 tổ
0,75
0,5 0,25
0,5 0,5 0,5 0,5
6 (5đ)
C a)
A B
N
E P D F
* Tam giác OMP vuông M nên O, M, P thuộc đường trịn đường kính OP
* Tam giác ONP vuông N nên O, N, P thuộc đường trịn đường kính OP * Vậy O, M, N, P thuộc đường trịn đường kính OP
b) MP//OC (vì vng góc với AB)
NMP NCD (hai góc đồng vị)
ONC OCN (hai góc đáy tam giác cân ONC)
NMP NOP (hai góc nội tiếp chắn cung NP)
Suy MNO NOP ; đó, OP//MC.
Vậy tứ giác MCOP hình bình hành c) CNDCOM g g( )
Nên
OC CM
CN CD hay CM.CN = OC.CD = 2R2
d) Vì MP = OC = R khơng đổi
Vậy P chạy đường thẳng kẻ từ D //AB Do M chạy đoạn AB nên P chạy EF thuộc đường thẳng song nói
0,5
0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5
7
M O
(15)(3đ)
*ACB90o (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)
=> AC vng góc với BD CD = CB (gt)
Tam giác ABC cân A AD = AB = 2R (không đổi)
AD = AB = 2R (không đổi) A cố định Do D chuyển động đường tròn (A; 2R)
0,5
0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 C
A B