Phương trình nghiệm kép

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN VĂN PÁO PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM KÉP CHUN NGÀNH: TỐN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60.46.40.01.13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Thái Ngun - 2013 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Luận văn hồn thành TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NÔNG QUỐC CHINH Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: Trường Đại học khoa học - ĐHTN Ngày tháng năm 2013 Có thể tìm hiểu luận văn thư viện Đại học Thái Ngun Số hóa trung tâm học lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Nghiệm đa thức - Nghiệm phương trình 1.1 Nghiệm đa thức 1.2 Nghiệm bội tính chất nghiệm bội 1.3 Công thức Viet 1.4 Nghiệm đa thức với hệ số nguyên 1.5 Tính chặn nghiệm C Phương pháp nghiệm kép 2.1 Cơ sở phương pháp nghiệm kép 2.2 Nghiệm bội phương trình 2.3 Nghiệm kép phương trình vấn đề đường cong tiếp xúc trục hoành 2.4 Bài tốn tiếp tuyến khơng dùng phương pháp nghiệm kép 2.5 Bài toán nghiệm kép viết phương trình tiếp tuyến 2.6 Bài toán nghiệm kép xét tiếp xúc hai đồ thị 2.6.1 Nghiệm đa thức bậc hai bất đẳng thức 2.6.2 Nghiệm đa thức bậc n bất đẳng thức 2.6.3 Các ví dụ 4 5 10 với 13 15 17 19 20 20 21 Kết luận 24 Tài liệu tham khảo 25 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ MỞ ĐẦU Nghiệm đa thức phần quan trọng nhiều lĩnh vực Toán hoc, chẳng hạn: Đại số, Giải tích, Hình học, Tốn rời rạc vv Trong chương trình tốn phổ thơng, phần đa thức nghiệm đa thức chủ yếu đưa vào môn Đại số Giải tích Đặc biệt kỳ thi đại học, học sinh giỏi quốc gia quốc tế có tốn liên quan đến nghiệm bội đa thức Chính mà chun đề nghiệm bội đa thức thiết thực với muốn tìm hiểu sâu tốn sơ cấp Từ kết đạt phương pháp nghiệm bội đa thức vận dụng giải số tốn hình học phức tạp, giải hệ phương trình xây dựng số kết Tổ hợp, chứng minh bất đẳng thức Khi xét đa thức ta thường quan tâm đến nghiệm, nghiệm bội đa thức Nội dung luận văn nhằm giải hai vấn đề chính: Vấn đề 1: Chứng minh lại, số kết nghiệm nghiệm bội phương trình mà kết gắn liền với tên tuổi nhà toán học lỗi lạc Vận dụng kết đạt để giải số toán đặt Vấn đề 2: Đưa sở phương pháp nghiệm kép, vận dụng phương pháp nghiệm kép giải: Bài tốn tiếp xúc với trục hồnh; tốn tiếp xúc hai đồ thị; Bài toán tiế tuyến; Bài toán tiếp tuyến không dùng phương pháp nghiệm kép Luận văn chia làm hai chương Chương I: Nghiệm đa thức (1) Nội dung chương I trình bày số khái niệm vành đa thức, nghiệm đa thức, nghiệm phương trình Chương II: Phương pháp nghiệm kép (2) Nội dung chương II trình bày sở phuwownbg pháp nghiệm kép, vận dụng phương pháp nghiệm kép giải toán: Bài toán tiếp xúc với trục hồnh; tốn tiếp xúc hai đồ thị; Bài toán tiế tuyến; Bài toán tiếp tuyến khơng dùng phương pháp nghiệm kép, tốn nghiệm kép vận dụng giải bất đẳng thức Dù cố gắng, chắn nội dung trình bày luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót định, em mong nhận góp ý thầy giáo bạn Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Luận văn hồn thành hướng dẫn khoa học GS.TS Nông Quốc Chinh Em xin tỏ lòng cảm ơn chân thành tới thầy giúp đỡ nhiệt tình từ xây dựng đề cương, viết hoàn thành luận văn Tiếp theo em xin chân thành cảm ơn thầy giáo phản biện đọc góp ý để em hồn thiện luận văn Em xin cảm ơn chân thành tới Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, nơi em nhận học vấn sau đại học Xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp cảm thông, chia sẻ, ủng hộ giúp đỡ thời gian em học cao học viết luận văn Lời cuối em xin chúc sức khỏe thầy cô giáo đồng nghiệp Em xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày tháng năm 2013 Người thực Bàn Vàng Pao Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương Nghiệm đa thức - Nghiệm phương trình 1.1 Nghiệm đa thức Định nghĩa 1.1.1 Giả sử K trường số đó, A trường K Một phần tử α ∈ K gọi nghiệm đa thức f (x) ∈ A[x] f (α) = Ta nói α nghiệm phương trình đại số f (x) = Nếu degf (x) = n gọi phương trình đại số bậc n(n ≥ 1) Định lý 1.1.2 (Định lý Bezout) Cho vành đa thức A[x] , f (x) ∈ A[x] , α ∈ A Dư phép chia f(x) cho x − α f (α) Hệ 1.1.3 Phần tử α ∈ A nghiệm đa thức f (x) ∈ A[x], f (x) chia hết cho x − α A[x] f (α) = ⇔ f (x) = (x − α).q(x) tức f (α) (x − α) Định lý 1.1.4 Mọi đa thức f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + + an−1 x + an ∈ A[x] , a0 = viết dạng f (x) = a0 (x − α1 )(x − α2 ) (x − αn ) vành K[x] Ở α1 , α2 , , αn nghiệm đa thức f (x) trường mở rộng K A 1.2 Nghiệm bội tính chất nghiệm bội Định nghĩa 1.2.1 Giả sử k số tự nhiên khác Một phần tử α ∈ A gọi nghiệm bội cấp k Soá hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ đa thức f (x) ∈ A[x] f (x) chia hết cho (x − pα)k đồng thời không chia hết cho (x − α)k+1 f (x) = (x − α)k q(x) (q(α) = 0), k = α gọi nghiệm đơn k = α gọi nghiệm kép Định lý 1.2.2 (Định lí đại số cổ điển) Mọi đa thức f (x) với hệ số phức, deg f (x) ≥ có n nghiệm phức, kể số bội nghiệm 1.3 Công thức Viet Định lý 1.3.1 Cho f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + + an−1 x + an ∈ A[x] , a0 = đa thức f (x) = a0 (x − α1 )(x − α2 ) (x − αn ) Ở đây, α1 , α2 , , αn nghiệm đa thức f (x) Khi đó,  a1   α1 + α2 + + αn = −   a0   a2   α1 α2 + α2 α3 + + αn−1 αn =    a0  (1.1) k ak  α α α + + α α α = (−1)  k n−k+1 n−k+2 n   a0      an   α1 α2 αn = (−1)n  a0 1.1 Gọi công thức Viet 1.4 Nghiệm đa thức với hệ số nguyên Với f (x) ∈ Q[x] ln tìm số nguyên m = để mf (x) = g(x), g(x) ∈ Z [x] (m-mẫu số chung hệ số f (x)) ∀α ∈ Q , f (α) = ⇔ g(α) = Do đó, để xét nghiệm đa thức Q, ta cần xét nghiệm đa thức Z Định lý 1.4.1 Nếu u v số nguyên tố số hữu tỉ u α = nghiệm đa thức với hệ số nguyên v p(x) = a0 xn + a1 xn−1 + + an−1 x + an , a0 v an u Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Hệ 1.4.2 •Mọi nghiệm nguyên đa thức với hệ số nguyên ước hạng tử tự •Mọi nghiệm hữu tỉ đa thức với hệ số nguyên có hệ số cao nghiệm nguyên Bài toán Cho đa thức với hệ số nguyên f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + + an−1 x + an Chứng minh α nghiệm nguyên đa thức n−1 ϕ(x) = y n + a1 y n−1 + an−2 an−1 y + a0 an , α nghiệm đa thức cho a0 Định lý 1.4.3 Nếu số hữu tỉ α = u , v ((u, v) = 1) nghiệm đa thức với hệ số nguyên p(x) = a0 xn + a1 xn−1 + + an−1 x + an = 0, với số nguyên m, số p(m) (mv − u) Trong trường hợp đặc biệt (u + v) ước p(−1) (u − v) ước p(1) Hệ 1.4.4 Nếu α = ±1 nghiệm của đa thức f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + + an−1 x + an f (1) f (−1) nguyên 1−α 1+α Bây ta rằng, đa thức bậc dương thuộc C[x] có nghiệm C Đó nội dung Định lý đại số Người chứng minh Định lý nhà toán học C Gauss (1777-1855) Định nghĩa 1.4.5 Trường K gọi trường đóng đại số đa thức bậc dương thuộc K[x] có nghiệm K Như vậy, K[x] đa thức bậc dương phân tích thành tích nhân tử tuyến tính K trường đóng đại số Bổ đề 1.4.6 Mỗi đa thức bậc lẻ thuộc R[x] có nghiệm thực thuộc R Bổ đề 1.4.7 Mỗi đa thức bậc hai thuộc C[x] có hai nghiệm thuộc C Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Định lý 1.4.8 [D’Alembert - Gauss, Định lý đại số] Mọi đa thức bậc dương thuộc C[x] có nghiệm thuộc C Hệ 1.4.9 Mọi đa thức thuộc C[x] với bậc n > có n nghiệm C đa thức bất khả quy C[x] đa thức bậc Bổ đề 1.4.10 Cho f (x) ∈ R[x] \ R f (x) đa thức bất khả quy f (x) = ax + b với a = f (x) = ax2 + bx + c với a = b2 − 4ac < Định lý 1.4.11 Mỗi đa thức f (x) ∈ R[x] \ R phân tích cách thành dạng f (x) = a(x − a1 )n1 (x − as )ns (x2 + b1 x + c1 )d1 (x2 + br x + cr )dr với b2i − 4ci < cho i = 1, , r r Định lý 1.4.12 [Viét] Giả sử x1 , , xn n nghiệm đa thức bậc n sau đây: f (x) = xn − δ1 xn−1 + δ2 xn−2 − · · · + (−1)n δn Khi có hệ thức  δ1 = x1 + x2 + · · · + xn    δ2 = x1 x2 + x2 x3 + · · · + xn−1 xn    δn = x x x n Định lý 1.4.13 Giả sử f (x1 , x2 , , xn ) ∈ R[x1 , x2 , , xn ] đa thức đối xứng khác Khi tồn đa thức s(x1 , x2 , , xn ) ∈ R[x1 , x2 , , xn ] cho f (x1 , x2 , , xn ) = s(δ1 , δ2 , , δn ) 1.5 Tính chặn nghiệm C Bây ta rằng, đa thức bậc dương thuộc C[x] có nghiệm C Đó nội dung Định lý đại số Người chứng minh định lý nhà toán học C Gauss (1777-1855) Định nghĩa 1.5.1 Trường K gọi trường đóng đại số đa thức bậc dương thc K[x] có nghiệm K Như vậy, K[x] đa thức bậc dương phân tích thành tích nhân tử tuyến tính K trường đóng đại số Bổ đề 1.5.2 Mỗi đa thức bậc lẻ thuộc R[x] có nghiệm thực thuộc R Bổ đề 1.5.3 Mỗi đa thức bậc hai thuộc C[x] có hai nghiệm thuộc C Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Định lý 1.5.4 [D’Alembert - Gauss, Định lý đại số] Mọi đa thức bậc dương thuộc C[x] có nghiệm thuộc C Từ Định lý 1.5.4 suy kết sau đa thức bất khả quy C[x] Hệ 1.5.5 Mọi đa thức thuộc C[x] với bậc n > có n nghiệm C đa thức bất khả quy C[x] đa thức bậc Bổ đề 1.5.6 Cho f (x) ∈ R[x] \ R f (x) đa thức bất khả quy f (x) = ax + b với a = f (x) = ax2 + bx + c với a = b2 − 4ac < Định lý 1.5.7 Mỗi đa thức f (x) ∈ R[x] \ R phân tích cách thành dạng f (x) = a(x − a1 )n1 (x − as )ns (x2 + b1 x + c1 )d1 (x2 + br x + cr )dr với b2i − 4ci < cho i = 1, , r r Định lý 1.5.8 [Viét] Giả sử x1 , , xn n nghiệm đa thức bậc n sau đây: f (x) = xn − δ1 xn−1 + δ2 xn−2 − · · · + (−1)n δn Khi có hệ thức  δ1 = x1 + x2 + · · · + xn    δ2 = x1 x2 + x1 x3 + · · · + xn−1 xn    δn = x x x n Định lý 1.5.9 Giả sử f (x1 , x2 , , xn ) ∈ R[x1 , x2 , , xn ] đa thức đối xứng khác Khi tồn đa thức s(x1 , x2 , , xn ) ∈ R[x1 , x2 , , xn ] cho f (x1 , x2 , , xn ) = s(δ1 , δ2 , , δn ) Bổ đề 1.5.10 Cho đa thức f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an ∈ Z[x], a0 = Nếu p số hữu tỷ với (p, q) = nghiệm phương trình f (x) = q (i) p ước an q ước a0 (ii) p − mq ước f (m) cho số nguyên m Hệ 1.5.11 Nghiệm hữu tỷ đa thức f (x) = xn + a1 xn−1 + · · · + an ∈ Z[x] phải số ngun Số hóa trung tâm học lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Định nghĩa nghiệm bội Định nghĩa 2.2.2 Số u gọi nghiệm bội n (n số tự nhiên, n ≥ 2) phương trình f (x) = g(x) hàm số f (x) g(x) có đạo hàm đến cấp n − u số u nghiệm hệ phương trình:  f (x) = g(x)   f (x) = g (x) (2.4)   (n−1) f (x) = g (n−1) (x) với đạo hàm cấp n f (x), g(x) u không xác định, xác định f (n) (u) = g (n) (u) (2.5) Khi n = ta gọi nghiệm u nghiệm kép Từ định nghĩa ta thấy: Nếu u nghiệm bội k ≥ n phương trình f (x) = g(x) u thỏa mãn hệ 2.4 Tính chất nghiệm bội Ta có số tính chất sau nghiệm bội Tính chất Giả sử hai hàm số y = f (x) y = g(x) xác định tập D, đồ thị chúng tiếp xúc điểm có hồnh độ u ∈ D số u nghiệm bội n(n ≥ 2) phương trình f (x) = g(x) (2.6) Chứng minh Thật vậy, hai đồ thị tiếp xúc điểm M (u, v) u nghiệm hệ f (x) = g(x) (2.7) f (x) = g (x) Vậy số u nghiệm bội n với n ≥ 2.6 Ngược lại, u nghiệm bội n với n ≥ 2.6 u nghiệm hệ 2.7 n − ≥ nên hệ 2.4 có hai phương tình hệ 2.7 Từ hai đồ thị phải tiếp xúc điểm có hồnh độ u Khi tìm nghiệm bội hương trình ta thường quy tìm nghiệm bội đa thức tính chất sau có ích cho việc Tính chất Số u nghiệm đa thức F (x) F (x) = (x − u)n P (x) với P (x) đa thức khác không nhận u làm nghiệm Vậy số u nghiệm bội đa thức F (x) theo nghĩa biết (đa thức có Số hóa trung tâm học liệu 11 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ n nghiệm u) Sử dụng tính chất ta có Tính chất Giả sử b số thực tùy ý, số u nghiệm bội n đa thức am xm + am−1 xm−1 + + a1 x + a0 số u − b nghiệm bội n đa thức am (x + b)m + am−1 (x + b)m−1 + + a1 (x + b) + a0 Tính chất Giả sử f (x), g(x), h(x), r(x) đa thức với (u) = 0, r(x) = số u nghiệm bội n phương trình f (x) h(x) = g(x) r(x) (2.8) số u nghiệm bội n phương trình f (x).r(x) = g(x).h(x) Theo tính chất ta thược phép biến đổi tương đương mà khơng làm thay đổi nghiệm bội phương trình, minh họa ví dụ sau Ví dụ 2.2.3 Chứng minh đồ thị hàm số y= −m(x + 1) + x + (m = 0) m(x + 1) − tiếp xúc với đường thẳng cố định Ta lấy lại ví dụ đặt vấn đề nêu Ở sử dụng cách giải đơn nhất, có nhiều cách giải khác Chúng tơi bổ sung vài chỗ để lời giải xác, minh họa cho cách giải sở lý thuyết Bài giải: Giả sử đường thẳng y = a(x + 1) + b tiếp xúc với đồ thị hàm số nói với n = 0, hồnh độ u tiếp tuyến nghiệm bội n phương trình 2.2 với m = Tức u nghiệm bội n (với m(u + 1) = 0) phương trình 2.3 am(x + 1)2 + (m(1 + b) − − a)(x + 1) − − b = với m = Do tính chất 3, phương trình 2.3 có nghiệm bội n amx2 + (m(1 + b) − − a)x − − b = (2.9) có nghiệm bội n Vì 2.9 phương trình bậc hai nên nghiệm bội nghiệm kép Ta giải hệ điều kiện am = ∆=0 Số hóa trung tâm học liệu 12 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ a=0 (m((1 + b) − − a)2 − 4am(−1 − b) = a=0 a = b = −1 a = b = −1 Thử lại với a = b = −1 m = nghiệm kép phương trình 2.3 thỏa mãn điều kiện u = − (hay g(u) = tính chất nói trên) m 2.3 Nghiệm kép phương trình vấn đề đường cong tiếp xúc với trục hồnh Nghiệm bội đa thức gì? Định nghĩa 2.3.1 Đa thức bậc n ≥ có dạng P (x) = an xn + an−1 xn−1 + + a1 x + a0 nhận số thực α làm nghiệm bội k (k số nguyên dương) P (x) = (x − a)k Q(x) Q(x) đa thức với Q(α) = Trong trường hợp đặc biệt, nghiệm bội hai gọi nghiệm kép, nghiệm bội k = gọi nghiệm đơn Nếu kí hiệu P (i) (x) đạo hàm cấp i P (x) ta có kết Mệnh đề 2.3.2 Điều kiện có đủ để đa thức P (x) nhận α làm nghiệm bội k P (α) = 0, P (i) (α) = với k − giá trị i = 1, 2, 3, , k − P (k) (α) = Vậy có câu hỏi đặt Khi đường cong tiếp xúc với trục hoành? Mệnh đề 2.3.3 Đồ thị hàm số y = f (x) tiếp xúc với trục hồnh hệ phương trình f (x) = f (x) = có nghiệm Do ta thấy: Nếu kết hợp mệnh đề mệnh đề 2, ta nhận kết mối quan hệ tính tiếp xúc với trục hồnh đa thức nghiệm bội Số hóa trung tâm học liệu 13 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mệnh đề 2.3.4 Đồ thị hàm đa thức P (x) = an xn + an−1 xn−1 + + a1 x + a0 có bậc cao tiếp xúc với trục hoành P (x) có nghiệm bội k (với k ≥ 2) hay có hai nghiệm trùng Nhìn lại sai lầm Nếu cho điều kiện để đồ thị hàm số y = f (x) tiếp xúc với trục hồnh phương trình f (x) = có nghiệm kép nghiệm bội k (với k ≥ 2) sao? Sau dẫn số ví dụ minh họa cho sai lầm Ví dụ 2.3.5 Đồ thị hàm số y = f (x) = sin x − x tiếp xúc với trục hoành nào? Đồ thị hàm số y = sin x − x tiếp xúc với trục hoành x = y(0) = y (0) = 0, có lẽ ta lại có phương trình sin x − x = có nghiệm kép hay nghiệm bội! Một sai lầm khó phát hơn, thực phải tinh tế phát Ta thấy số tài liệu ôn thi đại học trường lập luận sau Hàm số bậc ba f (x) = (x − x0 )(ax2 + bx + c) tiếp xúc với trục hoành phương trình f (x) = có nghiệm kép Điều tương đương với hai trường hợp Trường hợp 1: Tam thức bậc hai ax2 + bx + c nhận x0 làm nghiệm, tức ⇔ ax20 + bx0 + c = Trường hợp 2: Tam thức bậc hai ax2 + bx + c có nghiệm kép, tức ∆ = b2 − 4ac = Sự tinh tế (tế nhị) chỗ hai bước lập luận sai lại cho kết Thật vậy, xem lại bước lập luận Đồ thị hàm bậc ba f (x) = (x − x0 )(ax2 + bx + c) tiếp xúc với trục hoành phương trình (x − x0 )(ax2 + bx + c) = có hai nghiệm trùng (Mệnh đề 3), điều tương đương với ax20 + bx0 + c = ∆ = b2 − 4ac = Số hóa trung tâm học liệu 14 (2.10) http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Nếu hai điều kiện 2.10 xảy f (x) nhận x0 nghiệm bội ba Ta dùng mệnh đề để chứng minh kết Bây ta xem xét bước Phương trình bậc ba (x − x0 )(ax2 + bx + c) = có nghiệm kép nghiệm kép x0 khác x0 Nếu nghiệm kép x0 phương trình ax2 + bx + c = phải có nghiệm x0 nghiệm khác x0 Nếu phương trình (x − x0 )(ax2 + bx + c) = có nghiệm kép khác x0 nghiệm nghiệm kép phương trình ax2 + bx + c = Vậy phương trình (x − x0 )(ax2 + bx + c) = có nghiệm kép     ax20 + bx0 + c = ∆ = b2 − 4ac > ax20 + bx0 + c = ∆ = b2 − 4ac = (2.11) Chúng ta hồn tồn sử dụng mệnh đề kiểm tra lại kết Điều kiện đề đường cong y = f (x) tiếp xúc với trục hoành tương đương với phương trình f (x) = có nghiệm kép, tin cậy hàm bậc hai, với đường cong khác cần phải xem xét lại cho chuẩn mực 2.4 Bài tốn tiếp tuyến khơng dùng phương pháp nghiệm kép Định lý 2.4.1 Đồ thị hàm số y = f (x) tiếp xúc với đồ thị hàm số y = g(x) hệ phương trình sau f (x) = g(x) f (x) = g (x) có nghiệm Ví dụ 2.4.2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) 2x2 − 3x + y= x−1 (C), biết tiếp tuyến qua A(4; 1) Số hóa trung tâm học liệu 15 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Bài giải: Đường thẳng d qua A(4; 1) với hệ số góc k có phương trình y =⇔ y = kx + − 4k Để d tiếp xúc với (C) hệ sau có nghiệm  2x2 − 3x +    = k(x − 4) + x−1 2x2 − 4x +   =k  (x − 1)2    2x − + = k(x − 1) + − 3k (∗) x−1 ⇔   2− =k (x − 1)2  1   2x − + = 2(x − 1) − + − 3k x − x − ⇔   k =2− (x − 1)2  3k   =− x−1 ⇔ 9k   k =2−  3k  =− ⇔  9kx2 − + 4k − =  3k   =− x−1 √2 ⇔ −2 ± 76  k= Vậy ta tìm hai tiếp tuyến (d1 ), (d2 ) có phương trình: √ −2 ± 76 y=( )(x − 4) + Nhận xét: Cần ý thủ thuật viết y = k(x−4)+1 dạng y = k(x−1)+(1−3k) Khi thay k = − vào (*), ta thay vào k(x − 1) không thay vào (x − 1)2 (1 − 3k) Số hóa trung tâm học liệu 16 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 2.5 Bài tốn nghiệm kép viết phương trình tiếp tuyến Ta biết, tốn tiếp tuyến giải hai cách nhờ mệnh đề sau: Mệnh đề 2.5.1 Đường thẳng y = ax+b tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f (x) thảo mãn hai điều kiện sau: • f (x0 ) = ax0 + b (Cách 1) f (x0 ) = a • Phương trình f (x) = ax + b có nghiệm bội x = x0 (Cách 2) Ta nghiên cứu sở lý thuyết cách mệnh đề 2.5.1, tức phương pháp nghiệm kép hàm số đa thức phân thức hữu tỉ mà chứng minh phù hợp với tốn phổ thơng Xét đa thức P (x) = a0 xn + a1 xn−1 + + an Ta nói x = x0 nghiệm bội k đa thức P (x) P (x) = (x − x0 )k Q(x), k > 1, k ∈ N Q(x) đa thức thỏa mãn Q(x0 ) = (Q(x) số) Ta gọi x0 nghiệm bội P (x) không cần rõ số k Nghiệm bội k = gọi nghiệm kép đa thức Mệnh đề 2.5.2 Đa thức P (x) có nghiệm x0 P (x0 ) = P (x0 ) = Mệnh đề 2.5.3 Đường thẳng d với phương trình y = ax + b tiếp tuyến đồ thị (C1 ) hàm số y = P (x) điểm x = x0 phương trình P (x) − (ax + b) = 0, có nghiệm bội x = x0 Đối với đồ thị hàm phân thức hữu tỉ có dạng y = U (x) , ta có V (x) Mệnh đề 2.5.4 Đường thẳng d với phương trình y = ax + b tiếp tuyến U (x) đồ thị (C2 ) hàm số y = điểm x = x0 phương trình V (x) U (x) − (ax + b)V (x) = 0, với V (x0 ) = có nghiệm bội x = x0 Số hóa trung tâm học liệu 17 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Áp dụng mệnh đề 2.5.4 vào xét hàm số có dạng ax2 + bx + c f (x) = , ax+b f (x) = ax + b ax+b (2.12) (2.13) Ta Mệnh đề 2.5.5 Đường thẳng y = ax+b tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f (x) điểm x = x0 với f (x) có dạng ?? 2.12 phương trình f (x) − (ax + b) = phương trình bậc hai có nghiệm kép x = x0 x2 + Ví dụ 2.5.6 Cho hàm số = có đồ thị (C) x Tìm tập hợp điểm M mà từ dó kẻ hai tiếp tuyến đến (C) mà hai tiếp tuyến vng góc với Bài giải: Giả sử điểm M (x0 ; y0 ) điểm mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình đường thẳng d qua M có hệ số góc a (d) : y = a(x − x0 ) + y0 Để tìm tọa độ giao điểm (C) (d) ta xét phương trình ⇔ x2 + = a(x − x0 ) + y0 x x=0 (a − 1)x − (ax0 − y0 )x − = (2.14) Đường thẳng (d) tiếp tuyến (C) phương trình 2.14 có nghiệm kép khác ⇔ a = x = ∆=0 (với a = hệ số a hệ số góc tiệm cận xiên y = x) Ta có ∆ = (ax0 − y0 )2 + 4(a − 1) ⇔ ∆ = x0 a2 − 2(x0 y0 − 2)a + y02 + Để qua M kẻ hai tiếp tuyến tới (C) vng góc với phương trình ∆ = có hai nghiệm a1 , a2 thỏa mãn a1 a2 = −1  x0 =  y +4 ⇔ = −1  x0 Soá hóa trung tâm học liệu 18 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ⇔ x20 x0 = + y02 = Vậy tập hợp điểm M phải tìm đường trịn x2 + y = 4, trừ giao điểm đường trịn với hai đường tiệm cận (do điều kiện x0 = a = 1) 2.6 Bài toán nghiệm kép xét tiếp xúc hai đồ thị Nếu bỏ phương pháp nghiệm kép việc giải số tốn trước khơng giải Trong chuyên đề xét số tốn mang tính điển hình để thấy ứng dụng phương pháp nghiệm kép toán tiếp xúc hai đồ thị hàm số Ví dụ 2.6.1 Tìm m để đồ thị hàm số y = (x + 2)(x2 − mx + m2 − 3) tiếp xúc với trục hoành Bài giải: Đồ thị hàm số y = f (x) tiếp xúc với truch hoành y = hệ phương trình ẩn x sau có nghiệm (I) f (x) = f (x) = Do đó, để đồ thị hàm số tiếp xúc với Ox điều kiện cần đủ (x + 2)(x2 − mx + m2 − 3) = (x2 − mx + m2 − 3) + (x + 2)(2x − m) =  x+2=0  (II) x2 − mx + m2 − = ⇔  x2 − mx + m2 − = (III) (x + 2)(2x − m) = Nếu t(x) = x2 − mx + m2 − hệ (I) có nghiệm ⇔ Hệ (II) hệ (III) có nghiệm, điều tương đương với ⇔ m2 + 2m + = m −3=0 t(−2) = m t( = ⇔ ⇔ m = −1 m = ±2 m ) = điều kiện để t(x) có nghiệm kép lời giải giải trước Nhạn xét Điều kiện t( Số hóa trung tâm học liệu 19 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 2.6.1 Nghiệm đa thức bậc hai bất đẳng thức Xét tam thức bậc hai f (x) = ax2 + bx + c, a = Mệnh đề 2.6.2 Giả sử x1 , x2 nghiệm f (x) = Khi có kết quả:  f (x) = a(x − x1 )(x − x2 )    b x1 + x2 = −  c a   x1 x2 = a Mệnh đề 2.6.3 Giả sử f (x) ∈ R[x] ∆ = b2 − 4ac Khi có kết sau: (i) f (x) > với giá trị x (ii) f (x) ≥ với giá trị x a>0 ∆0 ∆ ≤ (iii) f (x) < a độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh số thực x, y, z thỏa mãn hệ thức ax + by + cz = ayz + bzx + cxy ≤ yz + zx + xy ≤ Chứng minh Từ giả thiết ax + by + cz = suy cz = −ax − by Vì c > nên ayz + bzx + cxy ≤ ⇔ aycz + bczx + c2 xy ≤ Vậy ta phải ay(−ax − by) + bx(−ax − by) + c2 xy ≤ hay abx2 + (a2 + b2 − c2 )xy + aby ≥ Xét hàm số f (x, y) = abx2 + (a2 + b2 − c2 )xy + aby với ab > Có biệt thức ∆ = −(a + b + c)(a + b − c)(a − b + c)(−a + b + c)y ≤ 0, Số hóa trung tâm học liệu 21 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ nên với f (x, y) ≥ với x, y + by Vì z = − nên yz + zx + xy ≤ tương đương c ax2 + (a + b − c)xy + by ≥ Dễ dàng thấy ∆ ≤ Vậy yz + zx + xy ≤ Ví dụ 2.6.9 Chứng minh rằng, f (x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d ∈ R[x] có bốn nghiệm thực dương ac ≥ 16d b2 ≥ 36d Từ suy phương trình x4 + ax3 + 10x2 + cx + = khơng thể có bốn nghiệm dương với a, c ∈ R Chứng minh Giả sử bốn nghiệm f (x) = x1 , x2 , x3 , x4 > Từ bất đẳng thức 1 1 (x1 + x2 + x3 + x4 )( + + + ) ≥ 16 x1 x2 x3 x4 suy bất đẳng thức (−a)(−c) ≥ 16d hay ac ≥ 16d Vì b ≥ d nên b2 ≥ 36d Do 102 = 100 < 108 = 38.3 nên x4 + ax3 + 10x2 + cx + = khơng thể có bốn nghiệm dương Ví dụ 2.6.10 (VMO 2004) Giả sử x, y, z số thực dương thỏa mãn (x + y + z)3 = 32xyz Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức x4 + y + z T = (x + y + z)4 Chứng minh Ta thấy ngay, với số thực dương α ln có T (x; y; z) = T (αx, αy; αz) Vậy, không làm tính chất tổng qt giả thiết x + y + z = Khi x + y + z = 4, xyz = 2, x, y, z > Ta tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức x4 + y + z T = 256 Số hóa trung tâm học liệu 22 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Dễ thấy x, y, z nghiệm phương trình t3 − 4t2 + at − = 0, a = xy + yz + zx Do tính bình đẳng x, y, z nên coi x ≥ y, z Biểu diễn x4 + y + z = [x2 + y + z ]2 − 2[x2 y + y z + z x2 ] = 2[a2 − 32] + 288 2 Từ a = xy + yzz x = x(y + z) + yz = x(4 − x) + suy a = x(4 − x) + hay x x x≥ Từ (4 − x)2 = (y + z)2 ≥ 4yz = hay (x − 2)(x2 − 6x + 4) ≥ 0, x ≥ suy x ≤ x ≤ Khảo sát a = x(4 − x) + với ≤ x ≤ Ta có x a = với −2x − 1)(x2 − x − 1) , x2 ≤ x ≤ Từ suy √ 5−1 5≤a≤ √ 5−1 Xét x4 + y + z = 2[a2 − 32a] + 288 với ≤ a ≤ Ta Tmax = Và Tmin x = 2, y = z = 128 √ √ √ 383 − 165 1+ = x = − 5, y = z = 256 Số hóa trung tâm học liệu 23 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Kết luận Sau q trình tìm đọc tài liệu, đề tài hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu, cụ thể: Luận văn trình bày tốn nghiệm kép xem xét nhiều góc khác để thấy cần thiết tốn Tốn nói chung Tốn phổ thơng nói riêng Luận văn trình bày vấn đề sau: Bài tốn tìm nghiệm kép phương trình Bài tốn nghiệm kép ứng dụng Tốn phổ thơng Chúng tơi hy vọng nội dung luận văn phần minh họa cho thấy liên hệ hữu kiến thức đại số cao cấp (nói riêng), kiến thức tốn cao cấp (nói chung) với tốn chương trình phổ thông Hướng phát triển đề tài mở vơ hấp dẫn, hữu ích giáo viên dạy tốn trường phổ thơng Số hóa trung tâm học liệu 24 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Tự Cường : Giáo trình đại số đại Đại học quốc gia Hà Nội [2] Lê Thị Thanh Nhàn: Đại số đại cương Đại học Thái Nguyên [3] Đàm Văn Nhỉ, Bản tin dạy học nhà trường số 05 số 06, Đại học sư phạm Hà Nội 2011 [4] Ngô Thúc Lanh, Đại số số học (Tập II) , NXB Giáo Dục 1987 [5] Tuyển tập: The IMO Compendium 1959-2004 [6] S.lang, Đại số Nhà xuất Đại học trung học chun nghiệp Hà Nội, 1974 [7] http://www.apmath.spbu.ru/en/staff/uteshev/ Số hóa trung tâm học liệu 25 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ... nghiệm x0 nghiệm khác x0 Nếu phương trình (x − x0 )(ax2 + bx + c) = có nghiệm kép khác x0 nghiệm nghiệm kép phương trình ax2 + bx + c = Vậy phương trình (x − x0 )(ax2 + bx + c) = có nghiệm kép. .. chặn nghiệm C Phương pháp nghiệm kép 2.1 Cơ sở phương pháp nghiệm kép 2.2 Nghiệm bội phương trình 2.3 Nghiệm kép phương. .. nhận x0 nghiệm bội ba Ta dùng mệnh đề để chứng minh kết Bây ta xem xét bước Phương trình bậc ba (x − x0 )(ax2 + bx + c) = có nghiệm kép nghiệm kép x0 khác x0 Nếu nghiệm kép x0 phương trình ax2