Nghiên cứu các phép biến hình theo quan điểm nhóm

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀO QUANG DUY NGHIÊN CỨU CÁC PHÉP BIẾN HÌNH THEO QUAN ĐIỂM NHĨM LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN, THÁNG NĂM 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀO QUANG DUY NGHIÊN CỨU CÁC PHÉP BIẾN HÌNH THEO QUAN ĐIỂM NHĨM Chun ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Danh Nam THÁI NGUYÊN, THÁNG NĂM 2016 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU Chương NHĨM CÁC PHÉP BIẾN HÌNH 1.1 KHÁI NIỆM PHÉP BIẾN HÌNH 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Tích phép biến hình 1.2 NHÓM AFIN 1.2.1 Phép biến hình afin 1.2.2 Nhóm afin 1.2.3 Bất biến nhóm afin 1.3 NHÓM XẠ ẢNH 11 1.3.1 Phép biến hình xạ ảnh 11 1.3.2 Nhóm xạ ảnh 12 1.3.3 Bất biến xạ ảnh 14 1.4 NHĨM DỜI HÌNH 15 1.4.1 Phép dời hình 15 1.4.2 Nhóm dời hình 16 1.4.3 Bất biến nhóm dời hình 17 1.5 NHÓM ĐỒNG DẠNG 19 1.5.1 Phép đồng dạng 19 1.5.2 Nhóm đồng dạng 19 1.5.3 Bất biến nhóm đồng dạng 20 1.6 NHĨM TRỊN TRONG MẶT PHẲNG 22 1.6.1 Định nghĩa phép nghịch đảo 22 1.6.2 Các tính chất phép nghịch đảo 22 1.6.3 Ảnh đường thẳng đường tròn qua phép nghịch đảo 23 1.6.4 Hình học bảo tồn đường trịn 24 1.6.5 Bất biến nhóm trịn mặt phẳng 25 1.7 MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC LOẠI HÌNH HỌC 25 1.7.1 Mối quan hệ hình học afin hình học xạ ảnh 25 1.7.2 Mối quan hệ hình học afin hình học Ơclít 31 1.7.3 Sáng tạo toán 37 Chương VẬN DỤNG BẤT BIẾN CỦA CÁC NHĨM BIẾN HÌNH TRONG GIẢI TOÁN SƠ CẤP 46 2.1 CHỨNG MINH THẲNG HÀNG 46 2.2 CHỨNG MINH ĐỒNG QUY 58 2.3 CHỨNG MINH SONG SONG 63 2.4 CHỨNG MINH TÍNH TIẾP XÚC, TÍNH TRỰC GIAO 66 2.4.1 Bài toán bảo tồn tính tiếp xúc 66 2.4.2 Bài toán bảo tồn tính trực giao 72 2.5 BÀI TỐN QUỸ TÍCH VÀ DỰNG HÌNH 74 2.5.1 Bài tốn quỹ tích 74 2.5.2 Bài tốn dựng hình 77 KẾT LUẬN 82 TÀI LIỆU THAM KHẢO 83 MỞ ĐẦU Nhà tốn học Ơclít, tác phẩm “Cơ bản” đặt móng cho đời việc xây dựng hình học theo phương pháp tiên đề vào khoảng năm 300 trước công ngun Trong tác phẩm tiếng mình, ơng nêu tư tưởng sử dụng phép biến hình việc định nghĩa hai hình nhau, là: “Hai hình gọi chúng chồng khít lên nhau” Đến kỉ XVIII, khái niệm phép biến hình xuất cơng cụ để chuyển tính chất hình học (bất biến) từ hình sang hình sử dụng để giải số tốn Nó chưa xem đối tượng để nghiên cứu cuối kỉ XVIII Nhà toán học Bellavitis (1803 - 1880) nghiên cứu cách hệ thống phép biến hình lý thuyết hình ơng Với đời phương pháp tọa độ Đề-các hình coi tập hợp điểm Quan niệm đóng vai trị quan trọng lịch sử hình thành phát triển lý thuyết phép biến hình Đến cuối kỉ XIX, nhà toán học người Đức, Felix Klein (1849 - 1925) nghiên cứu hình học theo quan điểm nhóm phép biến hình Ơng phân loại tính chất hình học theo phép biến hình bảo tồn tính chất Từ đó, ơng phân loại hình học khác dựa việc nghiên cứu bất biến nhóm biến hình khác Ví dụ tập hợp phép dời hình lập thành nhóm với phép tốn tích phép dời hình hình học nhóm dời hình hình học Ơclít Như nhóm biến hình có hình học riêng nhóm Ngồi hình học Ơclít, chương trình hình học bậc đại học cịn có thứ hình học khác hình học đồng dạng, hình học afin, hình học xạ ảnh Các tốn khơng đề cập đến độ lớn hình, độ dài đoạn thẳng quan tâm tới thẳng hàng ba điểm, cắt vng góc với hai đường thẳng tốn hình học đồng dạng ta nghiên cứu bất biến phép đồng dạng mà thơi Ngồi hình học đồng dạng, hình học afin, hình học xạ ảnh phận hình học Ơclít Để hiểu rõ mối quan hệ hình học Ơclít với hình học khác, cần hiểu rõ mối quan hệ hình học nhóm với hình học nhóm nhóm Dựa bất biến nhóm, Felix Klein xếp lại loại hình học khác theo quan điểm đại Các nhóm biến hình xếp cụ thể sau: Nhóm xạ ảnh  Nhóm afin  Nhóm đồng dạng  Nhóm dời hình Hình học nhóm biến hình mơn học nghiên cứu bất biến nhóm vấn đề vận dụng bất biến nhóm giải tốn hình học Như vậy, ứng với nhóm biến hình trên, ta hệ thống hóa hình học khác theo quan hệ bao hàm sau: Hình học xạ ảnh  Hình học afin  Hình học đồng dạng  Hình học Ơclít Phép biến hình với khái niệm hàm số ánh xạ đưa vào chương trình sách giáo khoa mơn Tốn trường phổ thơng Ngồi mục tiêu phát triển tư hàm cho học sinh phổ thơng, phép biến hình cịn dùng để định nghĩa hai hình đồng dạng với công cụ hiệu để giải tốn hình học trường phổ thơng Chương NHĨM CÁC PHÉP BIẾN HÌNH 1.1 KHÁI NIỆM PHÉP BIẾN HÌNH 1.1.1 Định nghĩa Trong mặt phẳng không gian cho quy tắc f Với điểm M thuộc mặt phẳng không gian ta xác định điểm M’ thuộc mặt phẳng không gian theo quy tắc cho hay nói cách khác f ánh xạ mặt phẳng khơng gian Khi ta nói M’ ảnh M qua phép biến hình f, M gọi tạo ảnh M’ kí hiệu f: M  M’ Nếu quy tắc f xác định cho điểm mặt phẳng khơng gian f gọi phép biến hình trong mặt phẳng khơng gian Như ta thấy ảnh điểm M phép biến hình có nhiều tạo ảnh Do đó, ánh xạ f khơng thiết song ánh Nếu ảnh điểm M mặt phẳng ứng với tạo ảnh M, tức ánh xạ f song ánh ta nói f phép biến hình 1-1 Ví dụ phép biến hình 1-1: phép đối xứng tâm, phép đối xứng trục, phép tịnh tiến, phép quay, phép nghịch đảo Điểm M mặt phẳng không gian gọi điểm bất động (hay điểm kép) phép biến hình f f(O) = O Nếu điểm mặt phẳng không gian điểm bất động f f gọi phép đồng nhất, kí hiệu e(M) = M, với điểm M Trong mặt phẳng khơng gian cho phép biến hình f hình H Tập hợp ảnh điểm thuộc hình H qua phép biến hình tạo thành hình H’ gọi ảnh hình H kí hiệu f: H  H’ viết ngôn ngữ tập hợp H’ = {M’| M’ = f(M),  M  H} Nếu f(H) = H hình H gọi bất động (hay bất biến) qua phép biến hình f Đặc biệt, H bất biến phép biến hình f mà điểm H bất động hình H gọi hình cố định hay hình bất động hoàn toàn Chẳng hạn, phép đối xứng tâm ĐO tâm đối xứng O điểm bất động đường thẳng qua điểm O bất động Trong phép đối xứng trục Đd trục đối xứng d hình bất động hồn tồn đường thẳng (hoặc mặt phẳng) vng góc với d bất biến Trong chương trình sách giáo khoa phổ thơng, bậc THCS, “phép biến hình” xuất ngầm ẩn Lúc này, từ “phép”, “biến thành… ”, “ảnh” khơng sử dụng, học sinh chưa học khái niệm ánh xạ Cụ thể, sách giáo khoa đề cập đến đối xứng trục, đối xứng tâm mà khơng nói đến phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm Tuy nhiên, bậc THPT, phép biến hình hiểu ánh xạ từ mặt phẳng, hay tổng qt hơn, từ khơng gian, lên nó, mặt phẳng khơng gian nghiên cứu với tư cách tập hợp điểm “đặc trưng hàm” xuất 1.1.2 Tích phép biến hình Trong mặt phẳng khơng gian cho hai phép biến hình f g Với điểm M, f:M  M’ g: M’ M” Phép biến hình biến M  M” gọi tích hai phép biến hình cho kí hiệu g.f: M  M” Nếu g.f phép đồng ta nói g phép biến hình đảo ngược f Nếu ff = f2 = e ta nói phép biến hình có tính chất đối hợp Các phép biến hình có tính chất đối hợp phép đối xứng tâm, phép đối xứng trục, phép đối xứng qua mặt phẳng phép nghịch đảo Cho n phép biến hình f1, f2,…,fn-1, fn Tích n phép biến hình cho phép biến hình thực cách liên thứ tự xác định kí hiệu f = fnfn-1f2f1 Tích phép biến hình có tính chất sau đây: 1) Tính chất kết hợp, nghĩa f(gh) = (fg)h = fgh Điều có tích ánh xạ có tính chất kết hợp Như vậy, thay hai nhiều phép biến hình liên tiếp tích chúng, ngược lại, thay phép biến hình tích tương đương 2) Nói chung, tích phép biến hình khơng có tính chất giao hốn Tích hai phép biến hình f g gọi giao hoán fg = gf 3) Trong tập hợp phép biến hình mặt phẳng khơng gian, phép đồng e phần tử đơn vị phép tốn tích: ef = fe = f, f 4) Nếu phép biến hình f song ánh, tồn phép biến hình đảo ngược f Khi đó, tích hai phép biến hình đảo ngược phép đồng e: f-1f = ff-1 = e, f Định lý 1.1 Tập hợp phép biến hình 1-1 mặt phẳng khơng gian với phép tốn tích phép biến hình lập thành nhóm gọi nhóm phép biến hình 1-1 hay nhóm biến hình 1-1 Chứng minh Dễ thấy tích hai phép biến hình 1-1 phép biến hình 1-1 (vì tích hai song ánh song ánh) Do vậy, phép tốn tích hai phép biến hình đóng kín 1) Tích phép biến hình có tính chất kết hợp (do tính chất kết hợp phép tốn tích song ánh) 2) Phần tử đơn vị nhóm phép đồng e (vì phép đồng song ánh) 3) Với phép biến hình f tồn phép biến hình đảo ngược f -1 (do f song ánh) thỏa mãn đẳng thức: ff -1 = f -1f = e (e phép đồng nhất) Vậy, tập hợp phép biến hình 1-1 mặt phẳng khơng gian với phép tốn tích lập thành nhóm Một tính chất hình H gọi bất biến nhóm G khơng thay đổi ta dùng phép biến đổi f thuộc G để biến hình H thành hình khác Như vậy, ta nói rằng, tính chất hình H gọi bất biến nhóm G hình H' tương đương với H nhóm G có tính chất Hình học nghiên cứu bất biến nhóm gọi hình học nhóm Ví dụ, hình học nghiên cứu bất biến nhóm xạ ảnh gọi hình học xạ ảnh, hình học nghiên cứu bất biến nhóm afin gọi hình học afin, hình học nghiên cứu bất biến nhóm dời hình gọi hình học Ơclít,… Nếu ta xét nhóm G’ nhóm G hình học nhóm G’ hình học nhóm G có mối quan hệ sau đây: (i) Mọi bất biến nhóm G bất biến nhóm G’ (vì G’  G) Do kết tìm thấy hình học nhóm G áp dụng vào cho hình học nhóm G’ (ii) Có bất biến nhóm G’ mà khơng phải bất biến nhóm G, nghĩa hình học nhóm G’ phong phú hình học nhóm G Như vậy, nhóm rộng tính chất hình học nhóm ít, phạm vi áp dụng rộng; nhóm hẹp tính chất hình học nhóm phong phú, phạm vi áp dụng hẹp Trong khuôn khổ luận văn này, nghiên cứu nhóm nhóm biến hình 1-1 khơng gian chiều khơng gian chiều 1.2 NHĨM AFIN 1.2.1 Phép biến hình afin Trong mặt phẳng khơng gian, phép biến hình 1-1 biến mặt phẳng khơng gian thành nó, biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng gọi phép afin hay phép biến hình afin Một phép biến hình afin mặt phẳng hồn tồn xác định ta biết ba điểm không thẳng hàng, A, B, C A’, B’, C’ hai tam giác mặt phẳng tồn phép biến hình afin biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ Tương tự vậy, phép biến hình afin khơng gian hồn tồn xác định ta biết bốn điểm không đồng phẳng, A, B, C, D A’, B’, C’, D’ hai tứ diện khơng gian tồn phép biến hình afin biến tứ diện ABCD thành tứ diện A’B’C’D’ Từ ta có kết quả, mặt phẳng, phép biến hình afin phép đồng có ba điểm bất động khơng thẳng hàng Nếu phép biến hình afin f có hai điểm bất động phân biệt A, B điểm nằm đường thẳng AB điểm bất động Tương tự, không gian, phép biến hình afin phép đồng có bốn điểm bất động khơng đồng phẳng Nếu phép biến hình afin f có ba điểm bất động phân biệt A, B, C điểm nằm mặt phẳng (ABC) điểm bất động 69 minh phép nghịch đảo f(M, k = MD2) biến (I) thành nó, biến đường trịn Ơle ABC thành đường thẳng d tiếp xúc với (I) Lời giải Kí hiệu N giao điểm tia AI với cạnh BC, J tâm đường tròn bàng tiếp tiếp xúc với BC K Các điểm A N chia điều hồ đoạn IJ, điểm H N chia điều hồ đoạn DK Vì M trung điểm DK nên ta có MD2 = MN.MH = k (*) Từ (*) suy phép nghịch đảo cực M phương tích k biến điểm H thành điểm N, biến đường trịn Ơle qua H M thành đường thẳng d qua N Gọi d’ tiếp tuyến đường tròn Ơle M, d’ // d (H 2.28) Phép vị tự tâm G (G trọng tâm ABC) tỉ số – biến đường tròn Ơle thành đường tròn ngoại tiếp ABC, đường thẳng d’ thành đường thẳng x // d’, x // d Ta có góc tạo tia Ax với tia AN C  (so le) Mặt khác, ANH  C  A A Như vậy, ANd  C  2 A (góc ANC) Vậy khoảng cách từ I tới d bán kính đường trịn (I) d tiếp xúc với đường tròn (I) A x d d' G I B D H K N M C J Hình 2.28 70 Ví dụ 2.26 Cho hai đường trịn (C), (C’) giao hai điểm A, B Một đường tròn thay đổi  tiếp xúc với AB A cắt (C) (C’) P P’ Chứng minh PP’ qua điểm cố định đường tròn (BPP’) tiếp xúc với AB B Lời giải Gọi O trung điểm AB Một cát tuyến qua O cắt (C) L, M, ta có phương tích O (C) OL.OM Gọi K điểm đối xứng M qua O K thuộc đường trịn (C’) hai đường trịn (C) (C’) đối xứng qua O Do đó, OK  OM đặt k  OA2  OL.OM  OK OL Khi f(O, k) biến điểm L thuộc đường trịn (C) thành điểm K thuộc đường tròn (C’) Mặt khác, phương tích O đường trịn  k = OA2, nên f(O, k) biến đường tròn  thành (H 2.29) L A K (C) (C') O C P' M C' B P Hình 2.29 Như vậy, f(O, k) biến giao điểm P (C)  thành giao điểm P’ (C’) , tức ba điểm O, P, P’ thẳng hàng Nói cách khác, đường thẳng PP’ qua điểm cố định O trung điểm AB Hơn nữa, OA = OB nên OB2  OA2  OP.OP' nên đường trịn (BPP’) tiếp xúc với AB B Ví dụ 2.27 (Định lý Feuerbach) Chứng minh đường tròn Ơle tam giác ABC tiếp xúc với đường tròn (I) nội tiếp ba đường tròn bàng tiếp (Ia), (Ib), (Ic) tam giác ABC 71 Lời giải Gọi R, S tiếp điểm (I) (Ia) với cạnh BC, ta có BS = CR = p – c, p nửa chu vi, c = AB Giả sử A’, B’, C’ tương ứng trung điểm BC, CA, AB Kí hiệu A” hình chiếu vng góc A lên cạnh BC, Q giao điểm BC với đường phân giác IIa Bốn điểm A, Q, I, Ia hàng điểm điều hòa, suy bốn điểm A”, Q, R, S hàng điểm điều hòa (H 2.30) Điểm A’ trung điểm RS (vì A’ trung điểm BC BS = CR), suy ra: A ' Q A ' A ''  A ' R (hệ thức Niutơn cho hàng điểm điều hòa) Xét phép nghịch đảo f(A’, k = A’R2), với phép nghịch đảo đường tròn (I), (Ia) bất biến trực giao với đường trịn nghịch đảo (A’, A’R) Từ hệ thức A ' Q A ' A"  A ' R suy f(A’, A’R2)(A”) = Q, ta có A” nằm đường trịn Ơle, điểm A’ (A’ trung điểm BC) thuộc đường trịn Ơle Điều có nghĩa với phép nghịch đảo f(A’, A’R2) biến đường tròn Ơle thành đường thẳng  qua Q đối song với đường thẳng B’C’ góc C’A’B’ hay biến thành đường thẳng đối song với đường thẳng BC góc CAB (vì BC // B’C’, CA // C’A’, AB // A’B’) Hình 2.30 Suy đường thẳng  đối xứng với đường thẳng BC qua đường thẳng IIa Do BC tiếp tuyến chung đường tròn (I) (Ia) nên đường thẳng  72 tiếp tuyến chung hai đường tròn (I) (Ia) Vậy, đường tròn Ơle tiếp xúc với hai đường tròn (I) (Ia) Tương tự chứng minh đường tròn Ơle tiếp xúc với hai đường tròn (Ib) (Ic) 2.4.2 Bài tốn bảo tồn tính trực giao D P Ví dụ 2.28 Cho ba điểm A, B, C cố định theo thứ tự nằm đường thẳng l Gọi A B En(On, Rn) chùm đường tròn trục l, hai điểm Q A B Chứng minh En trực giao với đường tròn (O, R) cố định Lời giải Gọi d đường trung trực AB Ta có On  d (d đường nối tâm En) Gọi C E Hình 2.31 CA.CB  k (k không đổi) Xét phép nghịch đảo f(C, k), ta có: f(En) = En,f(l) = l, f(d) =  với  đường trịn (CD’E’) Vì En trực giao với d nên En trực giao với , n (H 2.31) Hiển nhiên  cố định d cố định;   l = K  điểm K cố định Vì l  d nên  trực giao với l tức KC đường kính  Vậy  đường trịn đường kính KC, K = f(I) Ví dụ 2.29 Cho hai đường trịn (C), (C’) có tâm O, O’ tương ứng, giao A B Lấy điểm M đường trịn (C) dựng cát tuyến MA, MB cắt đường tròn (C’) A’, B’ Chứng minh A’B’  MO Lời giải Ta thấy phép nghịch đảo cực M, phương tích k  MA.MA ' bảo tồn đường trịn (C’) f(M, k): A  A’, B  B’ (A’, B’ (C’)) Từ suy f(M, k) biến (C) thành A’B’ biến OM thành (H 2.32) 73 Vậy A’B’  MO tính chất trực giao bảo tồn qua phép nghịch đảo Hình 2.32 Ví dụ 2.30 Cho tam giác ABC với D trực tâm tam giác Chứng minh đường trịn đường kính AB CD trực giao với (H 2.33) Lời giải Đường đối cực điểm A đường trịn đường kính CD qua điểm B Gọi AA', BB', CC' đường cao tam giác ABC Các điểm A B liên hợp với đường tròn đường kính CD Do đường trịn đường kính AB trực giao với đường trịn đường kính CD C O' B' D A O C' Hình 2.33 A' B 74 Ví dụ 2.31 Cho tứ giác lồi ABCD Dựng phía ngồi tứ giác hình vng ABB'A', BCC'B", CDC"D', DAD"A" Gọi tâm hình vng theo thứ tự E, F, G, H Chứng minh trung điểm đường chéo hai tứ giác ABCD, EFGH đỉnh hình vng Lời giải Gọi K trung điểm AC, I trung điểm BD Ta dễ dàng chứng minh KE = KF, KE  KF; KH = KG, KH  KG (H 2.34) D" A' A H E A" K B' I B C" D N M G C D' F B" C' Hình 2.34 Vậy qua phép quay QK90 : E  F, K  K, G  H Gọi M, N trung điểm HF, EG  KM, KN trung tuyến tương ứng hai tam giác FKH, EKG  MKN tam giác vuông cân Tương tự INK tam giác vuông cân Từ suy điều phải chứng minh 2.5 BÀI TỐN QUỸ TÍCH VÀ DỰNG HÌNH 2.5.1 Bài tốn quỹ tích Ta giải tốn tìm quỹ tích phương pháp tỉ số kép cách áp dụng tính chất tỉ số kép tính chất hình bốn đỉnh tồn phần, hình bốn cạnh tồn phần để quỹ tích điểm (đường thẳng) cần tìm nằm đường thẳng cố định (đi qua điểm cố định) 75 Ví dụ 2.32 Trong mặt phẳng xạ ảnh cho ba điểm độc lập O, A, B Điểm M nằm đường thẳng AB mà M  A; M  B Một đường thẳng thay đổi qua M cắt OA A’, cắt OB B’ Tìm quỹ tích điểm N = AB’  BA’ Lời giải Gọi d đường thẳng qua M * Trường hợp 1: O  d  A’  B  O  N  O * Trường hợp 2: O  d Xét hình bốn đỉnh tồn phần AA’B’B có ba điểm chéo là: O, N, M; MN  OA = C; MN  OB = D (H 2.35) Theo tính chất hình bốn đỉnh tồn phần ta có: (M, N, C, D) = -1 Nối ON  MB = M’, ta có: (OM, OM’, OA, OB) = (M, M’, A, B) = (M, N, C, D) = -1 Vì A, B, M cố định O suy điểm M’ cố định hay B' OM’ cố định Vậy điểm N D thuộc đường thẳng A' OM’ d Đảo lại, giả sử N  M N C A OM’; A’ = NB  OA; B’ = B M' Hình 2.35 NA  OB Ta phải chứng minh ba điểm M, A’, B’ thẳng hàng Nếu N  O suy A’ B’ O hay M, A’, B’ thẳng hàng Nếu N  O xét hình bốn đỉnh tồn phần A’B’AB Gọi M”= A’B’  AB  (M”, M’, A, B) = -1 = (M, M’, A, B)  M  M” Suy ba điểm A’, B’, M thẳng hàng Vậy quỹ tích điểm N đường thẳng OM’, điểm M’ thoả mãn: (M, M’, A, B) = -1 C Ví dụ 2.33 Trong P cho đơn hình OAB đường thẳng d qua O mà không qua A,B D = OB  AM Tìm quỹ tích đường thẳng CD M(d) O Điểm M biến thiên d Đặt C = OA  BM, D A I Hình 2.36 B 76 Lời giải Xét mặt phẳng afin A2 = P2\ Nếu đường thẳng  không qua A, B d  AB = H  ,  khơng trùng d Khi d // AB, OM // AB Xét hình thang ABMO có: C = OA  BM, D = OB  AM Trong mặt phẳng afin ta biết: Trong hình thang, trung điểm hai cạnh đáy thẳng hàng chia điều hoà với hai giao điểm hai cạnh bên hai đường chéo (H 2.36) Khi CD qua trung điểm I AB Vì AB cố định nên I cố định Vậy M biến thiên d CD luôn qua trung điểm I AB Từ ta có kết mặt phẳng xạ ảnh: Các đường thẳng CD qua I với I thoả mãn điều kiện (A, B, H, I) = -1, H = d  AB Ví dụ 2.34 Cho đường trịn cố định (C) tâm O, bán kính R hai đường thẳng Ox, Oy vng góc với Lấy điểm P đường tròn (C), tiếp tuyến với đường tròn (C) điểm P cắt Ox, Oy A B Trục đẳng phương đường tròn (C) đường tròn (AOB) cắt Ox, Oy C D Khi điểm P chuyển động (C) tìm quỹ tích trung điểm M CD Lời giải Giả sử A’, B’ giao điểm (C) với (OAB) Khi trục đẳng phương (C) (OAB) A’B’, giao với Ox, Oy C, D Gọi M trung điểm CD (H 2.37) Hình 2.37 77 Phép nghịch đảo cực O, phương tích k = R2 biến đường trịn (OAB) thành đường thẳng A’B’ A’, B’ điểm bất động f(O, R2) Ta có f(O, R2): A  C, B  D  OC.OA  OD.OB  R2  OP2  PC  OA R PD  OB Do đó, ODPC hình chữ nhật OM  OP  2 Vậy quỹ tích M đường trịn (C1) tâm O, bán kính R Ví dụ 2.35 Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng d đường trung trực đoạn thẳng AB Một đường tròn (O) thay đổi qua A, B cắt d D E Các đường thẳng CD CE cắt đường tròn (O) D’ E’ Tìm tập hợp điểm D’ E’ Lời giải Ta có: CDCD '  CE.CE '  CACB  k không d đổi Vậy D', E' ảnh D E D phép nghịch đảo cực C phương tích k D' Do ta suy qũy tích điểm D', E' nằm đường tròn ảnh đường thẳng d B A C I O qua phép nghịch đảo (H 2.38) Đường E' tròn qua điểm C, D', E' cắt AB điểm I cho (A, B, I, C) = -1 2.5.2 Bài toán dựng hình E Hình 2.38 Ta sử dụng tính chất tỉ số kép hình bốn cạnh tồn phần hình bốn đỉnh tồn phần để giải tốn dựng hình Ví dụ 2.36 Cho hai đường thẳng song song a, b mặt phẳng afin A2 Hai điểm A, B nằm đường thẳng a Dựng trung điểm đoạn thẳng AB cách dùng thước kẻ Lời giải Bổ sung vào mặt phẳng afinA2 đường thẳng vô tận  Gọi giao điểm O = a  b Bài toán tương ứng mặt phẳng xạ ảnh: “Trong mặt phẳng xạ ảnh, cho trước đường thẳng  hai đường thẳng a, b cắt điểm O nằm 78  Trên a lấy hai điểm A, B tuỳ ý Hãy dựng điểm I thuộc đường thẳng a cho (A, B, I, O) = -1” S S b Q P Q M b P M a a A I A B a) I B b) Hình 2.39 Từ đó, ta suy cần dựng tứ giác toàn phần cho A, B hai đỉnh I, O hai điểm chéo (H 2.39a) Từ ta suy cách dựng sau: Lấy điểm S không nằm hai đường thẳng a, b Đường thẳng SA, SB cắt đường thẳng b P, Q Gọi M = PB  QA Dựng đường thẳng SM cắt đường thẳng AB điểm I, trung điểm AB Ví dụ 2.37 Trong mặt phẳng afin A2, cho đoạn thẳng AB trung điểm I đoạn AB Chỉ dùng thước kẻ, qua điểm M cho trước dựng đường thẳng song song với đường thẳng AB Lời giải Lấy điểm S không nằm đường thẳng a khác M Dựng đường thẳng SI cắt đường thẳng BM điểm P Dựng đường thẳng AP cắt đường thẳng SB điểm Q Đường thẳng qua hai điểm M, Q đường thẳng b cần dựng (H 2.39b) Ví dụ 2.38 Cho điểm P nằm trục đẳng phương hai đường tròn cho (O) (O’) Hãy dựng qua P đường tròn tiếp xúc với hai đường trịn Lời giải * Phân tích: Điểm P nằm trục đẳng phương AB hai đường trịn (O) (O’) nên ta có PC.PD  PC '.PD ' Từ suy tứ giác CDD’C’ nội tiếp Phép 79 nghịch đảo cực P, phương tích k  PA.PB biến đường trịn (O) thành nó, đường trịn (O’) thành nó, hai điểm C C’ tương ứng thành D D’ Vì vậy, phép nghịch đảo biến đường thẳng CC’ thành đường tròn ngoại tiếp tam giác PDD’ tiếp xúc với hai đường tròn (O) (O’) (H 2.40) * Cách dựng: - Dựng tiếp tuyến chung CC’ với hai đường tròn (O) (O’) - Dựng D = PC  (O), D’ = PC’ (O’) - Dựng đường tròn ngoại tiếp tam giác PDD’ Đó đường trịn cần dựng * Chứng minh: Theo cách dựng PC.PD  PC '.PD '  PA.PB suy phép nghịch đảo cực P, phương tích k biến tiếp tuyến CC’ thành đường tròn ngoại tiếp PDD’ Mặt khác, phép nghịch đảo bảo tồn tính chất trực giao đường thẳng đường tròn nên đường tròn ngoại tiếp PDD’ tiếp xúc với hai đường tròn (O) (O’) * Biện luận: Bài tốn có nhiều hai nghiệm hình Hình 2.40 Ví dụ 2.39 Qua điểm A dựng đường tròn tiếp xúc với đường thẳng d đường tròn (O) cho Lời giải * Phân tích: Giả sử dựng đường trịn (C’) qua A, tiếp xúc với đường tròn (O) I tiếp xúc với đường thẳng d J (H 2.41) Ta xác định ảnh (O) d qua phép nghịch đảo cực A, phương tích k phương tích A đường trịn (O): f(A, k): (O)  (O), f bảo tồn đường trịn (O); f(A, k): d  (C), đường tròn (C) qua cực A; f(A, k): (C’)  ,  tiếp tuyến chung (O) (C) nên  dựng được; 80 f(A, k): I  I’, I tiếp điểm (C’) với (O) nên I’ tiếp điểm  với đường tròn (O); f(A, k): J  J’, J tiếp điểm (C’) với d nên J’ tiếp điểm  với (C); Các điểm I’ J’ xác định Do đó, ta xác định I J; A, I, I’ thẳng hàng I thuộc (O) nên I giao điểm AI’ với (O); A, J, J’ thẳng hàng J thuộc đường thẳng d nên J giao điểm AJ’ với đường thẳng d; Đường tròn (C’) phải dựng đường tròn ngoại tiếp tam giác AIJ * Cách dựng: - Dựng đường tròn (C) ảnh d qua f(A, k); - Dựng tiếp tuyến chung  tiếp tuyến chung (O) (C) - Dựng tiếp điểm I’, J’  với (O) (C) - Dựng I giao điểm AI’ với (O) J giao điểm AJ’ với d - Dựng đường trịn (C’) ngoại tiếp AIJ Đó đường trịn cần dựng Hình 2.41 * Chứng minh: Theo cách dựng (C’) qua A, J tiếp điểm d với (C’) I tiếp điểm (O) với (C’) * Biện luận: Ta dựng nhiều bốn tiếp tuyến chung hai đường tròn (O) (C) nên tốn có nhiều bốn nghiệm hình (H 2.41) 81 Ví dụ 2.40 Cho ba điểm A, B, C thuộc đường thẳng d theo thứ tự Các nửa đường trịn (O1), (O2), (O3) đường kính AB, AC, BC nằm phía AB Dựng đường tròn tiếp xúc với ba nửa đường trịn Lời giải * Phân tích: Giả sử ta dựng đường tròn (O) thỏa mãn yêu cầu toán Xét phép nghịch đảo f(A; k  AB AC ): B  C; (O3)  (O3); (O1)  Cn, Cn  d (do (O1)  d); (O2)  Bm, Bm  d (do (O2)  d); (O)  (O’), (O’) tiếp xúc với (O3), Bm, Cn (do (O) tiếp xúc với (O1), (O2), (O3)) Suy tâm O’ (O’) thuộc trung trực BC O3O’ = BC (H 2.42) * Cách dựng: - Dựng Bm, Cn tiếp tuyến (O3) phía với (O3) - Dựng  trung trực BC,  cắt (O3) I’ - Dựng đường tròn (I’, BC) cắt đường thẳng  O’ - Dựng đường tròn (O’, OI’) Kẻ đường thẳng d’ qua O’ d’  Bm, d’ cắt (O’) H’, K’ - Dựng H = AH’ (O2); K = AK’ (O1); I = AI’ (O3) Đường tròn (IHK) đường tròn cần dựng * Chứng minh: Xét phép nghịch đảo f(A, k), k phương tích từ A đến đường tròn (O): B  C, (O3)  (O3), (O1)  Cn (do (O1)  d), (O2)  Bm (do (O2)  d), I  I’, H  H’, K  K’, (O)  (O’) Ta có: O’H’ = O’K’ = OI’ nên (O’) tiếp xúc với Bm, Cn (O3)  (O) tiếp xúc với (O1), (O2), (O3) Hình 2.42 * Biện luận: Do (O’, O’I’) nên H’, K’, I’  H, K, I  (O) Vậy tốn có nghiệm hình 82 KẾT LUẬN Luận văn thu số kết sau đây: Phân loại hình học khác theo nhóm biến hình như: nhóm afin, nhóm xạ ảnh, nhóm dời hình, nhóm đồng dạng nhóm trịn mặt phẳng Làm rõ mối quan hệ hình học khác hình học xạ ảnh, hình học afin hình học Ơclít Trình bày bất biến nhóm phép biến hình mạnh hình học giải tốn sơ cấp Xây dựng hệ thống tập sử dụng phương pháp giải khác nhóm hình học chứng minh thẳng hàng, chứng minh song song, chứng minh đồng quy, chứng minh tính tiếp xúc, chứng minh tính trực giao, tốn quỹ tích dựng hình Từ đó, phân tích rõ mạnh phương pháp giải toán sơ cấp 83 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Mộng Hy, Bài tập hình học cao cấp, NXB Giáo dục, 2003 [2] Nguyễn Mộng Hy, Các phép biến hình mặt phẳng, NXB Giáo dục, 2004 [3] Nguyễn Đăng Phất, Các phép biến hình mặt phẳng ứng dụng giải tốn hình học, NXB Giáo dục, 2005 [4] Nguyễn Cảnh Tồn, Cơ sở hình học, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 1994 [5] Trần Việt Cường, Nguyễn Danh Nam, Giáo trình Hình học sơ cấp, NXB Giáo dục Việt Nam, 2013 [6] Văn Như Cương, Hoàng Trọng Thái, Hình học cao cấp, NXB Đại học Sư phạm, 2006 [7] Nguyễn Danh Nam, Hình học nhóm phép biến hình, NXB Đại học Thái Nguyên, 2016 [8] Nguyễn Mộng Hy, Hình học cao cấp, NXB Giáo dục, 2003 [9] Đỗ Thanh Sơn, Phép biến hình mặt phẳng (chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán trung học phổ thông), NXB Giáo dục, 2006 [10] Đỗ Thanh Sơn, Phép biến hình khơng gian (chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi tốn trung học phổ thơng), NXB Giáo dục, 2006 [11] Lê Thị Hoài Châu, Phương pháp dạy học hình học trường trung học phổ thơng, NXB Đại học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh, 2004 [12] Gustave Choquet, Geometry in a modern setting, HERMANN Publishers in Arts and Science, 1969 [13] S V Duzhin, B D Tchebotarevsky, Transformation groups for beginners, Amer Mathematical Society Publisher, 2004 ... khác theo quan điểm đại Các nhóm biến hình xếp cụ thể sau: Nhóm xạ ảnh  Nhóm afin  Nhóm đồng dạng  Nhóm dời hình Hình học nhóm biến hình mơn học nghiên cứu bất biến nhóm vấn đề vận dụng bất biến. .. hình học khác dựa việc nghiên cứu bất biến nhóm biến hình khác Ví dụ tập hợp phép dời hình lập thành nhóm với phép tốn tích phép dời hình hình học nhóm dời hình hình học Ơclít Như nhóm biến hình. .. ảnh, hình học nghiên cứu bất biến nhóm afin gọi hình học afin, hình học nghiên cứu bất biến nhóm dời hình gọi hình học Ơclít,… Nếu ta xét nhóm G’ nhóm G hình học nhóm G’ hình học nhóm G có mối quan