Không gian tô pô sắp thứ tự bộ phận và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Nguyễn Thị Dung KHÔNG GIAN TÔ PÔ SẮP THỨ TỰ BỘ PHẬN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2013 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Nguyễn Thị Dung KHÔNG GIAN TÔ PÔ SẮP THỨ TỰ BỘ PHẬN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: TOÁN HỌC ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS HOÀNG VĂN HÙNG Thái Nguyên - 2013 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn i Lời nói đầu Các khơng gian tơ pơ thứ tự phận nói chung, khơng gian metric, định chuẩn thứ tự phận nói riêng bắt đầu nghiên cứu từ năm 30 kỷ trước, sau nhà toán học phát tất không gian Banach cổ điển không gian Lp , lp (1 ≤ p ≤ +∞), c0 , C(Ω), có thứ tự phận tự nhiên thứ tự có liên hệ chặt chẽ với tơ pơ khơng gian xét Từ nảy sinh hướng nghiên cứu nghiên cứu dàn Banach mà đầu nhà toán học thuộc trường phái Leningrad ( Liên xô cũ) nhà tốn học Pháp, Mỹ, Nhật, Israel Nghiên cứu khơng gian tơ pơ có thứ tự phận liên kết phát nhiều tính chất xét không gian không gian tô pô không gian thứ tự phận tách biệt Các nhà toán học hàng đầu giới L.Kantorovich, S.Kakutani, J.Lindenstrauss, M.Stone ứng dụng thành công kết nghiên cứu lĩnh vực không gian tô pô thứ tự phận vào lý thuyết biểu diễn toán tử, biểu diễn không gian lĩnh vực ứng dụng toán học điều khiển kinh tế lý thuyết trò chơi Các nghiên cứu gần lý thuyết điểm bất động không gian metric thứ tự phận thu nhiều kết ứng dụng vào lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng Bản luận văn “Không gian tô pô thứ tự phận ứng dụng” nằm hướng nghiên cứu nói Nội dung luận văn gồm: - Lời nói đầu - Chương Không gian Tô pô tập thứ tự: Nêu định nghĩa không gian tô pô tập thứ tự phận Chứng minh số mệnh đề liên hệ khái niệm trù mật tô pô trù mật thứ tự Nêu khái niệm hàm tiện ích, nêu phác thảo chứng minh hai định lý Debreu tồn biểu diễn tiện ích liên tục không gian tô pô tựa đầy đủ, khả ly tô pô liên thông không gian tô pô tựa đầy đủ thoả mãn tiên 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii đề thứ hai tính đếm được, tơ pơ xét tô pô tự nhiên sinh tựa thứ tự đầy đủ Các chứng minh suy từ định lý Peleg (1970) Tư liệu chương chủ yếu lấy từ cơng trình [1] Ghanshyam Mehta - Chương Không gian Metric thứ tự phận; Các định lý điểm bất động dạng Caristi Geraghty không gian Metric thứ tự phận ứng dụng: Xét định lý điểm bất động không gian metric thứ tự phận, bao gồm định lý Caristi mở rộng, định lý Geraghty mở rộng Các kết chương ứng dụng để chứng minh tồn nghiệm toán biên lý thuyết phương trình đạo hàm riêng Tác giả trình bày lại phát biểu chứng minh định lý theo lĩnh hội thân, đồng thời đưa chứng minh khác kết báo [5] tác giả M.E Gordji, M.Ramezani, Y.J Cho, S Pirbavata - Kết luận - Tài liệu tham khảo Tác giả chân thành cám ơn thầy hướng dẫn TS Hoàng Văn Hùng, Viện Khoa học Cơ bản, Trường Đại học Hàng hải Việt Nam tận tình hướng dẫn tác giả suốt trình chuẩn bị luận văn Tác giả xin chân thành cám ơn thày cô thuộc Khoa Toán – Tin Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên quan tâm tạo điều kiện cho tác giả hồn thành chương trình học tập cao học trường Thái Nguyên, tháng năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Dung 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iii Mục lục Không gian Tô pô tập thứ tự 1.1 Không gian Tô pô 1.2 Cơ sở tơ pơ Các tiên đề tính đếm 1.3 Các tiên đề tính tách 1.4 Các ánh xạ liên tục Đồng phôi 1.5 Tính Compact 1.6 Tựa thứ tự thứ tự tập Hàm tiện ích 1.7 Khơng gian tô pô tựa đầy đủ 1.8 Tính trù mật thứ tự tô pô 1.9 Các hàm tiện ích Các định lý Debreu Peleg Không gian Metric thứ tự phận Các định lý điểm bất động dạng Caristi Geraghty không gian Metric thứ tự phận ứng dụng 2.1 Các định lý điểm tối tiểu không gian metric thứ tự phận Các định lý điểm bất động dạng Caristi 2.2 Định lý điểm bất động Geraghty mở rộng 2.3 Áp dụng Tài liệu tham khảo 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1 10 11 13 18 21 22 29 36 40 http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Không gian Tô pô tập thứ tự Chương liệt kê khái niệm kiện không gian tô pô, tập thứ tự không gian tô pô thứ tự phận Tác giả đưa chứng minh kiện quan trọng lý thuyết không gian tô pô tập thứ tự Các kiện khác nêu nhằm đảm bảo tính hệ thống lý thuyết khơng kèm theo chứng minh 1.1 Không gian Tô pô Định nghĩa 1.1.1 Cho X tập Một tơ pô X lớp τ tập X có tính chất sau: 1) X thuộc τ ∅ thuộc τ 2) Hợp họ tuỳ ý tập thuộc τ thuộc τ giao họ hữu hạn tập thuộc τ thuộc τ Một tập X với tô pô τ X (tức cặp (X, τ ) ) gọi không gian tô pô Mỗi tập thuộc τ gọi tập mở (khi cần xác ta gọi tập thuộc τ τ -mở) Nếu τ σ hai tô pô tập X σ ⊂ τ ta nói τ mịn σ hay σ thơ τ Ví dụ: 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn • Lớp tất tập tập X cho trước rõ ràng thoả mãn hai tính chất 1) 2) định nghĩa 1.1.1, lớp tô pô X Tô pô mịn tơ pơ X Nó gọi tô pô rời rạc Mọi tập X mở tơ pơ rời rạc X • Nếu X cho họ gồm hai phần tử τ = {∅, X} tô pô X Tô pô thô tô pô X gọi tơ pơ tầm thường • Tập tập mở không gian metric tuỳ ý tơ pơ X Do khơng gian metric trường hợp riêng không gian tô pô Khi đề cập đến tô pô không gian metric (X, d) ta ln xem tơ pơ tô pô gồm tất tập mở X sinh metric d Định nghĩa 1.1.2 Giả sử (X, τ ) không gian tô pô F tập X Khi tập F gọi đóng X X\F tập mở Vậy tập đóng tập X mà phần bù mở Các tập đóng có tính chất: 1’) X ∅ đóng 2’) Giao họ tuỳ ý tập đóng đóng Hợp hữu hạn tập đóng đóng Định nghĩa 1.1.3 Giả sử (X, τ ) không gian tô pô x phần tử X (ta gọi phần tử X điểm nó) Một tập mở X chứa x gọi lân cận x Một điểm z X gọi điểm dính tập A ⊂ X lân cận z chứa điểm A Điểm y X gọi điểm giới hạn A lân cận y tìm điểm x A cho x khác y Tập tất điểm dính tập A X gọi bao đóng A, ký hiệu A Ta có: i) A đóng ↔ A = A ii) A tập đóng bé X chứa A iii) B mở ↔ B lân cận x ∈ B ↔ ∀x ∈ B, ∃ tập mở Vx ⊂ B cho x ∈ Vx Định nghĩa 1.1.4 Tập A không gian tô pô (X, τ ) gọi trù mật tập B X A ⊃ B Nếu X có tập A khơng q đếm trù mật X khơng gian tơ pơ (X, τ ) gọi khả ly 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ví dụ: Khơng gian metric R với metric sinh trị tuyệt đối không gian khả ly Khi đề cập đến không gian R không gian tô pô với tô pô sinh metric trị tuyệt đối ta nói khơng gian R trang bị tô pô thông thường 1.2 Cơ sở tơ pơ Các tiên đề tính đếm Định nghĩa 1.2.1 Cho (X, τ ) không gian tô pô Tập B τ gọi sở tô pô τ tập mở tô pô τ biểu diễn dạng hợp (hữu hạn vô hạn) tập thuộc B Ví dụ: Tập hình cầu mở (với tâm điểm tuỳ ý bán kính tuỳ ý) không gian metric X sở tô pô gồm tất tập mở X Một sở B tô pô τ tập X có tính chất sau: 1) ∀x ∈ X, ∃G ∈ B : x ∈ G 2) Nếu x chứa giao hai tập G1 , G2 thuộc B tồn tập G thuộc B cho x ∈ G ⊂ G1 ∩ G2 Ngược lại họ B tập tập X có hai tính chất nêu sở tô pô τ gồm tất tập X biểu diễn dạng hợp họ B Tơ pô gọi tô pô sinh B Nếu A họ tập X có tính chất hợp tập thuộc A X tập B tập X nhận từ tập A số hữu hạn phép giao thoả mãn hai tính chất 1), 2) Do A gọi tiền sở tô pô sinh B Định nghĩa 1.2.2 Không gian tô pô (X, τ ) gọi thoả mãn tiên đề thứ hai tính đếm tơ pơ τ có sở B khơng q đếm Nhận xét: Mọi không gian tô pô thoả mãn tiên đề thứ hai tính đếm khả ly Đối với khơng gian metric ta có: 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mệnh đề 1.2.1 Nếu không gian metric (X, d)khả ly khơng gian tơ pơ X với tô pô tập mở X thoả mãn tiên đề thứ hai tính đếm Chứng minh Giả sử A = {x1 , x2 , , xn , } tập không đếm trù mật X Gọi B tập tất hình cầu mở B(xn ; 1/m) có tâm điểm xn A bán kính 1/m ( m số nguyên dương, m n biến thiên độc lập) Rõ ràng B tập đếm Giả sử G tập mở X x điểm tuỳ ý G Gọi r = 1/m ( m số nguyên dương) số cho hình cầu mở B(x; 2r)nằm G Vì A trù mật X nên tồn điểm xj A thuộc hình cầu mở B(x; r) ⊂ B(x; 2r) ⊂ G Rõ ràng x ∈ B(xj ; r) Hình cầu mở B(xj ; r) nằm G, từ bất đẳng thức tam giác metric X ta suy B(xj ; r) ⊂ B(x; 2r) Như vậy, với x thuộc G tồn hình cầu mở B(xj ; r) thuộc họ B cho x ∈ B(xj ; r) ⊂ G Theo tiên đề chọn, tồn ánh xạ đơn trị f : G → B cho x ∈ f (x) ⊂ G với x ∈ G Từ ta có: G ⊂ f (x) ⊂ G x∈G f (x) Vì f (x) phần tử B nên ta suy B Vậy G = x∈G sở tô pô gồm tất tập mở X Định nghĩa 1.2.3 Cho không gian tô pô (X, τ ) Một họ U lân cận điểm x ∈ X gọi sở lân cận x với lân cận G x tìm phần tử U họ U cho U ⊂ G Không gian tô pô (X, τ ) gọi thoả mãn tiên đề thứ tính đếm điểm x ∈ X có sở lân cận đếm Mệnh đề 1.2.2 Mọi không gian metric thoả mãn tiên đề thứ tính đếm Chứng minh Nếu x điểm không gian metric X họ lân cận x gồm hình cầu mở B(x; 1/n) (n số nguyên dương) lập thành sở lân cận đếm x Định nghĩa 1.2.4 Cho không gian tô pô (X, τ ) Họ tập (Uα )α∈I X gọi phủ X Uα = X Nếu Uα mở α∈I phủ (Uα )α∈I gọi phủ mở X Mệnh đề 1.2.3 Nếu (X, τ ) không gian tô pô thoả mãn tiên đề thứ hai tính đếm từ phủ mở X trích phủ khơng q đếm 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh Giả sử B = (Gn ) sở đếm tô pô τ gồm tập mở (Gn ) (Uα )α∈I phủ X Với x ∈ X tồn tập mở Uα phủ (Uα )α∈I cho x ∈ Uα Vì B sở tơ pơ τ tồn tập mở Gn(x) cho x ∈ Gn(x) ⊂ Uα (*) Rõ ràng họ Gn(x) họ B nên họ không đếm Với tập Gn(x) có nhiều tập Uα thoả mãn (*) theo tiên đề chọn, tồn ánh xạ đơn trị f từ họ Gn(x) vào phủ (Uα )α∈I thoả mãn x ∈ Gn(x) ⊂ Uα = f (Gn(x) ) với x thuộc X Rõ ràng họ f (Gn(x) ) phủ không đếm phủ (Uα )α∈I X ⊂ f (Gn(x) ) x∈X Định nghĩa 1.2.5 Không gian tô pô (X, τ ) gọi liên thơng ngồi tập ∅ X X khơng cịn tập khác có tính chất vừa mở vừa đóng Ví dụ: Đường thẳng thực R với tô pô thông thường liên thông Mệnh đề 1.2.4.Nếu (X, τ ) không gian tô pơ Y tập X họ τY gồm tất tập dạng G ∩ Y , G tập mở tuỳ ý thuộc họ τ , tô pô Y Định nghĩa 1.2.6 Không gian tô pô (Y, τY ) gọi không gian không gian tô pô (X, τ ) Mệnh đề 1.2.5 Các khoảng đường thẳng thực R với tô pô thông thường không gian liên thông R ngược lại, không gian liên thông R phải khoảng dạng (a; b), [a; b), (a; b], [a; b] (a −∞, b +∞) 1.3 Các tiên đề tính tách Định nghĩa 1.3.1 Khơng gian tơ pơ X gọi thoả mãn tiên đề thứ tính tách hay T1 − khơng gian với hai điểm phân biệt x, y X tồn lân cận Ux x không chứa y lân cận Uy y không chứa x Mệnh đề 1.3.1 Không gian tô pô X T1 − không gian tập gồm điểm đóng 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 26 Nói chung, quan hệ≺ khơng phải quan hệ thứ tự phận Tuy nhiên, nếux, y ∈ Mε x ≺ y ta có: φ0 ≤ φ(x) ≤ φ(y) ≤ φ0 + ε ; η(d(x, y)) ≤ φ(y − φ(x) Suy η(d(x, y)) ≤ ε x, y ∈ Mε x ≺ y Do giả thiết hàm η tồn số dương ε0 < η(δ) cho η −1 [0; ε0 ] ⊂ [0; δ] Khi x, y ∈ Mε0 x ≺ y ta có: φ(y) φ(x) − (2.6) c c Bây ta chứng minh T thoả mãn (2.5) T ánh xạ Mε0 vào Thực vậy, x ∈ Mε0 nên φ(x) ≤ φ0 + ε0 Điều kiện (2.5) kéo theo φ(T x) ≤ φ(x) ≤ φ0 + ε0 , T x ∈ Mε0 Rõ ràng hàm ψ = φc nửa liên tục bị chặn Mε0 , Mε0 tập đóng khơng gian metric đầy đủ M nên Mε0 không gian metric đầy đủ Áp dụng định lý Caristi 2.1.3 cho thu hẹp ánh xạ T lên Mε0 , thay φ ψ = φc dùng (2.6) ta kết luận T có điểm bất động x∗ ∈ Mε0 Định lý 2.1.4 chứng minh cd(x, y) ≤ η(d(x, y)) ≤ φ(y) − φ(x) → d(x, y) ≤ Nhận xét: Mặc dù định lý 2.1.4 tổng quát định lý 2.1.3 thấy rõ từ chứng minh, định lý 2.1.4 suy từ định lý 2.1.3 Vì mối quan hệ định lý 2.1.3 định lý 2.1.4 tương tự mối quan hệ định lý Rolle định lý Cauchy lý thuyết hàm khả vi biến Phân tích chứng minh định lý Caristi ( định lý 2.1.3) tác giả Z.Li S.Jiang (xem [3] ) vào năm 2011 đề xuất số cải tiến Chúng sửa lại phát biểu [3] cho cần sử dụng đến khái niệm phần tử tối tiểu Mệnh đề 2.1.5 Giả sử (M, d, ≺) không gian metric đầy đủ thứ tự phận với metric d, thứ tự phận ≺ tồn hàm φ : M → (−∞; +∞) η : [0; +∞) → [0; +∞) thoả mãn: 1) φ bị chặn x ≺ y η(d(x, y)) ≤ φ(y) − φ(x) 2) η không giảm η −1 (0) = {0} 3) Với dãy giảm (xn ) (M, d, ≺) tồn x ∈ M cho lim xn = x x ≺ xn với n ≥ n→∞ Khi tập thứ tự phận (M, ≺) có phần tử tối tiểu Chứng minh Giả sử (xα )α∈Γ tập tuyến tính khác rỗng (M, ≺) Bởi hàm φ bị chặn nên tập số thực (φ(xα ))α∈Γ bị chặn 31Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 27 Đặt m = inf(φ(xα ))α∈Γ , m ∈ R Chọn dãy số (αn )n≥1 cho dãy số tương ứng (φ(xαn )) dãy không tăng lim φ(xαn ) = m Do điều kiện 1) dãy (xαn ) n→∞ tuyến tính (vì họ họ tuyến tính theo thứ tự ≺) ta khẳng định i < j xαj ≺ xαi Thực vậy, trái lại xαi ≺ xαj xαi = xαj Điều kiện 1) điều kiện 2) kéo theo: < η(d(xαi , xαj )) ≤ φ(xαj ) − φ(xαi ) Như dãy (φ(xαn )) dãy không tăng, mâu thuẫn Do i < j xαj ≺ xαi điều kiện 1) cho ta bất đẳng thức: η(d(xαi , xαj )) ≤ φ(xαi ) − φ(xαj ) (2.7) (với i, j mà i < j ) Ta khẳng định dãy (xαn ) dãy Cauchy (M, d) Thực vậy, điều khơng tồn số ε > dãy tăng số nguyên dương i1 < j1 < i2 < j2 < < im < jm < cho d(xαim , xαjm ) ≥ ε với m = 1, 2, Do điều kiện 2) ta có η(d(xαim , xαjm )) ≥ η(ε) > với m = 1, 2, Khi (2.7) ta có: < η(ε) ≤ η(d(xαim , xαjm )) ≤ φ(xαim ) − φ(xαjm ) với m = 1, 2, Nhưng điều vơ lý dãy số (φ(xαn )) dãy Cauchy Do không gian metric (M, d) đầy đủ, dãy (xαn ) hội tụ tới điểm x M Do điều kiện 3) ta suy x ≺ xαn với n ≥ Ta chứng minh x cận họ (xα )α∈Γ Lấy xβ tuỳ ý thuộc họ (xα )α∈Γ Nếu xβ ≺ xαn với n ≥ điều kiện 2) ta có: η(d(xβ , xαn )) ≤ φ(xαn ) − φ(xβ ) (2.8) với n ≥ Vì dãy (xαn ) hội tụ tới x ta có: lim d(xβ , xαn ) = d(xβ , x) = t∗ ≥ n→∞ Nếu t∗ > điều kiện 2) (η hàm không giảm η(t) = ↔ t = 0) ta có: lim inf η(d(xβ , xαn )) > Cho n dần tới vô cực (2.8) ta có: < lim inf η(d(xβ , xαn )) ≤ m − φ(xβ ) ≤ 32Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 28 (bởi φ(xβ ) ≥ m ) Mâu thuẫn Vậy phải có d(xβ , x) = → xβ = x Nếu tồn n cho xαn ≺ xβ ta có x ≺ xαn ≺ xβ Vậy x cận họ tuyến tính (xα )α∈Γ Theo bổ đề Zorn, M phải tồn phần tử tối tiểu Nhận xét: Điều kiện 2) hàm η mệnh đề 2.1.5 thay điều kiện 2’) η liên tục, η −1 (0) = {0} lim inf η(t) > t→+∞ Thực vậy, 2’) với số ε > chứng minh mệnh đề 2.1.5 tồn số L > ε số c1 > cho η(t) ≥ c1 (∀t ≥ L) Vì η liên tục η(t) > t > ta có min{η(t) : ε ≤ t ≤ L} = c2 > Lấy c = {c1 , c2 } ta có η(t) ≥ c > (∀t ≥ ε) Do từ d(xαim , xαjm ) ≥ ε ta lại suy mâu thuẫn: < c ≤ η(d(xαim , xαjm )) ≤ φ(xαim ) − φ(xαjm ) với m = 1, 2, Phần cịn lại chứng minh khơng có thay đổi Định lý 2.1.6 Giả sử (M, d, ≺) không gian metric đầy đủ thứ tự phận với metric d, thứ tự phận ≺ tồn hàm φ : M → (−∞; +∞) η : [0; +∞) → [0; +∞) thoả mãn: 1) φ bị chặn x ≺ y η(d(x, y)) ≤ φ(y) − φ(x) 2) η không giảm η −1 (0) = {0} 2’) η liên tục, η −1 (0) = {0} lim inf η(t) > t→+∞ 3) Với dãy giảm (xn ) (M, d, ≺) tồn x ∈ M cho lim xn = x x ≺ xn với n ≥ n→∞ Khi T ánh xạ từ M vào M thoả mãn T x ≺ x với x ∈ M T có điểm bất động Chứng minh Theo mệnh đề 2.1.5 giả thiết đặt lên M, η, φ đảm bảo cho tập (M, ≺) có phần tử tối tiểu Do khẳng định định lý 2.1.6 suy từ định lý 2.1.1 Mệnh đề 2.1.7 Cho (M, d) không gian metric Giả sử η : [0; +∞) → [0; +∞) hàm liên tục φ : M → (−∞; +∞) hàm nửa liên tục M Trên M ta định nghĩa quan hệ ≺ bởi: x ≺ y ↔ η(d(x, y)) ≤ φ(y) − φ(x) (2.9) Nếu ≺ quan hệ thứ tự phận M giới hạn x(nếu có) dãy giảm (xn ) (M, d, ≺) cận dãy (xn ) 33Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 29 Chứng minh Bởi dãy (xn ) giảm theo thứ tự ≺ ta có: η(d(xm , xn )) ≤ φ(xm ) − φ(xn ) (2.10) với số nguyên dương m, n thoả mãn m < n Cho n dần tới vô cực dùng giả thiết η, φ ta có: η(d(xm , x)) ≤ φ(xm ) − lim inf φ(xn ) ≤ φ(xm ) − φ(x) (2.11) với số nguyên dương m Theo định nghĩa quan hệ ≺, bất đẳng thức (2.11) có nghĩa x ≺ xm với m Vậy x cận dãy(xn ) Nhận xét: 1) Hàm φ định lý 2.1.6 không địi hỏi phải có tính chất nửa liên tục 2) Từ định lý 2.1.6 suy định lý 2.1.3 Thật vậy, giả sử giả thiết định lý 2.1.3 thoả mãn Khi điều kiện 2’) định lý 2.1.6 thoả mãn với η(t) = t Như nhận xét đầu mục (về quan hệ ≺φ ), quan hệ ≺ định nghĩa (2.9) quan hệ thứ tự phận M η(d(x, y)) = d(x, y), điều kiện 1) định lý 2.1.6 thoả mãn Cuối điều kiện 3) định lý 2.1.6 thoả mãn mệnh đề 2.1.7 Điều kiện ánh xạ T định lý 2.1.3 tương đương với điều kiện T x ≺ x với x thuộc M định lý 2.1.6 Như điều kiện định lý 2.1.6 thoả mãn giả thiết định lý 2.1.3 thoả mãn, T phải có điểm bất động 2.2 Định lý điểm bất động Geraghty mở rộng Năm 1973 M.Geraghty chứng minh định lý điểm bất động sau, mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach Định lý 2.2.1 Giả sử β : [0; +∞) → [0; 1) hàm thoả mãn điều kiện: lim β(tn ) = → lim tn = n→∞ n→∞ Nếu (M, d) không gian metric đầy đủ T : M → M thoả mãn: d(T x, T y) ≤ β(d(x, y)).d(x, y) 34Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (2.12) http://www.lrc-tnu.edu.vn 30 với x, y thuộc M T có điểm bất động x∗ ∈ M dãy lặp xác định xn = T xn−1 (∀n ≥ 1), x0 điểm chọn tuỳ ý M hội tụ x∗ Để chứng minh định lý Geraghty ta cần đến bổ đề sau: Bổ đề 2.2.2 Giả sử (M, d) không gian metric (xn ) dãy điểm M cho dãy (d(xn , xn+1 )) thoả mãn lim d(xn , xn+1 ) = Nếu (xn ) n→∞ khơng phải dãy Cauchy tồn số ε > hai dãy tăng số nguyên dương m1 < m2 < < mk < , n1 < n2 < < nk < , mk < nk (∀k ≥ 1) cho dãy sau có giới hạn ε: (d(x2mk , x2nk )), (d(x2mk , x2nk +1 )), (d(x2mk −1 , x2nk )), (d(x2mk −1 , x2nk +1 )) Chứng minh Bởi (xn ) khơng phải dãy Cauchy nên dãy x2n dãy Cauchy Thực vậy, trái lại, tức dãy x2n dãy Cauchy, hội tụ đến x∗ khơng gian metric M ∗ đầy đủ hố khơng gian metric M Nhưng điều kiện lim d(xn , xn+1 ) = n→∞ ta suy dãy (x2n+1 ) hội tụ đến x∗ Từ dễ dàng suy dãy (xn ) hội tụ đến x∗ dãy (xn ) dãy Cauchy, mâu thuẫn Từ lim d(xn , xn+1 ) = suy lim d(x2n , x2n+2 ) = Do x2n không n→∞ n→∞ phải dãy Cauchy lim d(x2n , x2n+2 ) = 0, tồn số ε > dãy tăng n→∞ số nguyên dương m1 < m1 , < m2 < m,2 < < mk < m,k < cho: d(x2mk , x2mk ) ≥ ε (2.13) ε 2k (2.14) với k ≥ d(x2n , x2n+2 ) < (∀n ≥ mk ) Với k xét dãy số: d(x2mk , x2mk +2 ), , d(x2mk , x2mk +2n ), , d(x2mk , x2mk ) (2.15) Hai số liên tiếp dãy thoả mãn: ε 2k (2.16) ε Trong dãy (2.15) số thứ < 2k (2.14), số cuối ≥ ε (2.13) Vậy dãy (2.15) phải có số (tính từ trái) thoả mãn bất đẳng |d(x2mk , x2mk +2j ) − d(x2mk , x2mk +2j+2 )| ≤ d(x2mk +2j , x2mk +2j+2 ) < 35Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 31 thức ≥ ε, giả sử số d(x2mk , x2mk +2j ) với j số nguyên dương thoả mãn 2j ≤ 2m,k Đặt nk = mk + j Do cách chọn nk (2.16) ta có bất đẳng thức: ε ≤ d(x2mk , x2nk ) < ε + ε (∀k ≥ 1) 2k (2.17) Từ (2.17) suy ra: lim d(x2mk , x2nk ) = ε (2.18) k→∞ Do (2.18) giả thiết lim d(xn , xn+1 ) = dễ dàng suy ba dãy n→∞ lại bổ đề 2.2.1 hội tụ tới ε Vậy bổ đề 2.2.2 chứng minh Chứng minh định lý 2.2.1.Từ giả thiết định lý 2.2.1 suy ra: d(xn , xn+1 ) = d(T xn−1 , T xn ) ≤ β(d(xn−1 , xn ))d(xn−1 , xn ) ≤ d(xn−1 , xn ) (2.19) Vậy dãy (d(xn , xn+1 )) dãy giảm, tồn giới hạn lim d(xn , xn+1 ) = α ≥ n→∞ Nếu α > từ (2.19) suy ra: > β(d(xn , xn+1 )) ≥ d(xn , xn+1 ) d(xn−1 , xn ) (2.20) Cho n dần tới vô cực (2.20) ta có: lim β(d(xn , xn+1 )) = n→∞ Theo giả thiết hàm β phải có: lim d(xn , xn+1 ) = Mâu n→∞ thuẫn Vậy lim d(xn , xn+1 ) = n→∞ Bây ta chứng minh dãy (xn ) dãy Cauchy Giả sử trái lại, dãy (xn ) dãy Cauchy Theo bổ đề 2.2.2 tồn số ε > hai dãy tăng số nguyên dương m1 < m2 < < mk < ; n1 < n2 < < nk < ; mk < nk ; (mọi k ≥ ) cho dãy sau có giới hạn ε: (d(x2mk , x2nk )), (d(x2mk , x2nk +1 )), (d(x2mk −1 , x2nk )), (d(x2mk −1 , x2nk +1 )) Thay (2.12) x = x2mk −1 , y = x2nk ta có: d(x2mk , x2nk +1 ) ≤ β(d(x2mk −1 , x2nk ))d(x2mk −1 , x2nk ) 36Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 Từ ta lại có: d(x2mk , x2nk +1 ) ≤ β(d(x2mk −1 , x2nk )) < d(x2mk −1 , x2nk ) Cho k dần tới vô cực ta suy lim β(d(x2mk −1 , x2nk )) = Theo giả n→∞ thiết hàm β phải có lim d(x2mk −1 , x2nk ) = Mâu thuẫn Vậy n→∞ dãy (xn ) dãy Cauchy Vì khơng gian metric (X, d) đầy đủ ta suy tồn điểm z ∈ M cho: lim xn = z Ta khẳng định z điểm bất n→∞ động ánh xạ T Từ (2.12) suy T ánh xạ liên tục và: d(T xn , xn ) = d(T xn , T xn−1 ) ≤ β(d(xn−1 , xn ))d(xn−1 , xn ) ≤ d(xn−1 , xn ) Cho n dần tới vô cực dùng tính liên tục T ta d(T z, z) = Vậy T z = z Nếu z z hai điểm bất động phân biệt T lại (2.12) ta có: < d(z, z ) = d(T z, T z ) ≤ β(d(z, z ))d(z, z ) < d(z, z ) Mâu thuẫn Vậy T có điểm bất động Chứng minh chứng tỏ dãy lặp T hội tụ tới điểm bất động T , giới hạn dãy lặp T không phụ thuộc vào việc chọn phần tử x0 Định lý Gerachty chứng minh hoàn toàn Vào năm 2010, Amini – Harandi Emami [4] chứng minh định lý điểm bất động sau, mở rộng định lý Geraghty sang ánh xạ đơn điệu khơng gian metric có thứ tự phận Phát biểu khác chút so với nguyên bản, không làm thay đổi nội dung định lý Định lý 2.2.3 Giả sử (M, d, ≺) không gian metric đầy đủ thứ tự phận với metric d thứ tự phận ≺ Giả sử T : M → M ánh xạ không giảm, tức x ≺ y → T x ≺ T y tồn phần tử x0 ∈ M cho T x0 ≺ x0 , tồn hàm β : [0; +∞) → [0; 1) thoả mãn: lim β(tn ) = → lim tn = n→∞ n→∞ (2.21) cho x ≺ y y ≺ x kéo theo: d(T x, T y) ≤ β(d(x, y))d(x, y) (2.22) Nếu T ánh xạ liên tục thứ tự ≺ M có tính chất: ‘nếu dãy không tăng (xn ) hội tụ tới x ∈ M x ≺ xn với n ≥ 1’ T có 37Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 33 điểm bất động (2.23) Ngoài ra, thứ tự ≺ M có tính chất: "Với x, y ∈ M x = y, tồn z ∈ M cho z ≺ x z ≺ y x ≺ z y ≺ z " điểm bất động T (2.24) Chứng minh Giả sử x0 phần tử thoả mãn T x0 ≺ x0 Đặt xn = T xn−1 (∀n ≥ 1) Vì T ánh xạ không giảm ta suy dãy (xn ) dãy khơng tăng, theo (2.22) ta có: d(xn , xn+1 ) = d(T xn−1 , T xn ) ≤ β(d(xn−1 , xn ))d(xn−1 , xn ) với n ≥ Lặp lại chứng minh định lý 2.2.1 ta suy dãy (xn ) hội tụ tới phần tử z củaM Nếu T liên tục chứng minh chứng minh định lý 2.2.1 ta suy z điểm bất động T Nếu T thoả mãn điều kiện (2.23) dãy (xn ) dãy khơng tăng ta có z ≺ xn với n ≥ Từ (2.22)ta suy bất đẳng thức sau với n ≥ 1: d(T z, z) ≤ d(T z, T xn ) + d(T xn , z) ≤ β(d(z, xn ))d(z, xn ) + d(T xn , z) ≤ d(z, xn ) + d(xn+1 , z) Cho n dần tới vô cực bất đẳng thức ta d(T z, z) = ↔ T z = z Vậy z lại điểm bất động T Bây giả sử (2.24) thoả mãn, ta chứng minh điểm bất động T Thực vậy, giả sử z z∗ hai điểm bất động phân biệt T Theo điều kiện (2.24) tồn điểm w thuộc M cho hai khả sau phải xảy ra: w ≺ z w ≺ z ∗ z ≺ w z∗ ≺ w Để xác định, giả sử xảy khả thứ nhất: w ≺ z w ≺ z ∗ (nếu xảy khả z ≺ w z∗ ≺ w chứng minh khơng có thay đổi) Khi đó, T hàm khơng giảm, ta có T w ≺ T z = z, , T n w ≺ T n z = z với n ≥ Từ (2.22) ta suy ra: d(z, T n w) = d(T n z, T n w) ≤ β(d(T n−1 z, T n−1 w))d(T n−1 z, T n−1 w) ≤ d(T n−1 z, T n−1 w) = d(z, T n−1 w) Vậy dãy (d(z, T n w)) dãy không tăng, tồn giới hạn lim d(z, T n w) =α ≥ n→∞ Nếu α > từ bất đẳng thức ta có: > β(d(z, T n−1 w)) ≥ d(z,T n w) d(z,T n−1 w) 38Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (∀n ≥ 1) (2.25) http://www.lrc-tnu.edu.vn 34 Cho n dần tới vô cực dùng định lý kẹp, từ (2.25) ta nhận được: lim β(d(z, T n−1 w)) = n→∞ Theo giả thiết hàm β ta suy lim d(z, T n−1 w) = Mâu thuẫn n→∞ Vậy α = Tương tự ta có: lim d(z∗, T n w) = n→∞ Với ∀n ≥ ta có: d(z, z∗) ≤ d(z, T n w) + d(z∗,Tn w) (2.26) Cho n dần tới vô cực (2.26) ta đến mâu thuẫn < d(z, z∗) ≤ Vậy điểm bất động T Định lý 2.2.3 chứng minh Năm 2012, M.E Gordji, M.Ramezani, Y.J Cho, S Pirbavata [5] mở rộng định lý 2.2.3 thành định lý sau: Định lý 2.2.4 Giả sử ψ : [0; +∞) → [0; +∞) hàm có tính chất sau: (a) ψ khơng giảm liên tục (b) ψ cộng tính: ψ(s + t) ≤ ψ(s) + ψ(t) (c) ψ −1 (0) = {0} Cho (M, d, ≺) không gian metric đầy đủ thứ tự phận với metric d thứ tự phận ≺ Giả sử T : M → M ánh xạ không giảm, tức x ≺ y → T x ≺ T y tồn phần tử x0 ∈ M cho T x0 ≺ x0 , tồn hàm β : [0; +∞) → [0; 1) thoả mãn: lim β(tn ) = → lim tn = n→∞ n→∞ cho x ≺ y y ≺ x kéo theo: ψ(d(T x, T y)) ≤ β(ψ(d(x, y))).ψ(d(x, y)) (2.27) Nếu T ánh xạ liên tục thứ tự ≺ M có tính chất: " dãy khơng tăng (xn ) hội tụ tới x ∈ M x ≺ xn với n ≥ " T có điểm bất động Ngồi ra, thứ tự ≺ M có tính chất: " Với x, y ∈ M x = y, tồn z ∈ M cho z ≺ x z ≺ y x ≺ z y ≺ z " điểm bất động T Định lý 2.2.3 trường hợp riêng định lý 2.2.4 ψ(t) = t Tuy nhiên, định lý 2.2.4 thực suy từ định lý 2.2.3 Chúng điều cách chứng minh d metric M ψ ◦ d 39Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 35 metric M , đồng thời không gian metric (M, ψ ◦ d) không gian đầy đủ Như đưa chứng minh khác kết báo [5] Ta đưa vào M metric ρ(x, y) xác định bởi: ρ(x, y) = ψ(d(x, y)) Do điều kiện (a), (b),(c) đặt lên ψ dễ thấy ρ(x, y) metric M Ta chứng minh (M, ρ) không gian metric đầy đủ Trước hết, ta chứng minh ψ có tính chất (a), (b), (c) tồn số dương k δ cho ψ(t) ≥ kt với t ∈ [0;δ] Thực vậy, giả sử h > h < x Ký hiệu số nguyên lớn không vượt số thực z [z] đặt r(z) = z − [z] ta có: ≤ r(z) < x h h≤x= x h x h h+r h Do hàm ψ khơng giảm cộng tính ta có: ψ(x) x ≤ ψ([ hx ]h)+ψ(r( hx )h) x Nếu h dần tới 0< ψ(x) x x h ≤ [ hx ]ψ(h)+ψ(h) = [ hx ]h ψ(h) h (1 + [ hx ] ) (2.28) dần tới vô cực, từ (2.28) ta suy ra: ≤ lim inf h→0+ ψ(h) h (2.29) ψ(h) Từ (2.29) ta lại suy ra: lim supx→0+ ψ(x) x ≤ lim inf h→0+ h Vậy tồn lim ψ(x) x = 2k > Từ suy tồn số δ > cho t ∈ (0; δ] kéo x→0+ theo ψ(t) t > k ↔ ψ(t) > kt Giả sử (xn ) dãy Cauchy (M, ρ) Khi với số ε thoả mãn < ε ≤ ψ(δ), tồn số n0 = n0 (ε) cho min{m, n} ≥ n0 ta có: ε > ρ(xm , xn ) = ψ(d(xm , xn )) ≥ kd(xm , xn ) Như (xn ) dãy Cauchy khơng gian metric (M, d) Vì (M, d) đầy đủ nên tồn điểm x∗ thuộc M cho lim d(xn , x∗) = Do n→∞ hàm ψ liên tục nên từ ta có lim ψ(d(xn , x∗)) = → lim ρ(xn , x∗) = n→∞ n→∞ Vậy dãy {xn } dãy hội tụ metric ρ (M, ρ) đầy đủ Áp dụng định lý 2.2.3 cho không gian metric (M, ρ) ta thu khẳng định định lý 2.2.4 40Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 36 2.3 Áp dụng Mục đưa áp dụng định lý 2.2.4 để chứng minh tồn nghiệm toán biên dạng sau: Tìm hàm u = u(x, t) thoả mãn:   u (x, t) = u (x, t) + F (x, t, u, u ), −∞ < x < +∞, < t ≤ T t xx x  u(x, 0) = φ(x) − ∞ < x < +∞ (2.30) Trong φ hàm khả vi liên tục, φ, φ bị chặn, F (x, t, u, ux ) hàm liên tục Dưới đây, ký hiệu C(D) tập hàm thực liên tục không gian tô pơ đó, I = [0; T ] Xét tập Ω = {u(x, t) : u, ux ∈ C(R × I)}, Ω∗ tập Ω gồm hàm u bị chặn có đạo hàm riêng ux bị chặn R × I Trong Ω∗ ta xét cấu trúc khơng gian tuyến tính thơng thường chuẩn véc tơ cho bởi: u = sup {|u(x, t)| : (x, t) ∈ R×I} + sup {|ux (x, t)| : (x, t) ∈ R×I} Với chuẩn định nghĩa Ω∗ không gian Banach Trong Ω∗ ta xét metric d(u, v) = u − v thứ tự phận ≺ cho bởi: u ≺ v ↔ u(x, t) ≤ v(x, t)&ux (x, t) ≤ vx (x, t) (∀x ∈ R, ∀t ∈ I) Với thứ tự định nghĩa trên, (Ω∗ , d, ≺) có tính chất: (un ) dãy giảm hội tụ tới u Ω∗ u ≺ un với n ≥ Định lý 2.3.1 Xét toán (2.30) với giả thiết sau: 1) F : R×I×R × R → R hàm liên tục 2) Với c > 0, |s| < c, |p| < c hàm F (x, t, s, p) liên tục Holder theo x t tập compact R × I 3) Tồn số cF ≤ (T + Tπ )−1 cho s1 ≤ s2 , p1 ≤ p2 thì: ≤ F (x, t, s2 , p2 ) − F (x, t, s1 , p1 ) ≤ cF ln(s2 − s1 + p2 − p1 + 1) 4) F bị chặn s, p bị chặn ∗ ∗ 5)  Tồn hàm u (x, t) thuộc Ω thoả mãn:  u∗ + F (x, t, u∗, u∗ ) ≤ u∗ , −∞ < x < +∞, < t ≤ T xx  φ(x) ≤ u ∗ (x, 0), x t −∞ < x < +∞ 41Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn 37 Khi tốn (2.30) có nghiệm Chứng minh Bài tốn (2.30) tương đương với phương trình tích phân: u(x, t) = +∞ t +∞ k(x − ξ, t)φ(ξ)dξ + −∞ k(x − ξ, t − τ )F (ξ, τ, u(ξ, τ ), ux (ξ, τ ))dξdτ −∞ với x thuộc R < t ≤ T , k(x, t) = R, t > 0) Ta định nghĩa ánh xạ S : Ω∗ → Ω∗ bởi: √1 4πt exp( −x 4t ) (x ∈ (Su)(x, t) = +∞ t +∞ k(x − ξ, t)φ(ξ)dξ + −∞ k(x − ξ, t − τ )F (ξ, τ, u(ξ, τ ), ux (ξ, τ ))dξdτ −∞ với (x, t) ∈ R×I Với giả thiết đặt lên hàm F , S ánh xạ từ Ω∗ vào Ω∗ nghiệm Ω∗ (2.30) điểm bất động S Do giả thiết đặt lên F , u ≺ v F (x, t, u(x, t), ux (x, t)) ≤ F (x, t, v(x, t), vx (x, t)) Vì k(x, t) > với ∀x ∈ R < t ≤ T , từ suy u ≺ v Su ≺ Sv Vậy S ánh xạ không giảm Ω∗ Hơn nữa, u ≺ v ta có: |(Sv)(x, t) − (Su)(x, t)| ≤ t +∞ k(x − ξ, t − τ ) |F (ξ, τ, v(ξ, τ ), vx (ξ, τ )) − F (ξ, τ, u(ξ, τ ), ux (ξ, τ ))| dξdτ −∞ t +∞ ≤ k(x − ξ, t − τ )cF ln(v(ξ, τ ) − u(ξ, τ ) + vx (ξ, τ ) − ux (ξ, τ ) + 1)dξdτ −∞ t +∞ ≤ cF ln(d(u, v) + 1) k(x − ξ, t − τ )dξdτ ≤ cF T ln(d(u, v) + 1) −∞ (2.31) Tương tự, u ≺ v ta có: ∂(Su) ∂x (x, t) 2cF T π − ∂(Sv) ∂x (x, t) t +∞ ≤ cF ln(d(u, v) + 1) −∞ ln(d(u, v) + 1) ∂k ∂x (x − ξ, t − τ ) dξdτ ≤ (2.32) Kết hợp (2.31) (2.32) ta được: d(Su, Sv) ≤ cF (T +2 T π ) ln(d(u, v)+1) ≤ ln(d(u, v)+1) (2.33) Từ (2.33) suy u ≺ v có bất đẳng thức: ln(d(Su, Sv)+1) ≤ ln(ln(d(u, v)+1)+1) = ln(ln(d(u,v)+1)+1) ln(d(u, v)+1) ln(d(u,v)+1) 42Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 (2.34) Đặt ψ(t) = ln(t + 1), β(t) = Ta kiểm tra ψ β có tính chất nêu định lý 2.2.4 Hàm ψ rõ ràng liên tục thực tăng [0; +∞) nhận giá trị thuộc [0; +∞); hàm ψ cộng tính ( a > 0, b > a + b + < (a + 1)(b + 1) = ab + a + b + 1, ln(a + b + 1) < ln(a + 1) + ln(b + 1) Cũng rõ ràng ψ −1 (0) = {0} Vậy ψ có đủ tính chất (a), (b), (c) định lý 2.2.4 Đối với hàm β rõ ràng ≤ β(t) = ln(1+t) < với t > và: t n) lim ln(1+t = → lim tn = tn ψ(t) t n→∞ n→∞ Nếu xem β(0) = yêu cầu đặt lên hàm β thoả mãn Khi bất đẳng thức (2.34) tương ứng với điều kiện (2.27) định lý 2.2.4 Điều kiện 5) định lý 2.3.1 có nghĩa tồn phần tử u∗ ∈ Ω∗ cho Su∗ ≺ u∗ Thật vậy, tích phân bất đẳng thức sau: F (ξ, τ, u ∗ (ξ, τ ), u∗ξ (ξ, τ ))k(x − ξ, t − τ ) ≤ (u ∗ (ξ, τ )k(x − ξ, t − τ ))ξ − (u∗ξ (ξ, τ )k(x − ξ, t − τ ))ξ +(u ∗ (ξ, τ )kξ (x − ξ, t − τ ))ξ với −∞ < ξ < +∞, < τ < t ta bất đẳng thức: (Su∗)(x, t) = +∞ t +∞ k(x − ξ, t)φ(ξ)dξ + −∞ k(x − ξ, t − τ )F (ξ, τ, u ∗ (ξ, τ ), u∗ξ (ξ, τ ))dξdτ −∞ ≤ u ∗ (x, t) với (x, t) ∈ R×I (2.35) (Su∗)x (x, t) = +∞ −∞ ∂k ∂x (x t +∞ − ξ, t)φ(ξ)dξ + −∞ ∂k ∂x (x − ξ, t − τ )F (ξ, τ, u ∗ (ξ, τ ), u∗x (ξ, τ ))dξdτ ≤ u∗x (x, t) với (x, t) ∈ R×I (2.36) Các bất đẳng thức (2.35) (2.36) có nghĩa Su∗ ≺ u∗ Vậy kết luận định lý 2.3.1 suy từ định lý 2.2.4 43Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 Kết luận Bản luận văn “Không gian Tô pô thứ tự phận ứng dụng” đề cập đến định nghĩa không gian Tô pô tập thứ tự phận Chứng minh số mệnh đề liên hệ khái niệm trù mật tô pô trù mật thứ tự Nêu khái niệm hàm tiện ích, nêu phác thảo chứng minh hai định lý Debreu tồn biểu diễn tiện ích liên tục không gian tô pô tựa đầy đủ, khả ly tô pô liên thông không gian tô pô tựa đầy đủ thoả mãn tiên đề thứ hai tính đếm được, tơ pơ xét tô pô tự nhiên sinh tựa thứ tự đầy đủ Bản luận văn xét định lý điểm bất động không gian metric thứ tự phận, bao gồm định lý Caristi mở rộng, định lý Geraghty mở rộng Các kết ứng dụng để chứng minh tồn nghiệm toán biên lý thuyết phương trình đạo hàm riêng Tác giả đưa chứng minh khác kết báo [5] tác giả M.E Gordji, M.Ramezani, Y.J Cho, S Pirbavata Nội dung luận văn chứng tỏ lý thuyết không gian Tô pơ thứ tự phận nói chung lý thuyết không gian metric thứ tự phận nói riêng có nội dung phong phú tìm ứng dụng khác lý thuyết điểm bất động lý thuyết phương trình đạo hàm riêng Vì vậy, nội dung luận văn dùng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên học viên cao học ngành toán lý thuyết, toán ứng dụng, đặc biệt quan tâm đến lý thuyết điểm bất động ứng dụng 44Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 Tài liệu tham khảo [1] Ghanshyam Mehta Ordered topological spaces and the theorems of Debreu and Peleg Indian J pure appl Math., 14(9):1174-1182, September 1983 [2] Khamsi M.A Remarks on Caristi’s fixed point theorems Nonlinear Anal 71, 227-231(2009) [3] Z.Li and S.Jiang Maximal and minimal point theorems and Caristi’s fixed point theorem Fixed point Theory and Applications, 2011, 2011:103 [4] Amini- Harandi, A, Emami,H A fixed point theorem for contractions type maps in partially ordered metric spaces and applications to ordinary differential equations Nonlinear Anal.72, 2238-2242(2010) [5] Gordji M.E, Ramezani M, Cho Y.J, Pirbavata S A generalization of Geraghty’s theorem in partially ordered metric spaces and application to ordinary differential equations Fixed point Theory and Applications, 2012, 2012:74, doi: 10.1186/1687-1812-2012-74 45Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... không gian tô pô, tập thứ tự không gian tô pô thứ tự phận Tác giả đưa chứng minh kiện quan trọng lý thuyết không gian tô pô tập thứ tự Các kiện khác nêu nhằm đảm bảo tính hệ thống lý thuyết không. ..