Các bất đẳng thức rời rạc

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ THU THỦY CÁC BẤT ĐẲNG THỨC RỜI RẠC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ THU THỦY CÁC BẤT ĐẲNG THỨC RỜI RẠC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS TẠ DUY PHƯỢNG Thái Nguyên - 2016 i Mục lục Mở đầu Chương Các bất đẳng thức rời rạc cho số 1.1 Bất đẳng thức cho hai số 1.2 Bất đẳng thức cho ba số 1.3 Bất đẳng thức có trọng cho hai số 1.4 Bất đẳng thức Abel 1.5 Bất đẳng thức Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz cho số thực 1.6 Bất đẳng thức Biernacki, Pidek Ryll-Nardzewski (Bất đẳng thức BPR) 1.7 Bất đẳng thức Chebyshev cho số 1.8 Bất đẳng thức Andrica-Badea 1.9 Bt ng thc Gră uss có trọng 1.10 Bất ng thc Gră uss ci tin 1.11 Bất đẳng thức dạng Chebyshev 1.12 Bất đẳng thức Bruijn 1.13 Bất đẳng thức Daykin-Eliezer-Carlitz 1.14 Bất đẳng thức Wagner 1.15 Bt ng thc Púlya-Szegăo 1.16 Bất đẳng thức Cassels 1.17 Bt ng thc Hăolder cho b s thực 1.18 Bất đẳng thức Minkovskii cho số thực 1.19 Ứng dụng tốn phổ thơng bất đẳng thức rời rạc cho số Chương 2.1 Bất 2.2 Bất 2.3 Bất 2.4 Bất Bất đẳng thức rời rạc cho hàm lồi đẳng thức Jensen rời rạc đẳng thức Jensen ngược cho hàm lồi khả vi đẳng thức Petrovi´c cho hàm lồi đẳng thức Jensen cho hàm khả vi cấp hai 3 12 14 17 20 22 25 27 31 38 39 42 44 46 50 53 55 67 68 69 70 73 ii 2.5 2.6 2.7 Bất đẳng thức Slater cho hàm lồi không khả vi Bất đẳng thức Jensen cho tổng kép Ứng dụng bất đẳng thức rời rạc cho hàm tốn phổ thơng 75 77 lồi 79 Kết luận 87 Tài liệu tham khảo 88 Mở đầu Bất đẳng thức vấn đề khó tốn sơ cấp, địi hỏi tính tư tính sáng tạo cao Bất đẳng thức chuyên đề quan trọng chương trình chun tốn trường THPT chun, đề tài hấp dẫn, liên quan đến nhiều toán khác, toán tối ưu, giải phương trình bất phương trình, lĩnh vực dễ sáng tạo tốn Trong khn khổ luận văn tơi trình bày chứng minh lượng lớn bất đẳng thức (BĐT) rời rạc quan trọng, nhiều bất đẳng thức chưa biết đến rộng rãi nh BT Bruijn; BT BiernackiPidek-Ryll-Nardzewski, BT Gră uss, BT Daykin-Eliezer-Carlitz, Mt s bt ng thc quen thuc (Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz, Chebysev, Hăolder, ) làm cải tiến Luận văn tổng hợp chủ yếu từ sách Pietro Cerone, Sever S Dragomir [5] với số tài liệu khác Mục đích luận văn trình bày tổng quan bất đẳng thức rời rạc Ngoài phần mở đầu kết luận luận văn bố cục theo hai chương với nội dung sau: Chương 1: Trình bày chứng minh số bất đẳng thức cho số rời rạc quan trọng, với bình luận, trích dẫn tài liệu nhằm làm rõ tranh tổng thể bất đẳng thức Trong chương tơi trình bày số ví dụ minh họa cho việc áp dụng số bất đẳng thức vào việc giải tốn trung học phổ thơng Chương 2: Trình bày chứng minh số bất đẳng thức rời rạc cho hàm lồi, đồng thời số ví dụ ứng dụng tốn phổ thơng đưa Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, hướng dẫn thầy PGS TS Tạ Duy Phượng Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy, người định hướng giúp đỡ nhiều trình làm luận văn Trong trình học tập làm luận văn, từ giảng Giáo sư, Phó Giáo sư cơng tác Viện Tốn học Thầy Cơ trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, trau dồi thêm nhiều kiến thức Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Thầy Cô Tôi xin cảm ơn Ban Giám hiệu Trường THPT Chu Văn An, Yên Bái tạo điều kiện thời gian tinh thần để tơi hồn thành nhiệm vụ học tập Tơi xin gửi lời cảm ơn đặc biệt tới đại gia đình thân yêu, bạn bè anh chị em đồng nghiệp, người ln động viên khích lệ giúp tơi hồn thành luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2016 Tác giả Nguyễn Thị Thu Thủy Chương Các bất đẳng thức rời rạc cho số Chương trình bày chứng minh số bất đẳng thức rời rạc quan trọng, với bình luận trích dẫn tài liệu nhằm làm rõ tranh tổng thể bất đẳng thức 1.1 Bất đẳng thức cho hai số Với số dương a b, ta ln có √ a+b ≥ ab ≥ 1 + a b (1.1) Dấu xảy a = b Chứng minh Vì a, b > nên ta viết a = x2 , b = y với x, y > Ta có x2 + y ≥ xy (1.2) (x − y)2 ≥ (1.3) Điều tương đương với Rõ ràng, (1.3) với x, y Tức là, bất đẳng thức thứ (1.1) chứng minh Chia bất đẳng thức (1.1) cho ab ta nhận a+b √ ≥ ab = √1 ab ab ab (1.4) Dễ dàng thấy rằng, (1.4) tương đương với bất đẳng thức thứ hai (1.1) dấu (1.3) xảy x = y Điều có nghĩa a = b (1.1) Nhận xét 1.1.1 ([5, p 2]) Bất đẳng thức (1.1) chứng minh hình học sau Trước hết ta có 1 + a b = 2ab a+b Ta viết lại bất đẳng thức (1.1) dạng √ 2ab a+b ≤ ab ≤ a+b G a−b A √ ab 2ab a+b H M a+b d Hình 1.1: Khơng hạn chế tổng quát, coi a > b Dựng đường tròn tâm A bán a−b kính (Hình 1.1) Trên đường thẳng Ax lấy điểm M cho a+b Từ M kẻ tiếp tuyến với đường tròn, gọi tiếp điểm G Từ G kẻ GH⊥Ax Sử dụng công thức Pythagoras cho tam giác vuông độ dài AM = AGM ta tính độ dài cạnh a+b AM = , GM = AM − AG2 = a+b 2 − a−b 2 = √ ab, ab GM 2ab = HM = = a+b AM a+b Mặt khác, dựa vào tính chất tam giác, ta có HM ≤ GM ≤ AM Suy √ 2ab a+b ≤ ab ≤ a+b Nếu ta cho phép bán kính đường trịn dần 0, G dần tới A, ta thu dấu bất đẳng thức Nhận xét 1.1.2 ([5, p 2]) Bất đẳng thức (1.3) bất đẳng thức số thực Bất đẳng thức cải tiến sau Đặt    x > 0,    sgn(x) := x = 0,      −1 x < Khi |x| = x sgn(x) với x ∈ R (1.5) Ta có, x2 − 2xy + y ≥ |x2 sgn(x) + y sgn(y) − xy[sgn(x) + sgn(y)]| ≥ (1.6) với x, y ∈ R Thật vậy, ta có |z − t| ≥ ||z| − |t|| với z, t ∈ R Do ta có x2 − 2xy + y = (x − y)2 = |x − y||x − y| ≥ |x − y|||x| − |y|| = |(x − y)(|x| − |y|)| = x|x| − y|y| − x|y| − |x|y (1.7) Thay (1.5) vào (1.7) ta thu (1.6) Cả hai dấu (1.6) xảy đồng thời x = y Nhận xét 1.1.3 ([5, p 3]) Bất đẳng thức (1.6) cho số phức z, w, cụ thể |z|2 − Re(zw)|w|2 ≥ |z|z| + w|w| − z|w| − |z|w| ≥ (1.8) Thật vậy, |z − w|2 = (z − w)(z − w) = (z − w)(z − w) = zz + ww − zw − zw = |z|2 + |w|2 − Re(zw) Tương tự chứng minh nhận xét 1.1.2, ta có |z − w|2 ≥ ||z| − |w|||z − w| = z|z| + w|w| − z|w| − |z|w ≥ Dấu xảy hai dấu bất đẳng thức (1.8) z = w 1.2 Bất đẳng thức cho ba số Với ba số dương a, b c, ta có √ a+b+c ≥ abc ≥ 1 + + a b c (1.9) ... 2.1 Bất 2.2 Bất 2.3 Bất 2.4 Bất Bất đẳng thức rời rạc cho hàm lồi đẳng thức Jensen rời rạc đẳng thức Jensen ngược cho hàm lồi khả vi đẳng thức Petrovi´c cho hàm lồi đẳng thức. .. Chương Các bất đẳng thức rời rạc cho số 1.1 Bất đẳng thức cho hai số 1.2 Bất đẳng thức cho ba số 1.3 Bất đẳng thức có trọng cho hai số 1.4 Bất đẳng thức. .. Chương Các bất đẳng thức rời rạc cho số Chương trình bày chứng minh số bất đẳng thức rời rạc quan trọng, với bình luận trích dẫn tài liệu nhằm làm rõ tranh tổng thể bất đẳng thức 1.1 Bất đẳng thức