Đồ thị

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - Nguyễn Thị Kim Ngân ĐỒ THỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, năm 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Nguyễn Thị Kim Ngân ĐỒ THỊ Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS ĐÀM VĂN NHỈ Thái Nguyên, năm 2015 i Mục lục Mở đầu Một số khái niệm 1.1 Tập hợp quan hệ 1.1.1 Tập hợp phép toán 1.1.2 Quan hệ tương đương 1.2 Đồ thị đường 1.2.1 Khái niệm đồ thị 1.2.2 Đường chu trình 1.2.3 Bậc đỉnh tính liên thơng đồ thị 1.3 Đồ thị đẳng hình 1.3.1 Đồ thị đồ thị riêng 1.3.2 Sự đẳng hình đồ thị 1.4 Một vài mơ hình đồ thị 1.4.1 Lấn tổ sinh học 1.4.2 Thi đấu vòng tròn 1.4.3 Bài toán đường 1.5 Chu trình Euler chu trình Hamilton 1.5.1 Chu trình Euler 1.5.2 Chu trình Hamilton 1.6 Tập ổn định 1.6.1 Tập ổn định trong, tập ổn định 1.6.2 Tập nhân đồ thị 1.7 Chu số Sắc số 1.7.1 Chu số đồ thị 1.7.2 Sắc số đồ thị 3 5 12 12 12 13 13 14 14 15 15 17 18 18 19 20 20 23 ii Ứng dụng lý thuyết đồ thị 2.1 Phương pháp đồ thị 2.2 Ví dụ vận dụng 25 25 26 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 iii Lời cảm ơn Để hoàn thành luận văn em xin chân thành cảm ơn Thầy, Cơ thuộc Khoa Tốn - Tin, cán nhân viên phòng Sau Đại học thuộc trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, Ban Giám hiệu đồng nghiệp trường THPT Hàn Thuyên, gia đình bạn bè ln nhiệt tình giúp đỡ động viên tạo điều kiện tốt cho em học tập, nghiên cứu hoàn thiện luận văn Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Đàm Văn Nhỉ, người tận tình hướng dẫn bảo em suốt trình viết luận văn đề tài:"Đồ thị" Thái Nguyên, tháng - 2015 Người viết Luận văn Nguyễn Thị Kim Ngân Mở đầu Lý chọn đề tài Lý thuyết đồ thị (Graph) ứng dụng vào nhiều ngành khoa học, kỹ thuật khác lý thuyết đồ thị phương pháp khoa học có tính khái qt cao, có tính ổn định vững để mã hóa mối quan hệ đối tượng nghiên cứu Trên thực tế, nhiều toán liên quan đến tập đối tượng mối liên hệ chúng, địi hỏi tốn học phải đặt mơ hình biểu diễn cách chặt chẽ tổng qt ngơn ngữ, kí hiệu Đó đồ thị Những ý tưởng đưa từ kỷ 18 nhà tốn học Leonhard Euler Ơng dùng mơ hình đồ thị để giải tốn cầu Konigsberg tiếng Nhiều khái niệm lý thuyết đồ thị sinh từ vấn đề thực tiễn: đường đi, chu trình, tập ổn định, chu số, sắc số, duyệt đồ thị, đường Euler, đường Hamilton Vì lý thuyết đồ thị gắn kết nhiều ngành khoa học với Các thuật toán ngắn gọn thú vị lý thuyết đồ thị giúp giải nhiều tốn phức tạp thực tế Ngồi ra, đưa tốn mơ hình đồ thị ta cịn xây dựng thuật toán nhờ vào ứng dụng tin học để giải chúng Vì lựa chọn đề tài "Đồ thị" Tuy nhiên, phạm vi nghiên cứu đề tài chúng tơi trình bày khái qt số phần lý thuyết đồ thị vài ứng dụng vào giải tốn sơ cấp Mục đích nghiên cứu Tác giả tìm hiểu lý thuyết đồ thị thuộc chuyên ngành Toán rời rạc vận dụng số kết đạt để giải số tập Trong luận văn tập trung xét số khái niệm chứng minh số kết thuộc lý thuyết đồ thị Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu: Luận văn nghiên cứu số ứng dụng lý thuyết đồ thị vào giải toán sơ cấp 3.2 Phạm vi nghiên cứu: Lý thuyết đồ thị làm sở nghiên cứu vận dụng tốn đường đi, tốn tơ màu đồ thị, chu trình hamilton, chu trình Euler vào giải số toán sơ cấp Phương pháp nghiên cứu: Sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu nhằm hệ thống lý thuyết, phân tích lựa chọn số toán giải phương pháp đồ thị Cấu trúc luận văn Luận văn trình bày số khái niệm kết lý thuyết đồ thị vận dụng giải số toán Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Được phân chia làm mục Mục 1.1 tập trung trình bày tập hợp quan hệ tương đương Mục 1.2 trình bày khái niệm đồ thị đường với kết chính: khái niệm đồ thị Mục 1.3 nêu khái niệm đồ thị con, đồ thị riêng đẳng hình đồ thị Mục 1.4 giới thiệu vài mơ hình đồ thị Mục 1.5 trình bày số vấn đề chu trình Euler, chu trình Hamilton Mục 1.6 tập trung trình bày tập đặc biệt tập đỉnh thuộc đồ thị Mục 1.7 Trình bày định nghĩa số kết chu số sắc số để vận dụng giải tốn sơ cấp Chương 2: Trình bày phương pháp đồ thị số ví dụ vận dụng phương pháp vào giải toán sơ cấp Chương Một số khái niệm 1.1 Tập hợp quan hệ 1.1.1 Tập hợp phép toán Tập hợp khái niệm tốn học Chúng ta ln gặp đời thường, ví dụ tập hợp sinh viên khoa, tập hợp thành viên gia đình, tập hợp số thỏa mãn tính chất Mỗi đối tượng x tập hợp X gọi phần tử tập hợp đó, kí hiệu x ∈ X Nếu phần tử x khơng thuộc X, ta kí hiệu x ∈ X Ta nói hai tập hợp A B viết A = B phần tử thuộc A thuộc B ngược lại Một tập A gọi tập tập B, kí hiệu A ⊂ B phần tử thuộc A thuộc B Tập hợp rỗng tập hợp không chứa phần tử nào, kí hiệu ∅ Rõ ràng tập ∅ ⊂ X với tập X Cho A B hai tập hợp tùy ý Ta có định nghĩa sau: (1) Tập hợp A − B = {x ∈ A|x ∈ B} gọi hiệu tập hợp A tập hợp B (2) Tập hợp cặp (a, b) với a ∈ A b ∈ B gọi tích Đề-các A B kí hiệu A × B (3) Hợp A B gồm phần tử thuộc A B, kí hiệu A ∪ B nghĩa x ∈ A ∪ B tương đương với x ∈ A x ∈ B (4) Giao A B gồm phần tử thuộc A B, kí hiệu A ∩ B nghĩa x ∈ A ∩ B tương đương với x ∈ A x ∈ B Khi A ∩ B = ∅, ta bảo A B không giao hay dời hay khơng có phần tử chung Định lý 1.1.1 Với tập hợp A, B, C X tùy ý, ta ln có: (1) Tính chất giao hốn (2) Tính chất kết hợp A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (3) Tính chất phân phối (4) Công thức De Morgan 1.1.2 A∩B =B∩A A ∪ B = B ∪ A A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) X − (A ∩ B) = (X − A) ∪ (X − B) X − (A ∪ B) = (X − A) ∩ (X − B) Quan hệ tương đương Giả thiết tập X = ∅ Tích Đề-các X × X định nghĩa sau: X × X = {(x, y)|x, y ∈ X} Định nghĩa 1.1.2 Tập S X × X gọi quan hệ hai X Nếu (x, y) ∈ S ta nói x có quan hệ S với y viết xSy Định nghĩa 1.1.3 Giả thiết X = ∅ S = ∅ quan hệ hai X Quan hệ S gọi quan hệ tương đương X thỏa mãn ba điều kiện sau đây: (i) (Phản xạ) Với x ∈ X có xSx (ii) (Đối xứng) Với x, y ∈ X, có xSy có ySx (iii) (Bắc cầu) Với x, y, z ∈ X, có xSy ySz ta có xSz Khi S quan hệ tương đương X ta thường ký hiệu ∼ thay cho S Đặt C(x) = {y ∈ X|y ∼ x} gọi lớp tương đương với x làm đại diện Dễ dàng tính chất sau: Tính chất 1.1.4 Với quan hệ tương đương ∼ X = ∅, ta có (i) Với x ∈ X có x ∈ C(x) (ii) Với y, z ∈ C(x) có y ∼ z y, z ∼ x (iii) Với x, y ∈ X, có C(x) ∩ C(y) = ∅ C(x) = C(y) (iv) Tập thương X/ ∼ tập lớp tương đương không giao 1.2 1.2.1 Đồ thị đường Khái niệm đồ thị Lý thuyết đồ thị ngành khoa học phát triển từ lâu lại có nhiều ứng dụng đại Những ý tưởng đưa từ kỷ 18 nhà toán học L Euler, người Thụy Sĩ Ông người sử dụng đồ thị để giải toán cầu Konigsberg tiếng Nhờ Lý thuyết đồ thị mà nhiều toán phức tạp, diễn giải dài dịng mơ tả hình học cách trực quan đọng Các thuật tốn ngắn gọn trực quan Lý thuyết đồ thị giúp giải nhiều toán phức tạp thực tế Vậy đồ thị có phải hình ảnh hàm số mà ta thường khảo sát vẽ hay không? Lý thuyết đồ thị (theo tiếng Anh tiếng Đức đọc "graph") nghiên cứu tính chất tốn học, quan hệ khơng phụ thuộc vào chất riêng mối quan hệ Nó định nghĩa sau: Định nghĩa 1.2.1 Đồ thị cặp G = (V, E), (1) V tập hợp phần tử, chúng gọi đỉnh (2) E ⊆ V × V tập hợp phần tử, chúng gọi cạnh Thông thường người ta hay ký hiệu đồ thị chữ G (chữ đầu từ tiếng Đức "Graph", tập đỉnh thường ký hiệu chữ V (là chữ từ "vertex") tập cạnh chữ E ( chữ từ "edge") Về chất, đồ thị tập đối tượng biểu diễn đỉnh đối tượng có mối quan hệ nhị nguyên biểu diễn cạnh Với hai đỉnh x, y ∈ V, đoạn thẳng hay đoạn cong nối x y biểu thị cạnh (x, y) đồ thị ta nói rằng, đỉnh y đỉnh kề với đỉnh x Khi hai đỉnh x, y kề với cạnh (x, y) Nếu cặp đỉnh x, y tạo thành cạnh đồ thị hai đỉnh khơng thứ tự cạnh 25 Chương Ứng dụng lý thuyết đồ thị Trong chương đề cập đến phương pháp sử dụng lý thuyết đồ thị vận dụng giải số tốn khơng mẫu mực lại gần với thực tế 2.1 Phương pháp đồ thị Để giải toán T phương pháp đồ thị cần thực bước sau: Xây dựng đồ thị mô tả quan hệ: Lấy điểm mặt phẳng không gian tương ứng với đối tượng cho toán T Dùng ký hiệu tên đối tượng để ghi điểm tương ứng Cặp điểm x, y tùy ý nối với cạnh với " đặc điểm t" đối tượng x, y có quan hệ (t) với Khi tốn T chuyển toán D đồ thị Dựa vào kết lý thuyết đồ thị lý luận trực tiếp mà suy đáp án tốn D ngơn ngữ đồ thị Căn vào việc đặt tương ứng xây dựng đỉnh cạnh đồ thị , mà "dịch" đáp án từ ngôn ngữ đồ thị sang ngôn ngữ thơng thường, tức đáp án tốn T Để q trình giải tốn đơn giản người ta thường thực gộp bước bước 26 2.2 Ví dụ vận dụng Ví dụ 2.2.1 Khi nghỉ hè em học sinh lớp 10A trao đổi địa với nửa số bạn lớp Chứng minh em lớp 10A báo tin (một cách trực tiếp hay gián tiếp) cho tất bạn lớp Bài giải: Lấy điểm mặt phẳng không gian tương ứng với học sinh lớp 10A Dùng tên học sinh để ghi điểm tương ứng Hai điểm x, y nối với đoạn thẳng đoạn cong (không qua điểm tương ứng trung gian khác) học sinh x học sinh y trao đổi địa với Ký hiệu, cách tương ứng đồ thị nhận G1 Đồ thị G1 mơ tả tồn quan hệ trao đổi địa em lớp 10A Vì em học sinh lớp 10A trao đổi địa với nửa số bạn lớp, nên theo cách xây dựng cạnh, đỉnh đồ thị G1 có số cạnh xuất phát nửa số đỉnh G1 Do tổng bậc hai đỉnh tùy ý thuộc G1 không nhỏ số đỉnh đồ thị tương ứng nên G1 đồ thị liên thông Bởi hai đỉnh tùy ý thuộc G1 có xích nối với Dựa vào xích mà em lớp 10A tương ứng với đầu xích báo tin cho em đầu bên Ví dụ 2.2.2 Cuộc họp có ba người Mỗi đại biểu đến dự họp bắt tay nửa số đại biểu có mặt Chứng minh ln ln xếp tất đại biểu ngồi xung quanh bàn tròn, để người ngồi hai người, mà đại biểu bắt tay Bài giải: Lấy điểm mặt phẳng không gian tương ứng với đại biểu đến dự họp Dùng số giấy mời đại biểu để ghi điểm tương ứng Cặp đỉnh tùy ý x, y nối với đoạn thẳng đoạn cong (không qua điểm tương ứng trung gian khác) đại biểu x, y bắt tay Dùng G1 , để ký hiệu đồ thị tương ứng nhận Đồ thị G1 mơ tả tồn quan hệ bắt tay thực họp Vì đại biểu bắt tay nửa số đại biểu đến họp nên bậc đỉnh thuộc G1 không nhỏ nửa số đỉnh G1 Bởi đồ thị G1 có chu trình Hamilton Giả sử α chu trình Hamilton đồ thị G1 Khi dọc 27 theo α ta xếp đại biểu tương ứng ngồi xung quanh bàn trịn, người ngồi hai người mà đại biểu bắt tay Ví dụ 2.2.3 Lấy bốn điểm A, B, C, D khơng có ba điểm thẳng hàng, kẻ đường thẳng qua cặp điểm Có tất đường thẳng? Bài giải: Coi điểm A, B, C, D đỉnh đồ thị G, đoạn thẳng nối hai đỉnh cạnh đồ thị số đường thẳng qua cạnh số cạnh đồ thị Khi G đồ thị đầy đủ đỉnh Vận dụng lý thuyết đồ thị ta có "trong đồ thị G tổng tất bậc đỉnh số chẵn hai lần tổng tất cạnh G" Như vậy:Mỗi đỉnh đồ thị có bậc Tổng số bậc đồ thị là: · = 12 Tổng tất cạnh G 12 : = Suy có đường thẳng qua cặp điểm Ví dụ 2.2.4 Có 20 đội bóng đá tham gia thi đấu tính điểm, thể lệ thi hai đội gặp lần Hỏi phải tổ chức trận đấu? Bài giải: Coi đội bóng đỉnh đồ thị G Do hai đội gặp lần nên G đồ thị đầy đủ với 20 đỉnh Mỗi đỉnh đồ thị có bậc 19 Tổng số bậc đồ thị là: 20 · 19 = 380 Tổng tất cạnh G 190 Suy phải tổ chức 190 trận đấu Ví dụ 2.2.5 Một nhóm học sinh giỏi tỉnh mơn Vật Lý có 11 em Trong buổi gặp mặt bạn Hùng phát điều thú vị bạn nhóm quen bạn khác Ngay bạn Hịa đứng lên bác bỏ phát Vậy hai bạn nói đúng? Vì sao? Bài giải: Lấy điểm mặt phẳng không gian tương ứng với tên 11 học sinh Theo bạn học sinh nhóm có mối quan hệ quen không quen, ta cho tương ứng: hai bạn quen nối hai đỉnh tương ứng cạnh Vậy ta đồ thị G sau: Trong đồ thị G, đỉnh có cạnh nối với đỉnh khác hay tất đỉnh có bậc Vận dụng định lý 1.2.12 số cạnh đồ thị 28 Hình 2.1: Đồ thị G (33 : 2) ∈ N điều vô lý Vậy phát bạn Hùng khơng Do bạn Hịa nói Ví dụ 2.2.6 Hiệu trưởng mời 2n (n ≥ 2) sinh viên giỏi đến dự tiệc Mỗi sinh viên giỏi quen n sinh viên giỏi khác đến dự tiệc Chứng minh ln ln xếp tất sinh viên giỏi ngồi xung quanh bàn tròn, để người ngồi hai người mà sinh viên quen Bài giải: Xét đồ thị G = (V, E), đó: V tập sinh viên đến dự tiệc; E = (u, v)với u, v thuộc V u, v có quen biết Theo cách xác lập đồ thị đơn đồ thị có 2n đỉnh, đỉnh có bậc tối thiểu n (vì sinh viên quen với n sinh viên khác) Do đó, theo định lý Đirac G đồ thị Hamilton Mặt khác, đồ thị vơ hướng nên tốn chứng minh Ví dụ 2.2.7 Trong ngày tập trung học sinh lớp 10B 19 em có mặt Mỗi em bắt tay 13 em Chứng minh có em lớp mà cặp bắt tay ngày tập trung Bài giải: Lấy 19 điểm mặt phẳng không gian tương ứng với 19 em học sinh đến tập trung ngày Dùng tên em để ghi điểm tương ứng 29 Hai điểm nối với cạnh nét liền hai học sinh bắt tay Hai điểm nối với cạnh nét đứt hai học sinh không bắt tay Ta đồ thị G mơ tả tồn trạng em học sinh lớp 10B bắt tay ngày Chứng tỏ đồ thị G có đồ thị đầy đủ gồm đỉnh Thật vậy, ngày dầu tiên em 19 em có mặt bắt tay 13 em, nên 18 cạnh xuất phát từ đỉnh phải có khơng 13 cạnh nét liền Khi số cạnh nét đứt xuất phát từ đỉnh không vượt Xét đỉnh P tùy ý 13 số cạnh nét liền xuất phát từ P P A1 , P A2 , , P A13 Vì xuất phát từ A1 có tối đa cạnh nét đứt Khi cạnh (A1 , Ai ) (2 ≤ i ≤ 13) có cạnh nét liền xuất phát từ A1 (A1 , At ) (1 ≤ t ≤ 8) Vì xuất phát từ A2 có khơng q cạnh nét đứt, nên cạnh (A1 , A2 ), (A2 , A3 ), (3 ≤ k ≤ 8) khơng có hai cạnh nét liền Bởi vậy, cạnh (A2 , Ak ) (3 ≤ k ≤ 8) có cạnh nét liền Giả sử (A2 , A3 ) cạnh nét liền, đồ thị gồm đỉnh P , A1 , A2 , A3 có tất cạnh nét liền, nên học sinh tương ứng với đỉnh đồ thị cặp bắt tay buổi tập trung Ví dụ 2.2.8 Chứng minh mã qua tất bàn cờ có × × vng, lần, trở chỗ cũ 10 11 12 13 14 15 16 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 30 Bài giải: Ta xem đồ thị với ô cờ đỉnh, (u, v) cạnh mã từ u đến v Bài toán trở thành xác định xem đồ thị G1 G2 tương ứng với bàn cờ × × có phải đồ thị Hamilton khơng? Ta chứng minh tốn phương pháp phản chứng tức giả sử đồ thị G1 G2 đồ thị Hamilton Từ G1 ta nhận thấy, chu trình Hamilton muốn qua đỉnh phải qua hai đỉnh 11, đồng thời muốn qua đỉnh 13 phải qua hai đỉnh 11 Như vậy, đỉnh 11 phải lặp lại hai lần, điều trái với giả thuyết G1 chu trình Hamilton (vì có đỉnh đầu đỉnh cuối lặp lại) Tức G1 chu trình Hamilton Tương tự G2 , chu trình Hamilton (nếu có): để qua đỉnh phải qua đỉnh 12, muốn qua đỉnh phải qua đỉnh 14, muốn qua đỉnh 25 phải qua đỉnh 14 18, muốn qua đỉnh 12 phải qua đỉnh 18 12 Như đỉnh 8, 14, 18, 12 phải qua hai lần, điều không với đồ thị Hamilton Vậy G2 đồ thị Hamilton Ví dụ 2.2.9 Một họp có đại biểu đến dự Mỗi người quen đại biểu khác Chứng minh xếp số đại biểu ngồi xung quanh bàn tròn để người ngồi người mà đại biểu quen Bài giải: Ta biểu diễn mối quan hệ đại biểu đến tham dự họp đơn đồ thị G = (V, E) G có n đỉnh (n 3, n số đại biểu) e cạnh Mỗi đỉnh đồ thị ứng với đại biểu, đỉnh ứng với đại biểu quen tồn cạnh Gọi Vi (i = 1, 2, , n): đỉnh đồ thị (ứng với đại biểu) Do người n quen đại biểu khác nên deg(Vi ) suy deg(Vi ) 2n Tiếp i=1 tục suy số cạnh đồ thị e n (1) Mặt khác, theo đề ta có: đại biểu ngồi xung quanh bàn trịn Vì vậy, đồ thị biểu diễn cách xếp chỗ ngồi đại biểu thỏa yêu cầu đồ thị vòng Cn Trong đồ thị vịng Cn có n (cạnh), n cạnh lấy từ e cạnh G (do biểu thị mối quan hệ đại biểu) (2) Tập đỉnh G Cn n (3) Từ (1), (2) (3) cho thấy, Cn đồ thị bao hàm G.(Cn tạo cách bỏ số cạnh thích hợp G) 31 Vậy, dựa mối quan hệ đại biểu ta xếp đại biểu ngồi quanh bàn tròn cho người ngồi người mà họ quen Ví dụ 2.2.10 Một lớp học có sinh viên Mỗi sinh viên thân với sinh viên khác Chứng minh xếp số chẵn sinh viên ngồi quanh bàn tròn để sinh viên ngồi sinh viên mà họ thân Bài giải: Mối quan hệ sinh viên lớp biểu diễn đơn đồ thị G = (V, E) n đỉnh (n 4, n: số sinh viên), e cạnh Hai đỉnh ứng với sinh viên thân liền kề với Gọi V i(i = 1, 2, , n) : đỉnh đồ thị ứng với sinh viên Mỗi sinh viên thân với người ⇒ deg(V i) n ⇒ deg(V i) 3n i=1 Tổng số cạnh G là: e 3n Mặt khác, theo đề ta có: cách xếp chỗ ngồi sinh viên biểu diễn đồ thị vòng Cn (do sinh viên ngồi quanh bàn trịn) Cn có n cạnh (n cạnh lấy từ e cạnh G) Mà e phải số nguyên suy n phải chia hết cho (n chẵn) Tập đỉnh Cn G n Từ đó, ta thấy Cn đồ thị bao hàm G.(Cn tạo từ G cách bỏ số cạnh thích hợp) Hay: xếp số chẵn sinh viên ngồi quanh bàn tròn cho người ngồi người mà họ thân Ví dụ 2.2.11 Trong họp có đại biểu khơng quen đại biểu có số lẻ người quen đến dự Chứng minh luôn xếp số đại biểu ngồi chen đại biểu nói trên, để người ngồi người mà đại biểu quen 32 Bài giải: Mối quan hệ đại biểu đến tham dự họp biểu diễn đơn đồ thị G = (V, E) Trong đỉnh đại biểu, đỉnh ứng với đại biểu quen tồn cạnh Trong họp có đại biểu khơng quen có số lẻ người quen đến tham dự Vậy G có đỉnh khơng liền kề đỉnh có bậc lẻ Từ mệnh đề: Nếu đồ thị có hai đỉnh bậc lẻ hai đỉnh phải liên thơng, tức có đường nối suy tìm số đại biểu ngồi chen vào đại biểu cho đại biểu ngồi người mà đại biểu quen (do đỉnh ứng với người không liên thông, người không ngồi sát họ quen với n-2 người lại) Ví dụ 2.2.12 Một thành phố có n(n 2) nút giao thông hai nút giao thông có số đầu mối đường ngầm tới nút giao thông không nhỏ n Chứng minh từ nút giao thông tuỳ ý ta đến nút giao thơng khác đường ngầm Bài giải: Ta xem hệ thống đường ngầm thành phố đơn đồ thị có đỉnh nút giao thơng Số đỉnh đồ thị số nút giao thông: n(n 2) Cạnh đồ thị đường ngầm nối nút giao thơng Theo ta có: Hai nút giao thơng có số đầu mối đường ngầm tới nút giao thông khơng nhỏ n Ta có mệnh đề: Mọi đơn đồ thị n đỉnh (n 2) có tổng bậc đỉnh tùy ý không nhỏ n đồ thị liên thơng Vậy, theo định lí hệ thống đường ngầm thành phố đồ thị liên thông Suy ra, từ nút giao thông tuỳ ý ta đến nút giao thơng khác đường ngầm Ví dụ 2.2.13 Có 17 nhà khoa học, cặp số họ trao đổi thư từ với ba chủ đề Chứng minh có người viết cho chủ đề (Thi IMO lần thứ 6, 1964) Bài giải: Ta xây dựng đồ thị với tập đỉnh tên 17 nhà khoa học Hai đỉnh nối với cạnh tô màu sau: Màu xanh hai nhà khoa học trao đổi với chủ đề thứ 33 Màu vàng hai nhà khoa học trao đổi với chủ đề thứ hai Màu đỏ hai nhà khoa học trao đổi với chủ đề thứ ba Như đồ thị G nhận đồ thị đủ 17 đỉnh cạnh tô màu với n = 3, đồ thị có chu trình tam giác có cạnh màu, tồn ba nhà khoa học ba đỉnh chu trình tam giác màu viết cho chủ đề Ví dụ 2.2.14 Trong lớp 10A1, An có số bạn thân số lẻ Chứng minh có học sinh khác An mà số bạn thân số lẻ Bài giải: Ta xây dựng đồ thị G = (V, E) mơ tả tốn: Tập đỉnh V : Lấy n điểm mặt phẳng tương ứng với n học sinh dùng thứ tự n học sinh kí hiệu cho đỉnh Tập cạnh E: Hai đỉnh nối với cạnh màu xanh hai học sinh tương ứng với hai đỉnh khơng thân nhau, cạnh màu đỏ hai học sinh tương ứng với hai đỉnh thân Đồ thị G = (V, E) đồ thị màu đầy đủ với cạnh tô màu xanh đỏ Từ giả thiết suy ra, đồ thị G có đỉnh mút số lẻ cạnh màu đỏ Khi "tổng số đỉnh mà đỉnh mút số số lẻ cạnh màu đỏ số chẵn" nên đồ thị G cịn có đỉnh mút số lẻ cạnh màu đỏ Suy có học sinh khác An có số bạn thân số lẻ Ví dụ 2.2.15 Có 10 đội bóng thi đấu theo thể thức đội lần lựợt đấu với đội lại.chứng minh thời điểm tìm hai đội có số trận đấu Bài giải: Ta xây dựng đồ thị đầy đủ G = (V, E) mơ tả tốn: Tập đỉnh V : Lấy 10 điểm mặt phẳng tương ứng với 10 đội bóng dùng thứ tự đơi để kí hiệu cho đỉnh Tập cạnh E: Hai đỉnh nối với cạnh màu xanh hai đội bóng tương ứng với hai đỉnh chưa đấu với nhau, cạnh màu đỏ hai đội bóng tương ứng với hai đỉnh thi đấu với Đồ thị G = (V, E) đồ thị màu đầy đủ với cạnh tô màu xanh đỏ Từ giả thiết suy tồn hai đỉnh đồ thị mà số cạnh màu đỏ hai đỉnh Vậy đồ thị G = (V, E) có hai đỉnh mút số cạnh màu đỏ.Suy có hai đội bóng đấu số trận 34 Ví dụ 2.2.16 Chứng minh sáu góc nhọn tìm ba góc A,B,C cho tổng A + B, B + C, C + A đồng thời lớn 900 Bài giải: Ta xác định đối tượng góc tương ứng đỉnh đồ thị, quan hệ tổng hai góc lớn 900 hay tổng hai góc nhỏ 900 tương ứng cạnh đồ thị Như có góc tương ứng với đỉnh đồ thị Cạnh đồ thị xác định: Nếu tổng hai góc lớn 900 cạnh nối hai đỉnh tương ứng nét liền, ngược lại tô nét đứt Ta phải chứng minh đồ thị G xây dựng ln có tam giác có cạnh dạng (Ở tam giác hiểu theo nghĩa thông thường hình nối đỉnh tương ứng cạnh Tam giác có cạnh loại tam giác có cạnh nét liền cạnh nét đứt với cách xác định trên.) Thật vậy, đỉnh đồ thị đầu mút cạnh, cạnh nét đứt nét liền nên đỉnh G phải đầu mút cạnh dạng Giả sử đỉnh A đầu mút cạnh nét liền AB, AC, AD Xét canh BC, BD, CD: + Nếu có cạnh nét liền, thí dụ BD tam giác ABC có cạnh nét liền + Nếu khơng có cạnh nét liền, tức cạnh nét đứt tam giác BCD có cạnh dạng Như trường hợp ta có tam giác có cạnh loại Ví dụ 2.2.17 Có đội bóng chuyền thi đấu với để tranh giải cúp quốc gia Biết hai đội đấu với trận đội phải đấu với đội khác, đồng thời khơng có trận hòa.Chứng tỏ vào kết thi đấu xếp đội trưởng đội đứng theo hàng dọc để đội sau thắng đội đứng trước Bài giải: Coi đội bóng đỉnh đồ thị, mũi tên nối hai đỉnh biểu thị mối quan hệ từ đội thắng sang đội thua, ta đồ thị G đồ thị có hướng Do đội phải thi đấu với đội khác mà khơng có trận hịa nên G đồ thị đầy đủ có hướng với đỉnh Như việc "xếp đội trưởng đội theo hàng dọc để đội đứng sau thắng đội đứng trước" tương đương với đường Hamilton đồ thị G 35 Giả sử ta có kết thi đấu sau: A B C D E A - B + + + + C + + D + + + E + Từ ta có đồ thị: Hình 2.2: Đồ thị Căn đồ thị ta có kết tốn sau: Hình 2.3: Ví dụ 2.2.18 Trên mặt phẳng lấy điểm tùy ý, khơng có điểm thẳng hàng khoảng cách cặp điểm số dương khác Chứng minh có hai cặp điểm, mà đoạn thẳng nối cặp 36 điểm cạnh ngắn tam giác đó, đồng thời cạnh dài tam giác khác tam giác có đỉnh điểm cho Bài giải: Giả sử điểm chọn A, B, C, D, E, F Dùng màu đỏ (nét liền) để tô đoạn thẳng nối hai điểm cho, mà cạnh ngắn tam giác có đỉnh điểm cho Sau đoạn thẳng cần tô màu đỏ thực xong dùng màu xanh (nét đứt) để tô đoạn thẳng lại Lục giác ABCDEF đồ thị đầy đủ với hai màu cạnh: đỏ, xanh nên ABCDEF có tam giác màu Vì khoảng cách cặp điểm chọn khác đôi một, nên tam giác có đỉnh điểm cho có cạnh ngắn mà cạnh tô màu đỏ trước, nên tam giác màu phải tam giác đỏ Giả sử tam giác ABF tam giác đỏ BF cạnh dài Khi B, F cặp điểm thứ cần tìm Bởi tam giác ABF cạnh BF đóng vai trị cạnh dài có màu đỏ, nên BF cạnh ngắn tam giác có đỉnh điểm cho Loại bỏ đỉnh A cạnh thuộc khỏi lục giác ABCDEF ta ngũ giác BCDEF Nếu ngũ giác BCDEF có tam giác màu, tam giác phải màu đỏ.(Vì có cạnh ngắn tơ màu đỏ trước) Khi cạnh dài tam giác có hai đầu cặp điểm thứ hai cần tìm Ngược lại, ngũ giác BCDEF khơng có tam giác màu có cạnh màu đường chéo tô màu khác Nhưng cạnh BF có màu đỏ, nên ngũ giác BCDEF có cạnh màu đỏ đường chéo màu xanh Khôi phục lại đỉnh A cạnh thuộc Giả sử hai cạnh AC, AE màu xanh Khi tam giác ACE màu xanh, nên khơng có cạnh ngắn (Mâu thuẫn với giả thiết khoảng cách cặp điểm khác đôi một.) Bởi vậy, hai cạnh AC, AE phải có cạnh màu đỏ, chẳng hạn AC màu đỏ BC cạnh dài tam giác ABC Khi BC cặp thứ hai cần tìm Bởi tam giác ABC cạnh BC cạnh dài nên phải cạnh ngắn tam giác có đỉnh điểm cho 37 Ví dụ 2.2.19 Chứng minh lớp học có hai học sinh mà số bạn thân lớp học sinh Bài giải: Ta xây dựng đồ thị màu G(V, E) đầy đủ mơ tả tốn Tập đỉnh V : Lấy n điểm mặt phẳng tương ứng với n học sinh dùng thứ tự n học sinh để kí hiệu đỉnh.Tập cạnh E: Hai đỉnh nối với cạnh màu xanh hai học sinh tương ứng với hai đỉnh khơng thân nhau, cạnh màu đỏ hai học sinh tương ứng với hai đỉnh thân Đồ thị G = (V, E) xây dựng đồ thị màu đầy đủ Khi tồn hai đỉnh đồ thị mà số cạnh màu đỏ hai đỉnh Suy có hai học sinh có số bạn thân lớp 38 Kết luận Trong luận văn chúng trình bày số kết sau: Trình bày tập hợp với phép tốn quan hệ tương đương Trình bày số khái niệm lý thuyết đồ thị như: Đồ thị đường đi, đồ thị đẳng hình, vài mơ hình đồ thị, tập ổn định, chu số sắc số Đã chứng minh vài kết đồ thị Vận dụng đồ thị để giải số toán rời rạc 39 Tài liệu tham khảo Tài liệu Tiếng Việt [1] Vũ Đình Hịa, Các tốn tô mầu đỉnh cạnh đồ thị, Các chuyên đề chọn lọc - Tài liệu bồi dưỡng hè Hà Nội (2004) [2] Nguyễn Văn Mậu, Toán rời rạc số vấn đề liên quan, Tài liệu bồi dưỡng hè (2007) [3] Đặng Huy Ruận, Phương pháp Graph, Các chuyên đề chọn lọc - Tài liệu bồi dưỡng hè Hà Nội (2004) [4] Hồng Chí Thành, Lý thuyết đồ thị, Nhà Xuất Bản ĐHQG Hà Nội (2011) Tài liệu Tiếng Anh [5] C Berge, The Theotry of Graph and its Applications, Greenwood 1982 [6] K H Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications, McGrawHill 1994 [7] R Merris, Combinatorics, PWS publishing company 20 Park Plaza, Boston, MA 02116-4324 [8] The IMO Compendium 1959-2004 ... 1.3.1 Đồ thị đẳng hình Đồ thị đồ thị riêng Định nghĩa 1.3.1 Cho đồ thị G = (V, E) Đồ thị G = (V , E ) gọi V ⊆V đồ thị đồ thị G E = E ∩ (V × V ) Đồ thị G = (V, E ), E ⊆ E, gọi đồ thị riêng đồ thị. .. với không cạnh gọi đơn đồ thị hay đồ thị Nếu đồ thị có cặp đỉnh nối với nhiều cạnh gọi đa đồ thị Đồ thị gọi đồ thị hữu hạn tập đỉnh hữu hạn Trong luận văn giới hạn xét đồ thị hữu hạn Ta ký hiệu... Người ta phân đồ thị thành hai lớp Định nghĩa 1.2.2 Đồ thị chứa cạnh vô hướng gọi đồ thị vô hướng Đồ thị chứa cạnh có hướng gọi đồ thị có hướng Hiển nhiên, đồ thị vơ hướng biểu diễn đồ thị có hướng