Số catalan larcombe french và số catalan suy rộng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY SỐ CATALAN-LARCOMBE-FRENCH VÀ SỐ CATALAN SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY SỐ CATALAN-LARCOMBE-FRENCH VÀ SỐ CATALAN SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH HÀ HUY KHOÁI Thái Nguyên - 2018 Mục lục Danh sách kí hiệu Mở đầu Số Catalan-Larcombe-French 1.1 Giới thiệu 1.2 Các bổ đề sở 1.3 Các đồng dư S p2 −1 f p2 −1 (mod p2 ) 13 1.4 Một bất đẳng thức chứa (Sm ) Hàm nhân tính số Catalan suy rộng 16 20 2.1 Giới thiệu 2.2 Công thức 2.3 Một số điều kiện nguyên f nhân tính 26 2.4 Số Catalan suy rộng số Fuss-Catalan f nhân tính 32 2.5 Hàm ước Ward 38 2.6 Phụ lục: Các dãy với hệ số nhị thức suy rộng nguyên 41 n+m n f f nhân tính n+m n f Kết luận 20 23 46 Những kết đạt 46 Đề xuất số hướng nghiên cứu 46 Tài liệu tham khảo 47 Lời cảm ơn Trước hết, tác giả muốn tỏ lòng biết ơn đến người hướng dẫn khoa học mình, GS.TSKH Hà Huy Khoái (Trường Đại học Thăng Long), người đặt tốn đề tài, tận tình hướng dẫn để luận văn hoàn thành tốt đẹp Nhân dịp này, tác giả xin cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán–Tin, giảng viên tham gia giảng dạy lớp Cao học Tốn khóa 10 (2016-2018) Xin trân trọng cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo Hải Phòng, Ban Giám hiệu đồng nghiệp Trường THPT Phạm Ngũ Lão, Thủy Nguyên, Hải Phòng, tạo điều kiện thuận lợi để tác giả học tập nghiên cứu Lời cuối cùng, tác giả muốn dành để tri ân bố mẹ gia đình chia sẻ khó khăn để tác giả hồn thành cơng việc học tập Danh sách kí hiệu N tập hợp số tự nhiên Z vành số nguyên Q trường số hữu tỷ R trường số thực C trường số phức x trần số x x sàn số x a|b b bội a a | b a ước b n k số tổ hợp chập k n a ≡ b (mod p) a đồng dư với b theo modulo p Zp vành số nguyên đồng dư modulo p gcd(a, b) ước chung lớn hai số nguyên a b Mở đầu Trong Tổ hợp, số Catalan dãy số tự nhiên xuất nhiều toán đếm, thường bao gồm đối tượng đệ quy Số Catalan đặt tên theo nhà toán học Eugène C Catalan (1814-1894) Luận văn đặt nhiệm vụ nghiên cứu sơ số Catalan-LarcombeFrench số Catalan suy rộng Nội dung luận văn trình bày hai chương sau: • Chương Số Catalan-Larcombe-French • Chương Hàm nhân tính số Catalan suy rộng Mặc dù tác giả cố gắng để hoàn thành luận văn khối lượng kiến thức lớn, đồng thời bị hạn chế nhiều khía cạnh, luận văn chắn cịn thiếu sót Tác giả mong nhận nhiều ý kiến đóng góp từ Thầy Cơ, anh chị đồng nghiệp để luận văn ngày hoàn chỉnh Thái Nguyên, ngày 05 tháng năm 2018 Tác giả Nguyễn Thị Phương Thúy Chương Số Catalan-Larcombe-French Các số Catalan-Larcombe-French Pn thường gặp lý thuyết tích phân elliptic vấn đề liên quan đến trung bình cộng trung bình nhân Trong chương chúng tơi khảo sát tính chất dãy số liên quan Sn = Pn /2n , Sn dãy kiểu Apéry Chúng chứng minh đồng dư bất đẳng thức Pn Nội dung Chương viết dựa vào cơng trình Ji X.-J., Sun Z.-H [5] 1.1 Giới thiệu Giả sử (Pn ) dãy cho P0 = 1, P1 = 8, (n + 1)2 Pn+1 = 8(3n2 + 3n + 1)Pn − 128n2 Pn−1 (n 1) (1.1) Các số Pn gọi số Catalan-Larcombe-French, Catalan người định nghĩa Pn lần Catalan [12], Larcombe & French [7] chứng minh n/2 Pn = 2n (−4)k k=0 2n − 2k n−k n−k k n = k=0 2k 2n−2k k n−k , n k x số ngun lớn khơng vượt q x Các số Pn liên quan đến trung bình cộng, trung bình nhân Xem [7] A053175 “Bách khoa toàn thư trực tuyến dãy số nguyên” (xem [8]) Giả sử (Sn ) định nghĩa S0 = 1, S1 = 4, (n + 1)2 Sn+1 = 4(3n2 + 3n + 1)Sn − 32n2 Sn−1 (n 1) (1.2) So sánh (1.2) với (1.1), ta thấy Sn = Pn 2n Một số giá trị Sn cho đây: S0 = 1, S1 = 4, S2 = 20, S3 = 112, S4 = 676, S5 = 4304, S6 = 28496, S7 = 194240, S8 = 1353508, S9 = 9593104, S10 = 68906320, S11 = 500281280, S12 = 3664176400, S13 = 27033720640 (2005) chứng minh n = ar pr +· · ·+a1 p+a0 với a0 , a1 , , ar ∈ {0, 1, , p − 1}, Pn ≡ Par · · · Pa1 Pa0 (mod p) Jarvis & Verrill (2010) Pn ≡ (−1) p−1 128n Pp−1−n (mod p) với n = 0, 1, , p − Pmpr ≡ Pmpr−1 (mod pr ) với m, r ∈ Z+ , Z+ tập hợp số nguyên dương Với số nguyên tố p, ký hiệu Zp tập số hữu tỷ mà mẫu số không chia hết cho p Giả sử p số nguyên tố lẻ, n ∈ Zp n ≡ 0, −16 (mod p) Công trình Sun Z.H [10] chứng minh p−1 k=0 n(n + 16) 2k Sk ≡ k (n + 16)k p p−1 k=0 2k 4k k 2k 2k n (mod p), ( ap ) ký hiệu Legendre Năm 1894, Franel [4] đưa số Franel (fn ) sau n fn = k=0 n k (n = 0, 1, 2, ) Một số số Franel cho đây: f0 = 1, f1 = 2, f3 = 10, f4 = 56, f5 = 346, f6 = 2252, f7 = 15184 Franel [4] ý dãy (fn ) thỏa mãn quan hệ đồng dư (n + 1)2 fn+1 = (7n2 + 7n + 2)fn + 8n2 fn−1 (n 1) Giả sử r ∈ Z+ p số nguyên tố với p ≡ 5, (mod 8) Bài báo Sun Z.H [10] đoán (mod pr ) S pr −1 ≡ f pr −1 ≡ (mod pr ) (1.3) Trong luận văn này, chúng tơi trình bày chứng minh (1.3) trường hợp r = (xem Sun Z.H [10]) Chúng tơi trình bày chứng minh giả thuyết sau báo Sun Z.H [10] 1+ 1.2 S > Sm+1 Sm−1 m(m − 1) m với m = 2, 3, Các bổ đề sở Bổ đề 1.2.1 Giả sử p số nguyên tố lẻ Giả sử a = ar pr + · · · + a1 p + a0 b = br pr + · · · + b1 p + b0 , ar , , a0 , br , , b0 ∈ {0, 1, , p − 1} Khi a b ≡ ar a0 ··· br b0 (mod p) Định lí Lucas thường viết dạng sau đây: 10 Bổ�c phép nhớ sở nhỏ n + m, thay phép nhớ nảy sinh sở ngun tố Do đó, cơng thức khơng xác cơng thức thiết lập trước Với dãy số nguyên s = (s1 , s2 , s3 , ), ta định nghĩa hàm fs : N → N fs (n) = sd , (2.6) d|n tích lấy theo tất ước n Hàm fs (n) gọi hàm liên kết dãy số nguyên s ...ố Catalan- Larcombe- French số Catalan suy rộng? ?? đạt kết sau: Hai chủ đề số Catalan- Larcombe- French, đồng dư bất đẳng thức liên quan Trình bày số Catalan suy rộng số Fuss -Catalan Hàm ước Ward Đề xuất số hướn... Eugène C Catalan (1814-1894) Luận văn đặt nhiệm vụ nghiên cứu sơ số Catalan- LarcombeFrench số Catalan suy rộng Nội dung luận văn trình bày hai chương sau: • Chương Số Catalan- Larcombe- French •... Hàm nhân tính số Catalan suy rộng 16 20 2.1 Giới thiệu 2.2 Công thức 2.3 Một số điều kiện nguyên f nhân tính 26 2.4 Số Catalan suy rộng số Fuss -Catalan f nhân