Phương trình đa thức lượng giác và một số dạng toán liên quan

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN VĂN HUẤN PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC LƯỢNG GIÁC VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN LUẬN VĂN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU THÁI NGUYÊN 05/2017 i Mục lục MỞ ĐẦU Chương Các tính chất liên quan đến đa thức lượng giác 1.1 Các đẳng thức lượng giác 1.1.1 Tính chất hàm số lượng giác 1.1.2 Đẳng thức liên quan đến hàm cosin 1.1.3 Đẳng thức liên quan đến hàm sin 1.2 Phương trình lượng giác 1.2.1 Dạng phương pháp giải 1.2.2 Các ví dụ minh họa 1.3 Phương pháp lượng giác giải phương trình bậc ba, bậc bốn 1.4 Các đa thức cos sin 1.4.1 Định nghĩa đa thức lượng giác 1.4.2 Một số tính chất đa thức cos sin Chương Phương pháp giải phương trình đa thức lượng giác 2.1 Phương trình lượng giác 2.1.1 Phương trình lượng giác bậc 2.1.2 Phương trình lượng giác bậc cao 2.2 Đa thức Chebyshev 2.2.1 Định nghĩa 2.2.2 Tính chất đa thức Tn (x) 2.2.3 Tính chất đa thức Un (x) 2.3 Một số lớp phương trình đa thức lượng giác 2.3.1 Phương trình bậc hai bậc cao với hàm số lượng giác 2.3.2 Phương trình đẳng cấp bậc bậc hai sin x cos x 2.3.3 Phương trình đối xứng gần đối xứng 3 6 10 17 17 17 22 22 22 23 25 25 25 28 31 31 33 37 ii 2.3.4 2.3.5 Phương trình lượng giác liên quan đến bất đẳng thức tam giác Phương trình đưa dạng đa thức Chương Một số dạng toán liên quan 3.1 Sử dụng lượng giác để khảo sát phương trình hệ phương trình 3.2 Sử dụng lượng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số 3.3 Sử dụng lượng giác toán cực trị 38 40 46 46 56 58 KẾT LUẬN 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO 66 Mở đầu Lý chọn đề tài: Đa thức lượng giác có vị trí quan trọng Tốn học đối tượng nghiên cứu trọng tâm lượng giác mà cịn cơng cụ đắc lực Giải tích lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn, lý thuyết nội suy, khảo sát phương trình tốn cực trị Ngồi ra, đa thức lượng giác cịn sử dụng nhiều tính tốn ứng dụng Trong kỳ thi học sinh giỏi toán quốc gia Olympic toán quốc tế tốn đa thức lượng giác thường đề cập đến ẩn dạng áp dụng công cụ lượng giác nên thường tốn khó bậc phổ thơng Lịch sử nghiên cứu: Tuy nhiên nay, tài liệu đa thức lượng giác phương pháp lượng giác chưa đề cập đầy đủ Vì vậy, việc khảo sát sâu vấn đề biện luận nghiệm, biểu diễn đa thức lượng giác cho ta hiểu sâu sắc tính chất đa thức cho định hướng giải nhiều dạng toán liên quan Mục đích nghiên cứu, luận điểm luận văn: Luận văn “Phương trình đa thức lượng giác số dạng tốn liên quan” trình bày số vấn đề liên quan đến toán xác định số nghiệm thực đa thức lượng giác với hệ số thực Mục đích luận văn nhằm thể rõ vai trị quan trọng Giải tích đại số khảo sát nghiệm thực đa thức lượng giác Phương pháp nghiên cứu: - Đọc dịch tài liệu có liên quan đến đề tài - Trao đổi thảo luận với Thầy hướng dẫn, với bạn bè, với chuyên gia - Thường xuyên phản biện để đến kết tốt Bố cục luận văn: Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận chương Chương Các tính chất liên quan đến đa thức lượng giác Chương Các tính chất nghiệm đa thức lượng giác Chương Một số dạng toán liên quan Trong chương tác giả trình bày tốn đề thi HSG quốc gia Olympic quốc tế sử dụng kiến thức liên quan Các kết lý thuyết tập liên quan đến nội dung luận văn trích dẫn từ tài liệu [1]-[8] Trong trình nghiên cứu hồn thành nội dung luận văn tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu người Thầy trực tiếp hướng dẫn thầy cô Khoa Tốn-Tin trường ĐHKH-ĐHTN hết lịng giúp đỡ để tơi hồn thành luận văn Chắc chắn luận văn cịn thiếu sót định tơi mong q Thầy Cơ độc giả góp ý để luận văn hoàn chỉnh Thái Nguyên, tháng 05 năm 2017 Tác giả Trần Văn Huấn Chương Các tính chất liên quan đến đa thức lượng giác 1.1 Các đẳng thức lượng giác 1.1.1 Tính chất hàm số lượng giác Xét hàm số f (x) với tập xác định D( f ) ⊂ R tập giá trị R( f ) ⊂ R Định nghĩa 1.1 (Tính chẵn lẻ, xem [1], [6]) Hàm số f (x) với tập xác định D( f ) ⊂ R gọi hàm số chẵn K (K ⊂ D( f )) nếu: x ∈ K ⇒ −x ∈ K f (−x) = f (x) (∀x ∈ K) f (x) gọi hàm số lẻ K x ∈ K ⇒ −x ∈ K f (−x) = − f (x) (∀x ∈ K) Nhận xét 1.1 Dễ dàng kiểm tra hàm số y = sin x, y = tan x, y = cot x hàm số lẻ hàm số y = cos x hàm số chẵn tập xác định Định nghĩa 1.2 (Tính tuần hoàn, xem [1], [6]) - Hàm số f (x) gọi hàm tuần hồn (cộng tính) chu kỳ T (T > 0) K K ⊂ D( f ) ∀x ∈ K ⇒ x ± T ∈ K f (x + T ) = f (x), ∀x ∈ K - Cho f (x) hàm số tuần hồn K Khi T (T > 0) gọi chu kỳ sở f (x) f (x) tuần hoàn với chu kỳ T mà khơng tuần hồn với chu kỳ bé T Nhận xét 1.2 Dễ dàng ta thấy: Hàm số y = sin x y = cos x hàm tuần hoàn với chu kỳ T = 2π Hàm số y = tan x y = cot x hàm tuần hoàn với chu kỳ T = π Định nghĩa 1.3 - Hàm số f (x) gọi hàm phản tuần hoàn (cộng tính) chu kỳ a (a > 0) K K ⊂ D( f ) ∀x ∈ K ⇒ x ± a ∈ K f (x + a) = − f (x), ∀x ∈ K - Nếu f (x) hàm số phản tuần hoàn chu kỳ b K mà khơng hàm phản tuần hồn với chu kỳ bé b K b gọi chu kỳ sở hàm phản tuần hoàn f (x) K Định nghĩa 1.4 (Xem [1], [6]) Hàm số f (x) gọi hàm tuần hồn (nhân tính) chu kỳ a (a ∈ / {−1, 0, 1}) K K ⊂ D( f ) ∀x ∈ K ⇒ a±1 x ∈ K f (ax) = f (x), ∀x ∈ K Định nghĩa 1.5 ( Xem [1], [6]) Hàm số f (x) gọi hàm phản tuần hồn (nhân tính) chu kỳ a (a ∈ / {−1, 0, 1}) K K ⊂ D( f ) ∀x ∈ K ⇒ a±1 x ∈ K f (ax) = − f (x), ∀x ∈ K 1.1.2 Đẳng thức liên quan đến hàm cosin Ví dụ 1.1 Hệ thức đại số với công thức cos 2t = cos2 t − cơng thức a + 2 a 1 =2 a+ a − Ví dụ 1.2 Hệ thức đại số với công thức cos 3t = cos3 t − cost cơng thức a + a 1 =4 a+ a −3 1 a+ a hay 4x3 − 3x = a + a (Với x = 1 a+ , a = 0) a Ví dụ 1.3 Hệ thức đại số với công thức cos 5t = 16 cos5 t − 20 cos3 t + cost cơng thức a + a 1 = 16 a+ a 1 − 20 a+ a +5 1 a+ a hay 16x5 − 20x3 + 5x = 1.1.3 a + a (Với x = 1 a+ , a = 0) a Đẳng thức liên quan đến hàm sin Từ công thức Euler, ta thu hệ thức i sint = eit − e−it Từ hệ thức ta có công thức hàm sin sang đẳng thức đại số sau: Ví dụ 1.4 Cơng thức nhân 3: sin 3t = sint − sin3 t Từ ta có cơng thức: i sin i(3t) = 3(i sin it) + 4(i sin it)3 Đẳng thức đại số ứng với công thức đẳng thức a − a 1 =3 a− a 1 +4 a− a hay 4x3 + 3x = a − a (Với x = 1 a− , a = 0) a Ví dụ 1.5 Từ công thức sin 5t + sint = sin 3t(1 − sin2 t) Ta có đẳng thức 1 a − + a− a a =2 a − a 1 1−2 a− a 1.2 Phương trình lượng giác 1.2.1 Dạng phương pháp giải Giả sử u, v biểu thức theo x : u = u(x), v = v(x) Khi ta có sin u = sin v ⇔ u = v + k2π u = π − v + k2π cos u = cos v ⇔ u = v + k2π u = −v + k2π (k ∈ Z); tan u = tan v ⇔ π + lπ u = v + kπ (k, l ∈ Z); cot u = cot v ⇔ u, v = lπ u = v + kπ u, v = (k ∈ Z); (k, l ∈ Z) 1.2.2 Các ví dụ minh họa Ví dụ 1.6 Giải phương trình sin 3x − π 2π − sin x + 3 = (1.1) Lời giải π 2π (1.1) ⇔ sin 3x − = sin x + 3  π 2π 3x − = x + + k2π  3 ⇔  π 2π + k2π 3x − = π − x − 3  π x = + kπ  ⇔ (k ∈ Z)  π π x = +k Ví dụ 1.7 Giải phương trình sin(4x − 5) + cos(x + 3) = Lời giải Ta có (1.2) ⇔ sin(4x − 5) = − cos(x + 3) ⇔ sin(4x − 5) = cos(π − x − 3) π −π +x+3 ⇔ sin(4x − 5) = sin π ⇔ sin(4x − 5) = sin − + x +  π 4x − = − + x + + k2π  ⇔  π 4x − = π + − x − + k2π  π 2π x = − + +k  3 ⇔ (k ∈ Z)  3π 2π x= + +k 10 5 (1.2) 52 cost > sint ⇔ √ < cost < 0