Cơ sở quang tử học

Hồ quang quý, chu văn lanh đoàn hoài sơn, Mai văn lưu Cơ sở Quang tử học (dành cho sinh viên học viên cao học) Nhà xuất đại học quốc gia hà nội Cơ sở quang tử học _ Chương quang häc cña tia sáng 1.1 Các tiên đề quang học tia sáng Tiên đề Tia sáng truyền lan dạng tia (ray) Tia sáng phát xạ từ nguồn ánh sáng (light source) quan sát chúng gặp đầu thu (detecter) Tiên đề ánh sáng truyền môi trường quang học (optical medium) đặc trưng đại lượng n gọi chiết suất (refractive index) Chiết suất tỉ số vận tốc ánh sáng chân không (c0) vận tốc ánh sáng môi trường (c) Do đó, thời gian ánh sáng cần để truyền quảng đường có độ dài d b»ng d / c  nd / c0 Tøc là, thời gian truyền tỉ lệ thuận với đại lượng nd gọi quang trình (optical path) Tiên đề Trong môi trường không đồng (inhomogenous medium), chiết suất hàm toạ độ không gian r  ( x, y, z ) , tøc lµ n(r ) Độ dài quang trình hai điểm A B (xem hình 1.1)sẽ B AB n(r )ds , (1.1) A đó, ds số gia (differential element) độ dài theo quang trình Chương Quang häc cđa tia s¸ng _ Hình 1.1 Quang trình tổng quát tia sáng Thời gian ánh sáng cần để từ A đến B tỉ lệ thuận với độ dài quang trình Tiên đề Nguyên lý Fermat (Fermats principle) Các tia ánh sáng truyền hai điểm A B theo quang trình xác định thời gian cần thiết, cho thời gian có tương quan cực trị so với quang trình bên cạch ý nghĩa cực trị thể chỗ tốc độ thay đổi không, tức B   n(r )ds  (1.2) A Cùc trÞ cã thể cực tiểu cực đại điểm uốn Tuy nhiên, thông thường cực trị cực tiểu Trong trường hợp này, phát biểu: Tia sáng truyền theo quang trình thời gian nhất, tức theo quang trình ngắn Trong nhiều trường hợp, thời gian cực tiểu không tính quang trình xác định, mà tính theo nhiều quang trình khác Các quang trình nối tiếp liên tục Hệ quả: - Trong môi trường đồng tia sáng theo đường thẳng - Tia sáng khúc xạ qua mặt ngăn cách hai môi trường có chiết suất khác - Tia sáng phản xạ mặt gương Cơ sở quang tö häc _ 1.2 C¸c linh kiện quang học đơn giản Từ tiên đề trên, nghiên cứu số linh kiện quang đơn giản sử dụng để lái tia ánh sáng 1.2.1 Gương phẳng (Planar mirror) Gương phẳng mặt phẳng có hệ số phản xạ cao ánh sáng (hình 1.2) P1 P2 Hình 1.2 Phản xạ tia sáng từ gương phẳng Tia ánh chiếu vào mặt gương phẳng bị phản xạ lại Tia phản xạ nằm mặt phẳng tia tới, tạo tia tới véc tơ pháp tuyến gương điểm tới; góc phản xạ góc tới, tức 1.2.2 Mặt biên phẳng (Planar Boundaries) Nếu gương phản xạ có hệ số phản xạ thấp (lúc mặt gương phẳng gọi mặt ngăn cách hai môi trường, tương ứng có chiết suất n1 n2 ) phần ánh sáng truyền vào môi trường sau gương n1 n2 Đây gọi tượng khúc xạ ánh sáng Tia vào môi trường sau gương gọi tia khúc xạ Hướng truyền tia khúc xạ tuân theo định luËt Snell: n1 sin 1  n2 sin  (1.3) Từ hệ thức phân hai trường hợp đặc biệt: * Phản xạ ( n1 n2 ) Khi tia sáng tới từ môi trường có chiết suất thấp tia khúc xạ gẫy khúc xa biên * Phản xạ ( n1 n2 ) Khi tia sáng tới từ môi trường có chiết suất cao tia khúc xạ gẫy khúc vào gần biên Chương Quang häc cđa tia s¸ng _ n1 θc n1 n2 > n1 n20) * Tất tia xuất phát từ điểm gốc P1=(y1, z1) mặt phẳng z=z1 gặp điểm P2=(y2, z2) mặt phẳng z2 thoả mÃn hÖ thøc sau: n1 n2 n2  n1   z1 z R (1.9) Cơ sở quang tử häc _ y2  z2 y1 z1 (1.10) Hai mặt phẳng z z1 z z2 gọi hai mặt phẳng liên hợp Mỗi điểm mặt phẳng thứ liên kết với điểm mặt phẳng thứ hai (ảnh) với hệ số phóng đại z2 / z1 Dấu trừ hệ số phóng đại có nghĩa ảnh bị lật ngược Để cho thuận tiện, điểm P1 xác định hệ tọa độ theo chiều phải sang trái, điểm P2 xác định hệ tọa độ theo chiều trái sang phải (tức là, P2 nằm bên trái cuả biên z2 mang dấu âm) Những tính chất tương tự gương cầu Điều quan trọng là, tính chất ảnh mô tả trường hợp cận trục Chóng chØ xÈy víi c¸c tia cËn trơc C¸c tia tạo với trục z góc lớn không tuân thủ gần cận trục; sai khác ảnh gäi lµ sai quang 1.2.7 ThÊu kÝnh (Lens) ThÊu kÝnh cầu giới hạn hai mặt cầu có bán kính cong R1 R2 có độ dày chiết suất n (hình 1.8) Hình 1.8 Thấu kính tạo hai biên cầu lồi Thấu kính thủy tinh không khí xem kết hợp hai mặt biên cầu, không khí-thủy tinh thủy tinh-không khí Thấu kính mỏng định nghĩa độ dày trục chÝnh Δ rÊt nhá, cho, y1 cđa tia tíi y2 tia ló y Khi * Hệ thức góc tới góc ló  1  y f (1.11) Ch­¬ng Quang häc cđa tia s¸ng _ đó, f gọi tiêu cự thấu kính * Tiªu cù cđa thÊu kÝnh f    n  1    R1 R2 (1.12) * Tất tia xuất phát từ điểm P1(y1,z1) (cách trục thấu kính khoảng y1 cách mặt phẳng thấu kính khoảng z1) gặp P2(y2, z2) thoả mÃn c¸c hƯ thøc sau z2 1 y   y1   vµ z1 z1 z f Cần ý hệ thức với tia cận trục, mà giả thiết y1 y2=y Với tia xa trục, hệ thức gần không áp dụng Đối với tia xa trục hệ thức có sai số Hình 1.9 ví dụ sai số toạ độ z2 Hình 1.9 Các tia xa trục không gặp tiêu điểm 1.3 Môi trường chiết suất thay đổi liên tục Đây môi trường có chiết suất thay đổi liên tục theo không gian, tức n(r ) Theo tiếng Anh, thuật ngữ Graded-Index Medium viết tắt GRIN medium, mô tả môi trường có chiết suất thay đổi Do đó, từ gọi môi trường môi trường GRIN Đây loại vật liệu chế tạo cách cấy thêm phụ gia với nồng Cơ sở quang tử học _ độ khống chế theo không gian Trong vật liệu GRIN ánh sáng không truyền theo đường thẳng mà truyền theo quỹ đạo cong (curve trajector) 1.3.1 Phương trình tia (the ray equation) Quỹ đạo tia sáng môi trường không đồng có chiết suất n(r) tuân thủ nguyên lý Fermat B n(r )ds A Nếu quỹ đạo xác định ba hàm x(s), y(s), z(s), đó, s độ dài quỹ đạo (hình 1.10), sau sử dụng phép tách biến ta có hệ phương trình đạo hàm riêng sau d dy  n d  dx  n d  dz  n n   n   , ds  n ds   y , (1.13) ds  ds  x ds  ds  z   Hay  d  dr   n   n ds  ds  (1.14) y x ds B s A z Hình 1.10 Quỹ đạo tia môi trường GRIN mô tả x(s), y(s) z(s) 1.3.2 Phương trình cho tia gần trục Đối với tia gần trục dsdz (hình 1.11), đó, hệ phương trình (1.13) rút gọn sau: Chương Quang häc cđa tia s¸ng 10 _ d  dx  n n   , dz  dz  x d  dy  n n   dz  dz  y (1.15) H×nh 1.11 Quỹ đạo tia gần trục GRIN Khi chiÕt suÊt n( x, y, z ) cho tr­íc, hai phương trình đạo hàm riêng giải cho hai quỹ đạo x( z ) y ( z ) Trương trường hợp giới hạn, môi trường đồng nhất, tức là, chiết suất n không phụ thuộc vµo x vµ z, tõ (1.15), chóng ta sÏ cã d x / dz  vµ d y / dz  , tøc lµ x vµ y lµ hµm tun tÝnh cđa z, suy ra, quỹ đạo đường thẳng 1.3.3 Tấm GRIN Một GRIN có chiết suất n=n(y) đồng trục x z, thay đổi liên tục trục y hình 1.12 Hình 1.12 Khúc xạ tÊm GRIN VÝ dô, mét tÊm GRIN cã chiÕt suất thay đổi theo công tua parabol sau: n2  y   n02 1  y2  đó, hệ số mô tả tốc ®é thay ®ỉi cđa chiÕt st vµ ®é dµy d0 mặt biên lồi, R thÊu kÝnh låi vµ f < thấu kính lõm * Phản xạ mặt gương phẳng Khi phản xạ gương phẳng, vị trí tia không đổi, góc tia không đổi, đó, ma trận truyền đơn giản sau: 1 0 M   0 1 (1.27) * Ph¶n xạ gương cầu Xem gương cầu thấu kÝnh máng cã tiªu cù f  / R , đó, R bán kính cong, đó, ma trËn trun cã d¹ng sau:  0  M 2 (1.28)  R 1 ®ã, R gương lồi 1.4.3 Ma trận hệ quang xếp (Cascaded Component) Mét hƯ quang bao gåm nhiỊu hƯ quang thành phần (ví dụ gồm khoảng môi trường đồng với gương, gồm hai thấu kính môi trường xen giữa, ) có ma trận truyền riêng M1, M2, , MN Tia sáng truyền qua hệ giống trun qua mét hƯ ®éc lËp cã ma trËn sau: M= MN M2M1 (1.29) Tia sáng vào từ hệ M1 vµ tõ hƯ MN Nh­ vËy, hƯ M1 có tác động vào tia đầu tiên, sau theo thứ tự đến M2 , MN có tác động cuối 1.5 Hệ quang tuần hoàn Hệ quang tuần hoàn hệ gồm nhiều hệ giống xếp (hình 1.15) Tia sáng truyền qua hệ tuần hoàn tuân thủ ma trận sau: Chương Quang häc cđa tia s¸ng 16 _ m  y m   A B   y0         m C D (1.30) Đây ma trận dùng phương pháp lặp để xác định (ym, m) từ (ym-1, m-1) máy tính Tõ (1.30) ta dÉn hƯ thøc truy to¸n cho vÞ trÝ cđa tia ym2  2bym1  F y m1 (1.31) Hình 1.15 Hệ quang tuần hoàn ®ã b A B (1.32) F  AD CB detM (1.33) Det[M] định thức ma trận M Hệ thức truy toán dùng để giải máy tính, sau phương trình tính xác vị trí tia sau qua hệ tuần hoàn ym ymax sin(m ) (1.34) Để ym hàm điều hòa, cos 1b phải số thực Điều yêu cầu điều kiện b A B (1.35) đó, cos1 b y max  y / sin  F ymax số xác định từ điều kiện ban đầu y0 y1 (1.36) Cơ sở quang tö häc 17 _ Các điều kiện điều kiện ổn định quỹ đạo tia Một tia sáng truyền qua hệ liên tục, gồm nhiỊu hƯ quang gièng cã ma trËn trun (A,B,C,D) với AD-BC=1, theo quỹ đạo tuần hoàn điều kiện ổn định A D /  tháa m·n VÞ trÝ cđa tia sau chu kú thø m sÏ lµ y m  y max sin(m   ) , m=0,1, 2,…, ®ã,   cos 1  A  D  / Giá trị ymax xác định từ giá ban đầu y0 y1=Ay0+0d, đó, góc lệch ban đầu tia Góc tia liên hệ với vị trí qua hệ thức  m   ym1  Aym  / B tuân theo hàm điều hòa m max sin(m ) Trong gần cận trục max Quỹ đạo tia cã chu kú s  / 2 lµ phân số q/s, đó, q số tự nhiên Hình 1.16 Chuỗi chu kỳ thấu kính Ví dơ: mét hƯ gåm nhiỊu thÊu kÝnh tiªu cù f, đặt cách khoảng d (hình 1.16) Như vậy, hệ quang đơn vị gồm khoảng không gian d vµ thÊu kÝnh HƯ nµy cã A=1, B=d, C=-1/f vµ D=1-d/f Tham số b= (A+D)/2=1-d/2f giá trị định thức Điều kiện ổn định tia b hay 1  b  sÏ cho ta 0d 4f (1.37) tức là, khoảng cách hai thấu kính phải nhỏ bốn lần tiêu cự Với điều kiện vị trí tia tuân thủ hàm điều hßa sau: d ym  ymax ( m  0 ),   cos 1 (1  ) (1.38) 2f NÕu d=2f,    / , ®ã chu kỳ lặp quỹ đạo / 1/ (hình 1.17a) Do đó, quỹ đạo tia đường lặp Chương Quang häc cđa tia s¸ng 18 _ l¹i sau mét chu kú b­íc Nếu d=f, / 1/ đó, quỹ đạo lặp lại sau bước (hình 1.17b) Hình 1.17 Ví dụ ổn định quỹ đạo tia sáng hệ nhiều thấu kính xếp a: d=2f, b:d=f Bằng cách tương tự, điều kiện ổn định tia truyền qua hệ gồm nhiều đôi thấu kính có tiêu cự f1 f2, đặt cách khoảng d,  d  d   1   1   1  f1   f  (1.39) Khi thay hƯ hai thÊu trªn hệ hai gương cầu có bán kính cong R1 R2, cách khoảng L, (1.39) có d¹ng  L  L   1  1     R1  R2  (1.40) điều kiện ổn định buồng cộng hưởng quang học cầu, đó, L độ dài buồng cộng hưởng Thay giá trị L R1, R2, tìm chu kỳ ổn định buồng cộng hưởng quang học Vấn đề này, đề cập giáo trình laser  ... sợi quang, đó, sợi quang ứng dụng linh kiện dẫn ánh sáng Sợi quang ứng dụng thông tin quang 1.4 Quang học ma trËn 1.4.1 Ma trËn trun (transfer matrix) Mét hƯ quang tập hợp linh kiện quang học. .. - Tia sáng phản xạ mặt gương Cơ sở quang tử học _ 1.2 Các linh kiện quang học đơn giản Từ tiên đề trên, nghiên cứu số linh kiện quang đơn giản sử dụng để lái... chiết suất độ dày d