Các bài giảng về hình học phẳng

PHAN CUNG ĐỨC (Chủ biên) - NGUYỄN v ú LƯƠNG PHẠM QUANG ĐỨC - NGUYỄN NGỌC THẮNG ĐỖ THANH SƠN - NGUYỄN THÙY LINH CÁC BÀI GIẢNG VỄ rlục (Dành cho học sinh trung học sở) ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN KHỐI THPT CHUYÊN TOÁN - TIN PHAN CUNG ĐỨC (Chù biÊN), NGUYÊN vũ lương , phạm q u a n g đ ú c NGUYỄN NGỌC THANG, Đ ỗ THANH SƠN, NGUYÊN THÙY UNH CÁC BÀI GIẢNG VÊ HÌNH HỌC PHẲNG (d Anh cho học sinh trung học sở ) NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ■ • * Lịi nói đầu Cuốn sách giới thiệu giảng hình học phẳng giáo viên khối chuyên Toán - Tin thuộc trường Đại học Khoá học Tự nhiên Hà Nội, dành cho em học sinh bậc Trung học sở Các giảng tập trung vào nám chủ đề chính: "Đa giác đường tròn", "Thẳng hàng quy", "Diện tích", "Cực trị hình học" "Bất đẳng thức hình học" Ở giảng có phần tóm tắt kiến thức bản, phần phát triển nâng cao phần xây dựng phương pháp giải tốn Các ví dụ chọn với mức độ khó tăng dần, minh họa trực tiếp phương pháp tương ứng giải rõ ràng, chi tiết Sau giảng có nhiều tập với gợi ý lời giải Để bạn đọc tiện theo dõi, ví dụ tập đánh số thứ tự theo chương Trong sách này, sử dụng kiến thức có sách giáo khoa để đưa số kết quan trọng, cần thiết cho việc giải tốn khó Các kết xem tập mẫu cho em học sinh có học lực trung bình Bạn đọc tìm thấy số dạng tốn quen thuộc chưa trình bày đầy đủ sách nâng cao thường gặp kỳ thi tuyển vào trường chuyên, lớp chọn Đặc biệt em học sinh giỏi làm quen với vài dạng toán nâng cao, gặp kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia Quốc tế Hy vọng sau đọc kỹ sách này, thầy cô giáo, bậc phụ huynh ẹác em học sinh có thêm tài liệu tham khảo bổ ích lý thú Nhất em cịn ngại mơn hình có thêm người bạn thân, giúp em tự tin vượt qua khó khăn giải tập khó Trong q trình biên soạn sách này, chúng tơi nhận nhiểu động viên, góp ý đồng nghiệp thuộc khối chuyên Toán - Tin, Lời nói đẩu Khoa Tốn - Cơ - Tin, Ban chủ nhiệm khoa lãnh đạo trường Đại học Khoa học Tự nhiên Chúng tơi xin nói lời cảm ơn sâu sắc tới tập thể cá nhân nói Lần đầu mắt bạn đọc, chắn sách cịn nhiều thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý bạn đọc để sách có nội dung hồn thiện Xin chân thành cảm ơn Các ý kiến góp ý xin gửi địa chỉ: Khối THPT chuyên Toán -Tin, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, 334 Đường Nguyễn Trãi, Thanh Xuân, Hà Nội Mục Lục Đa 1.1 giác đường tròn Đa giác nội tiế p *1.1.1 Xác định đườngtròn * 1.1.2 Ví dụ minh h ọ a 1.1.3 Tứ giác nội tiếp 13 1.1.4 Định lý Ptôlêmê tứ giác nội t i ế p 29 1.2 Tiếp tuyến đườngt r ò n 35 1.2.1 Vị trí tương đối đường thẳng đường tròn 35 1.2.2 Tiếp tuyến chung hai đường t r ò n 40 1.2.3 Vị trí tương đối hai đưòng tr ò n 43 1.3 Đa giác ngoại tiếp 46 X 1.3.1 Các đường tròn nộitiếp bàng t i ế p 46 1.3.2 Một số kết b ả n 47 1.3.3 Ví dụ minh họa 53 1.3.4 Tam giác cong đường tròn nội t i ế p 58 1.3.5 Tứ giác ngoại t i ế p 63 1.4 Bài tập gợi ý lời giải 6 Thảng hàng đồng quy 75 2.1 Bài toán thẳng hàng 75 /c 2.1.1 Một số tiêu chuẩn để chứng minh ba điểm thẳng hàng 75 2.1.2 Định lý Mê-lê-la-uýt áp d ụ n g 91 2.1.3 Đường thẳng - le tam g iá c 97 2.1.4 Đường thẳng X im -xơn 100 Mục lục 2.2 Bài toán đồng quy 105 2.2 IX' Các phương pháp b ả n 105 2.2.2 Định lý Xê-va áp dụng 116 2.2.3 Đmh lý Các-nô ĩ 121 2.3 Bài tập gợi ý lời giải 125 Diện tích 132 3.1 Diộn tích tam g i c 132 3.1.1 v Các công thức tính diện tích tam giác 132 3.1.2 Một số kết 136 3.1.3 Ví dụ áp d ụ n g 143 3.2 Diện tích đa g i c 152 3.2.1 Diện tích tứ giác đặc biệt 152 3.2.2 Các trường hợp k h c 160 3.2.3 Diện tích đa g iá c 170 3.3 Diộn tích hình trịn số hình liên q u a n 176 3.3.1 Các cơng thức tính diện tíc h 176 3.3.2 Ví dụ minh họa 182 3.4 Nguyên lý trải thảm 186 3.4.1 Nguyên lý 186 3.4.2 Ví dụ minh họa 188 3.5 Bài tập gợi ý lời giải ,192 Cực trị hình học 198 4.1 Bài tốn cực trị hình h ọ c 198 4.2 Sử dụng bất đẳng thức đại số tìm cực trịhình h ọ c 204 4.2.1 Một vài bất đẳng thức đạisố hay dùng hình học204 4.2.2 Ví dụ minh họa 205 4.3 Sử dụng tính chất hình học đơn giảntìm cực t r ị 211 4.3.1 Các tính chất hình học dơn giản 211 4.3.2 Ví dụ minh h ọ a 212 4.4 Bất đẳng thức tam g iá c 225 4.5 Cống thức Hêrông , 231 4.6 Bài tập hướng dẫn 236 Tài liêu tham khảo 243 Chương Đa giác đường tròn 1.1 1.1.1 Đa giác nội tiếp Xác định đường tròn Đường tròn tâm o , bán kính R tập hợp điểm M cho O M = R ký hiộu (0 , R ) Trong phần này, nhắc lại vài phương pháp xác định đường tròn theo điều kiộn cho trước 1, Cho hai điểm A, B Có đường trịn qua hai điểm đó? Lấy điểm o tuỳ ý thuộc đường trung trực đoạn AB OA = OB = R Vậy có vơ số đường trịn (O, R) qua hai điểm cho Dễ dàng chứng minh đường trịn đó, đường trịn có tâm trung điểm đoạn A B có bán kính bé 2, Cho AABC Như biết, ba đường trung trực ba cạnh BC, CA, AB quy o OA = OB = o c = R Có đường trịn (O, R) qua ba điểm A, B , C ( , R ) gọi đường tròn ngoại tiếp AA B C AA B C nội tiếp (ỡ, R) Để xác định tâm o đường tròn ngoại tiếp AABC, ta phải xác định giao điểm hai đường trung trực Trong trường hợp may mắn hơn, tìm điểm o cách đỉnh tâm đường trịn ngoại tiếp Chẳng hạn AA B C vng A o trung điểm cạnh huyền BC 3, Cho n - giác Ai, A2 An (n > 3) Nếu đỉnh đa giác Chương Đa giác đường tròn nằm đường tròn (O, R ) đa giác nội tiếp (O, R) đường ữịn ngoại tiếp đa giác(hình H 1.1) Để chứng minh đa giác A i , A A n (n > 3) nội tiếp được, thường làm sau: Ai Hình 1.1 • Tìm điểm o cách đỉnh đa giác • Xuất phát từ ba đỉnh đa giác Xác định đường tròn (0 , R ) ngoại tiếp tam giác tương ứng chứng minh đỉnh lại thuộc đường trịn • Xuất phát từ bốn đỉnh đa giác, chẳng hạn A i , A , A 3, Aị cho tứ giác A A A A nội tiếp sử dụng tiêu chuẩn tứ giác nội tiếp (xem phần ) để chứng minh tứ giác AiA^AịAs nội tiếp 4, Cho hai điểm A, B cố định điểm M chuyển động cho Z.AMB = 90° Khi M phải thuộc đường trịn đường kính A B có tâm o trung điểm đoạn AB 1.1.2 Ví dụ minh họa Ví dụ 1.1 Cho AA B C với A B = AC = a, góc ¿ B A C = 120° Xác định đường trịn ngoại tiếp tam giác 1.1 Đa giác nội tiếp A Hình 1.2 Gọi R bán kính đường trịn ngoại tiếp AABG Hai đường trung trực BC AB cắt o => OA = OB = o c = R Vì AB — AC nên AA B C cân A => AO tia phân giác Z B A C =» ZBAO = 60° Mặt khác, AABO cân o nên AOAB Tương tự ta có AOAC đều, A B = BO = o c = CA => tứ giác ABO C la hình thoi Vậy o điểm đối xứng với A qua B C bán kính đường trịn ngoại tiếp AAB C R = a □ Ví dụ 1.2 Cho AA B C có A B = AC H trực tâm Gọi A u M, N trung điểm B C , A B CH Xác định đường tròn ngoại tiếp A A ịM N Hình 1.3 10 Chương Đa giác dường trịn Giải A ì N đường trung bình AB H C =» A XN\\BH A ịM đường trung bình AAB C => AịM\\BC Mà BBi AC (gt) =►Z.MA\N = 90° Vậy đường tròn ngoại tiếp A A ị M N đường trịn đường kính M N □ Ví dụ 1.3 (Đường trịn A-pơ-lơ-ni-t) Cho hai điểm A, B cố định số thực k > Tìm tập hợp điểm M thoả mãn MB = k Giải J Xét hai trường hợp: • k = => M A = M B =>• M G (A), với (A) đường trung trực đoạn AB • k 'ậ i : Gọi I, J giao điểm phân giác trong, ngồi góc Z A M B với đường thẳng A B IA ỈB JA MA k (tính chất phân giác) JB MB /, J cố định z I M J 90° 44 Bất đẳng thức tam giác 229 ò(c + a —6 ) >0 Cộng bất đẳng thức ta thu o2 + b2 + c2 < (aò + bc + ca) (đpcm) □ Ví dụ 4.28 Chứng minh + hb + hc > 9r Giải Ta có /a+ ỡ b + cc\ = r -p = r { - -) a b c 1 —- 4-— 4- — = 25 25 25 K hh - = r Ta có 1 1 + — + — = hịỊ hc T Suy + hị, + hc > 9r (đpcm) — hr htQ4" h/ỊỊ *4” /le - - □ Ví dụ 4.29 Chứng minh 1 La íỊị 1 ¿c V Giải Tk có Iq ^ ^ ^bì — hc ỉ < ± , i < l , ỉ < ỉ la h hịj ỈQ h>c •Suy 1 Ỹ + f Ln Lh f < / A N T (đpcm) □ Ví dụ 4.30 Chứng minh Chương Cực trị hình học 230 Vì Giải độ dài cạnh tam giác nên ta có hb hc A ẵ + h - = ( — ỉ + h — V /ìq Vhdhị) / l < —ì /?/£/ ht>hc 4Í — V fì/oJxỊị J _ \ hcha) — ỉì/Ịịỉỉq - ì /ìq ' J_ ^ hahb + hbhc + hcha > 4r ■ 1 □ Ví dụ 4.31 Xét AA B C nhọn, trực tâm H , A ị , B i , C i chân đường cao hạ từ đỉnh A, B, c Chứng minh /íM a \ aaJ / H B 1y \ bbJ (H C y ^ \c c j 3' Giải A Hình 4.27 Kí hiộu iS = s — Saabc ? + /$2 + 1S3 s1 — Sahbc) ‘$2 = Sahcaf Sĩ — S&UAB-, t.a có 4.5 Cơng thức Hêrông 231 Suy HAiHBị HCi , + ——- = AAi BBl CCi Theo bất đẳng thức Bu - nhia - cop - ski, ta có ( H B X\* Q ) +( W (H C \\2 ^ M c c í) M /HAi HBi H C i\ ( S + f f r + c ẵ ) Dấu đẳng thức xảy A A B C =» đpcm □ 4.5 Công thức Hêrơng Cơng thức Hêrơng s= >/p(p - «)(p - ồ)(p - c) cồng thức tính diện tích tam giác Như biết chương trước, tính diện tích tam giác theo nhiều cơng thức khác Do cách tính diện tích tam giác theo cơng thức khác nhau, tìm hệ thức liên hệ yếu tô' khác tam giác Ví dụ 4.32 Chứng minh = ~ {p - a)(p - b) + {p - b)(p - c) + (p - c)(p - a) ~ r2' 1 Giải Tà có _ (p - ạ) + (p - ) + (p - c) _ (p — a)(p — b)(p — c) s2 _ r p2 (p — a) 1 (p —b) 2(p —c) - r r2 □ Ví dụ 4.33 Chứng minh 1_ 232 Chương Cực trị hỉnh học Giải Ảp dụng bất đẳng thức a2 + b2 + c2 > ab + bc + ca ta có 1 (p —a) 1 (p — b) (p — c) - (p — a)(p — b) _ 1 + (p - à)(p - c) + (p - c)(p - a ) ~ r 2' □ Ví dụ 4.34 Chứng minh 1 „/1 1\ _ ~T H _ > í - + -r + p —a p —b p — c \a b c) Giải Áp dụng bất đẳng thức a ta có Y 1> - a -f b b 4 — 7p— :: p— —a- + p~— —b —a + p —b— ĩ —c~ 1 T H ^ p — bp — c ~ a 1 T+ —— V — c p — a a Cộng vế với vế bất đẳng thức ta thu 11 / H —— H —— > p — a p — b p —c 1( 1 1 \ Í + + - )- \a cf □ Ví dụ 4.35 Qiứng minh J 4.5 Cơng thức Hêrơng 233 Giải Ta có (p - a)(p - b)(p - c) < ( ( p - g ) + (p~-ò) + ( p - c ) \ _ pỊ_ / Suy □ Ví dụ 4.36 Chứng minh ab + bc + ca = p + r + 4Rr Giải Ta có p2r = s = p(p — a)(p — b)(p — c) &pr2 = p3 —(a + b + c)p2 + (ab + bc + ca)p —abc 3r + 12Rr Giải Áp dụng bất đẳng thức (a + b + c) > 3(ab + bc + ca) ta thu 4p2 > 3(p2 + r + 4iừ) p2 > 3r + Rr (đpcm) □ Chương Cực trị hỉnh học 234 Ví dụ 438 Chứng minh p + r > 14R r Giải Áp dụng bất đẳng thức 1 — ^ T ^— a b c — T - L -a+b+c ta có ab + bc + ca abc ~ a + b+ c p + r + 4Rr - > — Rrp 2p p + r 4- 4Rr > 18Rr p2 4- r > 14Rr (đpcm) Ví dụ 4.39 Chứng minh p2 > 7r 4- 10Rr Giải 4.5 Công thức Hêrơng 235 Ta có 2p — a 4- b + c, suy a b c + — + b + c c + aa + b a p —a b + 2p —b + 2p c —c _ a(2 p — b)(2 p —c) + b{2 p — c)(2 p — a) + c(2 p —a ) ( p —b) (2 p - a)( p — b)(2 p — c) 8p3 + 3abc —4p(ab 4-bc + ca) p3 — (a + b +c)4p2 + (ab + bc + ca)2p —abc _ p3 4- 12i?rp — 4p(p2 + r + 4i?r) p (p + r + i? r ) — / ỉ r p 4p3 —4pr2 —4Rrp p3 + 2pr2 + 4jRrp 2p2 - r - -Rr p2 + r + i?r Áp dụng bất đẳng thức a b c — + —— + — T > b + c c H" ữ ữ -ị- b với a, b, c > , ta có • 2p2 - 2r - 2Rr p _|_ r _|_ — □ Ví dụ 4.40 Chứng minh V p - a + \ / p - b + y / p - c < y/3p Giải Áp dụng bất đẳng thức 236 Chương Cực trị hình học ta nhận y/p — a + ì / p — b + ì/p — c < 3\ j - , a + p ^ b + P £_ (đpcm) □ 4.6 Bài tập hướng dẫn Bài tập 4.1 Cho AA B C nhọn Từ điểm M BC kẻ M E ± A B , M F ± A C Tim vị trí điểm M để E F có độ dài nhỏ Bài tập 4.2 Cho đường thằng d hai điểm cố định A, B không nằm ữên d Tìm vị trí điểm M d cho: a) M A + M B đạt giá trị nhỏ b) \MA — MB\ đạt giá trị lớn Hướng dẫn Xét hai trường hợp A, B khác phía bờ d úng dụng phép đối xứng qua d □ Bài tập 4.3 Cho đường ưòn (ỡ, R) điểm A cố định nằm đường trịn Tìm vị trí điểm M đường trịn cho góc ZAM O đạt giá trị lớn Hướng dẫn Xét khoảng cách từ o đến đường thẳng AM □ Bài tập 4.4 Cho AA B C có /-A < 90° Vẽ phía ngồi A A B C hai nửa đường trịn đường kính AB, AC Đường thẳng d qua A cắt đường trịn đường kính A B M, cắt nửa đường trịn đường kính AC N a, Nếu Z.A < 90°, tìm vị trí d đổ M N có độ dài lướn b, Nếu ¿.Ả — 90°, tìm vị trí d để diện tích hình thang B C N M lớn Hướng dẫn Nếu ZÁ = 90°, xét diên tích AA B M AACN □ 237 4.6 Bài tập hướng dẫn Bài tập 4.5 Cho đường tròn (O, R) dây cung cố định AB (AB < 2R) M điểm đường tròn cho A M A B nhọn A A B B \ M M ' đường cao A M AB Tìm vị trí điểm M để chu vi A M 'A 'B ' đạt giá trị lớn Hướng dẫn Gọi H trực tâm A M AB, chứng minh H M LA' B ' Từ suy chu vi A M'A'B' tỉ lệ thuận với diện tích A M AB □ Bài tập 4.6 Cho tam giác nhọn ABC Tìm vị trí điểm M nằm tam giác cho (MA + M B + MC) đạt giá trị nhỏ Hướng dẫn Giả sử B > c Chứng minh BC, B điểm có tổng khoảng cách đến hai cạnh AB, AC nhỏ Giả sử A > B > c , với M A A B C kẻ đờng thẳng qua M song song với BC □ Bài tập 4.7 Cho góc nhọn xOy điểm / cố định thuộc miền góc Tìm Ox, Oy điểm Ẩ, B cho chu vi A I A B đạt giá trị nhỏ Hướng dẫn Xem 4.2 □ Bài tập 4.8 Cho đường tròn (o , R ) tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Chứng minh chu vi AB CD đạt giá trị lướn hình vng Hướng dẫn Xem ví dụ 4.4 □ Bài tập 4.9 Cho đường tròn(O) điểm I cốđịnhkhơng thuộc đường trịn / ẸẾ o Tim vịtrí đường thẳng d qua o cắt đường tròn hai điểm M, N cho: a, I M + I N đạt giá trị nhỏ nhất, ò, I M + I N đạt giá trị lớn 238 Chương Cực trị hình học Hướng dẫn Chia toán theo trường hợp I nằm hay ngồi đường trịn (ỡ ) Xét khoảng cách từ I tới đường thẳng d □ Bài tập 4.10 Cho A A B C vuổng cân đỉnh A Trên BC lấy điểm M, gọi E, F hình chiếu vng góc M AB, AC Xác định vị trí điểm M để diện tích hình chữ nhật A E M F đạt giá trị lớn Bài tập 4.11 Cho AA B C vuông cân đỉnh A Đờng tròn LƯtiếp xúc với AB B, tiếp xúc với AC c Đường thẳng d tiếp xúc với cung BC đường tròn u cắt cạnh AB, AC M, N Chứng minh rằng: \ { A È + AC) < M B + M C < \{ A B + AC) ố z Bài tập 4.12 Một tam giác có ba đỉnh nằm ba cạnh hình bình hành Chứng minh diện tích tam giác khơng vượt q nửa diộn tích hình bình hành Hướng dẫn Giả sử đỉnh E , F, K nằm ba cạnh AB, B C , CD hình bình hành ABCD Kẻ đường thẳng qua F, song song với AB,CD □ Bài tập 4,13 Cho A A B C d đường thẳng qua A không cắt tam giác Gọi B ', C' hình chiếu B , c đường thẳng d Xác định vị trí đường thẳng d để: a, (B B ' + C ) đạt giá trị nhỏ b, {BB' + C ) đạt giá trị lớn Hưởng dấn Lấy B' đối xứng với B qua A □ Bài tập 4.14 Trong góc nhọn xOy cho hai điổmcố địnhA,B Xác định Ox, Oy hai điểm c , D cho đường gấp khúc AGDB cóđộ dài nhỏ Bài tập 4.15 Cho tứ giác lồi ABCD Tim vị trí điểm M để M A + M B + M C 4- M D đạt giá trị nhỏ A.6 Bài tập y hướng dẫn 239 Bài tập 4.16 Cho hình vng ABCD Trên BC, CD lấy hai điểm M, N cho z M A N = 45° Xác định vị trí M, N đểdiện tích A A M N đạt giá trị nhỏ Hướng dẫn AM, A N giao với B D E ,F Chứng minh ẸáẵL = I f S amn Áp dụng ví dụ 4.3 để giải toán □ Bài tập 4.17 Cho A ABC, dựng đường tròn nội tiếp tam giác Tiếp tuyến song song với B C cắt AB, AC M, N Tiếp tuyến song song với CA cắt B C , B A E, F Tiếp tuyến song song với A B cắt CA, C B I, J Chứng minh rằng: S amn + S bef + S c u > - S abc dấu "=" xảy A A B C Hướng dẫn Gọi ha,hb, hc đưcmg cao A AB C tương ứng với đỉnh Ta có: J_ J_ _L _ I S amn _ 2r -2 Sbef _ S abc S abc ~ hc T r.2 hb] ’ w Scu 2r -2 _ “ hj • Bài tập 4.18 Cho A A B C ngoại tiếp đường tròn (/, r) Đường thẳng qua / song song với B C cắt cạnh AB, AC M, N Đường thẳng qua I song song với CA cắt cạnh BC, B A E, F Đường thẳng qua / song song AB cắt cạnh CA, C B /, J Chứng minh M N + E F + I J > 16r Dấu "=" xảy A A B C Hướng dẫn Gọi a, b, c tương ứng ba cạnh A ABC, p nửa chu vi Ap dụng công 240 Chương Cực trị hình học thức s = pr = 4it ta có MN = a2^ p¿ Áp dụng bất đẳng thức r < suy (đpcm) □ Bài tập 4.19 Cho góc nhọn xOy A AB C cố định ởtronggóc Tim điểm M cạnh tam giác để tổng khoảng cách từ M đênOx, Oy đạt giá trị lớn Hướng dẫn Trên Ox, Oy lấy O E = OF Chứng minh điểm đoạn E F có tổng khoảng cách tới Ox, Oy không đổi □ Bài tập 4.20 Cho đường tròn (o , R) điểm Ả nằm đường tròn Gọi d\, d.2 hai đường thẳng qua Ả vng góc với Tìm vị trí di,d ,2 vị trí điểm M đường tròn (0 , R ) cho tổng khoảng cách từ M đến di,d đạt giá trị lớn Hướng dẫn Với cặp di, d-2 cố định, áp dụng 4.19 □ Bài tập 4.21 Chứng minh R + r > ịlỉr Hướng dẫn Xuất từ bất đẳng thức R > 2r □ Bài tập 4.22 Chứng minh \/p - a + ự p - b -f - ự p C < — = ( \ f â •+- Ỵ b 4- ÿ c ) v2 Hướng dản Áp dụng bất đẳng thức \fã + \/b ^ ịịa + h - V ~T~ 4.6 Bài tập hướng dẫn 241 Bài tập 4.23 Tính diộn tích tam giác biết na = -, rlb = nc = Hướng dẫn Sử dụng đẳng thức S(a, , c) 7ÍTĨT □ Bài tập 4.24 Tính điộn tích tam giác biết m a = 3, mj, = 4, m c = Hướng dẫn Sử dụng 5(a, , c) = ị s ( m a, rriỊ,, m c) o □ Bài tập 4.25 Chứng minh hahf, hcha hc “1” ìxịịỉỉq hc Hướng dẫn Sử dụng /lo hb hc cạnh tam giác □ Bài tập 4.26 Chứng minh mẩ + m l + mc < (m aTnb + 77i(,mc + m cm a) Hướng dẫn Ap dụng ví dụ 4.27, m a, rriỊ,, m c lập thành cạnh tam giác Bài tập 4.27 Chứnti minh (p — a ) 1 + -~TTT + > (p —ò) Q■ (p —c) 81 p3 □ 242 Chương Cực trị hình học Hướng dẫn Áp dụng bất đẳng thức a + 63 + c3 '/a + + c\3 > — - - - - - - V ) (a, b, c số thực dưcmg) 1 - -f - + - > a b c a + b + c □ « Tài liệu tham khảo [1] Tốn bồi dưỡng học sinh - hình học 9, Vũ Hữu Bình, Tơn Thân, Đỗ Quang Thiều Nhà xuất Giáo dục, năm 1998 [2] Một số vấn đê phát triển hình học 9, Vũ Hữu Bình, Nhà xuất Giáo dục, năm 1998 [3] Chuyên đề bất đẳng thức cực trị hình học phẳng, Nguyễn Đức Tấn, Nhà xuất Giáo dục, năm 2003 [4] Các toán vê giá trị lớn nhất, nhỏ hình học phẳng trung học sở, Vũ Hữu Bình, Hồ Thu Hằng, Kiều Thu Hằng, Trịnh Thúy Hằng, Nhà xuất Giáo dục, năm 2003 [5] Mathematical Olympiad Treasures, Titu Andreescu, Bogdan Enescu, Birkhauser Boston, USA, năm 2004 243 ... NGUYÊN THÙY UNH CÁC BÀI GIẢNG VÊ HÌNH HỌC PHẲNG (d Anh cho học sinh trung học sở ) NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ■ • * Lịi nói đầu Cuốn sách giới thiệu giảng hình học phẳng giáo viên khối... trường Đại học Khoá học Tự nhiên Hà Nội, dành cho em học sinh bậc Trung học sở Các giảng tập trung vào nám chủ đề chính: "Đa giác đường trịn", "Thẳng hàng quy", "Diện tích", "Cực trị hình học" "Bất... vài bất đẳng thức đạisố hay dùng hình học2 04 4.2.2 Ví dụ minh họa 205 4.3 Sử dụng tính chất hình học đơn giảntìm cực t r ị 211 4.3.1 Các tính chất hình học dơn giản 211 4.3.2 Ví dụ