Nhiễu trong các bộ khuyếch đại quang sợi pha erbium

'H C ì Ũ íkt tr Đ Ạ I H Ọ C Q U Ố C G IA H À N Ộ I KHOA CÔNG NGHÊ Nguyễn Thị Minh Tâm NHIỄU TRONG CÁC BỘ KHUẾCH ĐẠI QUANG SỢI PHA ERBIUM Chuycn ngành : KỸ THUẬT vô TUYẾN ĐIỆN TỬVÀ TUỒNG TIN LIÊN LẠC M ã SỐ : 0 LUẬN VĂN THẠC s ĩ KHOA HỌC VIÊN HƯỚNG DẪN KHOA HỌC ^ r ? L ^ r r l A^ y v PGS.TS Vu Như Cương q p Í Q TRUNGTẦM THONG m THtr v ọ Ị Hc Hà nội - 2002 vi £t tat APC A u t o m a t ic p o w e r c o n tr o l T u d o n g d i6 u c h in h c o n g suA't ASE A m p lif ie d s p o n ta n e o u s e m is s io n B irc x a tu p h a t d u o c k h u e c h d a i EDF E r b iu m - d o p e d fib e r S a i p h a ta p E r 3+ E D F A E r b iu m - d o p e d f ib e r a m p lif ie r B o k h u e c h d a i q u a n g s o i p h a ta p FDM F r e q u e n c y d iv is io n m u lt ip le x in g G h e p k £ n h th e o tiin s6' LAN L o c a l a re a n e tw o r k M a n g nO i h a t LD L a s e r d io d e L a z e d io t NA N u m e r ic a l a p e rtu re D o m o ( k h r iu d o ) s o NF N o is e fig u r e H s o n h i6 u SNR S ig n a l to n o is e r a tio T y s o t in h ie u tr e n ta p ftm NZR N o n r e tu r n - to - z e ro M a k h o n g trcr v k h o n g OA O p t ic a l a m p lif ie r Bo khuech dai quang OFA O p t ic a l f ib e r a m p lif ie r B o khu ech dai qu an g soi OPM O p t ic a l p o w e r m e te r M a y d o c o n g s u it q u a n g OSA O p t ic a l s p e c tr u m a n a ly s e r M a y p h ftn Itc h p h q u a n g PON P a s s iv e o p tic a l n e tw o r k s M a n g q u a n g th u d o n g RZ R e tu r n - to - z e ro M a tro v6 k h o n g SE S p o n ta n e o u s e m is s io n P h a t x a tir p h a t M ỤC LỤC MỞ ĐẦU C h n g 1: K H U Ế C H Đ A Ị Á N H S Á N G T R O N G C Á C S Ợ I Đ Ơ N M O D E P H A E R B I U M 1 M h ìn h k h u ế c h đ a i n h s n g tr o n g c c s ợ i đ n m o d e p h a e r b iu m 1 N g u y ô n lý b ứ c x c ỡ n g b ứ c c ủ a E i n s t e i n 1 S ự đ ả o lộ n m ậ t đ ộ m ô i tr n g H ệ th ố n g la s e r b a m ứ c v b ố n m ứ c S đ h ệ th ố n g la s e r b a m ứ c 2 H ệ th ố n g la s e r b ố n m ứ c 1 H ệ s ố k h u ế c h đ i c ủ a b ộ k h u ế c h đ i q u a n g s ợ i 15 P h t x tự p h t đ ợ c k h u ế c h đ i ( A S E ) 21 C hư ơng 2: C Ấ U T R Ú C - N G U Y Ê N L Ý H O Ạ T Đ Ộ N G C Ủ A B Ộ K H U Ê C H Đ Ạ I Q U A N G S Ợ I P H A E R B I U M ( E D F A ) C ấ u tr ú c c ủ a E D F A 2 S i q u a n g p h a e r b iu m 2 C ấ u tr ú c s ợ i q u a n g 2 C c th ố n g số c ủ a s ợ i q u a n g 2 P h â n lo i s ợ i q u a n g B m q u a n g M ộ t s ố c ấ u h ìn h c ủ a E D F A K h u ế c h đ i b ã o h o M ộ t s ổ ứ n g d ụ n g c ủ a E D F A 2 C c b ộ tiề n k h u ế c h đ i E D F A 32 C c h ệ th ố n g tu y ế n tín h s ố 3 C c ứ n g d ụ n g c ủ a m n g n ộ i h t C h n g : c S Ở C Ủ A N H IỄ U T R O N G C Á C B Ộ K H Ư Ê C H Đ Ạ I Q U A N G S Ợ I P H A E R B I U M N h iễ u k h u ế c h đ i c ự c t iể u 3.1.1 N g u y ê n lý bất đ ịn h H e ise n b e rg 37 3.1.2 C ô n g suất nhiễu khuếch đại cực t iể u 39 3.1.3 M ô tả lượng tử nhiều A S E 41 3.2 Các lo i n hiễu khác tro n g kh uếch đại q u a n g 45 3.2.1 N h iễ u J o h n s o n 45 3.2.2 N h iễ u dòng t ố i 46 3.2.3 N h iễ u l / f 46 3.2.4 N h iễ u n g ắ n 47 3.2.5 N h iễ u phản x 47 3.3 T ỷ số tín trê n tạp tín hiệu quang hệ số nhiễu q u a n g 47 3.3.1 K h i quát c h u n g 47 3.3.2 M ộ t sơ' tín h chất hệ số n h iễ u q u a n g .50 3.3.3 Ả n h hưởng hướng tru y ể n đến hộ số nhiễu q u a n g 56 Chương 4: C Á C K Ê T Q U Ả T H ự C N G H I Ệ M .62 4.1 Cơ sở lý th u y ế t phép đ o thực n g h iệ m 62 4.2 Phương pháp hiệu ch ỉn h đường c o n g 63 4.2.1 Sơ đ k h ố i hệ đ o 63 2.2 Sự phụ th u ộ c ng suất tín hiệu lố i vào ng suất tín h iệ u lố i v o 64 4.2.3 C ách xác đ ịn h hệ số khuế ch đ i 66 4.2.4 C ách xác đ ịn h cô n g suất nhiểu A S E .67 2.5 M ộ t số đ th ị thực n g h iệ m 69 4.3 Phương pháp xác đ ịn h hệ số nhiễu quang cách đ o cô ng suất n hiễu A S E ngược c h iề u 73 C sở phương p h p 73 Sơ đ k h ố i hệ đ o 74 3 K ế t thực n g h iệ m 75 K Ế T L U Ậ N 78 P H Ụ L Ụ C 79 T À I L IỆ U T H A M K H Ả O 89 MỞ ĐẦU V iộ c biến d ổ i lliơ n g t ill từ dạng tín liiộ u d iộ n thành dạng tín liiơ u quang thường tạo tắc nghẽn tro n g th ô n g tin sợi quang điểu làm hạn ch ế độ rộng băng tần lãn chất lượng tín hiệu tru yề n đ i V ì người ta phải tìm cách để tạo th iế t b ị ch o phép tru y ề n thẳng tín hiệu quang m kh ôn g phải biến chúng thành tín hiệu điện Các th iế t b ị vậ y làm g iả m tắc nghẽn, giảm giá thành g iú p ch o việ c đ iề u ch ế tín hiệu quang thuận lợ i Các kh uế ch đại quang c h ỉ hoạt động tro n g lĩn h vực quang mà kh ô n g cần biến đ ổ i từ p hoton e le ctro n V ì vậ y th a y ch o việc sử d ụn g lặp lại người ta đặt kh u ế ch đại quang kh oả n g cách đ ịn h dọc theo đường tru y ề n sợi quang để cu ng cấp khuế ch đại tuyế n tín h cho tín hiệu quang tru yền đ i N ó i ch u n g , kh uế ch đại quang ch o ch ún g ta m ộ t g iả i pháp đơn giản nhiều so với phát lạ p V ì phát lặp yêu cầu th iế t bị quang điên tử cho nguồn detecter, sơ đ đ iệ n tử d ùn g để tạo dạng xu n g , đ ịn h tliờ i hạn ch ế xung Còn kh u ế ch đại quang, phận cấu thành đơn lẻ đặt nối tiế p sử d ụn g lo i điều ch ế tốc đ ộ tru yề n khác Hơn th iế t bị lạ i th iế t bị hai hướng đủ tuyế n tính cho phép ghép m ộ t i tín hiệu bước sóng quang khác Đ ặc b iệ t, hệ thố n g sợi đơn m ố t th ì ảnh hưởng độ tán sắc rấ t nhỏ khơng xảy Các hệ th ố n g vậ y k h n g đ ị i h ỏ i tá i sinh đầy đủ tín hiệu số tru yề n đ i m ỗ i lặp C h ín h vây tro n g năm gần đíìy khuếch đai quang trở nên ngày cấp th iế t tro n g sở hệ th ố n g kh ô n g c h ỉ cho việc sử dụng phát lạp m sử d ụn g k h ỏ i khuếch dại quang, hộ tiề n khuếch đại đầu thu qua n g cổ ng quang, tạo dạng xu n g , chuyển mạch điện th o i m ode p h i tuyến H a i hướng c h ín h b ộ khuếch đại quang tập tru n g vào khuếch đại laze bán dẫn khuếch đaị sợi Song tro n g k h u ô n kh ổ g iớ i hạn thời gian, tro n g luận văn n ày tác g iả c h ỉ trìn h bày sơ lược cấu tạo, nguyên lý hoạt động m ột số thain số khuếch đại quang sợi pha E r n h iễ u tro n g khuế ch đại quang sợi pha E r N h iỗ u m ộ t vấn dề dược quan tftm hàng đầu tro n g k h i kh uế ch đại liê n quan đến khoảng cách tru y ể n , cô ng suất phát chất hrợng th ô n g tin nhAn N h iễ u Iro n g khuếch đại quang sợi phức tạp ch ún g ta không đánh g iá m ộ t cách đ ầy clủ hệ thố n g, th ì kế t ứng d ụng bị hạn chế lớn chí phù hợp với hệ th ố n g có tố c độ thấp cự ly gần N h iễ u phát xạ tự phát đirợc kh u ế ch đại (A S E ) hệ số n hiễu quang (N F ) ỉà m ộ t tro n g đặc tín h quan trọ n g E D F A Phổ cô ng suất A S E gần g iố n g với phổ hệ sô' khuếch đại, nên cu ng cấp thơ n g tin rấ t hữu ích đặc tính hoạt độn g E D F A chế đ ộ bơm n g suất tín hiệ u khác M ặ t khác, N F đặc trư ng ch o phép đo suy g iả m S N R từ đầu vào đến đầu khuếch đại Các ứng d ụng hệ th ố n g yêu cầu tỷ số tín trê n tạp phải đạt m ộ t m ức đ ịn h đầu thu; ch ín h lý d o n ày m ch ún g ta cần phải tín h tốn cẩn thận đặc tín h ASE N F tro n g v ị tr í khác hệ thống D ù khuếch đại hoạt dộng m ộ t kh uế ch đại cô ng suất, m ộ t phát lặp hay m ộ t tiề n khuếch đại n hiễu A S E rơ i vào dải tần hoạt đ ộng tín hiệu vãn đặc trư ng cho m ộ t thông sô quan trọ n g m dựa vào ch ún g ta xác đ ịn h tố c đ ộ b khoảng cách tru y ề n cực đ ại H iệ n n ay dã có m ộ t số v iế t đề cập đến vấn đẻ n hiễu , song sơ lược clnra đánh g iá cụ (hể ảnh hưởng tham số tro n g khuếch dại quang đến n hiều V ì vậ y tro n g luận văn đ i sâu vào n ghiên cứu, tín h tốn dưa m ộ t sô' k ế t q uả thực n g h iệ m cô ng suất A S E v il hệ số n liiẻ u tro n g khuếch dại quang sợi pha E r, từ đ ó đưa m ộ t số tín h tốn, th iế t kế tố i ưu cho hệ thống th ô n g tin sử d ụ n g kh u ế ch đại q uang sợi pha Er Phương pháp n g h icn cứu luận văn lý th u yế t m kết hợp với kết thực n g h iệ m N ộ i (lu n g luân văn dược hố cực (hổng qua chương sau: + Chươ ng I: M ô hình kh uế ch đ i ánh sáng tro n g sợi đơn m ode pha E rb iu m + Chương II: Cấu tạo n guyên lý hoạt d ộng kh u ế ch đại quang sợi pha tạp E rb iu m + Chương I I I : Cơ sở n hiễu tro n g kh uế ch đại quang sợi + Chương IV : Các kế t thực n g h iệ m L u ậ n văn kết học tập n g h iê n cứu học viên khoa C ông nghệ - Đ ại học Ọ u ố c G ia H N ộ i V iệ n K h o a học V ậ t liệ u - T ru n g tâm K hoa học Tự nhicn C ô n g nghệ Q u ố c G ia Chương I KHUẾCH ĐẠI ÁNH SÁNG TRONG CÁC SỢI ĐƠN MODE PHA ERBIUM N ộ i d u n g chương n ày luận văn g iớ i th iệ u trìn h kh uế ch đại ánh sáng tro n g sợi dơn m ode pha tạp E r,+, phương trìn h tốc độ tro n g hệ th ố n g laser, k h i n iệ m hệ số kh uế ch đại n hiễu khuếch đại tự phát tro n g sợi quang pha tạp E r 3+ 1.1 Mô hình khuếch đại ánh sáng sợi đơn mode pha Er3\ H o t đ ộ n g b ộ kh uế ch đại quang dựa nguyên lý sau: + N guyên lý xạ cưỡng E in ste in + Sự đảo lộ n m ậ t độ Đ ể m tả q trìn h kh uế ch đại ánh sáng tro n g sợi đơn m ode pha E r, ta phải sử d ụ n g m ộ t số k iế n thức th u y ế t đ iệ n từ cổ đ iể n , học lượng tử, m ộ t số kiế n thức vế vật lý laser 1.1.1 Nguyên lý xạ cưỡng Einstein: N g h iê n cứu n g u yê n tử trạng th i bản, người ta nhận thâ y kh i kh ô n g có đ ón g góp củ a lượng đ iệ n từ th ì n guyên tử g iữ nguyên trạng thái N ếu có lượng đ iệ n từ th ì m ộ t số n gun tử hấp thụ photon có lượng // V để ch u yể n dời lên mức cao Q uá trìn h g ọ i sư hấp th ụ kích thích, h ay n ó i m ộ t cách đơn g iả n hấp thụ Q uá trìn h hấp thụ dược m tả trê n h ìn h ĩ l Phương trìn h tốc đ ộ E in s te in đ ố i với trìn h hấp thụ là: Wí l = B iip vN ì (1.1) đó: W Ị - tốc đ ộ d ịc h ch u yể n nguyên tử bị kích th ích từ trạng thái lên trạ n g th i B - sô' phụ th u ộ c vào trìn h d ịc h ch uyể n nguyên tứ; P v - m â t đ ộ năn g lượ ng đ iệ n từ tầ n s ố V (J /m 1) Nị - m ậ t đ ộ n g u y ê n tử trạ n g th i (n g u y ê n tử /n r ) N ế u b ỏ q u a q u trìn h p há t n ăn g lượ ng k h ô n g xạ ch ẳ n g hạn va c h m , c ó h a i q u trìn h m d ịc h c h u y ể n n g u y ê n tử trạ n g th i đầu là: p h t xạ kích íliích p h ú t xạ tự p hát P há t xạ k íc h th íc h q u trìn h ngược vớ i q uá trìn h hấp th ụ T ro n g p h t xạ k íc h th íc h , trư n g đ iệ n từ tạ o m ộ t d ịc h c h u y ể n từ trạ n g th i ca o x u ố n g trạ n g th i th ấ p hơ n, n g u y ê n tử p há t m ộ t lượ ng tử (p h o to n ) m a n g n ă n g lượng vào tro n g Irư n g P h o to n n y c h ín h h oàn hảo củ a p h o lo n k íc h th íc h n g u yê n tử H n g , p hâ n cực, p tần số củ a p h o to n p h t n y g iố n g vớ i hướng, ph â n cự c, p h a tần số củ a p h o to n k íc h th íc h Sau đ ó h a i p h o to n n y lạ i tiế p tục gây d ịc h c h u y ể n cưỡng h a i n g u y ê n tử k h c , m p há t th ê m hai p h o to n g iố n g h ệ t n h v â y Q u trìn h tiế p tụ c vậ y, tạ o m ộ t c h ù m p h o to n có cù n g pha, c ù n g hướng, c ù n g tần số vớ i p h o to n ban đ ẩu tạo h iệ u ứng k h u ế ch dại V ì v ậ y p h t x k íc h th íc h đ ó n g va i trị m ộ t q trìn h k h u ế c h đ ại P hư ơng tr ìn h tố c đ ộ củ a E in s te in m tả q trìn h p h t xạ k íc h th íc h là: Wì ị = B lịPvN (1 ) tro n g đ ó : B - h ằ n g số phụ th u ộ c vào q uá trìn h d ịc h c h u y ể n n g u y ê n tử (xá c suất d ịc h c h u y ể n xạ cưỡng bứ c); N - s ố n g u y ê n tử m ứ c trê n Q u trìn h hấp th ụ k íc h th íc h tro n g k h u ế c h đ i dược m ô tả trê n h ìn h 1.1 * _ J - 2 — - Ị ịậ * - Ị Ệ H ìn h 1.1 Q uá tr ìn h h ấ p th ụ b ứ c x k íc h th ích l Phát xạ tự phát, dạng phát xạ quang phổ biến từ vật chất bị kích thích Phát xạ tự phát xu ất hiệ n k h i m ộ t n guyên tử b ị kích th íc h d ịc h ch uyể n m ộ t cách ngẫu n hiên xu ốn g trạ n g th i thấ p hơn, tro n g trìn h phát m ộ t photon có lượng h v Q uá trìn h xả y m ộ t cách ngẫu nhiên , nên photon phát la tu y có tần số có pha, hướng phân cực khác C húng kh ô n g đồn g với xạ bôn ngồi V ì phát xạ tự phát m ộ t tro n g nguyên nhan quan trọ n g để g ây nên n hiễu tro n g khuếch đại quang sợi pha E r + Phương trìn h tố c độ E in ste in m tả q trìn h phát xạ tự phát là: (1.3) tro n g đó: ^ i*p.m ■ tốc độ đ ịc h ch u yể n ngẫu n hiên ngu yê n tử hị kích thích tìr trạ ng thái trạ n g th i A - tốc đ ộ phát xạ tự phát T ổ n g hợp lạ i, ta thu phương trìn h m ô tả th a y đ ổ i m ậ t độ mức mức sau: N l = Nĩ Aĩ i + N ị b ĩìP p _ NíBnPr ^(IN = _ ^d L ( ) T ro n g đ iề u k iệ n cân n h iộ t độn g học, tất n guyên tử trạng thái tĩnh , nên d N ld t = G iả i phương trìn h ta thu được: ^nPv _ yv, ^1 ^ A2i+ B 2ip v T h eo th ố n g kê B o ltz m a n n , ta có phương trìn h phân b ố m ật độ n gu ycn tử n h iệ t độ T , tro n g đ iể u k iệ n cân sau: E l = I ĩ e -Av/W ( ) N g> T ro n g gỊ g2 hệ số suy b iế n hai mức G iả sử n h iệ t đ ộ T tăng lên đến vô cù n g , k h i đ ó phương trìn h (1 ) trở thành: N J N = g, / g L ú c n ày hệ số A B c h ỉ phụ thu ộ c vào đặc tính học lượng tử đ ịc h c h u yể n m k h ô n g phụ thu ộ c vào n h iệ t độ M ặ t khác k h i n h iệ t độ 77 đại Đó tượng xuyên kênh xảy dọc theo sợi Nếu thí nghiệm tiến hành điểu kiện đảo lộn mật độ môi trường dọc theo môi trươngf khuếch đai khơng đồng nhất, khác cơng suất nhiễu ASE ngược chiều xuôi chiều bỏ qua Kết luận Như nhờ việc sử dụng circulator đo công suất nhiễu ASE, nhờ xác định hệ sơ' nhiễu quang cách dễ dàng Phương pháp cho ta độ xác cao, chứng ià sai khác hệ số nhiễu xác định theo phương pháp đo công suất nhiễu ASE xuôi chiều ngược chiều lđB cổng suất đíiu vào nhỏ -6 dBm Sự sai khác điểm B đảo lộn mật độ bị suy yếu Việc xác định xác cơng suất nhiễu ASE hệ số nhiễu quang sờ cho việc tính toán thiết kế đường truyền cách tối ưu 78 K Ế T LUẬN Hiện nay, hệ thống thông tin quang lên trở thành hệ thông thông tin tiên tiến bậc Thông tin quang triển khai nhanh mạng lưới viễn thông hầu giới với đủ loại hình linh hoạt, tốc độ cự ly truyền dẫn phong phú, chất lượng dịch vụ viễn thông bảo đảm Môi trường truyền dẫn lý tưởng sợi quang Bộ khuếch dại pha tạp Er1* khuếch đại tiên tiến Nó dược ứng dụng rộng rãi thông tin quang để làm tiền khuếch đại, phát lặp, khuếch đại đường truyển, Bởi có số ưu điểm sau: biến đổi trực tiếp tín hiộu ánh sáng mà khơng thơng qua q trình biến dổi điện nào, độ khuếch đại cao nhiễu lại thấp, độ ổn định cao EDFA khuếch đại tín hiệu khơng phụ thuộc vào tín hiệu điểu biến, Mặc dù EDFA có nhiểu đặc tính ưu việt vậy, theo nguyên lý bất định Heisenberg, nhiễu khơng thể tránh khỏi EDFA Có nhiều loại nhiễu EDFA chủ yếu nhiễu ASE Về mặt lý thuyết, giới hạn cực tiểu hệ số nhiễu 3dB, song thực tế khó chế tạo EDFA có hệ số nhiễu dB, hệ số nhiễu cịn phụ thuộc vào cơng suất bơm, cơng suất tín hiệu vào, bước sóng bơm, độ dài sợi quang pha Er?+, nồng độ Er,+ môi trường khuếch đại hướng bơm Trong cơng việc thiết kế đường truyển viộc biết xác cơng suất nhiễu ASE hệ số nhiễu cần thiết Vì luận văn này, đưa sô' phương pháp xác định công suất nhiễu ASE hệ số nhiễu Đây phương pháp đo dơn giản, cho độ xác cao phù hợp với diều kiện thí nghiệm nước Vì điéu kiện thời gian có hạn, chắn luận văn cịn có nhiều thiếu sót, chúng tơi mong nhận bảo đóng góp q báu thầy giáo, đồng nghiệp đọc gía quan tủm đến luân văn 79 PHỤ LỤC PHỤ LỤC A CÁC PHƯƠNG TRÌNH TỐC ĐỘ CÜA HỆ THỐNG LASER BA MỨC ĐƯỢC PHÂN CHIA THEO HIỆU ÚNG STARK Từ hình 2.1, tương ứng với hệ thống laser ba mức, tách theo hiệu ứng Stark, ta có phương trình tốc độ sau: Đối với mức (mức bản), ta có: dN, r L = - ' l i , N, l +A-m N „ + ỵ i AllN „ - ỵ R „ ( N u - N „ ) + ỵ w „ l , N l t - N „ ) dt (A l) dNXi ^ = ~(ĂNR + A'nr)NXj + AnrN]j+] + A^RNịj^ị - £ * # ( * 1 - N „ ) + Y W u ( N „ - N „ ) ; ! < , / < ä , + (A.2) k (ÌN UL dt “ Akyf,\Nn + W3/) I * + I X „ W , -AV ) (A.3) k Đối với mức (mức giả bền), ta có: ^ r L = -A'm N1, + A m N22+ỵ A „ N „ - ỵ i f ' , l ( N2l- N l l ) j } at (A.4) j = - ( A m + ^ n r ) N 2ic + Á h RN 2j ị +ì + A ^ RN 2tk_ị - Ỵ W » - Ỵ W „ ( N u - N , J) i < k < g , / (A.5) j ^ j f - = A™Nn -A-m Nw + A ‘m Nw dt - E v ,» w - I ( » ,r » i,) j (A.6) Ic Đối với mức bơm (mức 3), ta có: dN'-L = - K RN „ - A ' m Ni í *A-m N , ^ Ỵ j Ai , Ní, dt dN dt - ~ (^ N R + ^ n r )^ ìì + A N R N }J+ ị + - N„) //,1 ) ; ! < / < g y (A.7) (A 8) 80 ^ = -A-m Nu ì + A*m N ^ + ỵ R KÌJ( NtJ - Nw ) (A.9) PHỤ LỤC B SO SÁNH LỜI GIẢI CỦA PHƯƠNG TRÌNH BESSEL LP01 VỚI XÂP x ỉ GẨN ĐÚNG GAUSSIAN Đ Ố I VỚ I HÌNH BAO MODE c BẢN CÚA SỢI Đối với sợi có chiết suất nhảy bậc, bán kính lõi a độ số NA, tổn số chuẩn hoá, số V bước sóng X xác định theo cơng thức V = naNA / Ả [ 1] Lời giải LP0| hình bao mode sở tính sau: y/t(r < fl) = /n2( - ) (B n a V,{r>a)-KỈ(ir-)$Ị£a (B.2) KịỌV) tương ứng vớilõi sợi (ra) Các thông sô' u w liên hệ với V thông qua biểu thức: w = V2 - 2, u tính v - ữ ^ theo biểu thức [2]: ( 13 ) s + (4 + V ) Hình bao mode có giá trị đỉnh 1, tức ^ t(0) = l Từ định nghĩa bước sóng, tương ứng với lời giải phương trình Bessel (phương trình 1.131): O), = {2 ịy ,(r )d r \ (B 4) từ phương trình (B l) (B.2), thu được: 0) VK ( w ì (Bessel) = a ——1— J n(ơ ) UK0{W) (R.5) Trong xấp xỉ Gaussia, hình bao mode tính theo cơng thức: V/ Á r ) - exp(_ ~ r ) (B.6) (ủs bán kính mođe 1/e Đối với bán kính mode 1/e hiệu suất ghép công suất vào lời giải mode LP(,| cực đại Cứs tính theo cơng thức: Cù (Gauss) = - 7=1 0.65 + V ĩl 1.619 V + 2.879 V6 (B.7) J 81 PHỤ LỤC c GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PGF CỦA BỘ KHUẾC H ĐẠI Ở CHẾ Đ ộ KHUẾCH ĐẠI TUYỂN TÍNH (MỤC 2.3) Phương trình F tương ứng với chế độ khuếch đại tuyến tính thoả mãn phương trình vi phân phần sau: ^ = ( x - l) |( a x - ) ^ - + o F | (C l) Phương trình có dạng phương trình tun tính Lagrange [1J: £ ^Õx +t1lT =Z 02 (C ) vớiệ = ( x - 1) a F Phương trình đặc trưng phương trình C.2 dx/ệ = diỊi] = d F / ệ , từ phương trình c 1, thay y = \ l ( \ - x ) ta được: dz = - = - y — (a - b ) y - a aF (C.3) Giải phần trái phương trình C.3, thu được: y(z) = G( z ) y( 0) - N( z ) (CA) với G(z ) = exp|j^[ơ(z')- b(z')]dz' (C.5) a'„ ( ) - - ( ■ „ y + N\ 1- y +N P J0) = 1 + N(ì - x ) N/G 1+ (iV - G)(l - \ + N(ì-x) X) PJ0) (C.9) Biểu diễn vế phải phương trình C.9 dạng chuỗi số hạng AJ" Trước tiên viết lại sơ' hạng có biến JCtrong phương trình C.9 sau: 'l + ( N - G ỵ i - x ) ~ ì + N(ì-x) \ + N(l-x) (l + N - G ) " ( , 1+ ^ ì (1 + jV)m+l 1- Bx l \-Bx) (C.10) A = G /( + iV)(l + N - G ) B = N/( + N ) Sử dụng công thức khai triển mhị thức: m\ *pữj\(m-j)\ với c- (C ll) (l + Ax)!{\ - Bx) chuỗi Taylor [l /(l - fíx)\ là: J =f B ^ (,/ + /7-1)! 1- Bx ả p\ (C 12) -1 )! Từ ta biểu diễn phương trình C.9 sau: F(x,z) = Ỷ P ,t í J (BxY ) ỵ m! ( A x )'Ỳ -— (I + N )m ị í j í ( m - j ) Ị % p\j\ (C.13) Đặt Ii=j+p, ta thu được: F(x,z) = Ỹ JPm(0) ni- G m\n\ (1 + N )m*"*ì U j \ M m - M n - j ) \ N(\ + N - G ) (1 + N - G Ỵ x" (C.14) 83 Tổng theo j lấy đến j = m m < n , v lấy đến j= n n < m \ điều thu từ điều kiện p > Viết lại phương trình c 14 dạng: ỉ'\x ,z) = Ỵj x'"Pm(z) (C.15) m Pm(z) phân bố xác suất photon toạ độ z tính theo hiểu thức: w - Ị p ( ) «■0 m\ nì G ạ+N-GỴ (1 + N )m+n+ì ^ j \ M m - j ) \ { n - j ) ị NQ + N - G ) (C.16) Phương trình kết sở phép phan tích STT [2] Trong phép phân tích này, P„(Ọ) tổng phương trình c 16 gọi Pn„ Hàm P„m(z) xác suất tìm thấy m photon lối điểu kiện có II photon lối vào khuếch đại Xác suất có n photon lối vào Pn (0 ), phan bố xác suất lối P J z ) là: W =ỵr.JzK(0) (C I7) n với (1 + N - G Ỵ N m ' /1 Ằf\W+/»+l (1 + ^ r - mỉ nỉ JL-J u Nịl + N - G ) (A.18) Trong trường hợp hộ số a b số, từ phương trình A.5 A.6 ta có G(z) = e x p [(a -ố )z ] N(z) = a[G(z)- \ ]/ ( a - b ) thay vào phương trình A.18 thu được: n'nì mĩ nì {a-bÝG (a - b)ambn(G - I)"*1" Y? _ íi „S"' L\W+ n+ l ;| ;t a G - b r n+' ^ j \ j \ { m - j ) \ { n - j ) ị ab(G-\ý (C.19) Trong trường hợp tổng quát, hàm p„m(z ) phương trình (J8) tương ứng với đa thức Jacobi Các đa thức Jacobi xác định sau: (C.20) Từ phương trình (18) phương trình (20) ta thu được: 84 P M ) - PnM , hàm Pnm phương trình (28) (29) nhận giá trị xác định hai trường hợp A = b= A =I +N-G=0 Một phương pháp khác để giải phương trình (1) mơ tả sau: Lấy tích phân phương trình (1) theo X từ điểm (x0, z=0) đến điểm cuối (x(z), z) Hàm x(z) tính theo biểu thức sau: - = -(x-ỉ)(ax-b) dz (C.31) Chúng ta thu được: dF(x,z) — dz ÕF ÔF dx = -íx_ õz õx dz , ÕF + ơx ƠF (C.32) õz Thay phương trình (32) vào phươngtrình( I), thu phương trình sau: — = a(x-ỉ)F dz (C.33) Phương trình có lời giải là: F(x,z) = F (x(0),0)exp |j[x(z’) - \\i(z')dz' (C.34) Để thu biểu thức trước x(z), viết lại phương trình C.31 dạng: d(x-ì) dz Nếu đưa hàm h(z) = = expị ị [ b ự ) ~ ữ(z')]rfz'| (C.36) ý b - a = (dh/dz)ỉ h , viết lại phương trình C.35 dạng sau: lời giải phương trình J Ẻ ĩll -h iĩẤ - - k ự ) - k ( z ) x( z ' ) - ỉ x ( z ) - ì (C.38) k(z) = (C.39) với = Ịh ự )ơ ự )d z' Từ phương trình C.38, ta có: =— — h{z) + [ k ự) - k { z ) ] [ x ( z ) - \ ] (C.40) Nếu sử dụng tính chất h{0) = 1, k(0) = 0, ta có: x(0) = l + £É£Ìz! -h{z) - k(z)[ x{z)~ 1] (C.41) Từ phương trình C.40, thu nghiệm phương trình C.40 sau: F(x,z) = F[X{x,z'S))\Q\p\ị X{x,z',z')\r \\i{z')dz' (C.42) X( x, z , z ’) = í + - Ỉ ĩ ự ỵ s - Ị ) h(z) + [ k ự ) - k ( z ) ] ( x - \ ) ỵ (x'z;0) = 1+ IT h(z)T + - k { z ) ựi~n - 1) (C44) kết thu từ tài liệu tham khảo [4], Thay giá trị h(z) k(z) tính theo phương trình C.36 C.39 vào, la viết lại phươngtrình C.43 C.44 dạng sau: X(x, z\z') = ỉ + -Gự)-(x-ỉ)[N(z)Gự)-Nự)G(z)] (C.45) X(x, z;0) = + 1—(jtr l)vV(z) (C.46) Sử dụng phương trình C.45, số hạng hàm mũ phương trình C.42 trở thành: 87 FẠx, z) = expj J[.Y{x,z;z')~ l]a(z')ífe'j = exp- (x -l)G (z ) 'ffl(z’) - (X l)N(z) I G(z ) J + - -¿/z' ( x - l) G ( z) WV ) 1—(x —l)yV(z) G(z') (C.47) Sử dụng đặc tính (thu từ phương trình C.6): d f (g) Ị _ a(z) d z [ G( z ) ) G(z) (C.48) G(0)=1, N (0)=0, từ phương trình C.47, có: Fị(x,z) = exp ( x - ị )ơ (z) ợ ™ 2' d u (C.49) l- ( x - l) iV ( z ) Vậy phương trình C.42 biểu diễn dạng hàm X, z, G(z) N(z) Các moment thống kê photon thứ thứ hai (aỉ(z)) (/r (z )) tương ứng với PGF lối có dạng sau: (in(z)): r dF(x,z)^ õx (C.50) r= l õ F(x,z) (« 2(z)) = Õx2 (C.51) J r=l Từ phương trình C.42, C.50 C.51, thu được: (tt(z)) (;?2(z)) = í õ 7F( X, 0)] [ dxôX ÕX dx l f õX(x,z;0)) ^ ) ỠJC l l ôx ) jr=l sử đụng tính chất nghĩa: J.t=l àx (C.52) ) ị ỔF(A\0) í ổ 2^ (x ,z ;0 )ì | ỔF(X,0) r ÕX(x, z;0) ỔF, (x, ) N dX ị ÕP\ (x, z) ì ƠF{X, 0) ( õX(x,z; )ì ổx2 /’d2Fí(x, zÝ { õx Jjr»l J + (n(z)) (C.53) l àx ) r=l (1,^;0),0J = F,(l,z) = 1, định 88 / — OA1 r =