Kỹ thuật giấu tin trong ảnh và nghiên cứu khả năng có thể để phát hiện ảnh có giấu tin

1 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ NGUYỄN THỊ PHƢƠNG HOA KỸ THUẬT GIẤU TIN TRONG ẢNH VÀ NGHIÊN CỨU KHẢ NĂNG CÓ THỂ ĐỂ PHÁT HIỆN ẢNH CĨ GIẤU TIN Ngành : Cơng nghệ thông tin Chuyên ngành: Hệ thống thông tin Mã số : 604805 LUẬN VĂN THẠC SĨ NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Hồ Văn Canh Hà Nội - 2009 ii MỤC LỤC MỤC LỤC II DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT IV DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ V MỞ ĐẦU CHƢƠNG - TỔNG QUAN VỀ GIẤU TIN VÀ KỸ THUẬT GIẤU TIN MẬT TRONG ẢNH 1.1 Một số khái niệm giấu tin 1.1.1 Khái niệm giấu tin 1.1.2 Phân loại kỹ thuật giấu tin 1.1.3 Sơ lược lịch sử giấu tin 1.1.4 Mơ hình kỹ thuật giấu thơng tin 1.1.5 Các ứng dụng kỹ thuật giấu thông tin 1.2 Giấu tin liệu đa phƣơng tiện 1.2.1 Giấu tin ảnh 1.2.2 Giấu tin audio 1.2.3 Giấu tin video 1.2.4 Giấu tin văn 1.3 Những đặc trƣng tính chất giấu tin ảnh 1.4 Các hƣớng tiếp cận kỹ thuật giấu tin ảnh 10 1.4.1 Tiếp cận miền không gian ảnh 10 1.4.2 Tiếp cận miền tần số ảnh 11 1.5 Một số phƣơng pháp giấu tin mật ảnh 12 1.5.1 Giấu tin mật khối bit sử dụng tính chẵn lẻ tổng số bit 12 1.5.2 Kỹ thuật giấu tin Wu _ Lee 16 1.5.3 Kỹ thuật giấu tin Yuan_Pan_Tseng 21 1.6 Kết luận chƣơng 27 CHƢƠNG - KỸ THUẬT THỦY VÂN TRÊN ẢNH 29 2.1 Một số khái niệm thủy vân số 29 2.1.1 Khái niệm thủy vân số 29 2.1.2 Phân loại kỹ thuật thủy vân 29 2.1.3 Mơ hình hệ thống thủy vân 30 2.1.4 Các đặc trưng hệ thủy vân 31 2.2 Một số kỹ thuật thủy vân ảnh 32 2.2.1 Phép biến đổi cosin rời rạc 33 2.2.2 Kỹ thuật thủy vân sử dụng phép biến đổi DCT 34 2.2.3 Cải tiến kỹ thuật thủy vân sử dụng phép biến đổi DCT 39 iii 2.2.4 Giải pháp nâng cao độ an toàn cho thủy vân 43 2.3 Kết luận chƣơng 47 CHƢƠNG - NGHIÊN CỨU KHẢ NĂNG PHÁT HIỆN ẢNH CÓ GIẤU TIN 48 3.1 Bài tốn phân tích tin giấu 48 3.2 Phân loại phƣơng pháp phát ảnh giấu tin 49 3.3 Một số kỹ thuật phát ảnh có giấu tin 50 3.3.1 Cơ sở toán học 50 3.3.2 Kỹ thuật phân tích cặp giá trị điểm ảnh 55 3.3.3 Kỹ thuật phân tích đối ngẫu 59 3.3.4 Kỹ thuật phân tích cặp mẫu SPA 64 3.4 Kết luận chƣơng 77 KẾT LUẬN 78 TÀI LIỆU THAM KHẢO 79 PHỤ LỤC 82 iv DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT Đ.l.n.n DCT (Discrete Cosine Transform) Đại lượng ngẫu nhiên Phép biến đổi cosin rời rạc DFT (Discrete Fourier Transform) Phép biến đổi Fourier DW (Digital Watermarking) Thủy vân số HAS IDCT IH (Human Auditory System) (Inverted Discrete Cosine Transform) (Information Hiding) Hệ thống thính giác người Phép biến đổi cosin rời rạc ngược Giấu thông tin JPEG (Joint Photographic Experts Group) Ảnh nén JPEG LSB PoV RGB RS SPA (Least Significant Bit) (Pair of Values) (Red – Green – Blue) (Regular – Singular) (Sample Pair Analysis) Bít quan trọng Cặp giá trị Đỏ- Xanh – Xanh da trời Kỹ thuật quy - đơn Phân tích cặp mẫu v DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình 1.1 Phân loại kỹ thuật giấu tin Hình 1.2 Lược đồ chung cho trình giấu tin Hình 1.3 Lược đồ cho trình giải mã Hình 1.4 Thay đổi bit khối B 14 Hình 1.5 Các phép tốn   16 Hình 1.6 Minh họa giấu liệu D = ―101‖ vào khối ảnh nhị phân 19 Hình 2.1 Mơ hình q trình nhúng thủy vân 30 Hình 2.2 Quá trình tách thủy vân 31 Hình 2.3 Phân chia ba miền tần số khối ảnh 8x8 theo phép biến đổi DCT 33 Hình 3.1 Ảnh trước giấu tin 58 Hình 3.2 Đồ thị xác suất giấu tin ảnh hình 3.1 58 Hình 3.3 Đồ thị xác suất phát ảnh có giấu tin 58 Hình 3.4 Đồ thị RS ảnh kiểm tra 63 Hình 3.5 Xích hữu hạn trạng thái với trạng thái tập Cm (m>0) 66 Hình 3.6 Xích hữu hạn trạng thái cho tập C0 67 MỞ ĐẦU Công nghệ thông tin đặc biệt phát triển hệ thống mạng máy tính tạo nên mơi trường mở phương tiện trao đổi, phân phối tài liệu cách tiện lợi, nhanh chóng Tuy nhiên đặt vấn đề bảo vệ tài liệu, ngăn chặn việc đánh cắp chép tài liệu cách bất hợp pháp Vấn đề an toàn bảo mật thông tin nhận quan tâm đặc biệt nhiều nhà nghiên cứu nhiều lĩnh vực Các công nghệ giải pháp để bảo vệ thông tin nghiên cứu phát triển Giải pháp bảo mật phổ biến dùng hệ mật mã Thông tin ban đầu mã hố thành mật mã ―vơ nghĩa‖ Giải pháp dễ gây ―nghi ngờ‖ đối phương người ta nội dung thông tin mật mà hai người trao đổi với người ta biết hai người có liên lạc ―mờ ám‖ Điều có ý nghĩa an ninh quốc gia Giải pháp khác sử dụng tỏ hiệu cho việc đảm bảo an tồn thơng tin là: đem thông tin giấu vào đối tượng khác Đối tượng áp dụng để chứa tin phổ biến ảnh Ở giải pháp lại đặt hai khuynh hướng cần giải là: bảo mật cho thông tin đem giấu (giấu tin mật) bảo mật cho đối tượng dùng để chứa tin (thủy vân số) Tuy nhiên vấn đề quan tâm giấu thơng tin vào ảnh có thơng tin giấu vào ảnh, làm để sau giấu ảnh khơng có điểm bất thường gây ý người khơng liên quan, tính bền vững thơng tin sau giấu liệu nhận biết ảnh có giấu tin hay khơng? Giấu thơng tin (đặc biệt giấu tin mật) trở thành giải pháp an tồn bảo mật cho trao đổi thơng tin hợp pháp Tuy nhiên làm nảy sinh nguy khác lợi dụng việc giấu tin để thực hành vi bất hợp pháp chẳng hạn truyền kế hoạch công khủng bố, sản phẩm văn hóa khơng lành mạnh, Từ đặt vấn đề làm để phát ảnh có giấu tin hay khơng, thơng tin chứa gì, nhằm mục đích ngăn chặn hành vi bất hợp pháp, phục vụ an ninh quốc gia Đồng thời từ việc phát tồn tin mật giấu, ta tìm cách để nâng cao độ an tồn cho kỹ thuật giấu tin có Xuất phát từ vấn đề đặt thực đề tài luận văn ―Kỹ thuật giấu tin ảnh nghiên cứu khả phát ảnh có giấu tin‖ Luận văn gồm chương: Chương Tổng quan giấu tin kỹ thuật giấu tin mật ảnh Chương trình bày khái niệm liên quan đến giấu tin nói chung, mơ hình kỹ thuật giấu tin, cách tiếp cận để giải toán giấu tin phần cuối chương sâu vào phân tích số kỹ thuật giấu tin mật ảnh số Chương 2: Kỹ thuật thủy vân ảnh Thủy vân số khuynh hướng thứ hai cần giải tốn giấu tin Chương trình bày số kỹ thuật thủy vân ẩn bền vững ảnh Qua việc phân tích đánh giá điểm mạnh, điểm yếu kỹ thuật, chất lượng ảnh nhúng thủy vân tính bền vững thủy vân để đưa giải pháp nâng cao độ an toàn cho thủy vân Chương 3: Nghiên cứu khả phát ảnh có giấu tin Đây trọng tâm nghiên cứu luận văn Mục tiêu cần đạt toán phân tích tin ẩn ảnh là: phát ảnh có giấu tin trích chọn thơng điệp (hoặc phần thơng điệp) giấu, sửa đổi hay phá hủy thông tin phát Tuy nhiên chương luận văn giải vấn đề phát có tồn tin ẩn hay khơng Trong đưa số kỹ thuật phát ảnh giấu tin theo hướng tiếp cận chủ yếu sử dụng lý thuyết xác suất thống kê Chương - TỔNG QUAN VỀ GIẤU TIN VÀ KỸ THUẬT GIẤU TIN MẬT TRONG ẢNH Giấu tin lĩnh vực rộng lớn Trong mơi trường giấu tin phổ biến ứng dụng rộng rãi giấu tin ảnh Trong chương luận văn bình bày tổng quan trình phát triển giấu tin, mơ hình giấu tin, ứng dụng giấu tin đồng thời sâu vào kỹ thuật nhằm bảo mật cho thông tin đem giấu kỹ thuật giấu tin mật Hầu hết kỹ thuật giấu tin mật tập trung giấu thơng tin vào bit quan điểm ảnh Phần cuối chương trình bày kỹ thuật công bố gần giấu tin theo khối bit sử dụng tính chẵn lẻ tổng số bit khối, kỹ thuật Wu_Lee, kỹ thuật Yang_Pan_Tseng 1.1 Một số khái niệm giấu tin 1.1.1 Khái niệm giấu tin ―Giấu thông tin‖ gọi tắt ―Giấu tin‖, tiếng Hi Lạp ―Steagnography‖, tiếng Anh ―Cover Writing‖ “Giấu thông tin” kỹ thuật nhúng (giấu) lượng thông tin số vào đối tượng liệu số khác [2] Kỹ thuật giấu tin nhằm hai mục đích: bảo mật cho liệu đem giấu, hai bảo vệ cho đối tượng mang tin giấu Hai mục đích khác dẫn đến hai kỹ thuật chủ yếu giấu tin Đó giấu tin mật thủy vân số Nói chung giấu tin đa phương tiện tận dụng ―độ dư thừa‖ phương tiện giấu để thực việc giấu tin mà người ngồi ―khó‖ cảm nhận có thơng tin giấu 1.1.2 Phân loại kỹ thuật giấu tin Do kỹ thuật giấu tin số hình thành thời gian gần nên xu hướng phát triển chưa ổn định Có nhiều cách phân loại khác dựa tiêu chí khác Theo Fabien A.P Petitcolas đề xuất năm 1999, chia lĩnh vực giấu tin thành hai hướng lớn, giấu tin mật thủy vân số [6] Giấu tin mật với mục đích đảm bảo an tồn bảo mật thông tin tập trung vào kỹ thuật giấu thơng tin cho người khác khó phát việc có tin giấu; phát có tin giấu giải tin khó thực Bên cạnh đặt vấn đề lượng tin giấu Thủy vân số lại chia thành hai hướng nhỏ thủy vân dễ vỡ thủy vân bền vững Trong thủy vân dễ vỡ yêu cầu thông tin giấu bị sai lệch có thay đổi vào liệu chứa tin Thủy vân bền vững quan tâm nhiều đến việc nhúng mẩu tin đòi hỏi độ bền cao thông tin giấu trước biến đổi thông thường liệu chứa tin Giấu thông tin Information hiding Giấu tin mật Steganography Thủy vân số Watermarking Thủy vân bền vững Robust Copyright watermarking Thủy vân ẩn Imperceptible watermarking Thủy vân dễ vỡ Fragile watermarking Thủy vân Visble watermarking Hình 1.1 Phân loại kỹ thuật giấu tin 1.1.3 Sơ lƣợc lịch sử giấu tin Từ ―Steganography‖ bắt nguồn từ tiếng Hi Lạp Từ ―stegano‖ tiếng Hi Lạp có nghĩa ―covered‖, cịn ―graphien‖ có nghĩa ―to write‖ Như vậy, ―steganography‖ có nghĩa tài liệu phủ ―covered writing‖ Các câu chuyện kể kỹ thuật giấu thông tin truyền qua nhiều hệ Có lẽ ghi chép sớm kỹ thuật giấu thông điệp thuộc sử gia Hi Lạp Herodotus Khi bạo chúa Hi Lạp Histiaeus bị vua Darius bắt giữ Susa vào kỷ thứ V trước Công nguyên, ông ta gửi thơng báo bí mật cho rể Aristagoras Miletus Histiaeus cạo trọc đầu nô lệ tin cậy xăm thông điệp da đầu người nơ lệ Khi tóc người nơ lệ mọc đủ dài người nơ lệ gửi tới Miletus Một câu chuyện khác thời Hi Lạp cổ đại Herodotus ghi lại Môi trường để ghi văn viên thuốc bọc sáp ong Demeratus, người Hi Lạp định báo cho Sparta Xerxes định xâm chiếm Hi Lạp Để tránh bị phát hiện, bóc lớp sáp ong khỏi viên thuốc khắc thông báo lên bề mặt viên thuốc này, sau bọc lại viên thuốc lớp sáp ong Những viên thuốc mang tin mật ngụy trang để với viên thuốc thơng thường khác lọt qua kiểm sốt cách dễ dàng Mực không màu phương tiện hữu ích cho bảo mật thơng tin thời gian dài Người Romans cổ biết sử dụng chất sẵn có nước quả, nước tiểu sữa viết thơng báo bí mật hàng văn tự thơng thường Khi hơ nóng, thứ mực trở nên sẫm mầu đọc Mực khơng màu cịn sử dụng gần đây, chẳng hạn chiến tranh giới thứ II [5] Ý tưởng che giấu thông tin có hàng ngàn năm trước kỹ thuật dùng chủ yếu quân đội quan tình báo Mãi vài thập niên gần đây, giấu tin nhận quan tâm nhà nghiên cứu viện công nghệ thông tin với nhiều cơng trình nghiên cứu Sự phát triển thông tin số mạng truyền thông (đặc biệt mạng Internet) với kỹ thuật chép hoàn hảo, kỹ thuật chỉnh sửa, thay tinh vi làm nảy sinh nhiều vấn đề nhức nhối nạn ăn cắp quyền, xuyên tạc trái phép, lan truyền thông tin bất hợp pháp 1.1.4 Mô hình kỹ thuật giấu thơng tin Mơ hình kỹ thuật giấu tin mơ tả hình 1.2 1.3 Thông tin cần giấu Phương tiện chứa tin (audio, ảnh, video,…) Bộ nhúng thông tin Phương tiện Phân chứa phối giấu tin Khóa Hình 1.2 Lược đồ chung cho trình giấu tin Hình 1.2 biểu diễn q trình giấu tin Trong đó, phương tiện chứa tin bao gồm: văn bản, ảnh, audio, video… Thông tin cần giấu tùy theo mục đích người sử dụng, thơng điệp, logo, hình ảnh quyền… Thơng tin giấu vào phương tiện chứa tin nhờ môt nhúng Bộ nhúng chương trình theo thuật toán để giấu tin thực với khóa bí mật 69 C m  C m1  p D  ' 2m   D2' m  Y2'm1  X 2' m1 p  Y2'm1  X 2' m1  3.3.4.3 Phân tích kỹ thuật SPA Sau đọc vào ảnh I lấy liệu ảnh I vào ma trận A, ta thống kế giá trị điểm ảnh có ảnh Chia ma trận A thành N mẫu liên tiếp (mỗi mẫu giá trị điểm ảnh) biểu diễn xâu nhị phân độ dài b Từ mẫu có, ta xác định tập P tập cặp mẫu có Với n số nguyên cố định  n  2b-1 ta xây dựng tập tất cặp P mà có khoảng cách chúng n Gọi tập Dn Với số nguyên m,  m  2b-1 -1 ta xây dựng tập Cm tập tất cặp (u, v)  P mà |u-v|/2 = m Hiển nhiên, tập Dn (với  n  2b -1) P dùng để mô tả thay đổi tạo từ việc giấu tin vào bit it quan trọng hai giá trị mẫu khác Còn tập Cm (0  m  2b-1 -1) P lại bất biến phép giấu tin LSB Tiếp theo ta phân hoạch tập D2m+1 thành hai tập X2m+1 Y2m+1 sau X2m+1 = D2m+1  Cm+1 Y2m+1 = D2m+1  Cm với  m  2b-1 -2 X 1   Y2 1  D2 1 b b b Trong đó, tập X2m+1 chứa cặp (u,v) có dạng (2k-2m-1, 2k) (2k, 2k-2m1) Tập Y2m+1 chứa các cặp (u,v) có dạng (2k-2m, 2k+1) (2k+1, 2k-2m) Hay nói cách khác, cặp mà thành phần chẵn lớn nằm tập X 2m+1 cặp mà thành phần lẻ lớn nằm tập Y2m+1 tất cặp sai khác 2m+1 Với ảnh có tín hiệu chuẩn, xác suất để cặp mẫu tập D2m+1 có thành phần chẵn lớn nhỏ Điều có nghĩa với số nguyên m bất kỳ,  m  2b-1-2 ta có E (|X2m+1|) = E (|Y2m+1|) (1) Theo phân tích mục 3.3.4.1 máy trạng thái mơ tả hình 3.5 3.6 ta có với m = tập C0 phân hoạch thành Do Y1, với  m  2b-1-2 Cm phân hoạch thành bốn tập X2m-1, X2m, Y2m Y2m+1 Tiếp theo ta sử dụng mẫu   {00, 01, 10, 11} với biểu thị cho (hoặc nhiều) mẫu cặp có bị đảo bit, biểu thị cho (hoặc nhiều) mẫu giữ ngun (khơng bị đảo bít) để xem xét ảnh hưởng việc lật bit LSB mẫu Các trường hợp khác mẫu  sau: Nếu  = 00  = 10 ta gọi tập 70 X 2' m1  X 2' m tập chứa cặp mẫu tập X m1  X 2m bị thay đổi thông qua mẫu 00 10 Nếu  = 01  = 11 tập ta gọi Y2'm  Y2'm1 chứa cặp mẫu tập Y2m  Y2m1 bị thay đổi thông qua mẫu 01 11 Gọi p chiều dài thông điệp bị giấu bit bị chia tổng số mẫu ảnh Với 1 m  2b-1-1, ta có phương trình sau: | X m1 | (1  p)  | Y2 m1 | (1  p)  p2 p | C m |  ( D2' m | 2 | X 2' m1 |)  | X 2' m1 | p2 p | C m |  ( D2' m | 2 | Y2'm1 |)  | Y2'm1 | (2) (3) Với m = ta có p2 p Y1 | (1  p)  C0 |  (2 D0'  | Y1' |)  | Y1' | 2 (4) Chứng minh phƣơng trình (2) (3) (4) Ta có tập X 2' m1  X 2' m chứa cặp mẫu tập X 2m1  X 2m bị thay đổi thông qua mẫu 00 10 Tập Y2'm  Y2'm1 chứa cặp mẫu tập Y2m  Y2m1 bị thay đổi thông qua mẫu 01 11 Xác suất mà cặp mẫu tùy ý tập X 2m1  X 2m bị thay đổi qua mẫu 00 10 (1-p/2)2 + p/2(1-p/2) = 1- p/2 Xác suất mà cặp mẫu tùy ý tập Y2 m1  Y2m bị thay đổi qua mẫu 01 11 p/2(1-p/2) – (p/2)2 = p/2 Ta có số lượng phần tử tập X 2' m1  X 2' m | X 2' m1 |  | X 2' m | tính sau | X 2' m1 |  | X 2' m | (| X 2m1 |  | X 2m |)(1  p / 2)  (| Y2m |  | Y2m1 |) p / (5) Tương tự ta có số lượng phần tử tập Y2'm  Y2'm1 sau | Y2'm |  | Y2'm1 | (| Y2m |  | Y2m1 |)(1  p / 2)  (| X 2m1 |  | X 2m |) p / (6) Trừ (5) cho (6) ta có | X 2' m1 |  | Y2'm1 |  | X 2' m |  | Y2'm | (| X 2m1 |  | Y2m1 |  | X 2m |  | Y2m |)(1  p) (7) 71 Tập X2m-1  Y2m hoán đổi cặp mẫu với tập X2m  Y2m+1 cặp bị hoán đổi mẫu 10 11, thực tế cặp mẫu tùy ý tập thành phần có xác suất p/2 Ta có | X 2' m1 |  | Y2'm1 |  | Y2'm |  | X 2' m | (| X 2m1 |  | Y2m1 |  | Y2m |  | X 2m |)(1  p) (8) Cộng (7) (8) ta | X 2' m1 |  | Y2'm1 | (| X 2m1 |  | Y2m1 |)(1  p) (9) Bước suy dẫn số phần tử tập X 2' m1  Y2'm1 sử dụng máy trạng thái hữu hạn hình 3.2 Chú ý: X 2m1  Y2m1 hoán đổi cặp với tập D2m (D2m = X2m Y2m) | X 2' m1 |  | Y2'm1 | (| X 2m1 |  | Y2m1 |).[(1  p / 2)  ( p / 2) ] | D2m | p(1  p / 2) (10) Từ |D2m| = |Cm| - |X2m-1|-|Y2m+1| dẫn đến | X 2' m1 |  | Y2'm1 | (| X 2m1 |  | Y2m1 |).(1  p)  | Cm | p(1  p / 2) (11) Nhân hai vế (9) với (1-p) cộng với với (11) ta thu phương trình | X 2' m1 | (2  p) | Y2'm1 | p  | X 2m1 | (1  p)  | Cm | p(1  p / 2) (12) Nhưng với Cm đóng với thao tác giấu, từ | Cm || X 2' m1 |  | Y2'm1 |  | D2' m | (13) Cuối từ (12) (13) ta thu phương trình (2) Tương tự việc nhân hai vế (9) với (1-p) cộng với với (11) sau sử dụng cơng thức (13) ta thu phương trình (3) Việc chứng minh phương trình (4) tương tự  Từ công thức (2) đến (4) với điều kiện E{|X2m+1|} = E{|Y2m+1|}, 0 m  2b-1-2 Cuối ta thu phương trình bình phương mạnh để ước lượng giá trị p sau C m  C m1  p 2 C D   C1  p   D2' m  Y2'm1  X 2' m1 p ' 2m 2 D  '   D2'  Y1'  X 1' p  Y2'm1  X 2' m1  0, m   Y1'  X 1'  0, m  (14) (15) Phương trình (14) (15) phương trình bậc hai theo p Nghiệm nhỏ phương trình (14) (hoặc 15) giá trị ước lượng p, với điều kiện 72 |Cm |> |Cm+1| |D2m | ≥ |D2m+2| (hoặc 2|C0| > |C1| 2|D0| ≥ |D2|) (16) Thật vậy, ta có bất đẳng thức 2|C0| > |C1| > |C2| > … >|Cm| > |Cm+1| > … (17) 2|D0| > |D2| > |D4| > … > |D2m| > |D2m+2| > … (18) Đặt U V hai tập biến ngẫu nhiên rời rạc tương ứng với giá trị thứ thứ hai cặp mẫu P, ta có hàm hội tụ xác suất có điều kiện (pmf – probability mass fuction) P(u,v) Xem xét khác biệt U V ta có biến ngẫu nhiên Z = U – V Gọi hàm hội tụ xác suất Z PZ(z) Hàm PZ(z) chiếu từ hàm hội tụ xác suất có điều kiện P(u,v) vào (1,1) Nếu cặp mẫu P lấy ngẫu nhiên rõ ràng PZ(z) từ E(U) = E(V) Như vậy, dựa giả thiết (1) có 2|D0| > |D1| > |D2| > … > |Di| > |Di+1| > … (19) kết hợp với (17) (18) ta có (16) Để chứng minh giá trị thực p nhỏ hai nghiệm thực phương trình (14) p phải thỏa bất đẳng thức sau: D p ' 2m  D2' m  Y2'm1  X 2' m1  (20) Cm  Cm  Chú ý, vế phải bất đẳng thức biểu diễn chung cho hai nghiệm phương trình (15) Bất đẳng thức (20) tương đương với bất đẳng thức sau C p m  C m   Y2'm1  X 2' m1  Y2'm3  X 2' m1  Cm  Cm  (21) Bằng việc dùng công thức (9) điều kiện |Cm| > |Cm=+1| bất phương trình (21) trở thành (p-1)(|Cm| - |Cm+1|)  (1-p) (|Y2m+1| - |X2m-1| + |Y2m+3| - |X2m+1|) (22) Áp dụng giả thiết (1) bất phương trình giản lược thành  (1-p) (|D2m| - |D2m+2|) (23) 3.3.4.4 Ước lượng độ xác chiều dài thơng điệp dấu theo SPA Cho tập P cặp mẫu, kỹ thuật phân tích tin ẩn LSB đưa thỏa mãn với điều giả định (1) Với p độ dài thơng điệp ẩn phương trình (14) 73 (15), gọi độ xác chiều dài thơng điệp ẩn ước lượng pˆ phụ thuộc vào độ khác biệt m m = |X2m+1| - |Y2m+1| (24) Cơng thức (24) dùng để tính tốn ước lượng pˆ theo phương trình (14) (15) với giá trị m cho |m | nhỏ Với ước lượng vững chiều dài thơng điệp ẩn thu từ tổ hợp tập (trace multiset) giới hạn m mà |m | nhỏ Với  i  m  j  2b-1-1, với 0 m  2b-1-1, máy trạng thái hữu hạn Cm hình 3.2 tổ hợp khai triển từ tập X2m-1, X2m, Y2m, Y2m+1 với tập  j m i j j m i j m i j m i C m việc thay X m1 ,  j m i j X m , mi Y2 m , Y2 m1 Ta nói tập    X m , mi Y2 m ,  j m i  j m i C m không chệch bốn tập hợp  j m i X m1 , Y2 m1 không chệch Với m giá trị khác ta có điều kiện  j   j  E   X m1   E   Y2 m1   m i   m i  (25) Đây điều kiện ―lỏng lẻo‖ giả thiết (1) giá trị m riêng biệt Mặt khác, với m cố định  j m i  m nhỏ |m| cách đáng kể Điều hệ số định độ xác việc phân tích tin ẩn Điều kiện (25) với cặp mẫu (u,v)  P , |u-v| = 2t+1, i  t  j, giá trị chẵn u v có xác suất lớn (hoặc nhỏ hơn) giá trị lẻ u v Dựa cấu trúc máy trạng thái hữu hạn, quan hệ thống kê (25), tập  j m i C m  j 1 m i 1 C m không chệch phép giấu tin mật LSB thực thơng qua việc giấu ngẫu nhiên ta suy phương trình bình phương mạnh vững để ước lượng p sau       j j  p2 p Ci  C j 1   D2' i  D2' j   2 Y2'm !  X 2' m !   Y2'm1  X 2' m1  0, i  1 2 m i m i  Tương tự, dựa (25), tập C0,  j C m i m  j 1 m i 1 j  2b-1-2 việc giấu tin LSB ngẫu nhiên ta có (26) C m khơng chệch với = i  74    j p2 p C0  C j 1   D0'  D2' j   2 Y2'm1  X 2' m1 2 m 0    Y j  m 0 ' m 1   X 2' m1  (27) Giải hai phương trình bình phương mạnh với ẩn p, phụ thuộc vào giá trị số i ban đầu, nghiệm nhỏ p ước lượng Tiếp theo ta xác định giới hạn lỗi ước lượng phương trình (26) (27) Giới hạn lỗi m = |X2m+1| - |Y2m+1| với  m  2b-1-2 (28) j eij  2  m m i D2 i  D2 j  với  i  j  2b-1-2 (29) với 0= i  j  2b-1-2 (30) Và j e0 j  2  m m 0 D0  D2 j  Ta giới hạn ước lượng lỗi sau p  pˆ (i, j )  eij  eij 1  p  với  i  j  2b-1-2 (31) Trong pˆ (i, j ) giá trị p ước lượng thu từ việc giải phương trình (26) i ≥ giải phương trình (27) i =0 với điều kiện e ij