2 PPcm batdangthucva cac bđt cơ bản

Chương I ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG I Tính chất bản: ax  bx x  ab ax  bx x  a a  x  a  b  x  Chú ý  y b  y  a x c  ab  xy  b  y  d a  b    a2  b2 Hệ quả: a  b  a2  b2 1 e a  b     a b 1 ab  a b f A   xAAxA x   A  xA  x  A b  a  b  x  y  ab  xy   a  b y a  x   b  y II Vài bất đẳng thức thông dụng: Với a, b, c,… tùy ý ( a, b, c  R ) a a2  b2  2ab ( Dấu “ = ” xảy  a  b ) b a2  b2  c2  ab  bc  ca ( Dấu “ = ” xảy  a  b  c ) 1 1 1 c Với có: a, b  ta (a  b)  4   a  III Các ví dụ:    Ví dụ 1: Cho x, y   ;   a b ab Chứng minh bất đẳng thức:   4   1 Giải:     x, y   ; 1  tan x; tan y  1;  tan2 x, tan2 y  1   4   Ta có: 1 tan x  tan y 1 tan x tan y tan x  tan y 1 tan x tan y  tan x  tan y  1 tan x tan y 2 2 2  tan x  tan y  tan x tan y  1 tan x tan y  tan x tan y 2  tan x  tan y  tan x tan y 1  2  tan x(1 tan y)  (1 tan y)  2  (1 tan y)(tan x 1)     ( Luôn đúngx, y   ;   4   ) Ví dụ 2: Chứng minh với số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện a  b  c  thì: b 1a 1b  3. a   cc  c a 3  3b   Giải: Vì hàm số 3x giảm nên ta có: 1 1  (a  b)  a  3b   3ab  b  3aa  3bb a   Tương tự ta có: c  ; c a c a  c  a b c a  3 3 c  b c  3c 3b b Cộng vế theo vế bất đẳng thức ( ý a  b  c  1), ta được: 1 3a  3cb  a b   a c  a  3ca     b b  b 3   b c   a   1 b 3c  (đpcm)  3a  3b  3c  3a   Ví dụ 3: a Cho x  0, y  xy  Chứng minh: 1  1  1 1xy x y (1) b Cho  a  b  c  d bd  Chứng minh: Giải: 1 1  1  1  1  1 a b c d c  3c  a Vì x  0, y  nên bất đẳng thức (1) tương đương với: 2(1 x)(1 y)  (1 xy )(1 y)  (1 xy )(1 x)   2x  y  2xy  1xy  y  y xy 1 xy  x  x xy  (x  y)  2xy  xy (x  y)  xy  (x  y)  xy  x  y)  2(xy   (x  y)(1 xy    (1 xy  x  y   (1 xy  xy  xy     y    (2) nên (2) (đpcm) y) 0  xy   1 a, b, c, d   b a  b  c  d bd      xy x ( x Vì:   xy    0 a, b, c, d   ac  db   a  b nên  c  d bd  Theo kết câu a, ta có:  (a, c  0; ac  1)   1 a 1 c 1ac 1    (b, d  0;bd  1) 1 c 1 d 1 bd  1  1   a 1  b c d  1 ac 1 bd   1  1  1    1ac bd (đpcm)  1abcd Ví dụ 4: Cho a, b, c [ 1; 2] thỏa mãn điều kiện a  b  c  Chứng minh: 2 a b c 6 Giải:  a [ 1; 2]  1  a   a 1)(a  2)  2  a  a    a  a  (1) b  b  c (2)  Tương tự ta có Cộng (1), (2), (3) ta có: 2 c  c  (3) (đpcm) a  b  c  a  b  c)   1 abcd Ví dụ 5: Cho x, y, z [0;2] x  y  z  Chứng minh rằng: Giải: Ta có: 2 x y z  x, y, z   (x  2)( y  2)(z  2)   xyz  2(xy  yz  zx)  4(x  y  z)    xyz  2(xy  yz  zx)  4.(3)    xyz  2(xy  yz  zx)  ( x  y  z  ) 2 2 2 2  xyz  (x  y  z)  (x  y  z )  2 2  xyz  (x  y  z)  (x  y  z )    (x  y  z )  2 2 2  x  y  z   xyz ( Vì x  y  z  )  x  y  z  ( Vì xyz  ) (đpcm) Ví dụ 6: Cho x  0, y  0, z  xyz  Chứng minh bất đẳng thức sau:    (1) 3 x  y 1 y3  z3 1  z3  x3 1 1    (2) x  y 1 y  z 1  z  x Giải: 1 a Đặt T = vế trái bất đẳng thức (1) ( ta cần chứng minh T 3 2  ) Ta có: x  y  (x  y)(x  y  xy) x2  y2  2xy  x2  y2  xy  xy Mà  x  y  ( Vì x  0, y  0) Nên (x  y)(x2  y2  xy)  (x  y)xy hay x3  y3  xy( x  y) 3 3  x  y   xy( x  y)  xyz ( Vì xyz  )  x  y   xy( x  y  z)  1   (a) 3 x  y 1 xy( x  y  z) Tương tự ta có: 1  (b)  3  y  z 1 xy(x  y  z)  1   xy(x  y  z) (c)  z3  x3 1  Cộng vế theo vế (a), (b), (c),  ta có: T 1   (x  y  z) xy   yz zx    xyz 1  xyz  xyz ( Vì xyz  ) (đpcm)   b Đặt S vế trái bất đẳng thức (2) ( ta cần chứng minh S  ) x  a3  b, c  Đặt  y  x, y, z  3 a, 3 mà  xyz  1a bc b  abc   zc  a, b, c  abc  nên theo kết câu a, ta có: 1 1 3 a  b 1  b3  c3 1  c3  a3 1  x  y 1  1  (đpcm)  y  z 1 zx 1 Ví dụ 7: Cho a, b  b, c  Chứng minh:  (b (a  c)c ab  (1) Giải:  ab Bất đẳng thức (1) tương đương với: 0 c(a  c)  (b  c)c  2 0  c  c  ac  ab  bc  2c 0  c  a(b  c)  c(b  c)  2c  c  (a  c)(b  c)  2c  c  (a  c)(b  c)  2 bất đẳng thức (đpcm)   Ví dụ 8: Chứng minh a, b, c  R , ta có: a2  2 b  c  ab  ac  2bc (1) Giải: Bất đẳng thức (1) tương đương với: 2 a  4b  4c  4ac  8bc  4ac    a  2b  2c)  bất phương trình (đpcm) Ví dụ 9: Cho a3  36 abc  Chứng minh: a2  2  ab  bc  ca (1) b c Giải: Bất đẳng thức (1) tương đương với:   a2  (b  c)  2bc  a(b  c)  bc a2  a(b  c)   3bc  (b  c)  a2  (b  c)  a(b  c)      ( Vì bc  ) a a   x  b  c   a2  (a)  f (x)  x  ax        a  Xét tam thức bậc hai f (x)  x  ax  ( a  ) có: a  a2    36  a3  ( Vì a  36 ) a a4 3a    f (x)  0, x   (a) (đpcm) Ví dụ 10: R Cho 1  x  n  N , n  Chứng minh:  2 n n (1 x)  (1 n)  Giải: Vì 1  x  nên x  cos (0     lúc đó: n n n n (1 n)  (1 n)  (1 cos   (1 cos )  n    2 n   cos    sin        n   nn    n n   cos    sin     cos  sin           xy   (đpcm) * Chú ý: Khi chứng minh bất đẳng thức phương pháp biến đổi tương đương cần: Chú ý xem kĩ giả thuyết đề cho, số trường hợp biến đổi giả thuyết đề cho thành bất đẳng thức cần chứng minh ( ví dụ 4, 5…) Trong số trường hợp biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh thành bất đẳng thức ( nêu ví dụ 1, 3, 7, 8…) Nên thuộc lịng bất đẳng thức thông dụng giới thiệu phần II IV Bài tập tương tự: Chứng  minh  rằng:  x 1 y 1 z thì: y   x  z   y   xz   x    z   x  z * Hướng dẫn: Tìm bất đẳng thức tương đương cách quy đông mẫu số, ước lược số hạng (x  z) , chuyển vế, biến đổi vế trái thành dạng tích số,… a, b, c, d năm số thức tùy ý, chứng minh bất đẳng thức: 2 2 a  b  c  d  e  ab  ac  ad  ac Khi đẳng thức xảy ra? * Hướng dẫn: Tìm bất đẳng thức tương đương cách biến đổi bất đẳng thức cho dạng: a 2  a 2  2  a 2 a  b c d e0 2  2  2  2  … a, b, c, độ dài ba cạnh tam giác ABC, chứng minh: 2 a  b  c  2(ab  bc  ca) * Hướng dẫn: a  b  c  a2  ab  ac, b  a  Chứng minh: c 2 a  b  2ab, a, b  R  Áp dụng a, b, c ba số thực tùy ý, chứng minh: ... ? ?2 u  (a  c; b) , v  (a  c; b)  u  v  (2a; 2b) u   Suy :  v   uv   Mà: a4a 2? ?? 2? ?? b4b 2 ? ?2 a(a2  bc )22  b2 uvuv  (a  c )2 + b2  (a  c )2 + b2  a2  b2 (a  c )2 + b2... (1) 2: x2  y2  6x   x2  y2  2x  12 y 10 Giải: Ta có (1)  (x+3 )2  (2 y )2  (1 x )2  (3  y )2  Xét : u  (x  3; y), v  (1 x;  2y)  u  v  (4;3) (a  c )2 + b2 Ta có:  u  (x+3 )2. .. 1)    nS  n 2n 2n n(n 1) (n 1)(2n 1) n n(n 1) S  2n2    2n2 6 .2. n n 1 (n 1)(2n 1) S n 1  2n   n  2n 12. n n1 (n 1)(2n 1) n 1 ]= lim   12n n 2n n  lim Sn  [