Viết phương trình đưòng thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB).. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB2[r]
(1)BỘ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2007
MƠN TỐN – KHỐI A
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH
Câu I (2,0 điểm)
Cho hàm số y =
1
x
x (C)
Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C)
2 Tìm toạ độ M thuộc (C), biết tiếp tuyến (C) M cắt hai trục Ox, Oy A, B
tam giác OAB có diện tích 4 Câu II (2,0 điểm)
1 Giải phương trình: ( sin2
x
+ cos2
x
)2 + 3cosx = 2.
2 Tìm giá trị tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:
3
3
1
5
1
15 10
x y
x y
x y m
x y
Câu III (2,0 điểm)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2), B(-1; 2; 4) đường thẳng:
:
1
1
x y z
1 Viết phương trình đưịng thẳng d qua trọng tâm G tam giác OAB vng góc với mặt phẳng (OAB)
2 Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng cho MA2 + MB2 nhỏ Câu IV (2,0 điểm)
1 Tính tích phân: I =
3
1 ln
e
x xdx
2 Cho a b > Chứng minh rằng:
1
2
2
b a
a b
a b
PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh chọn làm câu V.a câu V.b Câu V.a: Theo chương trình THPT khơng phân ban (2,0 điểm)
Tìm hệ số x5 trong khai triển thành đa thức của: x(1-2x)5 + x2(1+3x)10
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): (x-1)2 + (y+2)2 =
đường thẳng d: 3x - 4y +m =
Tìm m để d có điểm P mà từ kẻ hai tiếp tuyến PA, PB tới (C) (A, B tiếp điểm) cho tam giác PAB
Câu V.b Theo chương trình THPT phân ban thí điểm (2,0 điểm) Giải phương trình: 2
1
log 15.2 27 2log 4.2
x x
x
.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang,
0
ABC= BAD=90 ,BA BC a AD, a
Cạnh bên SA vng góc với đáy SA=a 2
Gọi H hình chiếu vng góc A SB Chứng minh tam giác SCD vng tính (theo a) khoang cách từ H đến mặt phẳng(SCD)
(2)Hết
-ĐÁP ÁN
Câu I:
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y =
1
x x
D = R\{-1}, y’ = 2
0,
(x1) TCĐ: x = -1, TCN: y = 2
Bảng biến thiên: Đồ thị: Hsinh tự vẽ x -1
y’ + +
y
2 Pttt M (x0, y0) d :
0
0
0
2
( )
1 ( 1)
x
y x x
x x
2
2
0
0
2
Ox ( ;0); (0; )
( 1)
x
A d A x B d Oy B
x
Ta có:
2
2
0 0
0
2
1 1
4 ( 1)
OAB A B
x
S x y x x x
x
x0 1
0
2
0
0
1
1 1
2
x y
x x
x y
Vậy M(1; 1)
M(-1 ; 2 ) Câu II :
1 Pt
1 sinx+ osx=2 sinx+ osx=1 cos(x- )=
6
c c
( )
6
x k k Z
2 Đặt
1
;
u x v y
x y
ĐK: u 2,v 2 Hệ trở thành: 3
3 15 10
u v
u u v v m
Đặt
S u v P u v
Hệ thành:
5
8 ( ) 15 10
S S
P m
S S P S m
Khi u, v nghiệm pt: X2 – 5X + – m = X2 – 5X + = m (*)
Xem hàm số Y = X2 – 5X + ; Y’ = 2X – 5; Y’ = X =
5 Bảng biến thiên
x
- -2
2 + y’ - - +
y +
22
(3)
Hệ có nghiệm (*) có nghiệm X1, X2 thoả
7
2, 2
4
X X m
hay m22 Câu III :
1 G(0; 2; 2) VTCP d: a= OA, OB 6(2; 1;1).
Suy pt d :
2
2 1
x y z
2
1
:
2 x t y t z t
M M(1 ; 2 t t t; )
Ta có: p = MA2 + MB2 = t2 + (t - 6)2 + (2t - 2)2 + (2 - t)2 + (t - 4)2 + (2t - 4)2
= 12t2 – 48t + 76
= 12(t - 2)2 +28 28
Min p = 28 t = Vậy M(-1; 0; 4) Câu IV :
1 Đặt uln ,2 x dv x dx Suy ra:
4
1 ,
4
x du dx v
x 4 1 1 ln ln
4
e e
x e
I x x xdx J
Tính J =
3
x ln
e xdx
Đặt1 1
1
ln , ,
4
x u x dv x dx du dx v
x
4 4
3
1
1
ln
4 4 16 32
e e e
x e x e
J x x dx
1 2 2 b a a b a b ( a b 0)
2
2
1 1
ln ln
2
2
ln ln
2
ln ln (*)
ln ln
a b a b a b a b a b a b
Đặt f(t) =
2 1
ln
ln ;
ln t t t t 2 2
ln 1
'( ) ln ln 0,
.ln
t t
f t t t
t t t t
(vì
2 ln ln t t t t
2 1
ln t ln ,t t
t
)
nghịch biến
1;
(2 )a (2 )bf f
( a b 0 2a 2b 1
) (*)đúng đpcm.
Câu V.a:
1 Số hạng chứa x5 khai triểnthành đa thức là: xC54( ) x 4x C2 103(3 )x 3320x5
Vậy hệ số x5 : 3320
2 Đường trịn (C) có tâm I(1; -2); bán kính R = Vì ABP
600 300 2 6
APB API IP IA
(4)Ycbt
19
( , ) 11 30
41
m m
d I d m
m
.
Câu V.b:
1 pt log (42 15.2 27) 2log (4.22 3)
x x x
Đặt t 2x
(đk: t >
4) ta có: t2 + 15t + 27 = (4t - 3)2 5t2 –13t – = t = hay t =
2
(loại) Vậy : 2x = 3 x = log 32
2 Từ giả thiết suy ra: ACD vng C Ta có: SA CD ACCD CD(SAC) CDSC SCD vuông C.
AD // (SBC)
a d(D,(SBC))=d(A,(SBC))=AH=
3
2 2
SA a SH
SB
1
( ,( )) ( ,( )) ( ,( ))
3 3
SHCD SHC SCD