Đang tải... (xem toàn văn)
cả các cặp phần tử của G đều giao hoán, trong trường hợp này thứ tự các phần tử trong một tích là không qua trọng; trái lại, chúng ta nói rằng G là không abel.. Phép.[r]
(1)J.L Alperin with Rowen B.Bell
NHÓM VÀ BIỂU DIỄN
Người dịch: ThS Khuất Văn Thanh, ThS Ngơ Mạnh Tường Hiệu đính: TS Lê Minh Hà
(2)(3)Mục lục
Mục lục
1 Các kiến thức lý thuyết nhóm
1 Nhắc lại
2 Tự đẳng cấu 17
3 Tác động nhóm 29
2 Nhóm tuyến tính tổng quát 40
4 Cấu trúc 40
5 Nhóm parabol 48
6 Nhóm tuyến tính đặc biệt 56
3 Cấu trúc địa phương 62
1 Định lí Sylow 62
2 p-nhóm hữu hạn 71
3 Định lí Schur-Zhassenhaus 78
4 Cấu trúc chuẩn tắc 86
10 Chuỗi hợp thành 86
11 Nhóm giải 91
5 Đại số nửa đơn 102
12 Môđun biểu diễn 102
13 Lý thuyết Wedderburn 113
6 Biểu diễn nhóm 130
14 Đặc trưng 130
15 Bảng đặc trưng 138
16 Cảm sinh 154
Phụ lục 168
(4)(5)1 Các kiến thức lý thuyết nhóm Trong chương này, xem lại khái niệm lí thuyết nhóm
và giới thiệu cơng cụ mà sử dụng chương lại Phần chủ yếu bao gồm lập luận mà giả sử người đọc quen thuộc từ nghiên cứu trước lí thuyết nhóm, hầu hết chứng minh chương lược bỏ Trong Phần 2, giới thiệu số khái niệm quan trọng, ví dụ tự đẳng cấu nhóm tích nửa trực tiếp, khái niệm mà chưa nhắc đến khóa học lí thuyết nhóm Phần đề cập đến lí thuyết tác động nhóm, chúng tơi trình bày ứng dụng kết mang tính chất kỹ thuật cần thiết cho chương sau
1 Nhắc lại
Ta nhớ lại rằng, nhóm bao gồm tập khơng rỗng G phép tốn hai ngơi G, thường kí hiệu theo lối nhân, thỏa mãn tính chất sau:
• Phép tốn hai ngơi có tính kết hợp: (xy)z=x(yz) với mọix, y, z∈G
• Tồn phần tử 1∈G, gọi phần tử đơn vịcủa G, cho x1 =x 1x=x với mọix∈G
• Với x∈G có phần tử x−1 ∈G, gọi phần tử nghịch đảo
của x, với tính chấtxx−1 = vàx−1x=
Tính chất kết hợp cho phép dễ dàng định nghĩa tích số hữu hạn phần tử nhóm Trật tự phần tử tích quan trọng, chẳng hạn x, y hai phần tử nhóm G khơng thiết phải có xy = yx Trong trường hợp đẳng thức xảy ta nói x y giao hốn Thơng thường, ta định nghĩa giao hoán tử x y phần tử [x, y] = xyx−1y−1, x y giao hoán [x, y] = (Nhiều tác giả định nghĩa [x, y] =x−1y−1xy.) Chúng ta nói G nhóm abel tất
cả cặp phần tử Gđều giao hoán, trường hợp thứ tự phần tử tích khơng qua trọng; trái lại, nói Glàkhơng abel Phép
tốn nhóm abel thường viết theo lối cộng, có nghĩa tích phần tử xvày viết thànhx+y thay vìxy, nghịch đảo củax kí hiệu
−x, phần tử đơn vị kí hiệu là0
(6)6 CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHĨM ứng, x−n) để tích x· · ·x (tương ứng, x−1· · ·x−1) gồm n số hạng Chúng ta định nghĩa x0 = (Trong nhóm abel mà viết theo lối cộng, viết nx thay xn với n∈ Z.) Dễ dàng thấy công thức thông thường
cho lũy thừa thỏa mãn Chúng ta nói rằngxcó cấp hữu hạn tồn
tạin∈Nsao cho xn= Nếux có cấp hữu hạn định nghĩa cấpcủa x số nguyên dương nhỏ n mà xn = Rõ ràng là, x có cấp n nếu nếu 1, x, x2, , xn−1 phần tử phân biệt củaG vàxn=
Một nhóm G gọi hữu hạn có số hữu hạn phân tử, trái
lại làvơ hạn Chúng ta định nghĩacấp nhóm hữu hạn, kí hiệu là|G|, số phần tử củaG; sử dụng|S|cho số tập hữu hạn S Mọi phần tử nhóm hữu hạn có cấp hữu hạn tồn nhóm vơ hạn có tính chất này; nhóm gọi tuần hồn
Tuy nhiên, có nhóm vơ hạn mà phần tử đơn vị phần tử có cấp hữu hạn; nhóm gọi không xoắn
Một tập conH G gọi mộtnhóm G tạo thành nhóm với phép tính hai trênG hạn chế trênH Tương tự vậy, H⊆Glà nhóm thỏa mãn điều kiện sau:
• Phần tử đơn vị 1của G nằm H
• Nếu x, y∈Gthì tích xy Gcũng ∈H • Nếu x∈H nghịch đảo x−1 ∈H
Rõ ràng, Glà nhóm Tập {1} nhóm G; gọi lànhóm tầm thường, để đơn giản hóa kí hiệu bởi1
Mọi nhóm nhóm hữu hạn hữu hạn; nhiên, nhóm vơ hạn ln ln có nhóm hữu hạn vơ hạn, nhóm tầm thường Tương tự nhóm nhóm abel abel, nhóm khơng abel ln ln có nhóm abel khơng abel NếuH nhóm củaG viết H 6G; H chứa thực G gọiH lànhóm thực sựcủaG, viết H < G (Sự
khác biệt kí hiệu chung khơng phổ biến.) Nếu K 6H H 6G hiển nhiênK 6H
Mệnh đề Nếu H K nhóm nhóm G giao chúng
H∩K Tổng quát hơn, giao tập nhóm nhóm nhóm nhóm
(7)1 NHẮC LẠI Định lý Lagrange Cho G nhóm hữu hạn H 6G Khi |H| chia hết |G|
NếuX tập nhómG định nghĩa< X > giao tất nhóm G chứaX Theo Mệnh đề 1, X nhóm G, mà gọi nhóm G sinh X Chúng ta thấy < X > nhóm nhỏ G mà chứa X, theo nghĩa chứa nhóm bất kì; X G < X >= X Nếu X = {x} viết < x > thay vì< X >; tương tự thế, X ={x1, , xn} viết < x1, , xn >thay cho < X >
Mệnh đề Cho X tập nhóm G Khi < X > chứa đơn tích dạng xε11 · · ·xεr
r , đór ∈N, xi∈X εi=±1 với i
Một nhómG gọi làxyclicnếu G=< g >với g∈G; phần tửg gọi phần tử sinh G Ví dụ, G nhóm cấp n có phần tử g cấp n G=< g > vàg, , gn−1, gn= phần tử phân biệt G Theo Mệnh đề 2,< g >={gn|n∈Z}và từ tính chất lũy thừa suy nhóm xyclic
là abel; nhiên thường viết nhóm xyclic theo lối nhân thay lối cộng Nếu g có cấp n < g >= {1, g, , gn−1}, đó | < g >| = n Nếu g khơng có cấp hữu hạn < g > nhóm abel vơ hạn khơng xoắn Hai nhóm xyclic hữu hạn có cấp "tương đương" theo nghĩa xác hóa phần này, hai nhóm xyclic vơ hạn tương đương với nghĩa Nhóm xyclic vơ hạn tắc Z, tập số nguyên với phép
cộng, nhóm xyclic tắc cấpnlàZ/nZ, tập lớp cịn lại số
nguyên với phép cộng modulo n
Giả sử G nhóm hữu hạn g ∈ G có cấp n Ta có < g > nhóm G có cấp n, theo định lý Sylow ta có n chia hết |G| Do vậy,
cấp phần tử nhóm hữu hạn chia hết cấp nhóm Vì thế,
|G|bằng số ngun tốpnào cấp phần tử củaGphải ước khơng tầm thường củap, từ đóGlà xyclic với phần tử khác đơn vị phần tử sinh
Nếu X Y tập nhóm G định nghĩa tích
X Y G XY ={xy|x ∈X, y ∈Y} ⊆ G Chúng ta mở rộng khái niệm cho số hữu hạn tập củaG Chúng ta định nghĩa
nghịch đảo X ⊆Gbởi X−1 ={x−1|x∈X} ⊆G NếuH tập G H6G HH=H vàH−1 =H
(8)8 CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHÓM Nhận thấy rằng, H K nhóm G tích chúng HK chứa cảHvàK; nữa, K6HthìHK =H (Các tính chất không thỏa mãn H K tập G.) Nếu G abel HK =KH với nhóm conH vàK củaG, tích hai nhóm nhóm abel nhóm
Bây mơ tả cấu trúc nhóm nhóm xyclic vơ hạn Định lí Cho G=< g > nhóm xyclic cấpn Khi đó:
(i) Với ướcd củan, tồn nhóm củaG cấp d, < gnd >
(ii) Nếu d e cac ước n giao nhóm cấp d e nhóm cấp gcd(d, e)
(iii) Nếudvà elà ước nthì tích nhóm cấp dvàelà nhóm cấp lcm(d, e)
NếuH 6Gthì viết xH thay vì{x}H, tậpxH gọi lớp kề tráicủaH trongG Tương tự, viếtHx thay vìH{x}, gọiHx mộtlớp kề tráicủa H G Trong sách dùng lớp kề trái, từ trở từ "lớp kề" hiểu "lớp kề trái" Cách sử dụng lớp kề trái thay cho lớp kề phải khơng phải chất, phát biểu cho lớp kề trái cho lớp kề phải Nhiều giáo trình lý thuyết nhóm sử dụng lớp kề phải thay cho lớp kề trái Tồn tương ứng song ánh lớp kề trái phải H G, biến lớp kề tráixH thành nghịch đảo nó(xH−1) =Hx−1
Cho H nhóm củaG Hai lớp kề H Ghoặc là rời nhau, với lớp kềxH vàyH y−1x ∈H. Do đó, phần tử x∈ Gnằm xác lớp kề H, xH Với x∈G, tồn tương ứng song ánh giữaH vàxH; tương ứng biếnh∈H thành xh Chúng ta định nghĩachỉ số củaH trongG, ký hiệu bởi|G:H|, số lớp kề H G (Nếu tồn số vơ hạn lớp kề H G định nghĩa |G:H| số mà khơng làm thay đổi giá trị định đề đưa đây, định nghĩa lạiGnhư số|G: 1|.) Các lớp kề H trongGchia Gthành
|G : H| tập rời với số |H| |G| = |G : H||H| (Điều chứng
(9)1 NHẮC LẠI Chúng ta ký hiệu tập lớp kề (hoặc không gian lớp kề) H trongGbởi G/H Bây giờ, đưa mơ tả hồn chỉnh nhóm nhóm xyclic vơ hạn Chúng tơi mời độc giả phát biểu lại Định lí theo cách cho tương ứng Định lí rõ ràng
Định lí Cho G=< g > nhóm xyclic vơ hạn Khi đó:
1 Với mỗid∈N, có xác nhóm củaG sốd,< gd> Hơn nữa,
mọi nhóm khơng tầm thường G có số hữu hạn
2 Chod, e∈N Khi giao nhóm sốd vàe nhóm số
lcm(d, e)
3 Cho d, e∈N Khi tích nhóm sốd elà nhóm số
gcd(d, e)
Kết khái qt hóa định lí Lagrange xem "phép phân tích thành nhân tử số"
Định lí Nếu K6H6G |G:K|=|G:H||H :K|
ChoH nhóm nhómGvà cho I tập số tương ứng
song ánh với tập lớp kề H G Một tập T ={ti|i∈ I} gọi làlớp ngang (trái) H (hoặc tập biểu diễn lớp kề (trái) H trongG) tập tiH lớp kề H Gsao cho khơng có lớp bị lược bỏ bị lặp lại
Cho N nhóm nhóm G Ta nói N nhóm chuẩn tắc G (hay N làchuẩn tắc G) xN =N x với x ∈G, hay tương đương vớixN x−1⊆N với mọix∈G NếuGlà abel nhóm củaGđều chuẩn tắc Các nhóm 1vàGln chuẩn tắc G; nếuGchỉ có hai nhóm chuẩn tắc ta nói Glàđơn Chẳng hạn, nhóm xyclic cấp nguyên tố
là đơn (Một nhóm có phần tử thơng thường không coi đơn.) Nếu N chuẩn tắc G viết N E G; N nhóm thức vừa chuẩn tắc Gthì ta viếtN CG (Lưu ý rằng, nhiều tác giả không phân biệt điều viết N C G để kí hiệu N chuẩn tắc G.) Nếu N EG K EH chưa K EG, không đưa phản ví dụ lúc Tuy nhiên, rõ ràng K EG vàK 6H6GthìK 6G
Mệnh đề Cho H K nhóm nhóm G Nếu K E G
(10)10 CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHĨM Mệnh đề Mọi nhóm chỉ số2 chuẩn tắc
Chứng minh Cho H6Gvà giả sử |G:H|= Khi có hai lớp kề trái
H G; lớp làH lớp phải làG−H Tương tự, H G−H hai lớp kề phải của H G Từ đó,x ∈H khixH =H =Hx vàx /∈H khixH =G−H =Hx Vậy H EG
Các nhóm chuẩn tắc quan trọng chúng giúp ta tạo nhóm từ nhóm cũ theo cách sau:
Định lí Nếu N E G tập lớp kề G/N tạo nên nhóm với phép tốn xác định (xN)(yN) = (xy)N
NếuN EG gọiG/N với phép tốn lànhóm thương củaG N Khi phân tử đơn vị G/N làN phần tử nghịch đảo củaxN ∈G/N x−1N NếuGlà abel thì G/N cũng abel.
Cho x g phần tử nhóm G Khi liên hợp x g định nghĩa phần tửgxg−1 G (Một vài tác giả định nghĩa liên hợp củax g g−1xg Các kí hiệu gx xg đơi sử dụng thay cho gxg−1 g−1xg.) Hai phần tử phầnx vàycủa Gđược gọi liên hợp tồn phần tử g∈G cho y = gxg−1 Hai phần tử phân biệt nhóm abel liên hợp Một nhóm conN G chuẩn tắc liên hợp phần tử N phần tử củaGđều nằm N
Cho X tập Một hoán vị X song ánh từ X đến X Tập hốn vị củaX, kí hiệu P
X, tạo thành nhóm với phép hợp thành ánh xạ Nếu X ={1, , n} với n ∈N nhóm đợc gọi nhóm đối xứng bậc
nvà kí hiệu P
n (Nhiều tác giả kí hiệu nhóm Sn Sn.) Nhóm
P
X hữu hạn có cấp n! =n(n−1)· · ·2·1 Một phần tử ρ P
n gọi xích có độ dài r (hay r-xích) có số ngun phân biệt ≤ a1, , ar ≤ n cho ρ(ai) = (ai+1) với 1≤ i < r, ρ(ar) =a1 ρ(b) =b với ≤b ≤n mà b khác Xích ρ xác định viết làρ= (a1· · ·ar) Dĩ nhiên, việc kí hiệu viết theor cách khác nhau; chẳng hạn, (1 4),(2 1)và(4 1) kí hiệu 3-xích P
(11)1 NHẮC LẠI 11 tập{1, , n}, tích hai xích tương ứng với tích hai ánh xạ, mà tích hai ánh xạ ta thường tính từ phải sang trái Trong nhiều giáo trình lí thuyết nhóm tích hai xích tính từ trái sang phải.)
Mọi phần tử củaP
ncó thể viết tích xích rời nhau; phân tích gọi phân tích thành xích rời hốn vị Hai phân
tích thành xích rời hốn vị ln có xích, nhiên thứ tự chúng khác Do đặt tương ứng tập số số nguyên dương có tổng n với phần tử củaP
n theo cách số hạng tổng n chiều dài xích xuất phân tích thành xích rời ρ gọi cấu trúc xích ρ Chẳng hạn cấu
trúc xích r-xích P
n là(r,1, ,1), có n−r số 1; cấu trúc xích (1 4)(3 5) P
6 (3,2,1) Chúng ta thường bỏ qua 1-xích viết hốn vị thành tích xích rời Chúng ta thường sử dụng để kí hiệu cho phần tử đơn vị P
n, phân tích thành xích rời bao gồm 1-xích
Mệnh đề 10 Cho n ∈ N Khi hai phần tử P
n liên hợp với
chỉ chúng có cấu trúc xích
Xem chứng minh [24, trang 46-7] Một chuyển vị P
n một2-xích Mọi phần tử
P
n thành tích chuyển vị (không thiết rời nhau) theo nhiều cách khác Tuy nhiên, ta chứng minh hai phân tích hốn vị phải có số chuyển vị theo modulo (Xem [24, trang 8-9].) Do nói hốn vị chẵn (tương ứng, lẻ) viết thành
tích số chẵn (tương ứng, lẻ) chuyển vị, hoán vị chẵn lẻ khơng thể vừa chẵn vừa lẻ Chẳng hạn, r-xích viết thành tích r−1 chuyển vị nên xích hoán vị chẵn độ dài lẻ Tập P
n bao gồm tất hoán vị chẵn nhóm số 2, chuẩn tắc P
n, theo Mệnh đề 8; gọi nhóm thay
phiên bậc nvà kí hiệu An
XétH={1,(1 2)(3 4),(1 3)(2 4),(1 4)(2 3)} ⊆A4 Ta rằngHEA4 (Thực ra, H chuẩn tắc P
4 Nhóm H này, theo lịch sử tìm nó, có tên bốn-nhóm Klein.) Cho K = {1,(1 2)(3 4)} Khi K nhóm H với
(12)12 CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHÓM Cho G H nhóm Một đồng cấu ánh xạ ϕ : G → H với tính chấtϕ(xy) =ϕ(x)ϕ(y) với mọix, y∈G; nghĩa là, đồng cấu ánh xạ
các nhóm mà bảo tồn cấu trúc nhóm tương ứng Nếuϕlà đồng cấu ϕ(1) = ϕ(x−1) =ϕ(x)−1 với x Đồng cấu tầm thường từ G vào H ánh xạ biến phần tử G thành phần tử đơn vị H Nếu đồng cấu ϕ đơn ánh gọi ϕ đơn cấu, ϕ tồn ánh gọi ϕ tồn cấu nói ϕ đẳng cấu ϕ song ánh (Nhắc lại rằng, ánh xạ f :X →Y gọi đơn ánh f(x) =f(x0)thì suy x=x0, gọi toàn ánh
nếu với mọiy∈Y tồn tạix ∈X để f(x) =y; gọi song ánh vừa đơn ánh, vừa tồn ánh.) Nếuϕlà đẳng cấu ϕ−1 :H →G Một đồng cấuϕ:G→Gđược gọi mộttự đồng cấucủa G; tự đồng cấu song ánh
được gọi làtự đẳng cấu
NếuG vàH nhóm có đẳng cấuϕ:G→H nói GvàH làđẳng cấu, hayGđẳng cấu vớiHvà viết làG∼=H Đẳng cấu quan hệ tương đương nhóm; tức là, phản xạ (G∼=G), đối xứng (G∼=H suy raH ∼=G) bắc cầu (G∼=H H ∼=K suy raG ∼=K.) Do đó, nói "lớp đẳng cấu" mà nhóm cho trước thuộc vào lớp Các nhóm đẳng cấu coi hồn tồn đồng theo nghĩa phát biểu nhóm (sau đưa phép đồng thích hợp) cho nhóm đẳng cấu với nhóm Nếu nói nhóm có tính chất định "đơn nhất" thường hàm ý "đơn đến đẳng cấu", theo hàm ý hai nhóm có tính chất xác định đẳng cấu
Bây giờ, xét vài ví dụ
• Cho G=< g >và H =< h > hai nhóm xyclic cấp n Chúng ta định nghĩa ánh xạϕ:G→H cách đặtϕ(ga) =ha với mọi0≤a < n Ánh xạ đẳng cấu Do vậy, hai nhóm xyclic hữu hạn có cấp đẳng cấu Đặc biệt, nhóm xyclic cấp nđều đẳng cấu với Z/nZvà có
duy nhóm cấpp với số nguyên tốp Chúng ta sử dụngZnđể kí hiệu nhóm xyclic cấp nvà phép tốn viết theo lối nhân Tương tự, hai nhóm xyclic vơ hạn đẳng cấu; sử dụng Z để kí hiệu nhóm xyclic vơ hạn phép tốn viết theo lối nhân
• Cho Glà nhóm, H6G vàg∈G.Liên hợpcủa H g tậpgHg−1 =
(13)1 NHẮC LẠI 13 g∈G, định nghĩa ánh xạ ϕ:H → gHg−1 ϕ(h) = ghg−1 với h∈H Dễ thấyϕlà đẳng cấu, nhóm liên hợp với đẳng cấu Tuy nhiên, hai nhóm đẳng cấu nhómGchưa liên hợp với Chẳng hạn, bốn-nhóm Klein có ba nhóm cấp 2, chúng đẳng cấu với nhóm nhóm abel nên khơng thể liên hợp với
• ChoX={x1, , xn}vàPX nhóm hốn vị củaX Chúng ta định nghĩa ánh xạ ϕ:P
n→
P
X ϕ(ρ)(xi) =xρ(i) với ρ∈
P
n và1≤i≤n Dễ thấy ánh xạϕlà đẳng cấu
• Cho Glà nhóm N EG Có ánh xạ từGđến nhóm thương G/N, phép chiếu η:G→G/N xác định η(x) =xN với x∈G Chúng ta
dễ thấy ánh xạ toàn cấu Chúng ta gọi η ánh xạ tự nhiêntừ G đến G/N
Nếuϕ:G→H đồng cấu định nghĩa hạt nhâncủa ϕlà tập kerϕ={g∈G|ϕ(g) = 1} Gvà ảnhcủa ϕ tập conImϕ={ϕ(g)|g ∈G}
H Chúng ta thường sử dụng kí hiệu ϕ(G) để tập ảnh ϕ ϕ(K) để tập {ϕ(g) =g∈K} với K 6G Ví dụ, N EG η:G→G/N ánh xạ tự nhiên có kerη = N η(K) = KN/N với K G (Dễ thấy η(K) =K/N K chứaN.)
Mệnh đề 11 Cho G H nhóm ϕ :G → H đồng cấu Khi
kerϕEG ϕ(K)6H với K 6G
Định lí sau tảng lí thuyết nhóm
Định lý đồng cấu NếuGvàH nhóm vàϕ:G→H đồng cấu có một đẳng cấu ψ :G/K → ϕ(G) cho ϕ=ψ◦η, K = kerϕ
và η:G→G/K ánh xạ tự nhiên; nữa, ánh xạ ψ xác định
(Nhiều tác giả gọi kết "định lí đẳng cấu thứ nhất"; tác giả đặt số thứ tự cho định lí đẳng cấu đây.)
(14)14 CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHÓM Theo kết định lí bản, thấy đồng cấuϕ:G→H coi tích tồn cấu (từGlênϕ(G)) đơn cấu (từ ϕ(G)đến H.)
Ba kết cuối phần quan trọng
Định lý đẳng cấu thứ Cho G nhóm Nếu N E G H G
HN/N ∼=H/H∩N
(Chú ý rằngHN 6Gvà H∩N EH, theo Mệnh đề 7, N EG.)
Chứng minh Áp dụng định lí choϕlà hạn chế xuốngHcủa ánh xạ tự nhiên η:G→G/N
Chứng minh kết tương đối đơn giản nhàm chán chút
Định lý tương ứng Cho G, H nhóm ϕ:G→H tồn cấu có hạt nhân
N Khi có tương ứng song ánh sinh ϕ tập nhóm G
chứaN tập nhóm củaH NếuK nhóm củaGchứaN phép tương ứng biến K thành ϕ(K); L nhóm H nhóm củaGlà tạo ảnh Lđối với phép tương ứng ϕ−1(L) ={x∈G|ϕ(x)∈L} Hơn nữa, K1 vàK2 nhóm G chứaN thì:
• K2 6K1 ϕ(K2)6ϕ(K1), |K1 :K2|=|ϕ(K1) :ϕ(K2)|
• K2 E K1 ϕ(K1) E ϕ(K2), ánh xạ từ K1/K2 đến
ϕ(K1)/ϕ(K2) biến xK2 thànhϕ(x)ϕ(K2) đẳng cấu
Như trường hợp đặc biệt định lí tương ứng, có kết sau: NếuG nhóm N E G nhóm G/N có dạng K/N với K nhóm củaG chứaN (Ở coiϕlà ánh xạ tự nhiên từ G vàoG/N.)
Định lý đẳng cấu thứ hai Cho H K nhóm chuẩn tắc
nhóm G Nếu H chứaK G/H ∼= (G/K)/(H/K)
Chứng minh Áp dụng định lí tương ứng choϕlà ánh xạ tự nhiên từGvàoG/K BÀI TẬP
(15)1 NHẮC LẠI 15 Chúng ta nói nhóm Gcó số mũenếu elà số nguyên dương nhỏ cho xe = 1với mọix ∈G Chứng minh Gcó số mũ Glà abel Với số nguyên enào nhóm có số mũelà abel
3 Cho G nhóm hữu hạn giả sử ánh xạϕ:G→ G xác định ϕ(x) =x3, với x ∈ G, đồng cấu Chứng minh rằng, khơng chia hết |G|thìG phải nhóm abel (Xem kết tổng quát [2].)
4 Cho g phần tử nhóm Gvà giả sử |G|=mn với m n nguyên tố Chứng minh có phần tửxvày thuộc Gsao choxy =g=yxvàxm = =yn (Trong trường hợpm lũy thừa số nguyên tốp, gọix làp-phần gvàylàp0-phần củag; tổng quát hơn, π tập số nguyên tố chia hếtm không chia hết nthìx y tương ứng gọi làπ-phần vàπ0-phần củag.)
5 Chor, svàtlà số nguyên dương lớn hơn1 Chứng minh có nhóm G có phần tửx y chox có cấp r,y có cấp svà xy có cấp t Cho X Y tập nhóm G Các nhóm < X >∩< Y >
< X∩Y > có thiết khơng? Các nhóm << X >∪ < Y >> < X∪Y > có thiết khơng?
7 Cho Glà nhóm hữu hạn H6G Chứng minh có tập T Gmà vừa lớp ngang trái, vừa lớp ngang phải H
8 Giả sử C họ tập nhóm G tạo thành phân hoạch G giả sử gC ∈ C với g∈GvàC ∈ C (Nhắc lại, phân hoạch
của tậpS tập hợpS tập củaSsao cho phần tử củaS nằm phần tử củaS.) Chứng minh Clà tập lớp kề nhóm G
9 Giả sử C họ tập nhóm Gmà tạo thành phân hoạch G giả sử XY ∈ C với X, Y ∈ C Chứng minh có
đúng số tập hợp thuộc C nhóm Gvà nhóm chuẩn tắc trongG, đồng thời C bao gồm lớp kề
10 Chứng minh kết tổng quát hóa Mệnh đề 8: Nếu G nhóm hữu hạn H 6Gsao cho |G :H| ước nguyên dương nhỏ |G|
H EG
(16)16 CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHĨM NếuK EH 6G H/K gọi thành phần G Chúng ta nói
hai thành phầnH1/K1 vàH2/K2 làliên thuộc lớp kề K1 H1 có giao khác rỗng với xác lớp kề K2 H2 ngược lại (Nói cách khác, hai thành phần liên thuộc quan hệ giao khác rỗng cho ta tương ứng song ánh phần tử chúng.)
11 Hãy thành phần liên thuộc đẳng cấu
12 (tiếp) Giả sử rằngN EGvàH6G Hãy chứng minh rằngHN/N vàH/H∩N liên thuộc (Bài tập 11 12 đưa chứng minh thay định lí đẳng cấu thứ nhất.)
Nếu L/M thành phần G H G hình chiếu H lên L/M tập củaL/M bao gồm lớp kề củaM trongL mà chứa phần tử H
13 (tiếp) Hãy chứng minh hình chiếu HtrênL/M nhóm con(L∩H)M/M L/M
ChoH1/K1 H2/K2 thành phần nhóm G
14 (tiếp) Hãy hình chiếu K2 H1/K1 nhóm chuẩn tắc hình chiếu H2 H1/K1 Nhóm thương thu cách gọi hình chiếu H2/K2 H1/K1
15 (tiếp) Hãy hình chiếu H1/K1 H2/K2 hình chiếu H2/K2 trênH1/K1 liên thuộc Hãy suy kết sau:
Định lý đẳng cấu thứ ba Cho H1, H2, K1 EH1 vàK2 EH2 Khi
(H1∩H2)K1/(H1∩K2)K1 = (H∼ 1∩H2)K2/(K1∩H2)K2
(17)2 TỰ ĐẲNG CẤU 17
2 Tự đẳng cấu
Tập tự đẳng cấu nhóm G kí hiệu Aut(G) Nếu ϕ ρ tự đồng G tích chúng ϕ◦ρ tự đẳng cấu G tích ánh xạ phép tốn hai ngơi Aut(G) Phép tốn cho ta cấu trúc nhóm trênAut(G); phần tử đơn vị tự đẳng cấu tầm thường biến phần tử thành nó, nghịch đảo tự đẳng cấu ϕ nghịch ánh xạ ngược ϕ−1 Chúng ta gọi Aut(G) với phép tốn nhóm tự đẳng cấu Gvà viết ϕρthay cho ϕ◦ρ với ϕ, ρ∈Aut(G)
Mọi phần tửgcủa nhómGxác định đồng cấu liên hợpϕg :G→Gbởi ϕg(x) =gxg−1 (Rõ ràng ta cóϕg(xy) =ϕg(x)ϕg(y)vàϕg(x−1) =ϕg(x)−1.) Những ánh xạ thực tự đẳng cấu G, với x phần tử cho trước Gta cóx=ϕg(g−1xg), nếuϕg(x)ϕg(y)thì ta cóx=y cách giản ước Các ánh xạ gọi tự đẳng cấu củaG Chúng ta có ϕgϕh =ϕgh với g, h∈G, vìg(hxh−1)g−1 = (gh)x(gh)−1 với mọix ∈G; đó, có đồng
cấu từGvàoAut(G)biếng∈Gthành ϕg Ảnh đồng cấu gọi lànhóm
tự đẳng cấu Gvà kí hiệu làInn(G), đồng thời hạt nhân gọi tâmcủa G kí hiệu làZ(G) Chú ý
Z(G) ={g∈G|ϕg(x) =x với mọix∈G} ={g∈G|gx=xg với mọix∈G},
và Z(G) bao gồm phần tử Gmà giao hốn với phần tử G Rõ ràng, Glà abel nếuZ(G) =G
Nếuσ∈Aut(G)vàϕg∈Inn(G)thì dễ dàng kiểm tra rằngσϕgσ−1=ϕσ(g) Điều chứng tỏ Inn(G) E Aut(G); nhóm thương Aut(G)/Inn(G) gọi
nhóm tự đẳng cấu ngồi G kí hiệu Out(G) Tuy nhiên, thuật ngữ "tự đẳng cấu ngoài" thường không dùng để phần tử Out(G) mà thường dùng để tự đẳng cấu Gnhưng tự đẳng cấu chúng có ảnh khơng tầm thường trongOut(G)dưới ánh xạ tự nhiên Khi đó, G abel tất tự đẳng cấu không tầm thường Gđều tự đẳng cấu ngồi, trường hợp có Inn(G) =
Cho trước nhóm G, ln muốn xác định cấu trúc nhóm tự đẳng cấu Đây thường tốn khó Bây giờ, xét vài tính chất nhóm tự đẳng cấu nhóm xyclic
(18)18 CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHÓM cóAut(G)∼=Z2
Bây giờ, cho n ∈N G=< x >∼=Zn Giả sử ϕ tự đồng cấu G Khi đó, ϕ(x) =xm với m đó,0≤m < n; đóϕ biến phần tử Gthành lũy thừam Từ ta thấy G có xácn tự đồng cấu, ánh xạ lũy thừam, kí hiệu làσm, với0≤m < n
Mệnh đề Cho G=< x >∼=Zn với n∈Nvà với số 0≤m < n gọiσm tự
đồng cấu G biến x thành xm Khi Aut(G) bao gồm tự đồng cấu σm với
m6= gcd(m, n) = Hơn nữa, Aut(G) abel đẳng cấu với nhóm (Z/nZ)×
của phần tử đơn vị vành Z/nZ
Chứng minh Ánh xạσ0có ảnh tầm thường khơng phải tự đẳng cấu Bây giờ, giả sử ≤ m < n, ta xét σm Nếu gcd(m, n) = tồn số nguyên a, bsao cho am+bn= 1, từ đóσm(xa) =xam=x1−bn =x(xn)−b=x, điều chứng tỏσm tồn ánh VìGlà hữu hạn nên toàn ánh từ Gvào Gcũng đơn ánh; đóσm ∈Aut(G) Ngược lại, nếuσm ∈Aut(G)thìx=σm(xa) =xam vớia∈Z; suy raxam−1 = 1, từ ta phải cóam−1 =bnvớib∈Z, điều chứng
minhgcd(m, n) = Như vậy, khẳng định thứ chứng minh
Giả sử ≤ m1, m2 < n Khi σm1σm2 = σt = σm2σm1, với ≤ t < n cho m1m2 ≡ t (modn); Aut(G) abel Vì (Z/nZ)× ={m+nZ|1 ≤ m < n,gcd(m, n) = 1} nên dễ thấy ánh xạ biếnσm thành m+nZlà đẳng cấu từAut(G) vào (Z/nZ)×
Chúng ta định nghĩa giá trị hàm Ơle n∈Nlà số số nguyên dương vừa
nhỏ hơnn vừa nguyên tố với n (Giá trị gọi giá trị ncủa hàm-phi Ơle.) Nếu viết n=pa11 · · ·par
r , pi số nguyên tố phân biệt, giá trị hàm Ơle n (pa11 −p1a1−1)· · ·(par
r −parr−1) Theo Mệnh đề 1, cấp Aut(Zn) giá trị hàm Ơle n Đặc biệt, |Aut(Zp)|=p−1 với p số nguyên tố
Mệnh đề Cho p số nguyên tố Khi Aut(Zp)∼=Zp−1.
Chứng minh Cho F trường có p phần tử Theo Mệnh đề 1, Aut(Zp) đẳng cấu với nhóm nhânF× phần tử khác không F Với ước dcủa p−1, gọifd số phần tử cấp dtrongF× vàzd số phần tử cấp dtrong Zp−1
Giả sửdlà ước củap−1 Nếux∈F× phần tử có cấp chia hếtdthì x phải nghiệm phương trình Xd−1∈F[X] và phương trình có nhiều nhất dnghiệm Ngược lại, x có cấpdthì lũy thừa x phần tử F×
(19)2 TỰ ĐẲNG CẤU 19 phải chứa < x >∼=Zd Vậy fd = 0 fd số phần tử cấp d Zd
Theo Định lí 4, d ước tùy ý p−1 tất phần tử cấp d Zp−1 chứa nhóm xyclic đơn cấp d; z
d số phần tử cấp d Z
d Từ lập luận suy fd≤zd với mọid|(p−1) Nhưng ta có
X
d|(p−1)
fd=|F×|=p−1 =|Zp−1|=
X
d|(p−1) zd,
điều kéo theo fd =zd với d|(p−1) Đặc biệt, fd−1 = zd−1 > F×∼=Zp−1
Cho G =< x >∼= Zn với n ∈ N xét tự đẳng cấu lũy thừa m (σm) G, 1≤m≤n vàgcd(m, n) = Bằng lập luận quy nạp ta chứng minh (σm)k(x) =xmk với k ∈N; cấp σm số nguyên dương knhỏ mà xmk
=x, số k∈ Nnhỏ cho mk≡1 (mod n) Nếu cấp σ m giá trị hàm Ơ le n nói rằngm làcăn ngun thủy modulo n
(Thuật ngữ xuất phát từ lí thuyết số cổ điển.) Rõ ràng, Aut(Zn) xyclic tồn nguyên thủy modulo n
Với hợp số n, việc xác định cấu trúc nhóm Aut(Zn) thuộc lĩnh vực lí thuyết số lí thuyết nhóm Kết sau đây, mà không chứng minh, cho biết dạng nmà làm cho nhóm Aut(Zn) xyclic
Định lí Aut(Zn) xyclic n= 2 4, n=pk hay2pk với p số nguyên tố lẻ k∈N
Một kết tương đương tồn không tồn nguyên thủy modulo n chứng minh [9, Phần 8.3]
Cho ϕ tự đẳng cấu nhóm G H nhóm G Khi ϕ làm H đẳng cấu với nhóm ϕ(H) G; nói H bị cố định ϕ ϕ(H) = H Trong trường hợp đó, hạn chế ϕ lên H tự đẳng cấu H Nếu Llà nhóm của Aut(G) nói H bị cố định L H bị cố định ϕ∈ L Với thuật ngữ này,
(20)20 CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHÓM y ∈ G, điều chứng tỏ ϕ(x) ∈ Z(G) Rõ ràng nhóm đặc trưng chuẩn tắc ngược lại khơng Đặc biệt, nhóm abel vơ hạn khơng có nhóm đặc trưng khác tầm thường; xem Bài tập
Trong Phần 1, biết chuẩn tắc tính chất bắc cầu nhóm Tuy nhiên, tính đặc trưng lại có tính chất bắc cầu
Bổ đề Nếu K nhóm đặc trưng H H nhóm đặc trưng Gthì K nhóm đặc trưng G
Chứng minh Nếu ϕ ∈ Aut(G) hạn chế ϕ xuống H phần tử Aut(H) H đặc trưng G, hạn chế ϕxuống K phần tử Aut(K) K đặc trưng H Do tự đẳng cấu G cố địnhK, từ suy điều phải chứng minh
Lí mà chuẩn tắc khơng có tính bắc cầu xuất phát từ thực tế nếuN EG hạn chế xuốngN phần tử củaInn(G) chắn nằm trongAut(N)nhưng không thiết nằm trongInn(N)
Nhắc lại x y phần tử nhóm G giao hốn tử x y [x, y] = xyx−1y−1 Chúng ta định nghĩa, nhóm giao hốn tử
của G nhóm G0 G sinh tập tất giao hoán tử G; tức G0 =< {[x, y]|x, y ∈ G} > Rõ ràng, G abel G0 = 1, đồng thời H G H0 G0 Một điều quan trọng nên nhớ là, G0 bao gồm nhiều khơng giao hốn tử G Vì với phần tửx, y ta có [x, y]−1= (xyx−1y−1)−1 =yxy−1x−1= [y, x]nên theo Mệnh đề 2, phần tử bất kì củaG0 là tích giao hốn tử phần tử của G.
Bổ đề Cho G nhóm Khi G0 đặc trưng G
Chứng minh Cho ϕ ∈ Aut(G) Ta có ϕ([x, y]) = [ϕ(x), ϕ(y)] với x, y ∈ G
Nếug ∈G0 thìg tích giao hốn tử; suy ϕ(g) vậy, ϕ(g)∈G0 Vậy ϕ(G0)6G0; lập luận tương tự ta có ϕ−1(G0)6G0 đóG0 =ϕ(ϕ−1(G0))6ϕ(G0) Từ đóϕ(G0) =G0, bổ đề chứng minh
Nhóm giao hốn tử có tính chất quan trọng sau:
Mệnh đề Cho G nhóm N EG Khi G/N abel
G0 6N
Chứng minh Với x, y ∈ G, ta có [xG0, yG0] = [x, y]G0 =G0; nhóm